2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版2024）专题7.1 不等式的基本性质【十大题型】（举一反三）（沪科版2024）（解析版）

专题7.1不等式的基本性质【十大题型】【沪科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【题型1不等式的概念】 1【题型2不等式的实际应用】 3【题型3不等式的解集】 4【题型4根据不等式的基本性质判断不等式的正误】 6【题型5根据不等式的性质比较大小】 8【题型6不等式的性质与数轴的综合运用】 10【题型7根据不等式的解集求参数的取值范围】 13【题型8根据不等式的性质求代数式的取值范围】 14【题型9根据不等式的性质求最值】 17【题型10利用不等式的性质进行证明】 19知识点1：不等式及其解集①不等式：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式.②不等式的解：使不等式成立的未知数的值，都叫做不等式的解③不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.【题型1不等式的概念】【例1】（23-24七年级·贵州六盘水·期中）下列式子：①3<5；②x>0；③2x≠3；④a=3；⑤2a+1；⑥1−x5>1；其中是不等式的有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】本题考查了不等式的定义，有理数的大小比较，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．根据不等式的定义，逐一判断即可解答．【详解】解：下列式子：①3<5；②x>0；③2x≠3；④a=3；⑤2a+1；⑥1−x5故选：B．【变式1-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期末）某发酵乳的包装瓶上标注“每100克含钙>87毫克”，它的含义是（

）A．每100克含钙高于87毫克 B．每100克含钙低于87毫克C．每100克含钙不低于87毫克 D．每100克含钙不超过87毫克【答案】A【分析】本题考查不等式的定义，根据不等式的定义求解即可．【详解】解：“每100克含钙>87毫克”的含义是每100克含钙高于87毫克，故选：A．【变式1-2】（23-24七年级·山东淄博·期末）若x+y□5是不等式，则符号“□”不能是（

）A．− B．≤ C．> D．<【答案】A【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义判断即可．熟练掌握用符号“>”或“<”表示大小关系的式子，叫做不等式，像a+2≠a−2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．【详解】解：∵x+y≤5，x+y>5，x+y<5都是不等式，∴选项B，C，D都不符合题意；∵x+y−5不是不等式，∴选项A符合题意．故选：A．【变式1-3】（23-24七年级·湖南娄底·期末）对于下列结论：①x为自然数，则x>1；②x为负数，则x<0；③x不大于10，则x>10；④m为非负数，则m≥0，正确的有．【答案】②④/④②【分析】根据自然数定义即可判断①，根据负数定义即可判断②，不大于10，即小于或等于可判断③，根据非负数定义即可判断④．【详解】解：x为自然数，则x≥0，错误，不合题意；②x为负数，则x<0，正确，符合题意；③x不大于10，则x≤10，错误，不合题意；④m为非负数，则m≥0，正确，符合题意；故答案为：②④．【点睛】本题考查了列不等式的知识，正确理解负数定义，非负数定义，自然数定义，不大于即小于或等于．【题型2不等式的实际应用】【例2】（23-24七年级·山西晋中·期中）2024年2月25日，国家粮食和物资储备局发布消息称，全国累计收购秋粮超1.5亿吨．若用x（亿吨）表示我国今年秋粮收购的数量，则x满足的关系为（）A．x≥1.5 B．x>1.5 C．x≤1.5 D．x<1.5【答案】B【分析】本题考查了不等式，熟练掌握不等式的定义，理解题干中“超1.5亿”即“大于1.5亿”是解题的关键．根据不等式的定义解答即可．【详解】解：根据题意得：x>1.5，故选：B．【变式2-1】（23-24七年级·四川宜宾·期末）如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义．【答案】V≤5【分析】本题考查列不等式．正确的识图，是解题的关键．根据题意，列出不等式即可．【详解】解：由图可知：V≤5；故答案为：V≤5．【变式2-2】（23-24七年级·甘肃武威·开学考试）针织衫洗涤要求：水温不高于30°C．根据以上信息，写出一个关于温度x°C【答案】x≤30【分析】此题主要考查不等式的定义．根据“水温不高于30°C”可以写为x≤30【详解】解：根据“水温不高于30°C”可以写为x≤30故答案为：x≤30．【变式2-3】（23-24七年级·山东淄博·期末）一种药品的说明书上写着：“每日用量60~120mg，分3~4次服用”，一次服用这种药品的有效剂量不可以为（

A．12mg B．18mg C．24mg【答案】A【分析】本题考查的是不等式的定义，本题需注意应找到每天服用60mg时4次每次的剂量；每天服用120mg【详解】解：根据题意，由“每日用量60~120mg，分3~4用60÷4=15（mg/次），120÷3=40（mg/次）得到一次服用这种药的剂量为：15mg则12mg故选：A．【题型3不等式的解集】【例3】（23-24七年级·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（

）A．x=1是不等式3x>5的解 B．x=2是不等式3x>5的唯一解C．x=2是不等式3x>5的解集 D．x=2是不等式3x>5的一个解【答案】D【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，x=a(a是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案．【详解】解：解不等式3x>5，可得x>5A.由于x=1<53，故x=1不是不等式B.由于x=2>53，故x=2是不等式C.由于x=2>53，故x=2不是不等式D.由于x=2>53，故x=2不是不等式故选D．【变式3-1】（23-24七年级·江苏泰州·期末）若x=1是某不等式的一个解，则该不等式可以是（

）A．x>2 B．x>3 C．x<3 D．x<1【答案】C【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可．【详解】解：A、x>2中不包含x=1，不符合题意；B、x>3中不包含x=1，不符合题意；C、x<3中包含x=1，符合题意；D、x<1中不包含x=1，不符合题意；故选：C．【变式3-2】（23-24七年级·广东揭阳·期中）请写出一个关于x的不等式，使−2，3都是它的解．【答案】x<4（答案不唯一）【分析】本题主要考查不等式的解集．由−2，3均小于4可得x<4．【详解】解：由−2，3均小于3可得x<4，所以符合条件的不等式可以是x<4，故答案为：x<4（答案不唯一）．【变式3-3】（23-24七年级·湖南·期中）已知当x≥3时x的最小值为a，当x≤−4时x的最大值为b，则ab=.【答案】−12【分析】本题主要考查了不等式的解，根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵当x≥3时x的最小值为a，当x≤−4时x的最大值为b，∴a=3，∴ab=3×−4故答案为：−12．知识点2：不等式的基本性质不等式的性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变.用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c.不等式的性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.用式子表示：如果a＞b，c＞0,那么ac＞bc.不等式的性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.用式子表示：如果a＞b，c＜0,那么ac＜bc.【题型4根据不等式的基本性质判断不等式的正误】【例4】（23-24七年级·宁夏银川·期末）若3x>−3y，则下列不等式中一定成立的是（

）A．x−y>0 B．x+y>0 C．−x2>【答案】B【分析】本题考查不等式的性质．不等式的基本性质：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，由此即可得到答案．【详解】解：∵3x>−3y，∴x>−y，∴x+y>−y+y，∴x+y>0．故选：B．【变式4-1】（16-17七年级·云南红河·阶段练习）若m>−1，则下列各式中错误的是（

）A．6m>−6 B．m+1>0 C．−5m<−5 D．1−m<2【答案】C【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分析判断即可．【详解】解：A、在m>−1两边都乘上6可得，6m>−6，故选项正确，此选项不符合题意；B、在m>−1两边都加上1可得，m+1>0，故选项正确，此选项不符合题意；C、在m>−1两边都乘上−5可得，−5m<5，故选项错误，此选项符合题意；D、根据不等式性质3可知，m>−1两边同乘以−1时，可得−m<1，两边都加上1可得1−m<2，故选项正确，此选项不符合题意．故选：C．【变式4-2】（23-24七年级·重庆江津·期末）若m<n<0，p>0，则下列各式中正确的是（）A．m−p>n−p B．m+p>p+n C．mn<pn D．m【答案】D【分析】考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的3个基本性质是解题的关键．根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【详解】解：若m<n<0，p>0，A．m−p<n−p，故A错误；B．m+p<n+p，故B错误；C．mp<pn，不能得出mn<pn，故C错误；D．mp故选：D．【变式4-3】（23-24七年级·福建厦门·期末）如果a>b，m<−1，那么下列不等式不成立的是（）A．ma<mb B．am2>bm2【答案】D【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质定理是解题的关键，注意不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的方向发生改变．本题根据不等式的两条性质即可得出答案．【详解】解：A、根据“不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向发生改变”，可得am<mb，故原题正确，不符合题意；B、根据“不等式的两边同时除以同一个正数，不等号的方向不发生改变”，可得amC、根据“不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不发生改变”，可得a+m>b+m，故原题正确，不符合题意；D、a+m与b−m，无法判断大小，故原题错误，符合题意．故选：D．【题型5根据不等式的性质比较大小】【例5】（2024七年级·江苏·专题练习）比较大小：已知m>n，则−2m+1−2n+1．【答案】<【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的三个性质是关键．由不等式的性质：两边同时乘以−2得−2m<−2n，两边同时加1得−2m+1<−2n+1．【详解】解：∵m>n，∴−2m<−2n，∴−2m+1<−2n+1．故答案为：<．【变式5-1】（23-24七年级·陕西西安·期中）已知x>y，请比较下列各式的大小，并说明理由．(1)x2+1与(2)4−x与4−y．【答案】(1)x2(2)4−x<4−y，见解析【分析】本题考查的是不等式的基本性质，熟知①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．（1）根据不等式的基本性质解答即可．（2）根据不等式的基本性质解答即可．【详解】（1）解：∵x>y，∴x2∴x2（2）∵x>y，∴−x<−y，∴4−x<4−y．【变式5-2】（23-24秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）若a−b>0，则a>b；若a−b=0，则a=b；若a−b<0，则a<b，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小．(1)试比较代数式5m2−4m+2(2)已知代数式3a+2b与2a+3b相等，试用等式的性质比较a，(3)已知12m−1【答案】(1)5(2)a=b(3)m>n【分析】（1）把两个多项式作差比较大小即可；（2）等式两边同时减去2a+3b即可得到a−b=0，由此即可得到结论；（3）等式的性质两边同时乘以6可得5m−n=6，【详解】（1）解：5∵不论m为何值，都有m∴5（2）解：∵3a+2b=2a+3b，∴等式两边同时减去2a+3b，得3a+2b−2a+3b整理得a−b=0，∴a=b．（3）解：∵12根据等式的性质两边同时乘以6可得3m−2n−6=3n−2m整理得5m−5n=6，即5m−n∴m−n>0，∴m>n．【点睛】本题主要考查了等式的性质和不等式的性质，正确理解题意是解题的关键．【变式5-3】（23-24七年级·北京大兴·期末）比较5a−3b−3a2【答案】5a−3b−3【分析】两个整式相减，用它们的差和零作比较即可做出判断．【详解】解：5a−3b−3理由如下：5a−3b=5a−3b−3=−3a∵a∴−3a∴−3a−3a∴−3a∴5a−3b∴5a−3b【点睛】本题考查了整式加减应用，不等式的性质，准确算出两个整式的差和零作比较是解答本题的关键．【题型6不等式的性质与数轴的综合运用】【例6】（23-24七年级·山东威海·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（）A．a>b>c B．c−b>c−a C．b2>ab 【答案】D【分析】本题考查了数轴、不等式的基本性质，熟练掌握数轴的定义是解题关键．先根据数轴的定义可得c<b<0<a，且c>【详解】解：由实数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知，c<b<0<a，且c>A．a>b>c，是成立的，因此选项A不符合题意；B．由于c−b<0,c−a<0，而c−b<c−a，所以C．由于b<0，则b2>0，而a>0,b<0，则ab<0，所以D．由于b<0，则b2>0，而c<a，所以故选：D．【变式6-1】（23-24·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（）A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0【答案】A【分析】根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次分析即可得到答案．【详解】解：由题意得：a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴1﹣2a＞1﹣2b，∴A选项的结论成立；∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴B选项的结论不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴1<a<2∴a<∴a+b＞0，∴C选项的结论不成立；∵a∴a−∴D选项的结论不成立．故选：A．【点睛】本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知识．【变式6-2】（13-14七年级·全国·课后作业）如图，数轴上A、B两点对应的实数分别为a，b，则下列结论不正确的是（）A．a+b＞0 B．ab＜0 C．a﹣b＜0 D．|a|﹣|b|＞0【答案】D【分析】根据数轴，列出a、b的取值范围，然后再进行不等式的计算．【详解】解：根据题意，得﹣1＜a＜0，1＜b＜2，A、0＜a+b＜2；不等式两边同时相加，不等式符号不变，故A正确，不符合题意；B、﹣2＜ab＜﹣1，不等式两边同时乘以负数，不等式符号改变，故B正确，不符合题意；C、∵﹣2＜﹣b＜﹣1，不等式两边同乘以负数，不等式符号改变，∴﹣3＜a﹣b＜﹣1＜0，故C正确，不符合题意；D、由上式得0＜|a|＜1，1＜|b|＜2，∴|a|＜|b|，即a|﹣|b|＜0，故D错误，符合题意．故选D．【点睛】本题主要考查的是实数的绝对值的性质，解题关键是利用绝对值的几何意义和不等式的性质．【变式6-3】（23-24·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点A,B分别表示数a,b，其中−1<a<0，0<b<1．若a×b=c，数c在数轴上用点C表示，则点A,B,C在数轴上的位置可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】先由−1<a<0，0<b<1，a×b=c，根据不等式性质得出a<c<0，再分别判定即可．【详解】解：∵−1<a<0，0<b<1，∴a<ab<0∵a×b=c∴a<c<0A、0<b<c<1，故此选项不符合题意；B、a<c<0，故此选项符合题意；C、c>1，故此选项不符合题意；D、c<−1，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由−1<a<0，0<b<1，a×b=c得出a<c<0是解题的关键．【题型7根据不等式的解集求参数的取值范围】【例7】（23-24·河北保定·模拟预测）已知数轴上两点A，B表示的数分别为a−2，1，那么关于x的不等式a−2x+a>2A．若点A在点B左侧，则解集为x<−1B．若点A在点B右侧，则解集为x<−1C．若解集为x<−1，则点A必在点B左侧D．若解集为x<−1，则点A必在点B右侧【答案】C【分析】根据不等式的性质化简求值即可.【详解】关于x的不等式a−2x+a>2化为a−2当a−2<0时，解集为x<−1，此时点A在原点左侧，故A，B，D选项错误，C选项正确，故选C．【点睛】此题考查了不等式性质，解题的关键是熟悉不等式的基本性质.【变式7-1】（23-24七年级·四川遂宁·期中）不等式m−2x>2的解集是x<2m−2A．m<2 B．m>2 C．m>0 D．m<0【答案】A【分析】在不等式两边都除以m−2后，不等号的方向改变了，可得到m−2＜0，从而可得答案．【详解】解：∵m−2x>2的解集是x<∴在不等式的两边都除以：m−2，不等号的方向发生了改变，∴m−2＜0∴m＜2故选A．【点睛】本题考查的是不等式的基本性质以及解不等式，掌握以上知识是解题的关键．【变式7-2】（23-24春·福建泉州·七年级校考期末）若x<y，且a−2x>a−2y，则a【答案】a<2【分析】根据不等式的性质，两边同时乘一个负数不等号改变，求出a的取值范围．【详解】解：∵x<y，且a−2x>∴a−2<0，∴a<2，故答案为：a<2．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．【变式7-3】（23-24春·广西南宁·七年级统考期末）若关于x的不等式mx﹣x＞1﹣m的解集是x＜﹣1，则m的取值范围是（

）A．m＞1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1【答案】B【分析】根据不等式的性质可得，两边同除以一个负数，不等号方向发生改变，即可求得结果．【详解】解：将不等式mx−x>1−m化为x(m−1)>1−m，∵不等号两边同时除以m−1得到x<−1，∴m−1<0，解得m<1，故选：B．【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．【题型8根据不等式的性质求代数式的取值范围】【例8】（23-24七年级·四川德阳·期末）若6a=2b−6=3c，且b≥0，c≤2，设t=2a+b−c，则t的取值范围为【答案】0≤t≤6【分析】由条件可得2b−6≤6，先求解b的取值范围，再把t=2a+b−c化为t=1【详解】解：∵6a=2b−6=3c，c≤2，∴2b−6≤6，解得：b≤6而b≥0，∴0≤b≤6，∵6a=2b−6=3c，∴a=1∴t=2a+b−c=2==b∵0≤b≤6，∴t的取值范围是：0≤t≤6，故答案为：0≤t≤6．【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解0≤b≤6及t=b是解本题的关键．【变式8-1】（23-24七年级·安徽合肥·期中）若6a=3b+12=2c，且b≥0，c≤9，设t=2a+b−c，（1）用只含有a的代数式表示t，则t=；（2）t的取值范围为．【答案】a−4−2≤t≤−1【分析】本题主要考查不等式的基本性质，二元一次方程中用一个未知数表示另一个未知数；（1）根据6a=3b+12=2c得到3a=c，代入t=2a+b−c计算即可；（2）根据b≥0，c≤9，把3a=c，b=2a−4代入得到2≤a≤3，再确定t的取值范围．【详解】解：（1）∵6a=3b+12=2c，∴b=2a−4，c=3a．∴t=2a+b−c=2a+2a−4−3a=a−4．故答案为：a−4；（2）∵b≥0，c≤9，∴2a−4≥0，a≤3．∴a≥2，3a≤9．∴2≤a≤3．∴−2≤a−4≤−1，∵t=a−4∴−2≤t≤−1．故答案为：−2≤t≤−1．【变式8-2】（23-24·安徽·模拟预测）若实数a,b满足ab≥0,a≠0,2a+b+3=0，令m=a+2b，则m的取值范围是（

）A．−5<m≤−12 B．−6<m≤−32 C．【答案】B【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．由题意知a<0,b≤0,a=−b+32,b=−2a−3，则m=a+2b=−【详解】解：∵ab≥0,a≠0,2a+b+3=0，∴a<0,b≤0,a=−b+3∴m=a+2b=−b+32+2b=∴−6<m≤−3故选：B．【变式8-3】（17-18七年级·安徽合肥·期末）已知y＞1，x＜﹣1，若x﹣y＝m成立，求x+y的取值范围(结果用含m的式子表示)．【答案】m+2＜x+y＜﹣m﹣2【分析】由x-y=m得x=y+m，由x＜-1得知y＜-m-1，根据y＞1得1＜y＜-m-1，同理得出m+1＜x＜-1，相加即可得出答案．【详解】由x﹣y＝m得x＝y+m，由x＜﹣1得y+m＜﹣1，y＜﹣m﹣1，又∵y＞1，∴1＜y＜﹣m﹣1，由x﹣y＝m得y＝x﹣m，由y＞1得x﹣m＞1，x＞m+1，又∵x＜﹣1，∴m+1＜x＜﹣1，∴m+2＜x+y＜﹣m﹣2，故答案为m+2＜x+y＜﹣m﹣2．【点睛】本题主要考查不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．【题型9根据不等式的性质求最值】【例9】（23-24七年级·全国·专题练习）若x+y=3，x≥0，y≥0，则2x+3y的最小值为（

）A．0 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】把问题转化为2x+3y=6−2y+3y=6+y，利用不等式的性质解决最值问题．【详解】解：∵x+y=3，∴x=3−y，∴2x+3y=6−2y+3y=6+y，∵x≥0，∴3−y≥0，即y≤3，∵y≥0∴0≤y≤3，∴6≤y+6≤9，即6≤2x+3y≤9，∴y=0时，2x+3y的值最小，最小值为6．故选：C．【点睛】本题考查代入消元法、不等式的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．【变式9-1】（23-24七年级·江苏南通·期末）已知实数aa≥0，b满足a−23=1−b2，若m=a+3bA．9 B．7 C．5 D．7【答案】B【分析】先根据题意用a表示出b，再代入m=a+3b，由a≥0即可得出结论．【详解】解：∵a−23∴2a−2∴3b=7−2a，∴m=a+3b=a+7−2a=7−a，∵a≥0，∴当a=0时，m有最大值，最大值为7．故选：B．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是把b当做一个已知数求解，用a表示b．【变式9-2】（2019·江苏镇江·二模）已知：6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，则a﹣3b+c的最小值为．【答案】6【分析】首先根据6a＝3b+12＝2c，分别用b表示出a、c；然后根据b≥0，c≤9，求出a﹣3b+c的最小值为多少即可．【详解】∵6a＝3b+12＝2c，∴a＝0.5b+2，c＝1.5b+6，∴a﹣3b+c＝（0.5b+2）﹣3b+（1.5b+6）＝﹣b+8∵b≥0，c≤9，∴3b+12≤18，∴b≤2，∴﹣b+8≥﹣2+8＝6，∴a﹣3b+c的最小值是6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．【变式9-3】（2024七年级·全国·竞赛）a，b，c，d都是整数，且a<2b，b<3c，c<4d，d<20，则a的最大值为（

）A．447 B．455 C．471 D．479【答案】A【分析】主要考查了不等式的运用．根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．根据d<20，d都整数，就可以求出d的值，进而就可以得到a，b，c的值．【详解】解：∵a，b，c，d都是整数，且a<2b，b<3c，c<4d，d<20，∴d≤19，∴c<4d≤4×19=76，∴c≤75，b<3c≤3×75=225，∴b≤224，a<2b≤2×224=448，∴a≤447，即a最大是447．故选：A．【题型10利用不等式的性质进行证明】【例10】（23-24七年级·福建福州·期末）已知a,b,c都是实数，若a=c−3,b>c．求证：b>a+2b【答案】见解析【分析】利用a=c−3,b>c，消去c，得到b>a+3，然后利用不等式的性质变形即可求解．【详解】证明：∵a=c−3∴c=a+3∵b>c∴b>a+3∴b+2b>a+2b+3∴3b>a+2b+3∴b>【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．【变式10-1】（2024·江苏扬州·七年级期末）阅读感悟：代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：例：已知实数x、y满足x>y>0，证明：x2证明：因为x>y且x，y均为正，所以x2>______，所以x2解决问题：(1)请将上面的证明过程填写完整．(2)尝试证明：若a<b，则a+b2【答案】(1)xy,(2)见解析【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题；（2）不等式的两边同时加上同一个数b得a+b<b+b=2b，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题．【详