2025年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学模拟试卷（四）

第1页（共1页）2025年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学模拟试卷（四）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）根据相关数据显示，长沙市2024年常住人口约1060万人，其中1060万用科学记数法可表示为（）A．10.6×106 B．106×105 C．1.06×107 D．0.106×1083．（3分）长沙市某日早上6时的气温是5℃，中午12时气温升高了4℃，到晚上20时气温又降低了10℃（）A．2℃ B．0℃ C．﹣1℃ D．1℃4．（3分）下列运算正确的是（）A．5a﹣3a＝2 B．a3﹣3a3＝﹣2a3 C．5a2+2a3＝7a5 D．a2b﹣5ab2＝﹣4ab25．（3分）在九年级下学期某次数学模拟检测中，7位同学的成绩依次为：73，90，75，99，85．这组数据的中位数是（）A．75 B．78 C．79 D．806．（3分）点P（3，﹣1）先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点P′（）A．（3，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，1） D．（3，1）7．（3分）对于一次函数y＝﹣3x+4，下列结论错误的是（）A．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4） B．函数值随自变量的增大而减小 C．函数的图象不经过第三象限 D．函数的图象向下平移4个单位长度得到y＝﹣3x8．（3分）如图，AB∥DC，点E在BC上，∠D＝74°，则∠B的度数为（）A．68° B．32° C．22° D．16°9．（3分）如图，若OB＝5，AB＝8（）A． B．8 C．10 D．610．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的图象上，对角线BD平行于x轴，若S菱形ABCD＝400，则k的值为（）A．100 B．150 C．200 D．250二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）为了比较甲、乙、丙三种小麦秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.2，9.8，由此可知种秧苗长势更整齐（填“甲”“乙”或“丙”）．12．（3分）为了帮助学生们准确区分物理变化和化学变化，化学老师准备了四张形状、大小和背面图案相同的卡片．每张卡片上描述了一个变化：“铁器生锈”“光合作用”“木材燃烧”“冰块融化”．老师将这些卡片背面朝上，充分混合后．13．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，则图中阴影部分的面积为．15．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，CA的中点，四边形BEFD的周长为15．16．（3分）如图，将9个数分别填入九宫格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若a，b，c，d，则a+b﹣c﹣d﹣e的值为．三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）（x﹣3y）﹣x（x+3y），y＝﹣1．19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）作线段BC的垂直平分线，交斜边AB于点M（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若CM＝CA＝220．（8分）为提升学生实践能力和团队合作精神，增强学生的社会责任感，某市中学选取了四个中小学实践研学基地：A．胡耀邦故里旅游区；C．稻花香里农耕文化园；D．中联重科工程机械馆．为了解学生的研学意向（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图．（1）在本次调查中，一共抽取了名学生；（2）请补全条形统计图，并计算在扇形统计图中，B选项所在扇形的圆心角度数为；（3）若该校有600名学生，请估计喜欢D的学生有人；（4）此次研学小数和小学同时参加，请用列表法或画树状图法，求出这两名同学恰好去同一个研学基地的概率．21．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，ED⊥BD，AC＝DE．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若AC＝8，CD＝6，求BD的长．22．（8分）某中学组织合唱比赛．某班同学自主购买A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫贵10元（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元；（2）已知一共需购买48件文化衫，在实际购买时，商家让利销售，B款每件让利10元，现计划购买文化衫的费用不超过1530元，请问共有多少种购买方案？23．（11分）如图，在▱ABCD中，E，F是直线BD上的两点（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，求DE的长．24．（9分）等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两条边叫做这个三角形的腰，另一条边叫做底边．在⊙O中，我们不妨约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，点C为半圆弧上一动点．（1）如图1所示，若以AC为底边作⊙O的“沉毅三角形”，以BC为底边作⊙O的“朴实三角形”，如果变化，请证明，请求出∠DCE的度数．（2）如图2所示，△ACD是⊙O的“沉毅三角形”，当AD与⊙O相切时，如果不是，请证明，请求出AC的长度．（3）若分别以AC为底边作⊙O的“沉毅三角形”和“朴实三角形”，当点C从点A运动到点B时，分别求出点D运动的路径长度．25．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，一次函数y＝kx+4与抛物线交于M，N两点，分别过点M，N，P作x轴的垂线，N′，P′，若；（3）如图2，点G为第一象限抛物线上一动点，连接CG，将线段CG绕点C逆时针旋转90°得到CD，点D落在第一象限，点G关于BC的对称点为H，连接DH，分别交BC于点E，点F，是定值吗？如果是，请分别求出定值，请说明理由．

2025年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学模拟试卷（四）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BC．CB．DCABAB一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断如下：A、是轴对称图形，不符合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形；C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．2．（3分）根据相关数据显示，长沙市2024年常住人口约1060万人，其中1060万用科学记数法可表示为（）A．10.6×106 B．106×105 C．1.06×107 D．0.106×108【解答】解：1060万＝10600000＝1.06×107．故选：C．3．（3分）长沙市某日早上6时的气温是5℃，中午12时气温升高了4℃，到晚上20时气温又降低了10℃（）A．2℃ B．0℃ C．﹣1℃ D．1℃【解答】解：由题意可得：5+4﹣10＝﹣4，∴20时的气温为﹣1℃，故选：C．4．（3分）下列运算正确的是（）A．5a﹣3a＝2 B．a3﹣3a3＝﹣2a3 C．5a2+2a3＝7a5 D．a2b﹣5ab2＝﹣4ab2【解答】解：A、5a﹣3a＝2a≠2；B、a3﹣4a3＝﹣2a8，故B正确；C、5a2+6a3≠7a8，故C错误；D、a2b﹣5ab6≠﹣4ab2，故D错误．故选：B．5．（3分）在九年级下学期某次数学模拟检测中，7位同学的成绩依次为：73，90，75，99，85．这组数据的中位数是（）A．75 B．78 C．79 D．80【解答】解：∵7位同学的成绩依次为：73，90，75，78，∴这组数据按从小到大进行排序为73，75，80，90，∴中位数是80，故选：D．6．（3分）点P（3，﹣1）先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点P′（）A．（3，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，1） D．（3，1）【解答】解：由平移规律可知，P′（3﹣4，即P′（﹣7，故选：C．7．（3分）对于一次函数y＝﹣3x+4，下列结论错误的是（）A．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4） B．函数值随自变量的增大而减小 C．函数的图象不经过第三象限 D．函数的图象向下平移4个单位长度得到y＝﹣3x【解答】解：A、当y＝0时，解得不是（0，故符合题意；B、由于y＝﹣3x+4中的k＝﹣3＜0，故不符合题意；C、由于y＝﹣8x+4中的k＝﹣3＜7，所以函数的图象不经过第三象限正确；D、一次函数y＝﹣3x+4的图象向下平移8个单位长度得到y＝﹣x+4﹣4＝﹣7x正确；故选：A．8．（3分）如图，AB∥DC，点E在BC上，∠D＝74°，则∠B的度数为（）A．68° B．32° C．22° D．16°【解答】解：∵∠D＝∠CED，∠D＝74°，∴∠DEC＝∠D＝74°，∴∠C＝180°﹣74°﹣74°＝32°，∵AB∥CD，∴∠B＝∠C＝32°，故选：B．9．（3分）如图，若OB＝5，AB＝8（）A． B．8 C．10 D．6【解答】解：CD垂直AB于E，如图AB＝，在Rt△OBE中，OE＝＝，∴CE＝OE+OC＝3+3＝8，在Rt△ACE中，AC＝＝．故选：A．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的图象上，对角线BD平行于x轴，若S菱形ABCD＝400，则k的值为（）A．100 B．150 C．200 D．250【解答】解：过点D作DM⊥x轴于点M，由条件可知，∴S△AOD＝200＝S△BCD，∵BD∥x轴，O为BC的中点∴△CON∽△CBD，∴，∵，∴S四边形BOND＝200﹣50＝150，∴CB＝CD，∴∠OBF＝∠BDN，∵BD∥MN，∴∠BDN＝∠DNM，∴∠OBF＝∠DNM，记BD与y轴交于点F，∵BD∥MN，FO，∴OF＝DM，∠BFO＝∠DMN＝90°，∴△FBO≌△MND（AAS），∴S四边形BOND＝S矩形FOMD＝150，∴k＝150，故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）为了比较甲、乙、丙三种小麦秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.2，9.8，由此可知甲种秧苗长势更整齐（填“甲”“乙”或“丙”）．【解答】解：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，即波动越大；反之，表明这组数据分布比较集中，即波动越小，∵3.2＜8.8＜13.9，∴甲种秧苗长势更整齐，故答案为：甲．12．（3分）为了帮助学生们准确区分物理变化和化学变化，化学老师准备了四张形状、大小和背面图案相同的卡片．每张卡片上描述了一个变化：“铁器生锈”“光合作用”“木材燃烧”“冰块融化”．老师将这些卡片背面朝上，充分混合后．【解答】解：∵“铁器生锈”“光合作用”“木材燃烧”是化学变化，“冰块融化”是物理变化，∴这4张卡片上，有3个是化学变化，∴让学生随机抽取一张卡片共有2种等可能的结果，其中，∴抽到描述化学变化的卡片的概率是，故答案为：．13．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是x≠2．【解答】解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时有意义．故答案为：x≠4．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，则图中阴影部分的面积为．【解答】解：∵AB＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△AB′C′，∴△AB′C′≌△ABC，∠B′AB＝45°，∴S△AB′C′＝S△ABC，∴图中阴影部分的面积等于，故答案为：．15．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，CA的中点，四边形BEFD的周长为1515．【解答】解：在△ABC中，D，E，F分别是边AB，CA的中点，∴DF∥BC，EF∥AB，，∴四边形BEFD为平行四边形．∵四边形BEFD周长为15，∴DF+EF＝×15＝7.5，∴AB+BC＝2EF+2DF＝15．故答案为：15．16．（3分）如图，将9个数分别填入九宫格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若a，b，c，d，则a+b﹣c﹣d﹣e的值为﹣7．【解答】解：∵第一行与第三行上的三个数之和相等，∴a+b+0＝d+e+1，∴a+b﹣d﹣e＝8．∵幻和＝中间数×3，即﹣2+6+c＝3×3，∴c＝5，∴a+b﹣c﹣d﹣e＝a+b﹣d﹣e﹣c＝1﹣8＝﹣2．故答案为：﹣7．三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：．【解答】解：原式＝＝＝﹣1．18．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）（x﹣3y）﹣x（x+3y），y＝﹣1．【解答】解：（x﹣2y）（x﹣3y）﹣x（x+5y）＝x2﹣3xy﹣4xy+6y2﹣x8﹣3xy＝﹣8xy+5y2．将x＝﹣3，y＝﹣5代入得：原式＝﹣8xy+6y6＝﹣8×（﹣3）×（﹣4）+6×（﹣1）3＝﹣18．19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）作线段BC的垂直平分线，交斜边AB于点M（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若CM＝CA＝2【解答】解：（1）如图，线段DM即为所求作；（2）由题意得，∠BDM＝∠ACB＝90°，∴MD∥AC，∴，∴点M为AB中点，∴，∴AB＝2CM＝4，∵CA＝6，∴．20．（8分）为提升学生实践能力和团队合作精神，增强学生的社会责任感，某市中学选取了四个中小学实践研学基地：A．胡耀邦故里旅游区；C．稻花香里农耕文化园；D．中联重科工程机械馆．为了解学生的研学意向（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图．（1）在本次调查中，一共抽取了40名学生；（2）请补全条形统计图，并计算在扇形统计图中，B选项所在扇形的圆心角度数为90°；（3）若该校有600名学生，请估计喜欢D的学生有225人；（4）此次研学小数和小学同时参加，请用列表法或画树状图法，求出这两名同学恰好去同一个研学基地的概率．【解答】解：（1）由题意得，8÷20%＝40，故答案为：40；（2）40﹣8﹣7﹣15＝10（人），在扇形统计图中，B选项所在扇形的圆心角度数为：，补全条形统计图如图：故答案为：90°；（3）（人），故答案为：225；（4）小数和小学同时参加，作树状图如下：总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有3种，∴小数和小学恰好去同一个研学基地的概率为．21．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，ED⊥BD，AC＝DE．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若AC＝8，CD＝6，求BD的长．【解答】（1）证明：在△ABC中，∠A＝90°，ED⊥BD，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠A＝∠D＝90°，∴∠B+∠ACB＝∠E+∠ECD＝90°，∴∠B＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（AAS）；（2）解：∵AC＝8，AC＝DE，∴DE＝8，∵CD＝4，在直角三角形CDE中，由勾股定理得：，∴CE＝BC＝10，∴BD＝BC+CD＝10+6＝16．22．（8分）某中学组织合唱比赛．某班同学自主购买A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫贵10元（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元；（2）已知一共需购买48件文化衫，在实际购买时，商家让利销售，B款每件让利10元，现计划购买文化衫的费用不超过1530元，请问共有多少种购买方案？【解答】解：（1）设A款文化衫每件x元，B款文化衫每件y元，由题意得：，解得，所以A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元，答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元．（2）设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫（48﹣a）件，由题意得：，解得16≤a≤18，∵a为正整数，∴满足条件的所有a的值为16，17，综上所述，共有3种购买方案，答：共有8种购买方案．23．（11分）如图，在▱ABCD中，E，F是直线BD上的两点（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，求DE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠ADB＝∠CBD．∴∠ADE＝∠CBF．在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．∴AE＝CF，∠AED＝∠CBF．∴AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，∴BD＝＝＝4，连接AC交EF于O，∴DO＝OB＝BD＝2，∵四边形AECF是平行四边形，∴EO＝OF＝EF，∴DE＝BF，设DE＝BF＝x，∴EF＝2x+6，∵EF﹣AF＝2，∴AF＝2x+3，∵AF2＝AD2+DF8，∴（2x+2）7＝32+（7+x）2，∴x＝（负值舍去），∴DE的长为．24．（9分）等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两条边叫做这个三角形的腰，另一条边叫做底边．在⊙O中，我们不妨约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，点C为半圆弧上一动点．（1）如图1所示，若以AC为底边作⊙O的“沉毅三角形”，以BC为底边作⊙O的“朴实三角形”，如果变化，请证明，请求出∠DCE的度数．（2）如图2所示，△ACD是⊙O的“沉毅三角形”，当AD与⊙O相切时，如果不是，请证明，请求出AC的长度．（3）若分别以AC为底边作⊙O的“沉毅三角形”和“朴实三角形”，当点C从点A运动到点B时，分别求出点D运动的路径长度．【解答】解：（1）∠DCE的度数不发生变化；理由如下：∵以AC为底边作⊙O的“沉毅三角形”，以BC为底边作⊙O的“朴实三角形”，∴△ACD是等边三角形，△BCE是以BC为底边等腰直角三角形，∴∠ACD＝60°，∠BCE＝45°，∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DCE＝360°﹣∠ACD﹣∠BCE﹣∠ACB＝165°，∴∠DCE的度数不发生变化，∠DCE的度数为165°．（2）△ACD是⊙O的“完美三角形”；证明：△ACD是⊙O的“沉毅三角形”，如图2，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝∠ACD＝60°，∵AD与⊙O相切，∴AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝30°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠BAC＝30°，∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝90°，即OC⊥CD，又∵OC是⊙O的半径，∴CD与⊙O相切，又∵AD与⊙O相切，∴△ACD是⊙O的“完美三角形”．∵AB＝10为半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，．综上所述，△ACD是⊙O的“完美三角形”；（3）以AC为底边作⊙O的“沉毅三角形”，如图3，△ACD与△ABM重合，取AM的中点P，连接OM，OP，∵△ABM是等边三角形，OA＝OB，∴∠OAM＝60°，MO⊥AB，在Rt△AOM中，，∴△AOP是等边三角形，∴OA＝AP＝OP，∵△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AD＝AC，∴∠CAD＝∠OAM＝60°，∴∠CAD﹣∠CAP＝∠OAM﹣∠CAP，即∠PAD＝∠OAC，在△PAD和△OAC中，，∴△PAD≌△OAC（SAS），∴PD＝OC，又∵OC＝OA，OA＝PA，∴PD＝PA＝PM，∴点A，D，M三点共圆，∴当点C从点A运动到点B时，点D运动的路径是在以AM为直径的半圆上，∵△ABM是等边三角形，且AB＝10，∴AM＝AB＝10，∴此时点D运动的路径长度为；以AC为底边作⊙O的“朴实三角形”，如图4，△ACD与△ABN重合，同理可证：当点C从点A运动到点B时，点D运动的路径是在以AN为直径的半圆上，∵△ABN是以AB为底边的等腰直角三角形，∴∠BAN＝45°，∴在Rt△ABN中，，∴此时点D运动的路径长度为；综上所述，点D运动的路径长度分别为3π或．25．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，一次函数y＝kx+4与抛物线交于M，N两点，分别过点M，N，P作x轴的垂线，N′，P′，若；（3）如图2，点G为第一象限抛物线上一动点，连接CG，将线段CG绕点C逆时针旋转90°得到CD，点D