2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）数学期中试题和答案

试题PAGE1试题2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝0 B．x2＝3 C．4x﹣3y＝3 D．x2﹣y2＝32．（2分）已知⊙O的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为5，则点P与⊙O的位置关系（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定3．（2分）二次函数y＝2（x﹣3）2+2的图象的顶点坐标是（）A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）4．（2分）如图，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列出方程（）A．（40﹣x）（22﹣x）＝760 B．（40+x）（22+x）＝760 C．40×22﹣40x﹣22x＝760 D．40×22﹣40x﹣22x﹣x2＝7605．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示．x⋯﹣1012⋯y⋯0343⋯下列说法中，正确的是（）A．图象的开口向上 B．图象经过点（4，0） C．图象与x轴只有一个公共点 D．点（2，3）右边的图象呈下降趋势6．（2分）如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E且总有∠BED＝45°，则AE2+BE2的值（）A．随着OE的增大而增大 B．随着OE的增大而减小 C．随着OE的增大先增大后减小 D．保持不变二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．（2分）写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是3、﹣2．8．（2分）已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为．9．（2分）若点（1，y1）与（2，y2）都在函数y＝﹣x2+3的图象上，则y1，y2的大小关系是．10．（2分）若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是．11．（2分）若一元二次方程x2+mx﹣3＝0（m为常数）的一个根是x＝1，则另一个根是．12．（2分）如图是函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则该函数图象与x轴负半轴的交点坐标是．13．（2分）已知⊙O的半径等于4cm，AB为⊙O的弦，其长为42cm，则弦AB所对的圆周角的度数为．14．（2分）五边形ABCDE为圆的内接五边形，其中AB＝AE，∠A＝100°，则∠B+∠D＝°．15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，若∠E＝25°，∠CAD＝45°，则∠CDA的度数为°．16．（2分）等边△ABC的边长是43，直线l经过等边△ABC的外心O，过B作BD⊥l，垂足为D，连接CD，则CD的最小值是三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程．（1）（x﹣1）2﹣16＝0；（2）x2﹣3x+1＝0．18．（7分）已知二次函数y＝x2﹣mx+1的图象经过点（2，3）．（1）求m的值；（2）该二次函数的图象是否经过点（﹣2，6）？判断并说明理由．19．（7分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点P．（1）求证AP＝BP；（2）已知图中阴影部分面积为10π，求弦AB的长．20．（8分）一个直角三角形的两条直角边长度之和是10cm，面积是12cm2，求斜边的长．21．（7分）二次函数图象的顶点为（﹣1，2），图象经过（0，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）结合图象，直接写出当﹣2≤x≤3时y的取值范围．22．（8分）尺规作图：作已知圆的一条直径．要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．23．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+4﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：不论k取何值时，该方程总有实数根．（2）方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由．24．（8分）如图是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象．（1）求该图象顶点的坐标；（2）该图象经过怎样的平移可以得到函数y＝x2的图象？（3）将该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式．25．（8分）某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，商店积极改进，十月份的销售额恢复到30万元，已知十月份销售额的增长率是九月份销售额的下降率的1.5倍．求九月份的销售额．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，BC与⊙O相交于点E，D是AC的中点，直线DE与直线AB相交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）已知AB＝4，当AC长度变化时，AF的长也随之变化．①当AC＝时，AF＝6；②在整个变化过程中，AF的长是否存在最大值？判断并说明理由．27．（9分）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．从特殊验证已知四边形ABCD的各边长依次为7，15，20，24，求它的面积S何时最大？小敏的演算纸解：分别考虑LB为直角、钝角或锐角的情形．Ⅰ．∠B为直角易得S＝⋯Ⅱ．∠B为钝角易证当∠ABC为钝角时，∠ADC也为钝角．设两条垂线段AE＝x，AF＝y．…Ⅲ．∠B为锐角同理可得Ⅱ中结论综上所述，S的最大值为…．（1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为．（2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值．向一般进发（3）已知四边形ABCD的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值．

2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝0 B．x2＝3 C．4x﹣3y＝3 D．x2﹣y2＝3【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．方程x﹣1＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．方程x2＝3是一元二次方程，故本选项符合题意；C．方程4x﹣3y＝3是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．方程x2﹣y2＝3是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键．2．（2分）已知⊙O的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为5，则点P与⊙O的位置关系（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定【分析】点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r，点P在圆上⇔d＝r，点P在圆内⇔d＜r，由此即可判断．【解答】解：∵圆的半径r＝3，点P到O的距离d=5∴d＜r，∴点P在圆内，故选：C．【点评】本题考查点和圆的位置关系，关键是掌握点和圆位置关系的判定方法．3．（2分）二次函数y＝2（x﹣3）2+2的图象的顶点坐标是（）A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）【分析】由于二次函数y＝a（x﹣b）2+c的顶点坐标为（b，c），由此即可求出抛物线的顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣3）2+2，∴其图象的顶点坐标为（3，2）．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式求其顶点的坐标．4．（2分）如图，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列出方程（）A．（40﹣x）（22﹣x）＝760 B．（40+x）（22+x）＝760 C．40×22﹣40x﹣22x＝760 D．40×22﹣40x﹣22x﹣x2＝760【分析】把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（40﹣x）和（22﹣x），根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程．【解答】解：设道路的宽应为x米．依题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝760，故选：A．【点评】考查了一元二次方程的应用，关键是将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．5．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示．x⋯﹣1012⋯y⋯0343⋯下列说法中，正确的是（）A．图象的开口向上 B．图象经过点（4，0） C．图象与x轴只有一个公共点 D．点（2，3）右边的图象呈下降趋势【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的顶点坐标为（1，4），则设顶点式y＝a（x﹣1）2+4，再把（0，3）代入求出a得到抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，于是根据二次函数的性质可对选项进行判断；通过解方程﹣（x﹣1）2+4＝0得到抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），则可对B选项和C选项进行判断；根据二次函数的性质，当x＞1时，y随x的增大而减小，从而可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线经过点（0，3）、（2，3），∴抛物线的顶点坐标为（1，4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把（0，3）代入得3＝a×（0﹣1）2+4，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，∵a＜0，∴抛物线开口向下，所以A选项不符合题意；当y＝0时，﹣（x﹣1）2+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），所以B选项不符合题意，C选项不符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∴点（2，3）右边的图象呈下降趋势，所以D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．6．（2分）如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E且总有∠BED＝45°，则AE2+BE2的值（）A．随着OE的增大而增大 B．随着OE的增大而减小 C．随着OE的增大先增大后减小 D．保持不变【分析】作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，设半径为R，在直角三角形OAH和OBH中，利用勾股定理整理化简即可．【解答】解：作OH⊥AB于点H，连接OA，OB．设半径为R，∵∠BED＝45°，∴OH＝HE，∴AE2+BE2＝（AH+HE）2+（BH﹣HE）2＝AH2+HE2+2AH•HE+BH2+HE2﹣2BH•HE＝R2+R2+2HE（AH﹣BH）＝2R2∴AE2+BE2的值保持不变．故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，正确整理化简是关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．（2分）写出一个一元二次方程答案不唯一，正确即可，如：x2﹣x﹣6＝0，使它的两个根分别是3、﹣2．【分析】以3、﹣2为根分方程为（x﹣3）（x+2）＝0，即x2﹣x﹣6＝0．【解答】解：由题意可知方程为（x﹣3）（x+2）＝0，即x2﹣x﹣6＝0．故答案为x2﹣x﹣6＝0．【点评】本题考查根与系数的关系，一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（2分）已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为60π．【分析】利用圆锥的底面半径为6，母线长为10，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．【解答】解：依题意知母线长＝10，底面半径r＝6，则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π×10×6＝60π．故答案为：60π．【点评】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．9．（2分）若点（1，y1）与（2，y2）都在函数y＝﹣x2+3的图象上，则y1，y2的大小关系是y1＞y2．【分析】首先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+3的开口向下，对称轴是y轴，∴在y轴的右面y随x的增大而减小，∵点点（1，y1）与（2，y2）都在函数y＝﹣x2+3的图象上，且0＜1＜2，∴y1＞y2．故选：y1＞y2．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键10．（2分）若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是2π．【分析】根据弧长的公式l=nπr【解答】解：∵扇形的半径为3，圆心角为120°，∴此扇形的弧长=120π×3180=故答案为：2π【点评】本题考查了弧长的计算．此题属于基础题，只需熟记弧长公式即可．11．（2分）若一元二次方程x2+mx﹣3＝0（m为常数）的一个根是x＝1，则另一个根是﹣3．【分析】法一：利用方程的根，求出m的值，再解方程即可；法二：利用一元二次方程的根与系数的关系，进行求解即可．【解答】解：法一：由题意得：12+m﹣3＝0，解得：m＝2，∴方程为：x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3；法二：设方程的根为：x1＝1，x2，由根与系数的关系得：x1x2＝﹣3，∴1×x2＝﹣3，∴x2＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查一元二次方程的解的定义、解一元二次方程，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．本题可以利用一元二次方程的根与系数的关系进行简便运算．12．（2分）如图是函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则该函数图象与x轴负半轴的交点坐标是（﹣1，0）．【分析】根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为直线x＝2，然后写出点（5，0）关于直线x＝2的对称点即可．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，抛物线与x轴的交点关于抛物线的对称轴对称．13．（2分）已知⊙O的半径等于4cm，AB为⊙O的弦，其长为42cm，则弦AB所对的圆周角的度数为45°或135°．【分析】连接OA、OB，∠ACB与∠ADB为弦所对的圆周角作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=12AB＝22，在Rt△OAH中利用勾股定理计算出OH＝22，于是可判断△OAH为等腰直角三角形，得到∠AOH＝45°，则∠AOB＝90°，根据圆周角定理得∠ACB=12∠【解答】解：连接OA、OB，∠ACB与∠ADB为弦所对的圆周角，作OH⊥AB于H，则AH＝BH=12AB＝2在Rt△OAH中，∵OA＝4，AH＝22，∴OH=OA2∴△OAH为等腰直角三角形，∴∠AOH＝45°，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB=12∠∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝135°，即弦AB所对的圆周角的度数为45°或135°．故答案为45°或135°．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．14．（2分）五边形ABCDE为圆的内接五边形，其中AB＝AE，∠A＝100°，则∠B+∠D＝220°．【分析】连接BE、BD、AD，先由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠ABE＝40°，再由圆周角定理得∠ADE＝40°，然后由圆内接四边形的性质得出∠ABC+∠ADC＝180°，即可解决问题．【解答】解：如图，连接BE、BD、AD，∵AB＝AE，∠BAE＝100°，∴∠ABE＝∠AEB=1∴∠ADE＝∠ABE＝40°，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC+∠CDE＝∠ABC+∠ADC+∠ADE＝180°+40°＝220°，故答案为：220．【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，若∠E＝25°，∠CAD＝45°，则∠CDA的度数为35°．【分析】连接BC，由圆周角定理得∠ACB＝90°，∠BAD＝∠BCD，再证∠CAB+∠ABC＝70°+2∠BAD＝90°，解得∠BAD＝10°，即可得出结论．【解答】解：如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∵∠CAB＝∠CAD+∠BAD，∠ABC＝∠BCD+∠E，∠BAD＝∠BCD，∴∠CAB+∠ABC＝∠CAD+∠BAD+∠BAD+∠E＝45°+2∠BAD+25°＝70°+2∠BAD＝90°，解得：∠BAD＝10°，∴∠CDA＝∠BAD+∠E＝10°+25°＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查了圆周角定理以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．16．（2分）等边△ABC的边长是43，直线l经过等边△ABC的外心O，过B作BD⊥l，垂足为D，连接CD，则CD的最小值是27−【分析】当直线l过点A时，CD的值最小，即点D为BC的中点，根据等边三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵BD⊥l，垂足为D，连接CD，∵BD+CD≥BC，∴当BD+CD＝BC时，点D在以BO为直径的圆上运动，设BO的中点为M，当D在MC上时，CD取最小值＝27−故答案为：27−【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程．（1）（x﹣1）2﹣16＝0；（2）x2﹣3x+1＝0．【分析】（1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可．【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣16＝0，（x﹣1）2＝16，开方，得x﹣1＝±4，解得：x1＝5，x2＝﹣3；（2）x2﹣3x+1＝0，这里a＝1，b＝﹣3，c＝1，∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，∴x=−b±∴x1=3+52，x【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．18．（7分）已知二次函数y＝x2﹣mx+1的图象经过点（2，3）．（1）求m的值；（2）该二次函数的图象是否经过点（﹣2，6）？判断并说明理由．【分析】（1）将（2，3）代入二次函数即可求解；（2）把x＝﹣2代入二次函数计算，若y＝7，则点P（﹣2，6）不在二次函数图象上．【解答】解：（1）将（2，3）代入二次函数y＝x2﹣mx+1得，4﹣2m+1＝3，解得m＝1，∴m的值是1．（2）由（1）得二次函数的解析式为y＝x2﹣x+1，当x＝﹣2时，y＝4﹣（﹣2）+1＝7≠6，∴点P（﹣2，6）不在这个二次函数图象上．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，点与二次函数图象的关系，掌握二次函数解析式的求解方法，能通过计算判断点与二次函数图象的关系是解题的关键．19．（7分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点P．（1）求证AP＝BP；（2）已知图中阴影部分面积为10π，求弦AB的长．【分析】（1）连接OP，利用圆的切线的性质定理和垂径定理解答即可；（2）连接OA，利用圆的面积公式和垂径定理解答即可．【解答】（1）证明：连接OP，如图，∵大圆的弦AB与小圆相切于点P，∴OP⊥AB，∴PA＝PB=12∴AP＝BP；（2）连接OA，∵图中阴影部分面积为10π，∴π•OA2﹣π•OP2＝10π，∴OA2﹣OP2＝10．∵OP⊥AB，∴AP2＝OA2﹣OP2＝10，∴AP=10∴AB＝2AP＝210．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，垂径定理，圆的面积公式，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．20．（8分）一个直角三角形的两条直角边长度之和是10cm，面积是12cm2，求斜边的长．【分析】设这个直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，根据题意得a+b＝14，12ab＝12，由c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab【解答】解：设这个直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，根据题意得a+b＝14，12ab＝12，即ab∴c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×24＝52，开平方，得c=213即斜边长为213cm【点评】本题考查了一元二次方程在实际问题中的运用，可通过设直角三角形的三边长，根据题意写出等式，根据勾股定理及式子的变形求斜边长．21．（7分）二次函数图象的顶点为（﹣1，2），图象经过（0，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）结合图象，直接写出当﹣2≤x≤3时y的取值范围．【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2+2，然后把已知点的坐标代入求出a即可；（2）先利用（1）中的解析式计算出自变量为﹣2和3所对应的自变量的范围，再根据二次函数的性质得到x＝﹣1时，y有最大值2，然后结合图象求解．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+2，把（0，1）代入得1＝a×（0+1）2+2，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+2；（2）当x＝﹣2，y＝﹣（﹣2+1）2+2＝1，当x＝3，y＝﹣（3+1）2+2＝﹣14，而x＝﹣1时，y有最大值2，∴﹣2≤x≤3时，﹣14≤y≤2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．22．（8分）尺规作图：作已知圆的一条直径．要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．【分析】方法1：在圆上任取弦AB，作线段AB的垂直平分线，与圆分别交于点C，D，连接CD，根据垂径定理可知CD为已知圆的一条直径；方法2：在圆上任取弦EF，过点F作EF的垂线，交圆于点G，连接EG，由圆周角定理可知EG为已知圆的一条直径．【解答】解：方法1：如图，在圆上任取弦AB，作线段AB的垂直平分线，与圆分别交于点C，D，连接CD，则CD即为已知圆的一条直径．方法2：如图，在圆上任取弦EF，过点F作EF的垂线，交圆于点G，连接EG，则EG即为已知圆的一条直径．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+4﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：不论k取何值时，该方程总有实数根．（2）方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由．【分析】（1）证明判别式大于等于0即可；（2）根据两根之和是正数，判断即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣4）2﹣4（4﹣k2）＝4k2≥0，∴方程总有实数根；（2）解：不可能．理由：∵两根之和＝4＞0，∴两个根不可能都是负数．【点评】本题考查根与系数关系，根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．（8分）如图是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象．（1）求该图象顶点的坐标；（2）该图象经过怎样的平移可以得到函数y＝x2的图象？（3）将该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式．【分析】（1）把解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；（2）按照平移的规律：左加右减，上加下减即可；（3）根据旋转180°关于原点对称，可得答案．【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该图象顶点的坐标为（1，﹣4）；（2）将该图象向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得函数y＝x2的图象；（3）该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式为﹣y＝（﹣x）2﹣2（﹣x）﹣3，即y＝﹣x2﹣2x+3．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移变换和中心对称变换的规律．25．（8分）某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，商店积极改进，十月份的销售额恢复到30万元，已知十月份销售额的增长率是九月份销售额的下降率的1.5倍．求九月份的销售额．【分析】设九月份销售额的下降率为x，则十月份销售额的增长率为1.5x，根据某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，十月份的销售额恢复到30万元，列出一元二次方程，解之取其正值，即可解决问题．【解答】解：设九月份销售额的下降率为x，则十月份销售额的增长率为1.5x，由题意得：30（1﹣x）（1+1.5x）＝30，整理得：3x2﹣x＝0，解得：x1=13，x∴30（1﹣x）＝30×（1−13）＝30答：九月份的销售额为20万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，BC与⊙O相交于点E，D是AC的中点，直线DE与直线AB相交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）已知AB＝4，当AC长度变化时，AF的长也随之变化．①当AC＝43时，AF＝6；②在整个变化过程中，AF的长是否存在最大值？判断并说明理由．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠EDA＝∠EAD，可得∠ODA＝∠OAD，由余角的性质可求∠OED＝90°，可得结论；（2）①通过证明△ABE∽△CBA，可得ABAC=BEAE，通过证明△FEB∽△②利用①中结论得出AC和AF的关系，可判断AF的长度的变化．【解答】（1）证明：如图1，连接OE，AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEC＝90°，∵D是AC的中点，∴AD＝DE＝CD，∴∠EAD＝∠AED，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠OEA，∵∠BAC＝∠OAE+∠EAD＝90°，∴∠OED＝∠OEA+∠AED＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：①∵∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠C＝∠BAE，又∵∠ABE＝∠CBA，∴△ABE∽△CBA，∴ABAC∵∠FEB+∠BEO＝∠BEO+∠AEO＝90°，∴∠FEB＝∠AEO＝∠OAE，∵∠F＝∠F，∴△FEB∽△FAE，∴BEAE∴ABAC=BFEF，EF2＝∴AB•EF＝AC•BF，如图1，∵AB＝4，AF＝6，∴BF＝2，EF＝23，∴4×23=2AC，即AC＝4如图2，∵AB＝4，AF＝6，∴BF＝10，EF＝215，∴4×215=10AC，即AC=故答案为：43或415②AF不存在最大值，理由如下：如图1，设AC＝x，AF＝y，∴EF2＝y（y﹣4），∴4EF＝x（y﹣4），整理得，y＝4+64当x无限