专题3-因数与倍数-2023年五年级数学下册暑假专项培优（苏教版）

专题3因数与倍数2023年五年级数学下册暑假专项培优（思维导图+旧知温习+易错警示+高效培优+真题演练）1、因数与倍数。在乘法算式a×b=c（a，b，c均是非零自然数）中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。2、找一个数的因数的方法。方法一：列乘法算式找。方法二：列除法算式找。3、找一个数的倍数的方法。用这个数依次与非零自然数相乘，所得的积都是这个数的倍数。4、5，2和3的倍数的特征。个位上是0，2，4，6或8的数是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数；各数位上数字的和是3的倍数的数是3的倍数。5、奇数与偶数。是2的倍数的数叫作偶数；不是2的倍数的数叫作奇数。6、质数和合数。只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）；除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。7、质因数。如果一个数的因数是质数，那么这个因数就是它的质因数。8、分解质因数。把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。9、公因数和最大公因数的意义。几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数；其中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。10、公倍数和最小公倍数的意义。几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。11、求两个数的最大公因数的方法。（1）列举法；（2）筛选法；（3）分解质因数法。12、求两个数的最小公倍数的方法。（1）列举法；（2）筛选法；（3）短除法。13、求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况。（1）成倍数关系的两个数的最大公因数是其中的较小数，最小公倍数是其中的较大数。（2）只有公因数1的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积。知识拓展：

奇数-奇数=偶数

偶数-偶数=偶数

奇数-偶数=奇数

奇数×奇数=奇数

偶数×偶数=偶数

奇数×偶数=偶数1、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。2、一个数的倍数都大于或等于它本身，而因数都小于或等于它本身。3、3的倍数也可以是偶数。4、如果a是自然数，偶数可用2a来表示，a+2并不能表示偶数。5、1既不是质数，也不是合数。6、最小的质数是2，最小的合数是4。7、2是唯一的一个偶质数。8、分解质因数时，除数和商都不能是1，因为1不是质数。9、如果两个数只有公因数1，那么1就是这两个数的最大公因数。10、只有两个数成倍数关系时，较小的数才是这两个数的最大公因数。11、几个数的公倍数的个数是无限的。12、当两个数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数。一、选择题1．哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的式子中反映这个猜想的是（

）。A．4＝1＋3 B．13＝2＋11 C．54＝3＋51 D．36＝7＋292．两个不同自然数（0除外）的乘积一定（

）它们的最小公倍数。A．大于 B．小于 C．等于 D．大于或等于3．用4、5、7这三个数字组成的三位数中，2的倍数有（

）个。A．6 B．4 C．2 D．14．下列说法正确的有（

）个。（1）5和7没有公因数，但5和7有公倍数。（2）一个两位数，十位上的数字是8，个位上的数字是b，这个数可表示为8b。（3）方程一定是等式，等式不一定是方程。（4）3的倍数一定是9的倍数，9的倍数也一定是3的倍数。（5）若（a、b为非0自然数），则a和b的最小公倍数是ab。A．1 B．2 C．3 D．45．下面可以将学生分成人数相同（不可为1）的几个小组的班级是（

）。班级一班二班三班人数414543A．一班 B．二班 C．三班 D．三个班都不好分6．一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正方形，且没有剩余。最少可以分成（

）个。A．2 B．12 C．6 D．4二、填空题7．一个四位数，千位上的数既不是质数也不是合数，百位上的数是最小的合数，十位上的数既是奇数又是合数，个位上的数既是偶数又是质数，这个数是()。8．丹丹和星星定期图书馆阅读，丹丹每6天去一次，星星每8天去一次。她们6月30日同时去图书馆阅读，下一次同时去阅读的日期是()。9．有两根彩带，一根长42厘米，另一根长30厘米。现在要把它们剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是()厘米，一共可以剪成()段。10．一个两位数3，它既有因数2，又是3的倍数，里的能填的数最大是()，把这个两位数分解质因数是()。11．1、3、9、10、18、90这6个数中，其中18的因数有()，18的倍数有()。12．小华爸爸刚买了一辆新车，车牌号从左到右，第一位数是所有自然数（0除外）的公因数；第二位数既是偶数又是质数；第三位数是10以内最大的奇数；第四位数是最小的合数；第五位数的最大因数和最小倍数都是5。这个车牌号码是。三、判断题13．一个自然数，不是质数就是合数。()14．因为24÷8＝3，所以24是倍数，8是因数。()15．既是2的倍数又是5的倍数的数，它的个位上一定是0。()16．66＝6×11，6和11都是66的质因数。()四、计算题17．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。26和13

11和1316和12

15和4018．我出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。13和5

25和16

17和51

24和36五、解答题19．王明过生日，妈妈买来16块小蛋糕和30块饼干平均分给王明和他的朋友们，结果小蛋糕少了2块，饼干多了3块。王明最多一共来了多少个朋友？20．把下面两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，最少可以剪成多少段？

21．火车站是1路和3路公交车的起点站。1路车每5分钟发车一次，3路车每8分钟发车一次。这两路公交车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？22．五年级（1）班学生人数在40～60之间。参加植树活动时，如果每4人一组或6人一组都刚好分完而且无剩余。这个班有多少人？23．一桶巧克力有五十多颗。平均分给6个人，多3颗，平均分给8个人，少5颗。这桶巧克力有多少颗？24．摆一摆：从0、1、3、8这4个数字卡片中选出3个，按要求组成一个三位数，并说说你的想法。（1）组成的数是3的倍数。（2）组成的数是偶数，同时有因数3和5。25．加工一套服装，要经过三道工序，第一道工序每人每小时可完成3个零件，第二道工序每人每小时可完成4个零件，第三道工序每人每小时可完成7个零件，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？26．把下面的方格图（每小格边长看成1厘米）分割成几个面积最大并相等的正方形，且没有剩余。能分成多少个这样的正方形？先写出计算过程，再在图中画出分割过程。1．（2023春·江苏泰州·五年级统考期中）在252米长的直路上挂红、蓝、紫三种颜色的灯笼，蓝灯笼每隔6米挂一个，紫灯笼每隔9米挂一个。如果蓝灯笼和紫灯笼重复的地方就改挂一个红灯笼，那么除两端外，中间挂有多少个红灯笼？2．（2023春·江苏泰州·五年级统考期中）一张长方形的纸片长28厘米，宽22厘米。如下图，在纸的四边留2厘米的空白，然后把中间的长方形平均分成若干个相同的正方形，正方形的边长最大是多少厘米（边长是整厘米数）？至少可以分成多少个正方形？3．（2023春·江苏淮安·五年级统考期中）在本学期的因数和倍数的学习中，我们了解过像6、28等这样的完全数（6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是1＋2＋3＝6），这是古希腊的数学家毕达哥拉斯在对数的研究过程中发现的。其实他在研究的过程中还发现了有趣的“亲和数”。例如：A的所有因数除去本身外，其它的因数加起来等于B；而B的所有因数除去本身外，所有的因数加起来等于A。那么A和B这两个数字就被称为“亲和数”。人类发现的最小的一对“亲和数”是220和（

）。你知道括号里的数字是多少吗？请写出你的计算过程。4．（2023春·山西太原·五年级统考期中）在方格纸上画一个长方形，使得它的面积是12cm2，边长是整厘米数。（每个小方格的边长表示1cm）（1）可以这样想：12＝（

）×（

）＝（

）×（

）＝（

）×（

）。所以12的因数有：（

）。（2）在图中画出所有可能的情况。（3）12的所有因数中，质数有（

），合数有（

），奇数有（

）。参考答案1．D【分析】根据质数的定义，除了1和本身外，没有其它因数的数叫质数；根据题意“这个猜想的内容是任何大于2的偶数都是两个质数之和”进行判断逐项分析即可。【详解】A．“4＝1＋3”中1既不是质数，也不是合数，不符合猜想；B．“13＝2＋11”中13是奇数，不是偶数，不符合猜想；C．“54＝3＋51”中51是合数，不是质数，不符合猜想；D．“36＝17＋19”中36是偶数，7和29是质数，符合猜想。哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的式子中反映这个猜想的是36＝7＋29。故答案为：D【点睛】此题考查了质数的意义以及拓展应用，要熟练掌握熟练掌握质数的意义是解答本题的关键。2．D【分析】利用求最小公倍数的方法：几个数的公有因数与独有因数的连乘积；由此可以得到两个不同自然数（0除外）的乘积一定大于或等于它们的最小公倍数，从而解决问题。【详解】因为相邻的两个自然数（0除外），是互质数，比如：5和6，由求最小公倍数的方法可知，它们的乘积一定大于或等于它们的最小公倍数。故答案为：D【点睛】此题考查了求几个数的最小公倍数的灵活应用。3．C【分析】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；据此先写出所以符合条件的数。【详解】用4、5、7组成的三位数有：457，475，547，574，754，745，一共有6个；其中2的倍数有：574，754一共有2个。用4、5、7这三个数字组成的三位数中，2的倍数有2个。故答案为：C【点睛】本题主要考查2的倍数特征，关键是用给出的三个数字写出所有的三位数，进而分类得解。4．B【分析】（1）先列举出5和7的因数、倍数，再求出它们的公因数和公倍数，即可得出答案；（2）因为十位上的数字是几就表示几个十，个位上的数字是几就表示几个一，由此得出两位数的表示方法：十位数字×10＋个位数字；（3）方程是含有未知数的等式，表示两个数或两个代数式相等关系的式子叫做等式；（4）举例说明：6是3的倍数，但是6不是9的倍数；（5）因为a、b都是非0的自然数，b－a＝1，那么a和b是互质数，是互质数的两个数，它们的最小公倍数即这两个数的乘积；据此判断即可。【详解】（1）5的因数有1和5，7的因数有1和7，5和7的公因数是1；所以说5和7没有公因数，错误。5的倍数有5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70……7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56、63、70……5和7的公倍数有35、70……所以5和7有公倍数，正确。所以5和7没有公因数，但5和7有公倍数，说法错误。（2）这个两位数可写成8×10＋b＝80＋b，所以原题说法错误。（3）根据方程与等式的意义可知，方程一定是等式，但等式不一定是方程，说法正确。（4）由以上分析，6是3的倍数，但是6不是9的倍数；因此9的倍数一定是3的倍数，但3的倍数不一定是9的倍数，原题说法错误。（5）因为a、b都是非0的自然数，b－a＝1，那么a和b是互质数，则a和b的最小公倍数是ab，说法正确。说法正确的有2个。故答案为：B【点睛】此题主要考查了求两个数的最小公倍数，方程与等式的关系，公因数等知识，要熟练掌握。5．B【分析】41、43是质数，因数只有1和它本身，所以一班、三班不能分成人数相同的几个小组；45是合数，除了有因数1和它本身外，还有别的因数，所以可以分成人数相同的小组。据此解答。【详解】45＝5×9，可以分成5个小组或9个小组。故答案为：B【点睛】首先根据质数与合数的意义进行确定是完成本题的关键。6．C【分析】要分成大小相等的小正方形，且没有剩余，就是小正方形的边长是24和18的公因数，要求分的最少就是求24和18的最大公因数为小正方形的边长，然后用长方形纸的长和宽分别除以小正方形的边长，就是长方形纸的长边最少可以分几个，宽边最少可以分几个，最后把它们乘起来即可。【详解】6＝2×34＝2×2所以6和4的最大公因数是：2，即小正方形的边长是2厘米，长方形纸的长边可以分；6÷2＝3（个）宽边可以分：4÷2＝2（个）一共可以分成：3×2＝6（个）最少可以分成6个。故答案为：C【点睛】本题关键是理解：要分成大小相等的小正方形，且没有剩余，就是小正方形的边长是6和4的公因数。7．1492【分析】1既不是质数也不是合数，最小的合数是4，既是奇数又是合数的一位数是9，2既是偶数又是质数，据此写数。【详解】一个四位数，千位上的数既不是质数也不是合数，百位上的数是最小的合数，十位上的数既是奇数又是合数，个位上的数既是偶数又是质数，这个数是1492。【点睛】解答本题需熟练掌握质数、合数、偶数和奇数的意义。8．7月24日【分析】已知丹丹每6天去一次，星星每8天去一次。如果6月30日他们两人在图书馆相遇，要求下一次几天后相遇，也就是求6和8的最小公倍数，求两个数的最小公倍数，先将这两个数分别分解质因数，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。然后用6月30日加上最小公倍数推算出下次相遇的日子。【详解】6＝2×38＝2×2×22×2×2×3＝246月有30天，她们6月30日同时去图书馆阅读，下一次同时去阅读的日期是7月24日。【点睛】本题考查了求最小公倍数的方法和应用。9．612【分析】要求每根短彩带最长是多少厘米，即求42和30的最大公因数，求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，由此解决问题；再用两根彩带的长度和÷每根短彩带的长度即可求解。【详解】42＝2×3×730＝2×3×5所以42和30的最大公约数是：2×3＝6（42＋30）÷6＝72÷6＝12（根）答：每根短彩带最长是6厘米，一共可以剪12根。【点睛】本题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；数字大的可以用短除法解答。10．636＝2×2×3×3【分析】根据2、3的倍数的特征：个位数是0、2、4、6、8是都是2的倍数；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数。因此，既有因数2，又是3的倍数，里的能填的数最大是6，再把36分解质因数即可。【详解】一个两位数3，它既有因数2，又是3的倍数，里的能填的数最大是（6），把这个两位数分解质因数是（36＝2×2×3×3）。【点睛】掌握能被2、3整除的数的特征是解答此题的关键。11．1、3、9、1818、90【分析】根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身，据此解答。【详解】18÷1＝1818÷3＝618÷9＝218÷18＝118÷10＝1.890÷18＝51、3、9、10、18、90这6个数中，其中18的因数有1、3、9、18；18的倍数有18、90。【点睛】此题是考查因数和倍数的意义，注意不要忽略a、b、c为非0自然数这点。12．【分析】所有自然数（0除外）的公因数是1；既是偶数又是质数的数是2；10以内最大的奇数是9；最小的合数是4；一个数的最大因数和最小倍数都是5，那么这个数就是5。据此解答。【详解】第一位数是所有自然数（0除外）的公因数；第二位数既是偶数又是质数；第三位数是10以内最大的奇数；第四位数是最小的合数；第五位数的最大因数和最小倍数都是5。这个车牌号码是【点睛】此题考查了奇数和偶数，合数与质数的性质。13．×【分析】一个数只有1和它本身两个因数，像这样的数叫作质数。一个数的因数除了1和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数，1既不是质数，又不是合数。据此判断即可。【详解】由分析可知：1是自然数，它既不是质数也不是合数，原题说法错误。故答案为：×【点睛】本题考查质数和合数，明确质数和合数的定义是解题的关键。14．×【分析】如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数【详解】根据24÷8＝3可得3×8＝24，所以3和8是24的因数，24是3和8的倍数。原说法错误。故答案为：×【点睛】因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。15．√【分析】因为5的倍数的特点是：个位上的数是0或5；2的倍数的特点是：个位上的数是0、2、4、6、8的数；所以既是2的倍数又是5的倍数，个位上一定是0。【详解】由分析可知，既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上一定是0；原题说法正确。故答案为：√【点睛】本题考查了2，5倍数的特点，要记住这些特点，并灵活运用。16．×【分析】根据质因数的意义和分解质因数的方法，把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数；由此解答。【详解】66＝2×3×11，质因数由2、3、11，所以原题干表述错误。故答案为：×【点睛】此题主要考查分解质因数的意义和分解质因数的方法，明确在自然数中，只有1和它本身两个因数的数叫质数，是解题的关键。17．13；26；1；1434；48；5；120【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积；如果两个数成倍数关系，两个数的最大公因数是两个数中较小的那个数，最小公倍数是较大的数；如果两个数是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，由此解决问题即可。【详解】26和1326和13是倍数关系，最大公因数是13，最小公倍数是26；13和1113和11是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是13×11＝143；16和1216＝2×2×2×2，12＝2×2×3；16和12的最大公因数是2×2＝4，最小公倍数是2×2×3×2×2＝48；15和4015＝3×540＝2×2×2×5；15和40的最大公因数是5，最小公倍数是2×2×2×3×5＝120。18．13和5的最大公因数和最小公倍数分别是：1，65；25和16的最大公因数和最小公倍数分别是：1，400；17和51的最大公因数和最小公倍数分别是：17，51；24和36的最大公因数和最小公倍数分别是：12，72【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数；如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。【详解】13和5互质，13×5＝6513和5的最大公因数和最小公倍数分别是：1，65；25和16互质，25×16＝40025和16的最大公因数和最小公倍数分别是：1，400；51÷17＝351和17是倍数关系，它们的最大公因数和最小公倍数分别是：17，51；24＝2×2×2×336＝2×2×3×32×2×3＝122×2×2×3×3＝7224和36的最大公因数和最小公倍数分别是：12，72。19．8个【分析】根据妈妈买来16块小蛋糕和30块饼干平均分给王明和他的朋友们，结果小蛋糕少了2块，饼干多了3块，可知这些小朋友的人数是（16＋2）、（30－3）的公因数，求出最大公因数，最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，然后减去1即可求出王明最多一共来了多少个朋友。【详解】16＋2＝1830－3＝2718＝2×3×327＝3×3×3最大公因数是3×3＝99－1＝8（个）答：王明一共来了8个朋友。【点睛】本题考查了最大公因数的应用，掌握最大公因数的计算方法是解答本题的关键。20．7段【分析】要把两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，求每根彩带最长是多少厘米，就是求45和60的最大公因数，求两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，可以先分别把这两个数分解质因数，再把这两个数的公有质因数相乘，最后用两条彩带的总厘米数除以每段长度求剪成的段数，由此解决问题即可。【详解】45＝3×3×560＝2×2×3×5所以45和60的最大公因数是：3×5＝15（45＋60）÷15＝105÷15＝7（段）答：最少可以剪成7段。【点睛】熟练掌握求两个数最大公因数的方法是解答本题的关键。21．40分钟【分析】1路车每5分钟发车一次，3路车每8分钟发车一次，所以在5和8的公倍数的时候会同时发车，求这两路公交车同时发车以后至少再过多少分钟又同时发车，就是求5和8的最小公倍数，据此解答即可。【详解】5和8是互质数，5和8的最小公倍数是：5×8＝40至少再过40分钟又同时发车。答：至少再过40分钟又同时发车。【点睛】求两个数的最小公倍数就是两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，如果两个数为互质数，最小公倍数是两个数的乘积。22．48人【分析】根据题意可知，五（1）班学生人数是4和6的公倍数，先求出4和6的最小公倍数，列出最小公倍数的倍数，再根据人数在40～60之间，找出这个班的人数。【详解】6＝2×34＝2×26和4的最小公倍数是：2×2×3＝1212的倍数：12、24、36、48、60……由于48在40～60之间。答：这个班有48人。【点睛】此题属于最小公倍数的实际应用，利用求两个数的最小公倍数的方法解决问题。23．51颗【分析】由于平均分给6个人多3颗，那么去掉3颗的话，这个糖的数量是6的倍数；平均分给8个人，少5颗，此时已经去掉3颗，那么相当于少8颗，也就是说此时的数量也是8的倍数，那么找出6和8的公倍数，之后再加上3，那么此时的数量是50到60之间即可。【详解】6＝2×38＝2×2×26和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝246和8的公倍数是：24、48、72……由于数量是五十多颗，则选择去掉3颗后是48颗。48＋3＝51（颗）答：这通巧克力有51颗。【点睛】本题主要考查公倍数的找法，要清楚本题求出6和8的公倍数之后，还需要加上之前少算的3颗是解题的关键。24．（1）138、183、318、381、831、813、801、810、180、108；（2）810、180【分析】（1）3的倍数特征：一个数各个数位上的数的和是3的倍数；（2）要求组成的数是偶数，同时有因数3和5，也就是组成的数同时是2、3、5的倍数，同时是2、3、5的倍数特征：个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。【详解】故分析可知，（1）组成的数是3的倍数有：138、183、318、381、831、813、801、810、180、108；（2）组成的数是偶数，同时有因数3和5的数有：810、180；【点睛】熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解题的关键。25．第一道工序：28人；第二道工序：21人；第三道工序：12人【分析】要使加工生产均衡，各道工序的零件总数应是3、4、7的公倍数，要求三道工序“至少”多少工人，要先求出3，4，7的最小公倍数；再进一步求解每道工序上的人数。【详解】3，4，7的最小公倍数是：3×4×7＝8484÷3＝28（人）84÷4＝21（人）84÷7＝12（人）答：第一道工序至少分配28人，第二道工序至少分配21人，第三道工序至少分配12人。【点睛】本题考查最小公倍数的实际生活中的应用。26．所以用3厘米做正方形的边长。（个）（个）（个）作图见详解。能分成6个这样的正方形。【分析】通过观察发现，这个长方形的长为9厘米，宽为6厘米，9和6的最大公因数是3，用3厘米作正方形的边长。求出一共能分成多少个正方形。【详解】9＝3×36＝2×3所以用3厘米做正方形的边长。9÷3＝3（个）6÷3＝2（个）3×2＝6（个）能分成6个这样的正方形。【点睛】解决本题得关键是找到长和宽的最大公因数。真题演练1．13个【分析】由于蓝灯笼和紫灯笼重复的地方就改挂一个红灯笼，那么只需要找6和9的公倍数，注意两端要除外，据此即可找出相应的红灯笼数量。【详解】6