数学数系的扩充和复数的概念教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.1数系的扩充和复数的概念课标要求通过方程的解，认识复数。理解复数的代数表示。理解两个复数相等的含义。内容与学情分析内容分析复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后次扩充，通过复数的学习，可以使学生对于数的概念有一个更加完整的认识。复数与平面向量、平面解析几何，三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础。复数在力学、电学及其他学科中都有广泛的应用。在数学中，数系的扩充必须遵循有关的“规则”，即扩充后的数系中规定的加法运算，乘法运算，与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。从实数系向复数系扩充，同样要符合这样的规则。复数概念的引入，从实系数一元二次方程当判别式小于0时没有实数根出发，回顾从自然数系逐步扩充到实数系、特别是有理数系扩充到实数系的过程，得到数系扩充中体现出的“规则”，进而在“规则”的引导下，考虑为使方程x2+1=0有解，引人新数i，从而可以像实数一样进行加法、乘法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充到复数集，这一过程，通过数系扩充“规则”的归纳，提升学生的数学抽象素养；通过实数系向复数系的扩充，让学生体会类比的数学思想，提升学生的逻辑推理素养，并感受人类理性思维在数系扩充中的作用。复数的概念是整个复数内容的基础。复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的含义，以及虚数、纯虚数等概念的理解，都是在促进对复数实质的理解，即复数a+bi实质上是有序实数对(a，b)。通过对复数实质的揭示，为后续复数的几何意义、复数的四则运算以及复数的三角表示的学习作准备。因此，复数的概念，对本章具有奠基性的作用。学习重点复数的概念、代数形式。学习难点复数的扩充过程及复数的概念的抽象过程。学情分析学生在学习本节课内容之前，在义务教育阶段已经经历了从自然数到实数的扩充过程，对数系的扩充有了一定的认识，知道数系扩充后，新的数系能够解决在原有数系中无法解决的一些解方程问题（如引入无理数，把有理数系扩充到实数系后，可以解决方程x2-2=0的解这样的问题等)，因此当遇到像x2+1=0这样的方程的解问题时，通过引导启发，学生能够联想到对现有的实数系进行进一步扩充，从而使方程x2+1=0有解。学生在前面的学习中，也已多次利用过类比的方法来研究数学问题，这为本节课类比有理数系扩充到实数系的过程和方法，将实数系扩充到复数系提供了可能。学生在学习时可能出现的障碍为：(1)因为现实生活中没有任何事物支持虚数，学生可能会怀疑引入复数的必要性，在教学中，如果单纯地讲解或介绍复数的概念会显得枯燥无味，学生不易接受。(2)由于知识储备和认知能力的限制，学生对数系扩充的一般规则并不熟悉，对虚数单位的引人，以及虚数单位和实数进行形式化运算的理解会出现一定困难。(3)学生以前学习过的数都是单纯的一个数，而复数的代数形式是两项和的形式，学生比较陌生，因此理解上会存在一定困难。学习目标通过梳理数系的扩充过程，了解引入复数的必要性。2.通过方程的解，认识复数。3.理解复数的代数表示及相关概念。4.理解两个复数相等的含义。核心素养1.经历数系的扩充过程，培养数学抽象与逻辑推理的素养。2.通过复数的概念及复数相等的含义，提升数学运算、数学抽象与逻辑推理的素养。学生课前需要做的准备工作学生通过信息手段，查阅数的发展史，明确数从自然数集扩充到实数集都解决了什么实际问题。学习策略问题驱动教学法讲练结合学习环节学习任务设计与教师活动学生活动设计设计意图落实目标导入新课：创设情境，引出研究内容问题1：能否求出方程x2+2x+2=0的解？教师分析方程没有实数解的原因——负实数不能开平方。让学生阅读教材章引言，展示本节课学习目标。计算方程判别式小于0，得出结论：方程没有实数解.阅读教材，明确本章学习内容及本节学习目标。利用学生熟悉的一元二次方程解的问题引出课题，说明引入复数的必要性。明确目标。环节一：归结为方程求解，梳理数系扩充的规则问题2：我们知道，像x2+1=0这些方程在实数集中是无解的，那能否类比从自然数集到实数集的扩充过程，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程有解？教师从两方面（生产生活和方程）梳理从自然数集到实数集的扩充过程，渗透数学文化，并板书。明确数系的扩充规则。利用自己课前查阅的资料，回顾从自然数集到实数集的扩充过程，完成导学案。理解数系的扩充规则。通过回顾数的发展过程，使学生体会到现实生产生活对数学发展的推动作用，体会方程与数的发展的联系，激发学生对数系扩充的兴趣。环节二：依据规则，扩充实数集，引入复数让学生阅读教材，填空将新数i添加到实数集后，引导学生依据规则抽象出新数集中数的形式——a+bi(a,b∈R)播放视频，让学生了解复数的发展史。阅读教材，填空明确将新数i添加到实数集依据规则抽象出复数a+bi(a,b∈R)观看视频，了解复数的发展史。让学生类比从自然数集到实数集的扩充过程，自然地引导学生从解方程的角度出发探究数系的扩充，使“新数i”的添加变得水到渠成,积累研究数学问题的经验.培养学生数学抽象和逻辑推理等核心素养。渗透数学文化。环节三：梳理复数的有关概念教师讲授：（一）复数的定义复数集(二)复数的代数表示利用练习引出复数的分类复数的分类及时用例题和练习巩固知识点（四）复数相等说明：（1）复数由它的实部和虚部唯一确定。（为下节课做铺垫）（2）复数只能说相等或不相等，而只有当两个复数都是实数时才能比较大小，否则，不能比较大小.讲解例题通过教师教授完成导学案通过例题和练习巩固知识点通过对复数进行分类，深化学生对于复数的认识.通过问题让学生理解复数集与以前学过的数集之间的关系，深化学生对复数集的理解，将新知与旧知联系起来，完善已有的知识结构.达标检测达标检测1．判断正误．（1）若a

，b为实数，则z=a+bi为虚数．()（2）实数集与复数集的交集是实数集．()2．若复数z的实部和虚部之和为3

，则复数z可以是()A．3−i

B．3+i

C．−1+4i

D．1+3i3．已知a,b∈R，(a−1)+2i=(1−3a)+(1−b)i，则（

）A．b=−2a B．b=2a C．a=−2b D．a=2b4．当实数a为何值时，复数z=(a2+2a−3)+(a+3)i为纯虚数?课堂小结从知识方面和思想方法两方面进行总结。通