数学超几何分布课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.2超几何分布整体感知学习目标1．理解超几何分布的概念及特征，能够判断随机变量是否服从超几何分布．(数学抽象)2．会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率和均值．(数学运算)3．能用超几何分布的概率模型解决实际问题．(数据分析、数学运算)

二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).若X~B(n,p)，则有二项分布的均值与方差：二点分布是特殊的二项分布.

E(X)=

,D(X)=

.npnp(1-p)复习回顾探究建构问题1

在含有5名男生的100名学生中，任选3人．(1)求其中恰有1名男生的概率表达式．

(2)求其中恰有2名男生的概率表达式．

新知探究

各次抽取的结果不独立，故X不服从二项分布.则X的分布列是：

每次抽到次品的概率为0.04，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X～B(3，0.04).采用有放回抽样采用不放回抽样解：由题意可知，X可能的取值为0,1,2，3则X的分布列是：X0123P

新知探究问题2

已知100件产品中有4件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取3件．设抽取的3件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.

概念生成一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为:超几何分布:其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.

记为X~H(N,n,M).N—总体中的个体总数M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)n—样本容量k—样本中的特殊个体数（如次品数)

概念理解超几何分布:

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.

当N=10,M=4时,N-M=6,n=3.当N=10,M=4时,N-M=6,n=8.k的第一个值是

m=max{0,3-6}=0,r=3;k的第一个值是

m=max{0,8-6}=2,r=4.追问1怎么去理解m＝max{0,n-(N-M)}的取值？超几何分布:

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-(N-M)},

r＝min{n,M}.

①总体中含有两类不同的个体；②不放回地抽取；③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.追问2

怎样判断一个变量是否服从超几何分布？概念理解【微提醒】

(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”．(2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型．[典例讲评]1．下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列．×样本没有分类，，是重复试验问题．×没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列√√×样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．反思领悟

判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法(1)总体是否可分为两类明确的对象．(2)是否为不放回抽样．(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．[学以致用]

1．(1)(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是(

)A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数√√√B是超几何分布探究2超几何分布的均值探究问题3从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．(1)如何求所选3人中恰有1名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数X的分布列和均值．

X0123P

所以X的分布列为

新知探究：超几何分布的均值问题3服从超几何分布的随机变量的均值是什么?设随机变量X

服从超几何分布，则X

可以解释为从包含M件次品的N

件产品中，不放回地随机抽取n

件产品中的次品数.令，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率.我们猜想下面对均值进行证明.证明：令m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.

由随机变量的定义：当m>0时，当m=0时，类似可以证明结论依然成立.若随机变量X服从超几何分布，则有

新知探究：二项分布的均值我们猜想

√

√

反思领悟

(1)解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布．(2)注意公式中M，N，n的含义．[典例讲评]3．在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．甲能正确完成其中的4道题，且每道题完成与否互不影响．规定至少正确完成其中2道题便可过关．记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，求X的分布列．

X123P故X的分布列为反思领悟

求超几何分布的分布列的步骤

X3456P所以X的分布列为[典例讲评]

4．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及均值

X0123P

所以X的分布列为反思领悟

求超几何分布均值的步骤(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值．(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率．(3)利用均值公式求解．[学以致用]

2．(1)袋中有3个白球、1个红球，从中任取2个球，取得1个白球得0分，取得1个红球得2分，则所得分数X的均值为(

)A．0 B．1C．2 D．4√

(2)某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试．在这8道试题中甲能答对6道，记甲答对试题的个数为X，则甲通过自主招生初试的概率为________，E(X)＝________．

3

问题4：二项分布、超几何分布有什么区别和联系？超几何分布二项分布试验类型

抽样

抽样试验种数有

种物品有

种结果总体容量

个

个随机变量取值的概率利用

计算利用

计算联系不放回放回两两有限无限古典概型独立重复试验(1)对于同一模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，随机变量的取值更集中于均值附近

[典例讲评]

5．在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件．求：(1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值；

所以随机变量X的分布列为X012P

反思领悟

不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值时都可利用公式代入计算．(2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差．[学以致用]

3．已知一个袋子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球．(1)若从袋中一次任取3个球，若取到的3个球中有X个黑球，求X的分布列及均值；(2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求P(Y＝5)．

X012P

243题号1应用迁移√1．(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有(

)A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为XB．从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取2台，记X表示所取的2台电脑中甲型电脑的台数C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量XD．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X√√C中显然不能看作一个不放回抽样问题23题号14

√

23题号41√

243题号14．盒子里有5个球，其中有3个白球、2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则E(ξ)＝________．

回顾本节知识，自主完成以下问题：1．在产品抽样检验中，若抽到的次品数服从超几何分布，则抽样有何特点？[提示]

抽样方法为不放回抽样．2．超几何分布的均值公式：E(X)＝np，与二项分布的均值公式一样吗？[提示]

不一样．在二项分布中，n为伯努利试验重复的次数，p为成功概率；在超几何分布中，n是抽取的产品件数，p是N件产品的次品率．THANKS课时分层作业(十八)超几何分布一、选择题1．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(

)A．N＝15，M＝7，n＝10 B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10根据超几何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10.

二、填空题6．袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色不同外其余完全相同，从中无放回地任取5个，