四边形的证明与计算（2考点+16种题型+命题预测）-2025年中考数学二轮复习（原卷版）

模块二图形与几何的基础

第05讲四边形的证明与计算

（思维导图+2考点+16种题型）

01考情透视•目标导航问题

02知识导图•思维引航院题型09利用分类讨论思想解决特殊平行四

03核心精讲•题型突破边形计算问题

考点一四边形的计算问题考点二四边形的证明问题

＞题型01与多边形有关的角度计算＞题型01利用平行四边形的性质与判定求解

院题型02利用平行四边形的性质求解a题型02与三角形中位线有关的证明

＞题型03利用矩形的性质求解院题型03利用矩形的性质与判定求解

院题型04利用菱形的性质求解»题型04利用菱形的性质与判定求解

＞题型05利用正方形的性质求解＞题型05利用正方形的性质与判定求解

＞题型06与特殊的平行四边形有关的折叠问院题型06与特殊平行四边形有关的多结论问

题题

＞题型07构建中位线求解»题型07特殊平行四边形与函数综合

＞题型08与特殊平行四边形有关的规律探究

考情透视•目标导航

中考考点

四边形作为中考数学的重要知识点，其证明与计算题目在历年考试中占据显著地位。四

边形相关题目在中考数学中占比相对稳定，通常在15%至25%之间。题型多样，包括选择题、

填空题、证明题和综合解答题。其中，选择题和填空题主要考查基础知识和基本技能，而证

明题和综合解答题则注重考查学生的逻辑推理能力和综合运用知识的能力。

【命题预测】

1.重点考查特殊四边形的性质和判定：矩形、菱形、正方形的性质和判定一直是中考的热

点，选择题和填空题中常出现利用这些性质求角度、长度的问题。

2.综合题的比重增加：近年来，中考数学越来越注重考查学生的综合能力，四边形相关的

综合题在考试中的比重逐渐增加。这些题目往往涉及多个知识点的综合运用，如三角形全等、

解直角三角形、二次函数等。

3.实际应用与创新能力：中考数学命题趋势逐渐向实际应用和创新能力倾斜，四边形问题

四边形的证可能结合实际情境，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，同时也会涉及一些新概念

题型，考查学生的创新思维和应变能力。

明与计算【备考建议】

1.扎实基础：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定方法是备考的基础,

要通过大量练习加深理解和记忆。

2.注重图形变换：理解并掌握平移、旋转、翻折等图形变换在四边形问题中的应用，提高

解题的灵活性。

3.强化综合训练：多做四边形与其他知识点相结合的综合题，提高综合运用数学知识解决

问题的能力。

4.培养创新思维：注重培养创新思维和应变能力，学会从不同角度分析问题，提高解决实

际问题的能力。

通过对中考数学四边形证明与计算考情的分析，可以看出，掌握基础知识、注重图形变

换、强化综合训练、培养创新思维是备考的关键。希望广大考生能够有针对性地进行复习，

取得优异成绩。

知识导图•思维引航

核心精讲•题型突破

考点一四边形的计算问题

真题研析

＞题型01与多边形有关的角度计算

1.（2024・山东威海•中考真题）如图，在正六边形4BCDEF中，AHIIFG,BI1AH,垂足为点I.若NEFG=20°,

贝IWB/=

2.（2024.山东烟台.中考真题）如图，在边长为6的正六边形4BCDEF中，以点尸为圆心，以FB的长为半径

作的，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为

3.（2024.四川德阳•中考真题）已知，正六边形ABCDEF的面积为6百，则正六边形的边长为（）

A.1B.V3C.2D.4

4.（2024・四川宜宾.中考真题）如图，正五边形2BCDE的边长为4,则这个正五边形的对角线AC的长

是.

＞题型02利用平行四边形的性质求解

5.（2024.海南.中考真题）如图，在回48CD中，AB=8,以点。为圆心作弧，交48于点M、N,分别以点

M、N为圆心，大于《MN为半径作弧，两弧交于点孔作直线。尸交4B于点E,若乙BCE=4DCE,DE=4,

则四边形BCDE的周长是（）

A.22B.21C.20D.18

6.（2024.黑龙江绥化.中考真题）如图，已知点4（—7,0）,B（x,10）,C（-17,y）,在平行四边形ABC。中，它

的对角线。8与反比例函数y=B（k40）的图象相交于点D,且。D:OB=1:4,贝心=.

7.（2024•浙江•中考真题）如图，在EIABC。中，AC,BD相交于点。，AC=2,BD=2W.过点A作4E1BC

的垂线交BC于点E,记BE长为无，8c长为》当尤，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

A.x+yB.x—yC.xyD.x2+y2

8.（2024.江苏徐州・中考真题）如图，在团4BCD中,AB=6,AD=10,4BAD=60°,P为边4B上的动点.连

接PC,将PC绕点P逆时针旋转60。得到PE,过点E作EFII4B,EF交直线4。于点F.连接PF、DE,分别取PF、

DE的中点M、N,连接MN,交力。于点Q.

（1）若点P与点B重合，则线段MN的长度为.

（2）随着点P的运动，MN与2Q的长度是否发生变化？若不变，求出MN与4Q的长度；若改变，请说明理由.

＞题型03利用矩形的性质求解

9.（2024・四川巴中・中考真题）如图，矩形力BCD的对角线AC与BD交于点。，DE14C于点E,延长DE与BC

交于点F.若=3,BC=4,则点F到BD的距离为

10.（2024•黑龙江大庆.中考真题）如图，在矩形48CD中，AB=10,BC=6,点M是48边的中点，点N

是力。边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90。，点N旋转到点N',则4MBN，周长的最小值为（）

B.5+5V5C.10+5V2D.18

11.（2024・四川南充・中考真题）如图，在矩形2BCD中，E为4。边上一点，^ABE=30°,将△4BE沿BE折

叠得AFBE,连接CF,DF,若CF平分/BCD,AB=2,贝|。尸的长为.

＞题型04利用菱形的性质求解

12.（2024•山东日照•中考真题）如图，在菱形4BCD中，4B=2,NB=120。，点。是对角线4C的中点，以

点。为圆心，。4长为半径作圆心角为60。的扇形OEF,点。在扇形。EF内，则图中阴影部分的面积为（）

C.合［D,无法确定

13.（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，在菱形4BCD中，^ABC=60°,AB=6,AC是一条对角线，E是AC

上一点，过点E作EF14B,垂足为F,连接若CE=4F,则DE的长为

14.（2024.四川德阳・中考真题）如图，在菱形4BCD中,^ABC=60°,对角线2C

与BD相交于点。，点F为BC的中点，连接4F与BD相交于点E,连接CE并延长交

4B于点G.

（1）证明：4BEFFBCO；（2）证明：4BEG三4AEG.

15.（2024四川凉山・中考真题）如图，在菱形ABCD中，乙4BC=60。，AB=2,

接AE,4E的垂直平分线MN交2E于点M,交BD于点N.连接EN,CN.

⑴求证：EN=CN；

⑵求2EN+BN的最小值.

＞题型05利用正方形的性质求解

16.（2024•江苏南通・中考真题）如图，在RtA48C中，^ACB=90°,AC=BC=

5.正方形DEFG的边长为小，它的顶点。，E,G分别在A/IBC的边上，则BG的长为

17.（2024.内蒙古呼伦贝尔.中考真题）如图，边长为2的正方形4BCD的对角线AC与BD相交于点0.E是BC

边上一点，F是BD上一点，连接D&EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则ABEF的周长是（）

A.2V2B.2+V2C.4-2V2D.V2

18.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）如图，正方形4BCD的顶点力，C在抛物线y=-/+4上，点。在y轴上.若

A,C两点的横坐标分别为?n,n（m>n>0）,下列结论正确的是（）

A.m+n=1B.m—n=lC.mn=1D.­=1

n

19.（2024・湖北武汉•中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是

由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形2BCD.直线MP交正方形4BCD的两

边于点E,F,记正方形4BCD的面积为&,正方形MNPQ的面积为S2.若BE=kAE（k>1）,则用含k的式

子表示称的值是_________.

20.（2024•天津.中考真题）如图,正方形4BCD的边长为3/，对角线AC,BD相交于点0,点E在C4的延长

线上，OE=5,连接DE.

E

R

BC

（1）线段ZE的长为；

（2）若F为DE的中点，则线段力尸的长为.

21.（2024•山东烟台・中考真题）如图，在正方形2BCD中，点E,尸分别为对角线8D,4C的三等分点，连接

4E并延长交CD于点G,连接EF,FG,若乙4GF=a,贝此凡4G用含a的代数式表示为（）

2222

＞题型06与特殊的平行四边形有关的折叠问题

22.（2024・湖北•中考真题）在矩形2BCD中，点E,尸分别在边力D,BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A

的对应点尸落在边CD上，点8的对应点为点G,PG文BC于点、H.

图1图2图3

（1）如图1,求证：ADEPs^cPH；

（2）如图2,当尸为CD的中点，AB=2,4。=3时，求G”的长；

（3）如图3,连接BG,当尸，”分别为CD,BC的中点时，探究BG与的数量关系，并说明理由.

23.（2024・安徽・中考真题）如图，现有正方形纸片4BCD,点E,尸分别在边力B,8C上，沿垂直于EF的直线

折叠得到折痕MN,点8,C分别落在正方形所在平面内的点出，。处,然后还原.

（1）若点N在边CD上，且NBEF=a,贝!]z.C，NM=（用含a的式子表示）；

（2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH,点G,“分别在边CD,4D上，点。落在正方形所在平面内的

点D'处，然后还原.若点。'在线段夕L上，且四边形EFGH是正方形，AE=4,EB=8,MN与GH的交点为

P,贝UP”的长为.

24.（2024・贵州贵阳.一模）综合与实践

（1）【操作发现】如图①，将正方形纸片4BCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点/处，折

痕为2E,再将纸片沿过点A的直线折叠，使4。与AM重合，折痕为力F,则NE4F的度数为二

（2）【拓展探究】如图②，在（1）的条件下，继续将正方形纸片沿EF折叠，点C的对应点恰好落在折痕力E上

的点N处，若力B=3,求线段。尸的长;

（3）【迁移应用】如图③，在矩形4BCD中，点E,尸分别在边BC,CD上，将矩形力BCD沿4E,4F折叠，点

8落在点〃处，点。落在点G处，点A,M,G恰好在同一直线上，若点尸为CD的三等分点=3,AD=5,

请求出线段BE的长.

＞题型07构建中位线求解

25.（2024・四川成都・中考真题）如图，在RtAABC中，ZC=90°,4D是△ABC的一条角平分线，E为4D中

点，连接BE.若BE=BC,CD=2,贝.

26.（2023•江苏南通・中考真题）如图，四边形4BCD的两条对角线AC,BD互相垂直，AC=4,BD=6,则

AD+8c的最小值是

27.（2025・上海闵行•一模）如图，点D、E分别是线段8C和AC的中点，4。、8£1交于点。，且力。1BE,BC=22,

AC=16,那么。。长是

A

E

BDC

.题型08与特殊平行四边形有关的规律探究问题

28.（2020•辽宁丹东•中考真题）如图，在矩形044/中，=3,AA1=2,连接。&,以。&为边，作矩

形OAI&BI使442=|。&，连接。4交于点C；以。&为边，作矩形O424B2，=IOA2,连接

。公交4B1于点Cl；以。&为边，作矩形CM344B3，使4344=|。43，连接。人4交力3B2于点。2；…按照这个

规律进行下去，贝必C2019c202042022的面积为.

29.（2020•辽宁.中考真题）如图，四边形4BCD是矩形，延长到点E,使4E=D4,连接EB,点6是CD的

中点，连接Ea,BFi，得到/E&B；点尸2是C&的中点，连接EF2，BF2,得到4EF2B；点F3是CF2的中点，

连接Ea，BF3,得到4E&B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形4BC。的面积等于2,则/E4B的面积

为.（用含正整数n的式子表示）

30.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形。MNP顶点M的坐标为（3,0）,

△04B是等边三角形,点B坐标是（1,0）,△04B在正方形。MNP内部紧靠正方形。MNP的边（方向为。-M-

NTPTOTMT…）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为4,4的坐标是（2,0）；第二次滚

动后，&的对应点记为4,4的坐标是（2,0）；第三次滚动后，4的对应点记为43,43的坐标是（3-日,》

如此下去，……，贝!!42024的坐标是

31.（2022・山东烟台・中考真题）如图，正方形ABCD边长为1,以AC为边作第2个正方形ACEF,再以CF

.题型09利用分类讨论思想解决特殊平行四边形计算问题

32.（2024嘿龙江牡丹江.中考真题）矩形ABCD的面积是90,对角线AC,BD交于点。，点E是边的三等

分点，连接DE,点P是OE的中点，OP=3,连接CP,贝UPC+PE的值为.

33.（2023•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形力BCD的顶点A,8在x轴上，=2,

4（1,0），^DAB=60°,将菱形4BCD绕点4旋转90。后，得到菱形ABiC/i，则点C】的坐标是.

方法指导

四边形边角对角线对称性

平行四边形对边平行且相等对角相等两条对角线互相平分中心对称图形

矩形对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等轴对称图形、中心对称

图形

菱形对边平行且四条边对角相等两条对角线互相垂直平分，且轴对称图形、中心对称

都相等每一条对角线平分一组对角图形

正方形对边平行且四条边四个角都是直角两条对角线互相垂直平分，且轴对称图形、中心对称

都相等每一条对角线平分一组对角图形

命题预测

1.（2025•陕西西安•一模）如图，正方形力BCD的边长为6,将正方形折叠，使顶点。落在BC边上的点E处,

折痕为GH.若点E恰好是BC的中点，则线段的长为（）

2.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，在RtAABC中，AACB=90°,tanzBXC=BC=2,力。=1,

线段力。绕点力旋转，点P为CD的中点，贝UBP的最大值是.

3.（2025•河北秦皇岛•一模）小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成

为图1所示形状，并测得AB=60。，接着活动学具成为图2形状所示，并测得乙4BC=90。，若图2中对角

A.10cmB.10V2cmC.10V3cmD.10V6cm

4.（2025•广东揭阳•一模）如图，四边形4BCD为平行四边形，E,尸分别为48和BC的中点，CE=5,=孩,

A.V33B.V34C.V35D.V37

5.（2025・上海徐汇•模拟预测）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形48CD,连接北，则tan/CAB=

（）

6.（2025•广西•模拟预测）如图，反比例函数y=（x<0）的图象经过平行四边形4BC。的顶点4。。在工轴

上，若点B（-l,3）,S&ABC0=3,则实数k的值为（）

7.（2025•江苏无锡・一模）如图，在矩形48CD中，AB=16,BC=12,点E在8C上，CE=4,若P、Q分

别为边CD与48上两个动点，线段PQ始终满足与4E垂直且垂足为F,则2P+QE的最小值

8.（2025•陕西•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形力BC。的顶点。与坐标原点重合，点4、C分

别在反比例函数y=，（备片0）与y=§也2丰0）的图象上，则七+电的值为.

9.（2025・陕西•模拟预测）如图，在菱形4BCD中，zS=60°,AB=4,。为菱形4BCD的对称中心，过点。的

直线EF交4D于点E,交BC于点F,M为CD上的一点，连接0M.若CM+CF=5,则四边形。EDM的面积为

10.（2025•陕西西安・二模）如图，直线呜正五边形2BCDE的边CD,4B分别相交于点M、N,则N1+N2的

度数为.

11.（2025•江西•模拟预测）如图，正方形4BCD中，将线段4。绕点A顺时针旋转30。得到线段力E,CE的延

长线交正方形2BCD的对角线8。于点F,贝吐2EF的度数为.

12.（2025•陕西西安•一模）（1）如图1,四边形4BCD的对角线力C,BD互相垂直，其中对角线BD长为20cm,

AC长为15cm,垂足为E.则四边形ABC。的面积为cm2.

（2）如图2,矩形4BCD中4D=6cmMB=4cm,EF||4D,点G,H分别是BC,AD上任一点，求四边形EGF”

的面积.

（3）如图3,四边形力BCD放在了一组平行线中，己知BD=6cm,四边形4BCD的面积为24cm2,则相邻两

条平行线间的距离为多少厘米.

图3

13.（2025•陕西西安•一模）综合与探究：

问题情境：如图1,四边形力BCD是菱形，过点2作4E1BC于点E,过点4作4F1CD于点F.

深入探究：

（2）将图1中的aABE绕点4逆时针旋转，得到△4HG,点E,8的对应点分别为点G,H.

①如图2,当线段4H经过点C时，GH所在直线分别与线段4。，CD交于点M,N.猜想线段CH与MD的数量

关系，并说明理由；

②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线力。，CD交于点M,N,直线与线段CD交于点Q,若

AB=5,BE=4,求四边形4MNQ的面积.

14.（2025•广东深圳•三模）【问题提出】

(1)如图1,在矩形4BCD中，点E,F分别是边力0,4B上的点，连接CE与DF交于点。，若NF0C=90。,

［、.、-pCEAB

求证：而

AD

【迁移应用】

(2)如图2,在回ABC。中，AB=4,AD=7,点、E,尸分别是边4。，48上的点，连接CE与。F交于点0,

且NC。。+乙BAD=180°,求空的值；

DF

【拓展提高】

(3)如图3,在四边形2BCD中，点E是边4D上的一点，连接BD与CE交于点0/B0C=NB4D=ABCD=120°,

S=rS=r请直接写出需的值•

考点二四边形的证明问题

真题研析

＞题型01利用平行四边形的性质与判定求解

1.(2024•黑龙江大庆•中考真题)如图，平行四边形力BCD中，AE、CF分别是NBA。，4BCD的平分线，且E、

尸分别在边BC,AD1..

(1)求证：四边形4ECF是平行四边形;

(2)若4WC=60。，DF=2AF=2,求AGDF的面积.

2.(2024・福建•中考真题)如图，在△ABC中，ABAC=90°,AB^AC,以A8为直径的。。

交BC于点D,AE1OC,垂足为E,BE的延长线交的于点F.

⑴求器的值；

AE

(2)求证：&AEBFBEC；

(3)求证：4□与EF互相平分.

3.(2024・安徽・中考真题)如图1,回48CD的对角线4C与BD交于点O,点M,N分别在边4D,BC上,且4M=

CN.点、E,尸分别是BD与AN,CM的交点.

图1图2

(1)求证：OE=OF；

(2)连接BM交AC于点H,连接HE,HF.

(i)如图2,若HEIMB,求证：HF\\AD；

乙EHF=60°,求生的值.

(ii)如图3,若EMBCD为菱形，且MD=2AM,BD

＞题型02与三角形中位线有关的证明

4.(2024•内蒙古包头•中考真题)如图，在回ABCD中，乙4BC为锐角，点E在边力。上，连接BE,CE,且S-BE=

SAOCE•

(1)如图1,若F是边BC的中点，连接EF,对角线4C分别与BE,EF相交于点G,”.

①求证：H是4C的中点；

②求4G:GH:HC；

(2)如图2,BE的延长线与CD的延长线相交于点M,连接力的延长线与2M相交于点N.试探究线段AM与

线段4N之间的数量关系，并证明你的结论.

5.(2023•山东潍坊・中考真题)如图，在△ABC中，CD平分N2CB,AE1CD,重足为点E,过点E作EF||BC、

交AC于点?G为8c的中点，连接FG.求证：FG=\AB.

6.（2023•山西・中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.

瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1,在四边形2BCD中，点E,F,G,”分别是边力B,BC,CD,D4的中点，顺次连接E,F,G,H,

得到的四边形EFGH是平行四边形.

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里

尼翁”ar讥gnon,Pierrel654—1722）是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.

③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下:

证明：如图2,连接力C,分别交E”,FG于点P,Q,过点。作DM1AC于点M,交HG于点N.

•..”,6分别为4。,8的中点，：.HG||AC,HGAC.（依据1）

:喘=擞,：DG=GC,：.DN=NM=1DM.

,四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，IIGF,即HP||GQ.

'：HG||AC,即”G||PQ,

二四边形"PQG是平行四边形.（依据2）.•.S©HPQG="G-MN=gHG-DM.

'：SLADC=\AC-DM=HG-DM,：.SWPQG=\sLADC.同理，…

任务：⑴填空：材料中的依据1是指:

依据2是指：_____________

(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH,使得四边形EFG”为

矩形；(要求同时画出四边形28CD的对角线)

(3)在图1中，分别连接得到图3,请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线力C,BD长度的关

系，并证明你的结论.

＞题型03利用矩形的性质与判定求解

7.(2024•山东青岛.中考真题)如图，在四边形力BCD中，对角线2C与BD相交于点O,/.ABD=^CDB,BELAC

于点E,。尸14。于点兄S.BE=DF.

A

(1)求证：四边形48CD是平行四边形；

(2)若48=8。，当乙4BE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时器的值.

8.(2023•浙江湖州•中考真题)【特例感知】

(1)如图1,在正方形28CD中，点尸在边4B的延长线上，连接PD,过点。作。M1PD,交BC的延长线

于点M.求证：ADAPwADCM.

【变式求异】

(2)如图2,在RtZkABC中，ZXBC=90°,点。在边力B上，过点。作DQ1AB,交力C于点。，点P在边

4B的延长线上，连接PQ,过点。作QM1PQ,交射线BC于点已知BC=8,AC=10,AD=2DB,求

鄢值•

【拓展应用】

(3)如图3,在RtA48C中，NB4C=90。，点尸在边4B的延长线上，点。在边力C上(不与点A,C重合)，

连接PQ，以。为顶点作NPQM=乙PBC,NPQM的边QM交射线BC于点M.若4c=mAB,CQ=nAC(m,

”是常数)，求婴的值(用含机，〃的代数式表示).

图1图2图3

9.（2025・陕西西安•二模）（1）如图1,在RtAABC中，AACB=90°,BC=4,AC=3,点。是BC上的一

个点，沿AD折叠后，点C恰好落在上的点C'处，求四边形4CDC'的面积.

图2

(2)如图2,在矩形48CD中，4。=20,AB=22,点E为边力。上一动点，作EF1BC于点R连接EB,EC,

分别作点尸关于BE、EC的对称点G、H,连接BG、CH、GH,当四边形BGHC的面积最小时，求BF的长.

＞题型04利用菱形的性质与判定求解

10.(2023•黑龙江哈尔滨•中考真题)已知四边形4BCD是平行四边形，点E在对角线8。上，点尸在边8C上,

连接4E,EF,DE=BF,BE=BC.

图①图②

(1)如图①，求证△4EDmAEFB；

(2)如图②，若=AE去ED,过点C作CHIME交BE于点H,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写

出图②中四个角(NB4E除外)，使写出的每个角都与NB2E相等.

11.(2023・湖南益阳・中考真题)如图，线段4B与。。相切于点8,4。交。。于点其延长线交。。于点

C,连接BC,乙48c=120。，。为。。上一点且阿的中点为M,连接ZD,CD.

⑴求乙4c8的度数；

(2)四边形2BCD是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；

(3)若AC=6,求C0的长.

12.(2023•吉林・中考真题)【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的

部分构成一个四边形转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形其中判定的依据是

【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条2BCD和EFG”(AB<BC,FG<BC),其中AB=EF,

Z.B=Z.FEH,将它们按图②放置，EF落在边BC上，FG,与边AD分别交于点N.求证：团EFMN是

菱形.

【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条力BCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，且EF始

终在边上.当MD=MG时，延长CD,HG交于点P,得到图③.若四边形ECPH的周长为40,sinzEFG=1

>题型05利用正方形的性质与判定求解

13.(2024・贵州・中考真题)综合与探究：如图，^AOB=90°,点P在N40B的平分线上，P4104于点A.

(1)【操作判断】

如图①，过点P作PCIOB于点C,根据题意在图①中画出PC,图中N4PC的度数为度；

(2)【问题探究】

如图②，点M在线段2。上，连接PM,过点P作PN1PM交射线0B于点N,求证：。"+ON=2P4；

(3)【拓展延伸】

点M在射线40上，连接PM,过点P作PN1PM交射线0B于点N,射线NM与射线P。相交于点R若。N=

30M,求字的值.

(1)如图1,连接BE,DE.求证：△ABE三△ADE；

(2)如图2,F是DE延长线上一点，。F交2B于点G,BFLBE.判断△FBG的形状并说明理由；

(3)在第(2)题的条件下，BE=BF=2.求党的值.

AD

15.(2025•山东临沂•一模)【问题情境】

如图1,在矩形4BCD中，E是边AB上的一点，过点D作DF1CE,过点D作DG1DF,过点A作

AG1DG,且AG=CF.

【基础探究】

(1)判断图1中四边形4BCD的形状，并说明理由；

【深入探究】

(2)如图2,当E在BA延长线上时，其他条件不变，请写出4口,FH,CF之间的数量关系，并证明；

【拓展迁移】

(3)如图3,在(2)的条件下，连接BH,HD,当E在B4延长线上的位置发生改变时，判断NBHD的

大小是否发生变化，请说明理由.

16.（2022•四川攀枝花•中考真题）如图，以△A8C的三边为边在BC上方分别作等边△ACD.AABE、△8CF.且

点A在ABCF内部.给出以下结论：①四边形4DFE是平行四边形；②当NB2C=150。时，四边形4DFE是

矩形；③当4B=AC时，四边形ADFE是菱形；④当4B=4C,且ABAC=150。时，四边形2DFE是正方形.

其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）.

17.（2022•山东泰安・中考真题）如图，平行四边形4BCD的对角线AC,BD相交于点。.点E为BC的中点，

连接E。并延长交2D于点F,4ABC=60°,BC=2X5.下歹！J结论：®AB1AC；®AD=4OE；③四边形4ECF

是菱形；④SABOE=2B「其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

18.（2024•山东东营.中考真题）如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点。，X为48延长线上的一点，且

BH=BD,连接。H,分别交AC,BC于点、E,F,连接BE,则下列结论：①仁=坐；②tanzH=VI—1；

BF2

③BE平分乙CBD；④2aB2=DE•DH.

DC

其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

19.（2023•山东日照•中考真题）如图，矩形48CD中,4B=6,AD=8,点尸在对角线BD上，过点P作MN1BD,

交边AD,BC于点M,N,过点M作ME14D交BD于点E,连接EN,BM,DN.下列结论：①EM=EN；

②四边形MBND的面积不变；③当=1:2时，SAMPE=~④+MN+ND的最小值是20.其中

所有正确结论的序号是.

20.（2023•内蒙古赤峰•中考真题）如图，把一个边长为5的菱形2BC0沿着直线DE折叠，使点C与延长

线上的点。重合.DE交BC于点F,交4B延长线于点E.DQ交BC于点、P,DM14B于点M,AM=4,则

下列结论，①DQ=EQ,②BQ=3,③BP=9,@BD||FQ.正确的是（）

8

DC

AMBQE

A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④

＞题型07特殊平行四边形与函数综合

21.（2024.四川宜宾.中考真题）如图，一次函数.y-ax+b（a0）的图象与反比例函数y=H0）的图

象交于点4（1,4）、

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)利用图象，直接写出不等式a光+b的解集；

X

(3)已知点。在x轴上，点C在反比例函数图象上.若以A、B、C、。为顶点的四边形是平行四边形，求点

C的坐标.

22.(2024•山东威海.中考真题)如图，在菱形48CD中，AB=10cm,乙ABC=60。，E为对角线2C上一动点，

以DE为一边作NDEF=60。，EF交射线BC于点F,连接BE,DF.点E从点C出发，沿C4方向以每秒2cm的

速度运动至点4处停止.设ABEF的面积为ycm2,点E的运动时间为x秒.

(1)求证：BE=EF；

(2)求y与尤的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

(3)求%为何值时，线段DF的长度最短.

23.(2024・广东•中考真题)【问题背景】

如图1,在平面直角坐标系中，点B,D是直线y=ax(a>0)上第一象限内的两个动点(0。>。8),以线段

BD为对角线作矩形4BCD,轴.反比例函数y=右的图象经过点儿

【构建联系】

(1)求证：函数y=g的图象必经过点C.

(2)如图2,把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点8的坐标为(1,2)时，

求左的值.

【深入探究】

(3)如图3,把矩形4BCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E,A重合时，连接2C交BD于点P.以点

。为圆心，4C长为半径作。。.若。P=3a,当。。与△ABC的边有交点时，求上的取值范围.

24.(2024・重庆・模拟预测)如图，四边形4BCD是边长为9的菱形，入4=60。,动点P、Q分别以每秒3个单

位长度的速度同时从点4出发，点P沿折线ATD—C方向运动，点Q沿折线ATB—C方向运动，当两点相

遇时停止运动.设运动时间为t秒，点P、Q两点间的距离为y.

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(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围;

(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质;

(3)结合函数图象，直接写出点P