内蒙古师大锦山实验中学2025年高三开学考试-数学试题试卷

内蒙古师大锦山实验中学2025年高三开学考试-数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数的虚部为（）A． B． C．2 D．2．已知集合的所有三个元素的子集记为．记为集合中的最大元素，则（）A． B． C． D．3．已知的内角、、的对边分别为、、，且，，为边上的中线，若，则的面积为（）A． B． C． D．4．集合,则集合的真子集的个数是A．1个 B．3个 C．4个 D．7个5．设为虚数单位，为复数，若为实数，则（）A． B． C． D．6．已知函数在上单调递增，则的取值范围（）A． B． C． D．7．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为－0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值8．已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．9．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（）A． B． C． D．10．已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组则的取值范围为（）A． B．C． D．11．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有（）A．6种 B．12种 C．24种 D．36种12．某中学有高中生人，初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有人，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的定义域为______.14．函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____.15．袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为________.16．已知，若，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且．（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．18．（12分）已知函数.（1）若是的极值点，求的极大值；（2）求实数的范围，使得恒成立.19．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）已知点、的极坐标分别为和，直线与曲线相交于，两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值.20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为直线垂直于轴，垂足为，与抛物线交于不同的两点，且过的直线与椭圆交于两点，设且.（1）求点的坐标；（2）求的取值范围.21．（12分）中的内角，，的对边分别是，，，若，.（1）求；（2）若，点为边上一点，且，求的面积.22．（10分）已知函数，（Ⅰ）当时，证明；（Ⅱ）已知点，点，设函数，当时，试判断的零点个数．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

根据复数的除法运算，化简出，即可得出虚部.【详解】解：=，故虚部为-2.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念.2．B【解析】

分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.【详解】集合含有个元素的子集共有，所以．在集合中：最大元素为的集合有个；最大元素为的集合有；最大元素为的集合有；最大元素为的集合有；所以．故选：．【点睛】此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.3．B【解析】

延长到，使，连接，则四边形为平行四边形，根据余弦定理可求出，进而可得的面积.【详解】解：延长到，使，连接，则四边形为平行四边形，则，，，在中，则，得，.故选：B.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题.4．B【解析】

由题意，结合集合，求得集合，得到集合中元素的个数，即可求解，得到答案．【详解】由题意，集合，则，所以集合的真子集的个数为个，故选B．【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合，再由真子集个数的公式作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．5．B【解析】

可设，将化简，得到，由复数为实数，可得，解方程即可求解【详解】设，则.由题意有，所以.故选：B【点睛】本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题6．B【解析】

由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.【详解】由,可得,时,,而,又在上单调递增,且,所以,则,即,故.故选:B.【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.7．B【解析】

根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.【点睛】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.8．C【解析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.【详解】将,代入方程得，而双曲线的半实轴，所以，得离心率,故选C.【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.9．B【解析】

模拟程序框图运行分析即得解.【详解】；；.所以①处应填写“”故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．D【解析】

首先将转化为，只需求出的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心距离，数形结合即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示设圆心为，则,过作直线的垂线，垂足为B，显然，又易得，所以，，故.故选：D.【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.11．B【解析】

分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到县的分法数.【详解】如果甲单独到县，则方法数有种.如果甲与另一人一同到县，则方法数有种.故总的方法数有种.故选：B【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.12．B【解析】

利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.【详解】由题意，，解得.故选：B.【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

对数函数的定义域需满足真数大于0，再由指数型不等式求解出解集即可.【详解】对函数有意义，即.故答案为：【点睛】本题考查求对数函数的定义域，还考查了指数型不等式求解，属于基础题.14．【解析】

对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解.【详解】由题：函数在区间内有且仅有两个零点，，等价于函数恰有两个公共点，作出大致图象：要有两个交点，即，所以.故答案为：【点睛】此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解.15．【解析】

基本事件总数n126，其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m72，由此能求出其中三种颜色的球都有的概率．【详解】解：袋中有2个红球，3个白球和4个黄球，从中任取4个球，基本事件总数n126，其中三种颜色的球都有，可能是2个红球，1个白球和1个黄球或1个红球，2个白球和1个黄球或1个红球，1个白球和2个黄球，所以包含的基本事件个数m72，∴其中三种颜色的球都有的概率是p．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．1【解析】

由题意先求得的值，可得，再令，可得结论．【详解】已知，，，，令，可得，故答案为：1．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(1)证明见解析；(2)【解析】

（1）连接交于点，连接，通过证，并说明平面，来证明平面（2）采用建系法以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，分别表示出对应的点坐标，设平面的一个法向量为，结合直线对应的和法向量，利用向量夹角的余弦公式进行求解即可【详解】证明：如图，连接交于点，连接，点为的中点，点为的中点，点为的重心，则，，，又平面，平面，平面；，，，，，，可得，又，则以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，．设平面的一个法向量为，由，取，得．设直线与平面所成角为，则．直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题考查线面平行的判定定理的使用，利用建系法来求解线面夹角问题，整体难度不大，本题中的线面夹角的正弦值公式使用广泛，需要识记18．（1）.（2）【解析】

（1）先对函数求导，结合极值存在的条件可求t，然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；（2）由已知代入可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0时恒成立，构造函数g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，结合导数及函数的性质可求.【详解】（1），x＞0，由题意可得，0，解可得t＝﹣4，∴，易得，当x＞2，0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝1时，函数取得极大值f（1）＝﹣3；（2）由f（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx+2≥2在x＞0时恒成立可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0时恒成立，令g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，则，（i）当t≥0时，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝t﹣1≥0，解可得t≥1，（ii）当﹣2＜t＜0时，g（x）在（）上单调递减，在（0，），（1，+∞）上单调递增，此时g（1）＝t﹣1＜﹣1不合题意，舍去；（iii）当t＝﹣2时，g′（x）0，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，此时g（1）＝﹣3不合题意；（iv）当t＜﹣2时，g（x）在（1，）上单调递减，在（0，1），（）上单调递增，此时g（1）＝t﹣1＜﹣3不合题意，综上，t≥1时，f（x）≥2恒成立.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值，利用导数与函数的性质处理不等式的恒成立问题，分类讨论思想，属于中档题.19．（1）线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.【解析】试题分析：（1）（1）利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲线C1的参数方程化为普通方程，进而利用即可化为极坐标方程，同理可得曲线C2的直角坐标方程；

（2）由过的圆心，得得，设，，代入中即可得解.试题解析：（1）曲线的普通方程为，化成极坐标方程为曲线的直角坐标方程为（2）在直角坐标系下，，，恰好过的圆心，

∴由得，是椭圆上的两点，在极坐标下，设，分别代入中，有和∴，则，即20．（1）；（2）.【解析】

（1）设出的坐标，代入，结合在抛物线上，求得两点的横坐标，进而求得点的坐标.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合，求得的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】（1）可知，设则，又，所以解得所以.（2）据题意，直线的斜率必不为所以设将直线方程代入椭圆的方程中，整理得，设则①②因为所以且将①式平方除以②式得所以又解得又，所以令，则所以【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.21．（1）（2）10【解析】

（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得，再根据二倍角的余弦公式计算即可；（2）由已知可得，利用余弦定理解出，由已知计算出与，再根据三角形的面积公式求出结果即可.【详解】（1），，在中，由正弦定理得，，又，，，（2），，，由余弦定理得，，则，化简得，，解得或（负值舍去），，，，，，的面积.【点睛】本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角