数学频率的稳定性教案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章概率10.3频率与概率10.3.1频率的稳定性

一、教学目标

一、教学目标1.能理解在具体情况下随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，获得随机事件概率的方法之一，形成一种重要的概率思想.2.会用频率估计概率,归纳出频率与概率的联系与区别，发展学生数学抽象，直观想象和逻辑推理的核心素养.3.通过实际问题分析，培养使用数学的良好意识，提升推理论证能力，激发学习兴趣，体验数学的应用价值和数据分析的核心素养.

二、教学重难点重点：频率与概率的联系与区别．难点：对频率稳定性规律的理解．

三、教学过程（一）创设情境事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小，在初中，我们利用频率与概率的这种关系，我们通过大量的重复试验，用频率去估计概率，你能举出生活中那些事情发生的概率是用频率来估计的？(学生举例)想一想：在重复实验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？师生活动：教师展示生活中用频率估计概率的实例，例如；保险领域的各个中“事故”，让学生也例举生活中的实例.设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受.同时，由知识回顾，提出问题，引出频率与概率的关系问题，发展学生数学抽象，直观想象和逻辑推理的核心素养.（二）探究新知任务1：在真实试验探究频率和概率之间的关系.探究：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较.师生活动：1.独立计算，事件概率；2.小组试验，记录频数；第一步：每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数，计算频率；第二步：每4名同学为一组，相互比较试验结果；第三步：各组统计事件A发生的次数，计算事件A发生的频率，将结果填入表中10.3-1中.3.交流讨论，提出猜想;4.组内交流，汇报展示.总结：方法一：用概率计算.把硬币正面朝上记为1，反面朝上记为0，则这个试验的样本空间Ω={(1，1)，(1，0)，

(0，1)，(0，0)}，A={(1，0)，(0，1)}，所以概率P(A)=0.5.方法二：用频数计算.思考：比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事件A发生的频率：（1）各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这种情况？（2）随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？分析：（1）试验结果不同---说明随机事件的频率是一个变量，随试验的改变而改变；（2）事件A发生的频率----在0.5范围左右波动，随着次数的增加波动范围变小，得到的值更加接近A的概率0.5.设计意图：通过在真实试验探究频率和概率之间的关系，让学生经历重复试验，收集，整理数据，发展学生数学抽象和逻辑推理的核心素养，培养学生合作交流的能力.任务2：在模拟试验中探究频率和概率之间的关系.探究：利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA师生活动：1.从计算机模拟数据中发现了什么？2.分别绘制n=20,n=100,n=500的频率波动折现图;3.从图中能得出什么结论?要求：先独立思考完成，再小组内交流讨论，最后展示汇报.总结：（1）试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性.(2)从整体看频率在0.5范围内波动，当试验次数n小时，波动幅度较大；当试验次数设计意图：通过在计算计模拟试验中探究频率和概率之间的关系，进一步探究频率与概率之间的关系，利用图表，表示试验数据，通过观察，比较发现频率的特征，提升想象和数据分析素养．任务3：归纳总结频率和概率之间的关系.师生活动:1.先独立梳理结构图2分钟；2.小组内交流讨论补全完善自己的结构图；3.以小组为单位进行展示汇报.总结：教师可以先总结引出频率稳定性的概念：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率PA.因此，我们可以用频率f设计意图：让学生体会用试验验证概率模型的合理性，通过试验发现规律从而建立概率理论模型的思想，进一步提高学生归纳总结和概括问题的能力，解决问题的能力.（三）应用举例例1：新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.（1）估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001）；（2）根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？提示：（1）如何去计算出生率？（2）这种计算方法能估计出生率？解：（1）2014年男婴出生的频率为：115.88100+115.882015年男婴出生的频率为：113.51100+113.51由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532.（2）由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度.因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.例2：一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？提示：（1）游戏玩10次和玩1000次，甲和乙的获胜的频率分别是多少？（2）它们的频率是相同？若不同有什么区别？能用这些频率估计概率？（3）概率的大小和游戏的公平性直接有什么关系？.解：（1）当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.（2）根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小。相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.（3）而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.例3:气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是90%.如果您明天要出门，最好携带雨具”.如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确.那么如何理解“降水概率是90%”？又该如何评价预报的结果是否准确呢？提示：（1）气象预报长期记录有什么作用？（2）90%相当于是以往事件发生的频率，可以用它估计事情发生的概率？（3）当随机事件的概率高时，事件是不是一定会发生？解：只有根据气象预报的长期记录(相当于大量试验)，才能评价预报的准确性;（1）如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天（天数较多）里，大约有90%确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；（2）如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确.设计意图：通过实例分析，让学生掌握运用频率来计算事件概率，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象，数学建模及逻辑推理的核心素养．（四）课堂练习1.在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为(

)A.0.45 0.45 B.0.5 0.5 C.0.5 0.45 D.0.45 0.5

解：出现正面的频率是45÷100=0.45，出现正面的概率是0.5，

故选：D．2.用随机事件发生的频率去估算这个事件发生的概率．下列结论正确的是(

)A.事件A发生的概率P(A)是0<P(A)<1

B.事件A发生的概率P(A)=0.999，则事件A是必然事件

C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%

D.某奖券中奖率为0.5，则某人购买此券10张，一定有5张中奖解：对于A，P(A)可以是0或1，故A错误；

对于B，事件A发生的概率P(A)=0.999，则事件A是随机事件，故B错误；

对于C，根据概率的定义，估计有明显疗效的可能性为380500=0.76，可判断C正确；

对于D，某奖券中奖率为0.5，某人购买此券10张，不一定有5张中奖，D错误；

故选：3.下列关于随机事件的频率与概率的关系的说法中，正确的是

(填序号)． ①频率就是概率; ②频率是客观存在的，与试验次数无关; ③概率是随机的，在试验前不能确定; ④随着试验次数的增多，频率越来越接近概率．解：频率不是概率，所以 ①不正确;

频率是通过试验得到的，不是客观存在的，与试验次数有关，所以 ②不正确;

概率不是随机的，所以 ③不正确;

很明显，随着试验次数的增多，频率越来越接近概率，故 ④正确．4.某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率m(1)填写表中击中靶心的频率；

(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？解：(1)根据表中数据，计算依次填入的数据为：

810=0.80，1920=0.95，4450=0.88，92100=0.92，178200=0.89，455500=0.91；

(2)计算15.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(Ⅱ)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(Ⅲ)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解：(Ⅰ)总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部，

获得好评的第四类电影200×0.25=50，

故从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率502000=140；

(Ⅱ)获得好评的电影部数为140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0