2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版2024）专题8.1 幂的运算【八大题型】（举一反三）（沪科版2024）（解析版）

专题8.1幂的运算【八大题型】【沪科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【题型1由幂的运算进行求化简求值】 3【题型2由幂的运算进行简便运算】 4【题型3由幂的运算进行整体代入求值】 6【题型4由幂的运算求字母的值】 7【题型5由幂的运算表示代数式】 9【题型6由幂的运算比较大小】 11【题型7由幂的运算确定字母之间的关系】 14【题型8幂的运算中的新定义问题】 16知识点：幂的运算1．同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==．语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．（m，n，…，p都是正整数）．（2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）．2．幂的乘方（1）幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方．（2）幂的乘方法则：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，．语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．【拓展】幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）．（2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）．3．积的乘方（1）积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．（积的乘方的意义）=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律）=a3b3．积的乘方法则：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，．因此，我们有．语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．4．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减．【拓展】（1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）．（2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．【题型1由幂的运算进行求化简求值】【例1】（23-24八年级·河南周口·期末）若a2n=2（n为正整数），则（4a3n【答案】8【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可．【详解】解：当a2n（=16=16×=16×8÷=16×8÷16=8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【变式1-1】（23-24八年级·重庆南川·期末）已知3m=2，2n=3【答案】12【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，代数式求值．熟练掌握幂的乘方的逆运算，代数式求值是解题的关键．根据9m【详解】解：由题意知，9m故答案为：12．【变式1-2】（23-24八年级·湖北黄石·期末）已知50a=20，8b=20，则1a+【答案】2【分析】本考查同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用，掌握运算法则即可解题．【详解】解：∵50a=20，∴50=201a∴20∴20∴1a故答案为：2．【变式1-3】（23-24八年级·湖南株洲·期末）已知2x+y=16,4x+【答案】4【分析】根据已知可得：x+y=42(x+12【详解】解：∵2x+y=16，∴x+y=4，∵4x+12∴2(x+1联立得：x+y=42(x+解得：x=−1y=5∴23x+y故答案为：4．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，根据题意得出x+y=42(x+【题型2由幂的运算进行简便运算】【例2】（23-24八年级·湖南邵阳·期末）计算：−512【答案】5【分析】本题考查积的乘方的逆运算、同底数幂乘法的逆运算，根据积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算进行计算即可．【详解】解：−====−1×=5故答案为：5【变式2-1】（23-24八年级·上海普陀·期末）简便计算：(−13)【答案】1【详解】原式=(−13)100×【变式2-2】（23-24八年级·上海奉贤·期中）用简便方法计算：35【答案】−5×【分析】根据题意先将化为指数相同的数的乘积，然后进行计算即可求解．【详解】解：35=[3×=[=5×(−10)=−5×10【点睛】本题考查了有理数的混合运算，积的乘方运算，掌握积的乘方，有理数的乘方的运算法则是解题的关键．【变式2-3】（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）用简便方法计算：(−4【答案】−1【分析】先确定符号，再利用幂的乘方的逆运算将4911转化成23【详解】解：原式=−=−=−=−=−1．【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算公式并能够进行简便计算．【题型3由幂的运算进行整体代入求值】【例3】（23-24八年级·江苏无锡·期中）若a+b+c=1，则(−2)a−1×(−2)【答案】16【分析】根据同底数幂的乘法可进行求解．【详解】解：∵a+b+c=1，∴(−2)a−1故答案为16．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键．【变式3-1】（23-24八年级·北京·期末）已知2x+3y−3=0，求3⋅9A．21 B．81 C．243 D．48【答案】B【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，熟练掌握幂的原式性质和整体代入的方法是解题的关键．利用幂的乘方与积的乘方的逆运算化简后，利用同底数幂的乘法法则和整体代入的方法解答即可．【详解】解∶原式=3⋅=3⋅=∵2x+3y−3=0∴2x+3y=3∴原式=故选：B．【变式3-2】（23-24春·广西崇左·八年级统考期中）若2a+3b−4c−2=0，则9a×27【答案】9【分析】由幂的乘方进行化简，然后把2a+3b−4c=2代入计算，即可得到答案．【详解】解：∵2a+3b−4c−2=0，∴2a+3b−4c=2，∴9a故答案为：9．【点睛】本题考查了幂的乘方的运算法则，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．【变式3-3】（23-24八年级·四川成都·期中）若x+4y−2=0，则22x⋅4【答案】16【分析】本题考查了幂的乘方逆运算法则，同底数幂的乘法，代数式求值，将22x⋅44y转化为4x⋅4【详解】解：∵22x⋅4∴2故答案为：16．【题型4由幂的运算求字母的值】【例4】（23-24八年级·河北沧州·期中）已知3a+1×5a+1=A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】题目主要考查积的乘方的逆运算，根据积的乘方的逆运算得出a+1=2a−3，求解即可，熟练掌握运算法则是解题关键．【详解】解：3a+1∴a+1=2a−3，解得：a=4，故选：D．【变式4-1】（23-24八年级·四川眉山·阶段练习）若34×34×A．−5 B．0 C．3 D．8【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据题意得出m=12，n=4，代入代数式，即可求解．【详解】解：∵3∴m=12，n=4∴m−n=12−4=8，故选：D．【变式4-2】（23-24八年级·四川成都·期中若22n+3+4n+1=192【答案】2【分析】本题考查了幂的乘方逆应用，同底数幂的乘法的逆应用，根据已知，正确变形计算即可．【详解】∵22n+3∴22n+3∴22n+2∴2n+2=6∴n=2，故答案为：2．【变式4-3】（23-24八年级·江苏泰州·期末）若m，n均为正整数，且2m−1×4n=32，则m+n的所有可能值为．【答案】4或5/5或4【分析】先根据同底数幂的乘法和乘方进行变形：2m−1×22n＝2m−1＋2n＝25，得到m＋2n−1＝5，由m和n为正整数进行讨论即可得到答案．【详解】解：∵原式＝2m−1×22n＝2m−1+2n＝25，∴m＋2n−1＝5，∴n＝6−m2∵m，n为正整数，∴当m＝2时，n＝2，当m＝4时，n＝1，∴m＋n＝2＋2＝4或m＋n＝4＋1＝5．故答案为：4或5．【点睛】本题主要考查了乘方和同底数幂的乘法运算法则，能够灵活运用同底数幂的运算法则及其逆运算法则进行变形是解答此类问题的关键．【题型5由幂的运算表示代数式】【例5】（23-24八年级·山东淄博·期中）若am=an(a>0且a≠1，m(1)若3x×9(2)若x=5m，y=4−25m，用含【答案】(1)x=2(2)y=4−【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．（1）由题意得出6x=12，即可得出答案；（2）将5m=x代入【详解】（1）解：3x∵3∴6x=12，∴x=2；（2）解：∵x=5∴y=4−25∴y=4−x【变式5-1】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）若x=3m，y=9m−3，用【答案】x【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算．熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．根据y=9【详解】解：由题意知，y=9故答案为：x2【变式5-2】（23-24八年级·福建泉州·期中）已知2m=a，2n=b，3m=c，请用含(1)2m+n(2)4(3)36【答案】(1)ab(2)a(3)a【分析】本题考查了同底数幂旳乘法，积的乘方与幂的乘方，掌握其运算法则是解决此题的关键．（1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可；（2）根据幂的乘方与积的乘方的运算即可；（3）根据幂的乘方与积的乘方的运算即可．【详解】（1）解：∵2m=a∴2（2）∵2m=a∴4（3）∵3m=c∴36【变式5-3】（2024八年级·全国·专题练习）在等式的运算中规定：若ax=ay(a>0且a≠1，x(1)若9x=3(2)若3x+2−3(3)若m=2x+1，n=4x【答案】(1)x=3；(2)x=1；(3)n=【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算：（1）根据幂的乘方的逆运算法则把两边底数为成一样，再根据题目规定解答即可；（2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把变形为3×3x+1−（3）先求出2x=m−1，再根据【详解】（1）解：∵9x∴32∴32x∴2x=6，∴x=3；（2）解：∵3x+2∴3×3∴2×3∴3x+1∴x+1=2，∴x=1；（3）解：∵m=2∴2x∵n=4∴n=2∴n=2∴n=m−1【题型6由幂的运算比较大小】【例6】（23-24八年级·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和4解：∵411=∴322>小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和8解：∵82=∴28>小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】(1)比较344、433、(2)比较8131、2741、(3)已知a2=2，b3=3，比较【答案】(1)3(2)81(3)a<b【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．（1）根据344=3411（2）根据8131=3431（3）根据a23=【详解】（1）解：∵344433522∵81>64>25，∴8111即344（2）解：∵81312741961∵124>123>122，∴3124即8131（3）解：∵a23=又∵8<9，∴a<b．【变式6-1】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）比较大小：72117【答案】＞【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，先整理721=3437，1714【详解】解：∵721=73∴343∴7故答案为：＞．【变式6-2】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）已知a=2731，b=361，c=941，试比较a，b，【答案】a>c>b【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到a=393，【详解】解：∵a=2731，∴a=3331∵393∴a>c>b，故答案为：a>c>b．【变式6-3】（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若a3=2，b5=3，则a,b的大小关系是ab解：∵a15=a3∴a∴a>b，(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：；A．同底数幂的乘法

B．同底数幂的除法

C．幂的乘方

D．积的乘方类比阅读材料的方法，解答下列问题：(2)比较8131(3)比较2100与3【答案】(1)C(2)81(3)2【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算：（1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可；（2）根据8131=3124，（3）根据2100=16【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则，故答案为：C；（2）解：∵8131=3431=3∴8131（3）解：∵2100=2425∴2100【题型7由幂的运算确定字母之间的关系】【例7】（2024八年级·江苏·专题练习）若2a=5，2b=10，2c=50，则a①c=2b−1；②c=a+b；③b=a+1；④c=ab【答案】①②③【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法，解答本题的关键是熟练掌握“同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．②可根据同底数幂乘法法则判断；①可根据幂的乘方的逆用，同底数幂除法法则判断；③可根据同底数幂乘法的逆用判断．【详解】解：∵2a=5∴2∵2∴a+b=c，②关系成立；∵2∴2b−1=c，①关系成立；∵2∴a+1=b，③关系成立；则①②③成立，故答案为：①②③．【变式7-1】（2024·河北唐山·八年级期末）若2×2×⋅⋅⋅⋅⋅×2k个2=4×4×⋅⋅⋅×4m个4，则k与m（A．k=m B．k=2m C．k+m=6 D．m−k=2【答案】B【分析】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．根据幂的意义得出2k=4【详解】解：∵2×2×⋅⋅⋅⋅⋅×2k∴2k∴2k∴2k∴k=2m，故选：B．【变式7-2】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）已知9x=m，3y=n，27z=mn，那么x，【答案】3z=2x+y【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，根据题意，得到27z【详解】解：∵9x=m，3y∴27z∴33∴33z∴3z=2x+y；故答案为：3z=2x+y．【变式7-3】（23-24八年级·安徽合肥·期中）已知3a=2、3b=5、3c=409，那么a、b、c之间满足的等量关系是【答案】3a+b-c=2【分析】由题意知23×5÷9=40【详解】解：由题意知2∴3∴3∴3a+b−2=c∴a、b、c之间满足的等量关系是3a+b−c=2故答案为：3a+b−c=2．【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法．解题的关键在于熟练掌握同底数幂乘法、同底数幂的除法的运算法则．【题型8幂的运算中的新定义问题】【例8】（23-24八年级·湖北随州·期末）阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．对数的定义：一般地，若ax=N(a>0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，比如指数式24=16我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga(M⋅N)=log设logaM=m，loga∴M⋅N=am又∵m+n=log∴loga请解决以下问题：(1)将指数式34(2)求证：logaMN=(3)拓展运用：计算log6【答案】(1)4=(2)证明见解析(3)2【分析】（1）根据指数与对数的关系求解．（2）根据指数与对数的关系求证．（3）利用（1）、（2）中的对数运算法则求解．【详解】（1）解：根据指数与对数关系得：4=log故答案为：4=log（2）解：设logaM=m，loga∴MN=∴logaMN=∴logaMN=（3）解：原式===2．故答案为：2．【点睛】本题考查了新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关系是求解本题的关键．【变式8-1】（