四川省凉山州宁南县初级中学校2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

宁南县初级中学校2024-2025学年下期第一次独立作业八年级数学试题试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷（100分）一、选择题（每小题4分，共48分）1.下列各式一定是二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（）A.0.3，0.4，0.5 B.1，2，3C.1，， D.7，24，253.如图，数轴上点A对应的数为2，于A，且，以原点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（）A. B. C. D.34.菱形具有而平行四边形没有的性质是（）A.对角相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.对角线相等5.根据下列条件分别判断以a，b，c为三边的，不是直角三角形的是（）A. B.C. D.6.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得km，km，则M，C两点之间的距离为（）A.10km B.12km C.13km D.26km7.如图，在中，，，则的值为（）A. B. C. D.8.如图，在中，是的中线，分别是的中点，连接．已知，则的长为（）A.2 B.4 C.6 D.89.已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（）A.3cm B.7cm C.3cm或7cm D.以上都不对10.如图，中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若，则AE的长为（）A4 B.8 C.16 D.2011.如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作交于点H，，且，则的长为（）A. B. C.2 D.12.如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（）A.6 B.3 C.2 D.4.5二、填空题（每小题4分，共20分）13.若代数式有意义，则x的取值范围是________．14.如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点M，交于点N，若平行四边形的周长为20，，则四边形的周长为______．15.若，则=_____．16.已知实数，，在数轴上的位置如图所示：化简的结果为______．17.如图，正方形面积为81，点是边上的一个动点，沿过点的直线将正方形折叠，使顶点恰好落在边上的三等分点处，则线段的长是________三、解答题（共32分）18.计算：（1）；（2）．19.如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，已知（1）画出；（2）判断的形状？（3）求边上的高是．20.已知，求下列代数式的值：（1）；（2）．21.如图，在中，点E是边AB的中点，连结DE并延长，交CB延长线于点F，且DE平分．（1）求证：．（2）若，，求的面积．B卷（50分）22.如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是______分米．23.在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当____________________时，以点为顶点的四边形为平行四边形．24.如图，经过村和村（将，村看成直线上的点）的笔直公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破，已知处与村的距离为300米，处与村的距离为400米，且．（1）求，两村之间距离；（2）为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．25.如图，四边形是平行四边形，延长至点，点是的中点．连接、，．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接交于点，连接，若，，求的长．26.【阅读理解】爱思考小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：∵，．∴，即．∴．∴．请你根据小名的分析过程，解决如下问题：（1）计算：；（2）计算：；（3）若，求的值．27.如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，AF平分∠DAE，DF//AE，AF与CD相交于点G.（1）如图1，当∠AEC=，AE=4时，求FG的长；（2）如图2，在AB边上截取点H，使得DH=AE，DH与AF、AE分别交于点M、N，求证：AE=AH+DG

宁南县初级中学校2024-2025学年下期第一次独立作业八年级数学试题试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷（100分）一、选择题（每小题4分，共48分）1.下列各式一定是二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】同时满足两个条件才是二次根式，第一：被开方数是非负数，第二：根指数是二．【详解】解：A．，2是整数，不是二次根式，故此选项不合题意；B．，根据一定大于0，则一定是二次根式，故此选项符合题意；C．无意义，故此选项不合题意；D．，的符号不确定，故不一定是二次根式，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的定义，对二次根式的根指数和被开方数理解到位是解题的关键．2.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（）A.0.3，0.4，0.5 B.1，2，3C.1，， D.7，24，25【答案】D【解析】【分析】本题考查了勾股数：“能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数”，熟记勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐项判断即可得．【详解】解：A、，，都不是正整数，则此项不是勾股数，不符合题意；B、，且不能构成三角形，则此项不是勾股数，不符合题意；C、，都不是正整数，则此项不是勾股数，不符合题意；D、，则此项是勾股数，符合题意；故选：D．3.如图，数轴上点A对应的数为2，于A，且，以原点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】首先利用勾股定理计算出的长，然后再由题意可得，从而可得点C表示的数．【详解】∵数轴上点A对应的数为2，∴，∵，，∴在中，，∵原点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴于点C，∴，∴点C表示的数为．故选：A【点睛】本题考查作图、实数与数轴、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4.菱形具有而平行四边形没有的性质是（）A.对角相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.对角线相等【答案】B【解析】【分析】本题考查了菱形和平行四边形的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的性质是解题的关键．根据菱形和平行四边形的性质，对选项逐个分析判断即可．【详解】解：A、对角相等，菱形和平行四边形都具有，故此选项不符合题意；B、对角线互相垂直，菱形具有，平行四边形不具有，故此选项符合题意；C、对角线互相平分，菱形和平行四边形都具有，故此选项不符合题意；D、对角线相等，菱形和平行四边形都不具有，故此选项不符合题意；故选：B．5.根据下列条件分别判断以a，b，c为三边的，不是直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直角三角形的判定，根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项分析判断即可．【详解】A.，设，则，，，解得：，，，，是直角三角形，故本选项错误；B.，设，，是直角三角形，故本选项错误；C.，，，，，是直角三角形，故本选项错误；D.，设，，，，解得：，，，，不是直角三角形，故本选项正确，故选：D．6.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得km，km，则M，C两点之间的距离为（）A.10km B.12km C.13km D.26km【答案】C【解析】【分析】由勾股定理可得AB=26km，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得MC=13km．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB2＝AC2+CB2，AC=10km，BC=24km，∴∵M点是AB中点，∴MC＝AB＝13km，故选C．【点睛】本题考查了勾股定理和斜边中线性质，综合了直角三角形的线段求法，是一道很好的问题．7.如图，在中，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】过点A作AD⊥BC于D，将△ABC分成两个特殊的直角三角形：△ABD和△ACD，从而解决问题．【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，∵∠B＝45°，∠ADB＝90°，∴BD＝AD，ABBDAD，∵∠C＝30°，∠ADC＝90°，∴AC＝2AD，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．8.如图，在中，是的中线，分别是的中点，连接．已知，则的长为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角形中位线定理，能够使用2个中点得到中位线是解题的关键．利用中线得到，再由两个中点得到中位线，利用三角形中位线定理即可得到答案．【详解】解：是的中线，，，∵分别是的中点，∴是的中位线，，故选A．9.已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（）A.3cm B.7cm C.3cm或7cm D.以上都不对【答案】C【解析】【分析】本题考查平行线之间的距离，关键是要分两种情况讨论．分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解．【详解】解：如图①，a与c之间的距离为；如图②，a与c之间的距离为．∴a与c之间的距离为或，故选C．10.如图，中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若，则AE的长为（）A.4 B.8 C.16 D.20【答案】C【解析】【分析】首先证明四边形是菱形，得出，利用勾股定理计算出，从而得到的长．【详解】连接与交于点O，如图，∵平分，∴，∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∴，同理：，又∵，∴四边形是平行四边形，∴四边形是菱形，∴，在中，由勾股定理得：，∴．故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为菱形是解决问题的关键．11.如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作交于点H，，且，则的长为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形的性质得到，，，，求得，设，，得到，根据勾股定理即可得到答案．熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，，∴，∵，∴设，，∴，∵，∴，在中，∵，∴，解得：，∴；故选：B．12.如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（）A.6 B.3 C.2 D.4.5【答案】C【解析】【分析】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，由PE+PM=PE′+PM=E′M知点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，利用S菱形ABCD=AC•BD=AB•E′M求得E′M的长即可得答案．【详解】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P则点P、M即为使PE+PM取得最小值的点则有PE+PM=PE′+PM=E′M∵四边形ABCD是菱形∴点E′在CD上∵AC=6，BD=6∴AB=由S菱形ABCD=AC•BD=AB•E′M得×6×6=3•E′M解得：E′M=2即PE+PM的最小值是2故选C．【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，确定出点P的位置是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共20分）13.若代数式有意义，则x的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】此题考查分式的有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件及二次根式有意义的条件得到x-2>0，即可求出x【详解】解：∵代数式有意义，∴x-2>0，即∴，故答案为：．14.如图，过平行四边形对角线交点O，交于点M，交于点N，若平行四边形的周长为20，，则四边形的周长为______．【答案】14【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．先利用平行四边形的性质求出，，可利用全等的性质得到，求出，即可求出四边形的周长．【详解】∵四边形是平行四边形，周长为20，，，在和中，，，，则四边形的周长，，故答案：14．15.若，则=_____．【答案】##【解析】【分析】此题考查二次根式的非负性，根据，得到x的值，及y的值，根据乘方法则计算即可．【详解】解：∵，且，∴，得，∴，∴，故答案为：．16.已知实数，，在数轴上的位置如图所示：化简的结果为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的意义，利用数轴确定出的符号是解题的关键．利用数轴确定出，，的符号，再利用二次根式和绝对值的意义化简运算即可．【详解】解：由数轴可得：，，故答案为：．17.如图，正方形的面积为81，点是边上的一个动点，沿过点的直线将正方形折叠，使顶点恰好落在边上的三等分点处，则线段的长是________【答案】或5【解析】【分析】分两种情况讨论：①EC=BC，②EC=BC，设DH=x，则CH=9-x，在Rt△CEH中利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】∵正方形ABCD的面积为81∴BC=CD=9设DH=x，则CH=9-x，由折叠的性质可得EH=DH=x∵E点为BC的三等分点①若EC=BC=3，在Rt△CEH中，CE2+CH2=EH2即解得②若EC=BC=6，在Rt△CEH中，CE2+CH2=EH2即解得综上可得，DH的长为或5，故答案为：或5．【点睛】本题考查正方形的折叠问题，分类讨论，利用勾股定理建立方程是解题的关键．三、解答题（共32分）18.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．（）利用二次根式的性质先化简，再合并同类二次根式，最后进行乘法运算即可；（）根据二次根式的性质、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质化简，再合并即可；【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式．19.如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，已知（1）画出；（2）判断的形状？（3）求边上的高是．【答案】（1）画图见解析（2）是直角三角形（3）【解析】【分析】（1）根据，确定C的位置，可得答案；（2）利用勾股定理的逆定理进行判断即可；（3）过作于，再利用等面积法进行计算即可．【小问1详解】解：如图，为所求作的三角形；【小问2详解】∵，∴，∴，∴为直角三角形；【小问3详解】如图，过作于，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等面积法的应用，二次根式的乘法运算，熟记勾股定理的逆定理并灵活应用是解本题的关键．20.已知，求下列代数式的值：（1）；（2）．【答案】（1）99（2）10【解析】【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．（1）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可；（2）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可．【小问1详解】解：，，．∴．【小问2详解】解：，，．∴．21.如图，在中，点E是边AB的中点，连结DE并延长，交CB延长线于点F，且DE平分．（1）求证：．（2）若，，求的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质证得∠A=∠ABF，∠ADF=∠F，再由点E是AB中点，得AE=BE，即证得△ADE≌△BFE；（2）连接CE，利用角平分线定义与平行线的性质证明CD=CF，再利用等腰三角形“三线合一”证明，再利用勾股定理求出CE的长，最后利用三角形面积公式求解即可．【小问1详解】证明：∵在中，ADBC∴∠ADF=∠F，∠A=∠ABF∵点E是边AB的中点【小问2详解】解：连结CE，∵DE平分，，【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，作辅助线是解决本题的关键．B卷（50分）22.如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是______分米．【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，把圆柱侧面展开，由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，利用勾股定理计算即可求解，正确画出图形是解题的关键．【详解】解：把圆柱侧面展开，如图，则分米，分米，由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，由勾股定理得，分米，∴需要走的最短路程是分米，故答案为：．23.在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当____________________时，以点为顶点的四边形为平行四边形．【答案】或或【解析】【分析】利用A、B、C的坐标可得到OA=4，BC=3，BC//x轴，根据平行四边形的判定，当PC=QA时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，讨论：若时，3-2t=t；若，2t-3=t；若时，2t-3=4-3(t-4)；若，然后分别解方程即可确定满足条件的t的值．【详解】∵A（4,0），B（-3,2），C（0,2），∴OA=4，BC=3，BC//x轴，∵PC//AQ∴当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，若时，BP=2t，PC=3-2t，AQ=t，此时3-2t=t，解得t=1;若时，BP=2t,PC=2t-3，AQ=t，此时2t-3=t，解得t=3；若时，BP=2t,PC=2t-3，OQ=3(t-4)，AQ=4-3(t-4)，此时2t-3=4-3(t-4)，解得t=(舍去)；若t，BP＝2t，PC=2t-3，OQ=3(t-4)，AQ=3(t-4)-4，此时2t-3=3(t-4)-4，解得t=13;综上所述，当t为1或3或13时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．故答案为1或3或13【点睛】本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．利用分类讨论的思想和方程的思想是解决问题的关键．24.如图，经过村和村（将，村看成直线上的点）的笔直公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破，已知处与村的距离为300米，处与村的距离为400米，且．（1）求，两村之间的距离；（2）为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．【答案】（1）500m（2）需要封锁，【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及利用三角形的面积公式求出的长．（1）根据勾股定理可直接求出；（2）利用三角形的面积公式求出的长，再根据可以判断有危险；根据勾股定理求出米，进而求出米．【小问1详解】解：由题意得，米，米，由勾股定理得（米），答：A，两村之间的距离500m．【小问2详解】解：需要封锁，理由如下：过点C作交于点D，以点C为圆心，250米为半径画弧交l于点E、F，如图所示，∵，∴（米），∵，∴需要封锁，∵米，∴（米），∴（米），故需要封锁的路段长为140米．25.如图，四边形是平行四边形，延长至点，点是的中点．连接、，．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接交于点，连接，若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得，，，可证明四边形是平行四边形，然后由即可得出结论；（2）过点作，根据矩形的性质可知是的中位线，推出，，然后由的到的长度，最后利用勾股定理即可得到答案．【小问1详解】证明：四边形是平行四边形，点D是CE的中点，且四边形是平行四边形四边形是矩形【小问2详解】解：由（1）知，四边形是矩形，对角线、相交于点，如图，过点作，是的中位线在中，的长为．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质和三角形中位线的判定与性质是解题的关键．26.【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：∵，．∴，即．∴．∴．请你根据小名的分析过程，解决如下问题：（1）计算：；（2）计算：；（3）若，求的值．【答案】（1）（2）9（3）【解析】【分析】本题考查了二次根式混合运算，分母有理化，乘法公式等，熟练掌握分母有理化方式是解题关键．（1）利用平方差公式分母有理化即可；（2）