2025年济南章丘区九年级中考数学一模考试试题（含答案）

济南市章丘区2025年初中学业水平考试数学模拟试题（一）本试题分选择题和非选择题两部分。选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分。本试题共8页，满分为150分。考试时间120分钟。本考试不允许使用计算器。选择题部分共40分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）1.实数2,0,−3,−0.4中，最小的数是（）A.2B.0C.−3D.−0.42.我国自主研发的C919国产大飞机已获多国适航认证。C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（）A.0.186×105B.1.86×105C.18.6×104D.186×1033.一副三角板按如图所示摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠E=60°，点A在边EF上，点D在边BC上，AC与DF相交于点G，且BC∥EF，则∠DGC度数是（）A.100°B.105°C.110°D.125°4.实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（）A.ab<0B.a+b>0C.∣a∣>∣b∣D.a+1<b+15.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）6.下列计算正确的是（）A.4a3−3a2=a2B.(a−b)2=a2+b2C.(−a)3·a4=a7D.(−2a2b3)3=−8a6b97.若关于x的一元二次方程kx2+2x−3=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A.k>13B.k≥13C.k≤13且k≠0D.k≥−18.如图，湖边建有A，B，C，D共4座凉亭，从入口处进，先经过凉亭A（已经参观过的凉亭，再次经过时不作停留），则最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为（）A.14B.13C.129.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD交于点N，连接ON。若AB=9，AC=5，则ON的长为（A.2B.52C.4D.10.对于代数式A、B，定义一种新运算：A⊗B=2A2−AB+B.①若(x+1)⊗5=5，则x=−1或32②若x1、x2是一元二次方程(x−1)⊗(x+2)=4的两个根，则x12+x22=12；③若二次函数y=x⊗(x−2)在−3≤x≤a内有最小值−174，则a=−3④若y=∣3⊗(x2+1)∣的函数图象与直线y=x+2b有两个交点，则−2<b<2；以上结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4非选择题部分共110分二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.若分式x212.如图，小南向图中4×4的正方形网格内随意放一枚棋子，使之落在阴影部分的概率为______。13.如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，点C，D分别在OA，弧AB上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，弧AD的长为π，则图中阴影部分的面积为______。14.A，B两地相距40km，甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以12km/h的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲、乙两人离A地的距离S(km)与时间t(h)的关系如图所示，则甲出发______小时后与乙相遇。15.在矩形ABCD中，ABBC=23，M、N分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边上的点F处，得到四边形EFNM，连接DE，若折痕MN=210，tan∠EMD=三、解答题（本大题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分7分）计算：8+2cos60°−∣1−2∣−(12)−1+(π−1)17.（本小题满分7分）解不等式组：4(x﹣18.（本小题满分7分）如图，平行四边形ABCD中，E，F是直线AC上两点，且AE=CF。求证：DF=BE。19.（本小题满分8分）如图1是某公交车的站台，主要由顶棚，站牌，底座构成。图2是其截面示意图，站牌截面是矩形ABCD，边AD平行于地面MN，边CD竖直于地面MN，顶棚AE与站牌上端AD的夹角∠DAE=22°，底座CF与地面的夹角∠CFM=60°。经测量AE=195cm，AD=49cm，CD=166.7cm，CF=76cm。（1）求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离；（2）求棚顶边缘点E到地面的距离。（结果精确到1cm，参考数据：sin22°≈0.374，cos22°≈0.926，tan22°≈0.404，3≈1.73）20.（本小题满分8分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD。过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线CE与AB交于点F。（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）当BD=6，sinF=3521.（本小题满分9分）为了让学生紧跟信息时代步伐，提升信息技术素养，某校组织了一次全校2000名学生参加的“AI知识竞赛”，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分。为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中部分学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答下列问题：（1）随机抽取的学生数量为______，a=______，b=______；（2）请补全频数分布直方图；（3）若将成绩按上述分段方式画扇形统计图，则分数段70≤x<80对应的扇形的圆心角为______度；（4）这次比赛成绩的中位数会落在______分数段；（5）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优良”等，则该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优良”等约有多少人？22.（本小题满分10分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩。已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等。（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？23.（本小题满分10分）我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B的周长和面积都是矩形A的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”。【概念辨析】（1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”；②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______；【深入探究】（2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（x＞0，y＞0），依题意x+y=10，xy=12则y=−x+10，y=12x，在图1的平面直角坐标系中作出一次函数l1：y=﹣x+10和反比例函数y=12的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”。那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由；（3）①如果长为x，宽为y（x＞0，y＞0）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象；②直接写出周长为20的“完美矩形”的长（结果保留根号）。24.（本小题满分12分）抛物线y=ax2−2x+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），D是抛物线的顶点。（1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标。（2）如图1，线段BC下方抛物线上是否存在一点E，使S△BCE=13S四边形ACEB（3）如图2，P是抛物线第二象限上的点，连接PB，BD。当∠PBA=2∠CBD时，求点P的坐标。25.（本小题满分12分）【问题背景】已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC，则△ABC∽△ADE，把△ADE绕着点A逆时针方向旋转，连接BD和CE。如图2，找出图中的另外一组相似三角形；并加以证明。【迁移应用】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=5，D、E、M分别是AB、AC、BC中点，连接DE。①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系：、______；②把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接CD和CE，取CD中点N，连接MN，若CE=3，求MN的长。【创新应用】如图6：AB=AC=AE=25，BC=4，△ADE是直角三角形，∠DAE=90°，将△ADE绕着点A旋转，连接BE，F是BE上一点，BFBE=2答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）1.实数2,0,−3,−0.4中，最小的数是（C）A.2B.0C.−3D.−0.42.我国自主研发的C919国产大飞机已获多国适航认证。C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（B）A.0.186×105B.1.86×105C.18.6×104D.186×1033.一副三角板按如图所示摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠E=60°，点A在边EF上，点D在边BC上，AC与DF相交于点G，且BC∥EF，则∠DGC度数是（B）A.100°B.105°C.110°D.125°4.实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（C）A.ab<0B.a+b>0C.∣a∣>∣b∣D.a+1<b+15.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（D）6.下列计算正确的是（D）A.4a3−3a2=a2B.(a−b)2=a2+b2C.(−a)3·a4=a7D.(−2a2b3)3=−8a6b97.若关于x的一元二次方程kx2+2x−3=0有两个实数根，则k的取值范围是（D）A.k>13B.k≥13C.k≤13且k≠0D.k≥−18.如图，湖边建有A，B，C，D共4座凉亭，从入口处进，先经过凉亭A（已经参观过的凉亭，再次经过时不作停留），则最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为（B）A.14B.13C.129.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD交于点N，连接ON。若AB=9，AC=5，则ON的长为（A.2B.52C.4D.10.对于代数式A、B，定义一种新运算：A⊗B=2A2−AB+B.①若(x+1)⊗5=5，则x=−1或32②若x1、x2是一元二次方程(x−1)⊗(x+2)=4的两个根，则x12+x22=12；③若二次函数y=x⊗(x−2)在−3≤x≤a内有最小值−174，则a=−3④若y=∣3⊗(x2+1)∣的函数图象与直线y=x+2b有两个交点，则−2<b<2；以上结论正确的个数是（B）A.1B.2C.3D.4非选择题部分共110分二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.若分式x2﹣912.如图，小南向图中4×4的正方形网格内随意放一枚棋子，使之落在阴影部分的概率为___3813.如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，点C，D分别在OA，弧AB上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，弧AD的长为π，则图中阴影部分的面积为__6π﹣33____。14.A，B两地相距40km，甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以12km/h的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲、乙两人离A地的距离S(km)与时间t(h)的关系如图所示，则甲出发___351215.在矩形ABCD中，ABBC=23，M、N分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边上的点F处，得到四边形EFNM，连接DE，若折痕MN=210，tan∠EMD=34三、解答题（本大题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分7分）计算：8+2cos60°−∣1−2∣−(12)−1+(π−1)=22+1+1﹣2﹣2+1=2+117.（本小题满分7分）解不等式组：4(x﹣解不等式①得x≥﹣2解不等式②得x＜1不等式组解为﹣2≤x＜1整数解为﹣2.﹣1，018.（本小题满分7分）如图，平行四边形ABCD中，E，F是直线AC上两点，且AE=CF。求证：DF=BE。证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=DC,AB//CD∴∠ACD=∠CAB在△CFD和△AEB中，CD=AB∴△CFD≌△AEB(SAS)∴DF=BE19.（本小题满分8分）如图1是某公交车的站台，主要由顶棚，站牌，底座构成。图2是其截面示意图，站牌截面是矩形ABCD，边AD平行于地面MN，边CD竖直于地面MN，顶棚AE与站牌上端AD的夹角∠DAE=22°，底座CF与地面的夹角∠CFM=60°。经测量AE=195cm，AD=49cm，CD=166.7cm，CF=76cm。（1）求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离；（2）求棚顶边缘点E到地面的距离。（结果精确到1cm，参考数据：sin22°≈0.374，cos22°≈0.926，tan22°≈0.404，3≈1.73）(1）过点E作EG⊥MN于点G，过点D作DH⊥EG于点H∵∠DAE=22°,AE=195cm∴AH=AE·cos∠DAE≈195x0.926≈181(cm)∴DH=AH-AD=181-49=132(cm)答：站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离为132cm;(2）过点C作CP⊥EG于点P,CK⊥MN于点K∴CD=HP=166.7,CK=PG∵∠DAE=22°,AE=195cm∴EH=AE·sin∠DAE≈195x0.374≈72.9(cm)∵∠CFM=60°,CF=76cm∴PG=CK=CK·sinLCFM≈76x32=∴EH+HP+PG=72.9+166.7+65.7≈315(cm)答：棚顶边缘点E到地面的距离为305cm.20.（本小题满分8分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD。过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线CE与AB交于点F。（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）当BD=6，sinF=35(1）证明：连接OC.∵OA=OC∴∠1=∠2.又∵∠3=∠1+∠2∴∠3=2∠1.又∵∠4=2∠1∴∠4=∠3∴OC∥DB∵CE⊥DB∴OC⊥CF又∵OC为⊙O的半径∴CF为⊙O的切线（2）连接AD∵AB是直径∴∠ADB=90°∴∠ADB=∠FED∴CF//AD∴∠BAD=∠F∴sin∠BAD=sinF=BDAB=∴AB=53∴OB=OC=5∵OC⊥CF∴∠OCF=90°∴sin∠F=OCOF=解得：OF=25∴BF=OF-OB=253-5=21.（本小题满分9分）为了让学生紧跟信息时代步伐，提升信息技术素养，某校组织了一次全校2000名学生参加的“AI知识竞赛”，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分。为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中部分学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答下列问题：（1）随机抽取的学生数量为______，a=______，b=______；（2）请补全频数分布直方图；（3）若将成绩按上述分段方式画扇形统计图，则分数段70≤x<80对应的扇形的圆心角为______度；（4）这次比赛成绩的中位数会落在______分数段；（5）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优良”等，则该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优良”等约有多少人？∵50≤x<60的频数为10，频率为0.05∴抽取的样本容量为：10÷0.05=200∴a=200x0.3=60,b=30200(2）略(3):70≤x<80对应的频率是0.15,分数段70≤x<80对应的扇形的圆心角为：360x0.15=54°(4）样本容量是200，根据频数分布直方图可知从小到大排列后，第100个和第101个数据都在80≤x<90这个范围，∴这次比赛成绩的中位数会落在80≤x<90分数段该校参加这次比赛的2000名学生中成绩"优良"等约有：2000x(0.3+0.4)=1400（人）答：该校参加这次比赛的2000名学生中成绩"优良"等约有1400人．22.（本小题满分10分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩。已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等。（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？解：(1）设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是（x+0.2）万元，由题意，得16x+0.2=解得x=0.6经检验，x=0.6是原方程的解，且符合题意∴x+0.2=0.6+0.2=0.8.答：甲型充电桩的单价是0.8万元，乙型充电桩的单价是0.6万元；设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为（15-m）个，由题意，得15-m≤2m解得m≥5设所需费用为w万元，由题意，得w=0.8m+0.6x(15-m)=0.2m+9∵0.2>0,∴w随m的增大而增大∴当m=5时，w取得最小值为0.2x5+9=10（万元）.答：购买这批充电桩所需的最少总费用为10万元．23.（本小题满分10分）我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B的周长和面积都是矩形A的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”。【概念辨析】（1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”；②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______；【深入探究】（2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（x＞0，y＞0），依题意x+y=10，xy=12则y=−x+10，y=12x，在图1的平面直角坐标系中作出一次函数l1：y=﹣x+10和反比例函数y=12的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”。那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由；（3）①如果长为x，宽为y（x＞0，y＞0）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象；②直接写出周长为20的“完美矩形”的长（结果保留根号）。(1)①边长为4的正方形的周长和面积均为16,故该正方形为"完美矩形"②由新定义知，矩形A的周长是12，面积是8，它的"2倍契合矩形"的周长24，面积为16（2）存在理由：从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在"2倍契合矩形",联立两个函数表达式得：-x+10=12解得：x=5+13或5-13（舍去）即矩形的长为：5+13(3)①画出函数的图象．由题意得，矩形的周长为2x+2y，面积为xy,则2x+2y=xy,即y=2x②长为x，宽为y(x>0,y>0）的矩形是一个"完美矩形"的周长为20，则x+y=10即y=-x+10在①的图象中，函数y=-x+10的图象，两个函数的交点为：2.9和7.2（答案不唯一）,则周长为