苏科版九年级数学第十三周周末提优训练（二次函数应用）（含解析版）

苏科版九年级数学第十三周周末提优训练（二次函数应用专题）

（时间：90分钟满分：120分）

一.选择题（共30分）

1.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一

部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=

af+6x+c（a#0）.如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和

数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（

A.10mB.15mC.20mD.22.5m

57.9hm

54.0

46.2

O2040x/m

第1题图第2题图第3题图

2.为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点。喷出，在

各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点

0的距离为4,水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系式

24

y=ax~+x,则水流喷出的最大IWJ度为（)

2411

A.——mB.C.—m

52

D.6m

3.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之

间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地

经过的路程是80m；③小球的高度h=20时，t=Is或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.

其中正确的有（）

A.①②B.②③C.①③④D.①②③

4.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A,B,顶点M在矩形CDE歹的边上移动.若

C（-l,l）,0（3,1）,E（3,4）,点B的横坐标的最大值为2.5,则点A的横坐标最小值为

（）

31

A.-2B.一一C.——D.0

22

5、一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运

动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m,最后准确落入篮

筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m,该运动员投篮出手点距离地面的高度为（）

B.2m

6.如图1,在Rt^ABC中，ZABC=90°,已知点P在直角边AB上，以lcm/s的速度从点A

向点B运动，点Q在直角边BC上，以2cm/s的速度从点B向点C运动.若点P,Q同时出发，

当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处.图2是VB产Q的面积Men?）与点P的运动时间外）

之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（）

A.3非cmB.4V5cmC.5君cmD.6百cm

7.如图1,在矩形ABCD中，点E,F,G分别是边AD,BC,AB的中点，连结EF,BC=6,

点H是EF上一动点，设FH的长为x,GH与BH长度的和为y.图2是y关于x的函数图象，

点P为图象上的最低点，则函数图象的右端点Q的坐标为（）

A.（2,3+713）B.（3,5+713）C.（3,30+版）D.（4,5+而）

8.如果△ABC和4DEF都是边长为2的等边三角形，他们的边BC,EF在同一条直线1上，

点C,E重合，现将△ABC沿着直线1向右移动，直至点B与点F重合时停止移动，在此过

程中，设点B移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,则y随x变化的函数图像

大致为（）

9.如图，四边形ABCD是菱形，边长为4,ZA=60°,垂直于AD的直线E尸从点A出发，

沿AD方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线EF与菱形ABCD的两边分别交于点

E,F（点E在点F的上方），若△钻尸的面积为y,直线政的运动时间为x秒（0VxV4）,

则能大致反映y与x的函数关系的图象是（）

10、我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（aWO,b2-4ac>0）的函数叫做“鹊桥”

函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数丫=辰2-2*-3］的图象（如图所示），下列结论错误的

是（D）

A.图象具有对称性，对称轴是直线x=l

B.当-1<X<1或x>3时，函数值y随x值的增大而增大

C.当x=-l或x=3时，函数最小值是0

D.当x=l时，函数的最大值是4

二.填空题（30分）

1,

11.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线丁=-1必+3.5的一部分，如图所示，若

12、如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的

长度）是1米.当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远

水平距离OC是米.

13、如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线.按照图中所示的平面直

角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=-

J_X2+2X+1,则铅球推出的水平距离0A的长是m.

1233

14、某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y

（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10WxW20时，其图象是线段AB,则该

食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润=总销售额-总成本）.

15、某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20

件.经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销

售价定为元时，才能使每天所获销售利润最大.

16.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图

所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m,则能建

成的饲养室总占地面积最大为m2.

17、定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线

就称为：“美丽抛物线”.如图，直线1：y=2x+b经过点M（0,1）,一组抛物线的顶

34

点R（1,yD,B?（2,y2）,B3（3,y3）,-B„（n,y„）（n为正整数），依次是直线1

上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：Ai（xi,0）,A2（X2,0）,A3（X3,0）,-

A„+1（x„+1,0）（n为正整数）.若xi=d（0<d<l）,当d为时，这组抛物线

中存在美丽抛物线.

18.如图，点Ai、A?、A3、…、An在抛物线y=x?图象上，点R、B,、Bs、…、B”在y轴上，

若△AAB1、△A2BB、…、△AB-R都为等腰直角三角形（点B。是坐标原点），则

△A2023B2022B2023的腰长=

19.如图，在AABC中，?B90?,AB=12mm,BC=24mm,动点尸从点A开始

沿边A3向3以2mm/s的速度移动（不与点3重合），动点。从点B开始沿边向。以

4mm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、。分别从A、B同时出发，那么经过—

秒，四边形APQC的面积最小.

20、定义［a,b,c］为函数y=ax"+bx+c的特征数，下面给出特征数为［2m,1-m,-1-m］

的函数的一些结论：①当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（』，@）；②当m>0时，函

33

数图象截X轴所得的线段长度大于3；③当m<0时，函数在时，y随X的增大而减

24

小；④当mWO时，函数图象经过x轴上一个定点.其中正确的结论有.（只需填写

序号）

三.解答题（共60分）

21.（8分）如图，排球运动员站在点M处练习发球，将球从M点正上方2m的A处发出，把

球看成点，其运行轨迹呈抛物线形.已知球与M点的水平距离EM为6m时，高度为2.6m.

（1）在图中建立恰当的平面直角坐标系，并求出此时抛物线的关系式；

（2）球网BC与点M的水平距离为9m,高度为2.43m.球场的边界距M点的水平距离为18

m.该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由.

22.(8分)某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈

3

利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的一倍.

2

(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？

(2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前

提下，平均每天可售出100箱.若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么

当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？

23、(8分)如图，己知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x

轴和y轴上，A(3,0),C(0,愿).D是BC的中点，M是线段0C上的点且OM=Z()C,

3

点P是线段0M上一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E,连接DE交

AB于点F.

(1)当点P与原点重合时，此时的抛物线解析式是；

(2)以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG,当动点P从点。运动到点M

时，点G也随之运动，则点G的运动路径的长是.

24、(12分)如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平

台AB(水平)与x轴的距离为6,与y轴交于B点，与滑道AM：y=X•交于A,且AB=2,

x

MNXxft,且MN=1；一号球从点B飞出沿抛物线L：y=-x?+bx+6运动，落在滑道AM上一

点P,测得P到x轴的距离为工

(1)k的值为，点P的坐标是,b=；

(2)当一号球落到P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的

坐标为(8,5).

①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道AM是否还能相交；

②在x轴上有线段NC=1,若一号球恰好能被NC接住，则NC向上平移距离d的最大值和最

小值各是多少？

(3)一号球从点B飞出同时，二号球从点B的上方点H(0,m)飞出，它所运动的路线与

抛物线L的形状相同，且二号球始终在一号球的正上方，当一号球与y轴的距离为3,且二

号球位于一号球上方超过5的位置时，直接写出m的取值范围.

25.(12分)如图1,抛物线y=ax'bx+c(a>0)的顶点为M,平行于x的直线与抛物线

交于点A,B,若4AMB为等腰直角三角形，则抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB围成

的图形称为该抛物线对应的“准碗形”，线段AB称为碗宽，点M到线段AB的距离称为碗

高.

(1)抛物线y=|(对应的碗宽为；

(2)抛物线y=ax2(a>0)对应的碗宽为；抛物线y=a(x-2)2+3(a>0)对应的碗

高为;

⑶已知抛物线y=ax2-4ax-|(a>0)对应的碗高为3.

①求碗顶M的坐标；

②如图2,将“准碗形AMB”绕点M顺时针旋转30°得到“准碗形.过点u作x

轴的平行线交准碗形AM少于点C,点P是线段®C上的动点，过点P作y轴的平行线交准

碗形A'MB'于点Q.请直接写出线段PQ长度的最大值.

26.(12分)在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为

常数，a=O)的"梦想直线"；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其

"梦想三角形已知抛物线y=-2空x2-&13x+2、门与其“梦想直线"交于A、B两点(点A

在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C.”

(1)填空：该抛物线的"梦想直线"的解析式为，点A的坐标

为，点B的坐标为;

(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对

称点为N,若△AMN为该抛物线的“梦想三角形"，求点N的坐标；

(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F,使得

以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不

存在，请说明理由.

教师样卷

选择题(共30分)

1.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一

部分，运动员起跳后的竖直高度以单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=

a1+6x+c(a#0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和

数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(B)

A.10mB.15mC.20mD.22.5m

解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c(aW0)经过点(0,54.0),(40,46.2),(20,57.9),则

c=54.0,fa=-0.0195,

<1600a+40b+c=46.2,反汨4b=0.585,而z_旦------———_-,c

解得所以x=—2a=—2X(—0.0195)=15.故选

400a+20b+c=57.9,〔c=54.0,

8.

第1题图第2题图第3题图第4题图

2.为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点。喷出，在

各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点

O的距离为4,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系式

24

y=ax2+一x,则水流喷出的最大高度为(A)

5

2411

A.—mB.C.—m

52

D.6m

246

解：由题意得A(4,0),把A(4,0)代入y=x角星得a=—《,

A246?2424

y=——%2+-^-x=———2)+-^-,•,.水流喷出的最大iWi度为；-m,故答案为：A

3.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之

间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地

经过的路程是80m；③小球的高度h=20时，t=ls或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.

其中正确的有(A)

A.①②B.②③C.①③④D.①②③

解：由图象可知，点(0,0),(6,0),(3,40)在抛物线上，顶点为(3,40),设函

40

数解析式为h=a(-3)2+40,将(0,0)代入得：0=a(0-3)2+40,解得：a=——，

9

40

.」=--(t-3)2+40.①：顶点为(3,40)•.小球抛出3秒时达到最高点，故①正

确；②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40x2=80m,

故②正确；③令h=20,则20=——(t-3)2+40,解得t=3土士丫一，故③错误；

92-

40320

④令t=2,贝Uh=(2-3)2+40=—m,故④错误.综上，正确的有①②.故答

案为：A.

4.为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点0喷出，在

各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点0

的距离为4,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系式

24

y=ax'+~x'则水流喷出的最大高度为(A)

24「11,

A.—mB.5mC.—mD.6m

52

,246

解：由题显得A(4,0),把A(4,0)代入y=解得a=—w,

A24692424

y=+^-x=——(%—2)+y,.,.水流喷出的最大1W1度为彳-m,故答案为：A

4.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A,B,顶点M在矩形CDEF的边上移动.若

C(-l,l),。(3,1),E(3,4),点B的横坐标的最大值为2.5,则点A的横坐标最小值为

(C)

31

A.-2B.C.---D.0

22

解：当河运动到。点上的时候，B的横坐标的最大值为2.5,此时B点坐标为(2.5,0),

此时/点坐标为(3,1),3-2.5=0.5,3+0.5=3.5,故此时A点坐标为：(3.5,0),当

点M运动到C点时，A的横坐标最小，此时Af的坐标为：(―1,1),A点坐标为

(—0.5,0)故答案为：C.

5、一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运

动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m,最后准确落入篮

筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m,该运动员投篮出手点距离地面的高度为(C)

A.1.5mB.2mC.2.25mD.2.5m

解：以地面所在的直线为X轴，过抛物线的顶点C垂直于x轴的直线为y轴建立如图所示坐

标系：•••抛物线的顶点坐标为(0,3.5),.•.可设抛物线的函数关系式为y=ax?+3.5.\•篮

球中心(1.5,3.05)在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.05=aX1.52+3.5,Aa=

--1,/.y=-AX2+3.5.当x=-2.5时，y=-Lx(-2.5)?+3.5=-1.25+3.5=2.25

555

(m),该运动员投篮出手点距离地面的高度为2.25m.故选：C.

6.如图1,在Rt^ABC中，ZABC=90°,已知点P在直角边AB上，以lcm/s的速度从点A

向点B运动，点Q在直角边BC上，以2cm/s的速度从点B向点C运动.若点P,Q同时出发，

当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处.图2是VBPQ的面积Men?）与点P的运动时间小）

之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（B）

A.3\/5cmB.4&cmC.5\/5cmD.65/5cm

解：设运动时间f（s）,AB=acm,则AP=fcm,BQ=2tcm,

.•.在RAP3。中，ZABC=90°,PB=（a-t）cm,BQ=2tcm,贝ij

y=-PB-BQ=-x2t（a-t）=-t2+at=-[t--\+—,.,・当r=g时，＞有最大值为

22I2J42

——=4,

4

解得a=4,即t=2,根据三角形BPQ的面积y（cn?）与点P的运动时间f（s）之间的函数关系

可知，抛物线与x轴交于（0,0）和（4,0）两点，即P、。运动时间是f=4s,

AB=4cm,BC=8cm,在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=4cm,BC=8cm,根据勾股定

理可得AC=+BC?="2+8,=4氐11，故选：B.

7.如图1,在矩形ABCD中，点E,F,G分别是边AD,BC,AB的中点，连结EF,BC=6,

点H是EF上一动点，设FH的长为x,GH与BH长度的和为y.图2是y关于x的函数图象，

点P为图象上的最低点，则函数图象的右端点Q的坐标为（D）

A.（2,3+713）B.（3,5+^）C.（3,372+710）D.（4,5+g）

解：连接CG交EF于丁，当H运动到时y最小，由函数图象知，x=l,即FH=1时y

最小，•.•在矩形ABCD中，点E,F,G分别是边AD,BC,AB的中点，；.EF〃AB,EF=AB,

BF=AE=；BC=3,AG=BG,.\CH,=GH',.\BG=2FH,=2,则AB=4,当H运动到E点时，y最

大，此时FH=EF=4,即x=4,连接BE、GE,由勾股定理得：BE=y1BF2+EF2=5,GE=

VAG2+AE2，GH+BH=BE+GE=5+屈,即y=5+岳,；.Q点坐标为（4,5+

8.如果△ABC和ADEF都是边长为2的等边三角形，他们的边BC,EF在同一条直线1上，

点C,E重合，现将AABC沿着直线1向右移动，直至点B与点F重合时停止移动，在此过

程中，设点B移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,则y随x变化的函数图像

大致为（A）

解:如图1所示：当0<xW2时，过点G作GHLBF于H.「△ABC和aDEF均为等边三角形,

.♦.△GEJ为等边三角形..-.GE=EJ=GJ=x,ZGEJ=60°,；.GH=CGsin60°=、1EJ=

2

也x,...y=)EJ・GH=3x2,当

x=2时，y=g,且抛物线的开口向上.如图2所示：2

224

y=；FJ・GH=Xl（4-x）2,函数图象为抛物线的一部

<xW4时，过点G作GH_LBF于H.

分，且抛物线开口向上.故选：A.

9.如图，四边形ABCD是菱形，边长为4,ZA=60°,垂直于AD的直线E尸从点A出发,

沿AD方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线EF与菱形ABCD的两边分别交于点

E,F（点E在点F的上方），若AAE尸的面积为y,直线政的运动时间为x秒（04尤44）,

则能大致反映y与x的函数关系的图象是（C）

解：如图1,过点B作BHLAB点H,•..四边形ABCD是菱形四边形，边长为4,；.AB=AD=

4,•.*ZA=60°,/.ZABH=90°-ZA=30°,.*.AH=^AB=2,由勾股定理得

AH2+BH2=AB2.BH=dAB2_AH2=2豆.EFLAB于点F,.•./AFE=90°

在RtZXAEF中，NAEF=90°—NA=30°,AF=x,；.AE=2AF=2x,由勾股定理得

AF2+EF2=AE2,•*.x2+EF2=(2x)2,/.EF=7(2x)2-x2=y/3x,.•.当0VxW2时,

的面积为y=；AF义EF=；xxy（3x=—X2.:①>0,

2222

抛物线y=3x?对称轴为y轴，.•.抛物线y=3x?开口向上，当

22

0<x<2,y随着x的增大而增大.・•・当％=2时，此时点EF运动到

BH的位置，y有最大值，最大值是y=^x22=2后；当2<x<4时，

2

如图2,作DGLBC于点G,VBC#AD,；.DG=EF=BH=2百.的面积为y=gAFXEF

=；xxx2C=J?x....当2Vx<4时，y随着x的增大而增大，，当

x=4时，此时EF运动到GD的位置，y有最大值，最大值是y=4/，综上所述，y与x的函

.根据y与x的函数关系可判断应该选C,故选：C.

10、我们定义一种新函数：形如y=|ax，bx+c|（aWO,b2-4ac>0）的函数叫做“鹊桥”

函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数丫=k2-2*-3］的图象（如图所示），下列结论错误的

是（D）

A.图象具有对称性，对称轴是直线x=l

B.当-lVxVl或x>3时，函数值y随x值的增大而增大

C.当x=-l或x=3时，函数最小值是0

D.当x=l时，函数的最大值是4

解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x=-2=-二^_=1,故A正确，

2a2X1

不符合题意；令|X?-2x-3|=0可得X?-2x-3=0,/.（x+1）（x-3）=0,；.xi=-1,

X2=3,/.（-1,0）和（3,0）是函数图象与x轴的交点坐标，又对称轴是直线x=l,

当-IWxWl或x23时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确，不符合题意；由图象

可知（-1,0）和（3,0）是函数图象的最低点，则当x=-l或x=3时，函数最小值是0,

故C正确，不符合题意；由图象可知，当x<-l时，函数值随x的减小而增大，当x>3

时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x=l时的函数值4并

非最大值，故D错误，符合题意，故选：D.

二.填空题（30分）

n.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线丁=-1必+3.5的一部分，如图所示，若

命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是_4.5m.

解:如图，把尸3.05代入函数丁=一二九2+3.5,解得：x=1.5或x=-1.5（舍），则L=

12、如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即0B的

长度）是1米.当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远

水平距离0C是___20—米.

解：由题可知：抛物线的顶点为（8,1.8）,设水流形成的抛物线为y=a（x-8）2+1.8,

将点（0,1）代入可得a=-_L,.,.抛物线为：y=-J-（X-8）2+l.8,当y=0时，0=-

8080

1（X-8）2+1.8,解得x=-4（舍去）或x=20,.•.水流喷射的最远水平距离OC是20米，

80

13、如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线.按照图中所示的平面直

角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=-

JL_X2+ZX+A,则铅球推出的水平距离0A的长是10m.

1233

2

解：Vy=-_J^x+—x+A,.,.当y=0时，0=-_=x+立，解得xi=-2,x2=10,

12331233

.•.0A=10m,故答案为：10.

14、某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y

（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10WxW20时，其图象是线段AB,则该

食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为121一元（利润=总销售额-总成本）.

解：当10WxW20时，设丫=1«+上把（10,20）,（20,10）代入可得：

110k+b=20,解得［k=-l,...每天的销售量丫（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式

（20k+b=10lb=30

为y=-x+30,设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w=（x-8）y=（x

-8）（-x+30）=-x?+38x-240=-（x-19）2+121,V-l<0,.•.当x=19时，w有最

大值为121,故答案为：121.

15、某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20

件.经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销

售价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大.

解：设销售单价定为X元(x29),每天所获利润为y元，则y=[20-4(X-9)]•(X-8)

=-4X2+88X-448=-4(x-11)2+36,所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售

利润最大，故答案为11.

16.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图

所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,则能建

成的饲养室总占地面积最大为75m2.

解：设垂直于墙的材料长为x(m),则平行于墙的材料长为27+3—3x=(30—3x)m,故总面

积S=x(30—3x)=-3x2+30x=—3(x—5)?+75,故饲养室的最大面积为75m2.

门

门「门

第16题图

17、定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线

就称为：“美丽抛物线”.如图，直线1：y=2x+b经过点M(0,-1),一组抛物线的顶

34

点氏(1,yi),B2(2,y2),B3(3,y3)，…B»(n,y„)(n为正整数)，依次是直线1

上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：ANxi,0),A2(X2,0),A3(X3,0),-

A„+1(x„+1,0)(n为正整数).若xi=d(0<d<l)，当d为巨或旦时，

—1212

这组抛物线中存在美丽抛物线.

解：直线1：y=』x+b经过点M(0,工)，则b=』；.,.直线1：y=-lx+l.由抛物线的对

34434

称性知：抛物线的顶点与X轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；该等

腰三角形的高等于斜边的一半..•.该等腰直角三角形的斜边长小于2,斜边上

的高小于1(即抛物线的顶点纵坐标小于1)；•••当x=l时，yi=lxi+l=A<l,当x

3412

=2时，y2=—X2+A=AJL<1,当x=3时，丫3=工义3+」=$>1,美丽抛物线的顶点

3412344

只有Bi、B?.①若瓦为顶点，由Bi(1,二)，则d=l-」L=§；②若氏为顶点，由灰

121212

(2,11),则d=l-[(2-H)-1]=H,综上d的值为且或工工时，存在美丽抛物

1212121212

线.

18.如图，点AI、A”As、…、An在抛物线y=x?图象上，点&、B/、Bs、…、B”在y轴上，

若△ABB、△ABB?、…、区都为等腰直角三角形(点B。是坐标原点)，贝U

△A2023B2022B2023的腰长=_2023___

解：作A£，y轴，A2E±ytt，垂足分别为C、E.VAAjBOB^△A£B都是等腰直角三角形

2

/.BiC=BoC=DBo=AiD,B2E=BIE=A2EAA!(a,a)将其代入解析式y=x，得：：.a=a^：a=0

(不符合题意)或a=l,由勾股定理得：AB产同理可以求得：

A上2BI=2A3B2=3A&B3=4Azo23B2O22=2O23△A2023B2O22B2O23白勺腰长为：2023故答案为2023

19.如图，在A4BC中，?B90?,=12mm，BC=24mm,动点尸从点A开始

沿边A3向8以2mm/s的速度移动(不与点8重合)，动点。从点8开始沿边8C向。以

4mm/s的速度移动(不与点。重合).如果尸、。分别从A、8同时出发，那么经过

_3一秒，四边形APQC的面积最小.

解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts,四边形APQC的面积为Scm?,则有：

2

S=SAABC-SAPB0=1X12X6-^-(6-t)X2t=t-6t+36=(t-3)+27..•.当t=3s时，S取得最小

值.故填：3.

20、定义［a,b,c］为函数y=ax?+bx+c的特征数，下面给出特征数为［2m,1-m,-1-m］

的函数的一些结论：①当m=-3时，函数图象的顶点坐标是(工，旦)；②当m>0时，函

33

数图象截X轴所得的线段长度大于3；③当m<0时，函数在X〉2时，y随X的增大而减

24

小；④当mWO时，函数图象经过x轴上一个定点.其中正确的结论有—①②④.(只

需填写序号)

解：因为函数y=ax?+bx+c的特征数为［2m,1-m,-1-m］；①当m=-3时，y=-

6X2+4X+2=-6(x-JL)2+A,顶点坐标是(工，旦)；此结论正确；②当m>0时，令y=0,

3333

有2mx?+(1-m)x+(-1-m)=0,解得x=(二-1)士,xi=l,x2=---—

4m22m

|x2-X1|=l+J_>l,所以当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3,此结论正

22m22

确；③当mVO时，y=2mx2+(1-m)x+(-1-m)是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：

在对称轴的右边y随x的增大而减小.因为当m<0时，即对称

4m4m44m4

轴在X=1右边，因此函数在X=1"右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；

44

④当x=l时，y=2mx2+(1-m)x+(-1-m)=2m++=0即对任意m,

函数图象都经过点(1,0)那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点(1,0),

当m力。时，函数图象经过同一个点(1,0),故当mWO时，函数图象经过x轴上一个定点

此结论正确.根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的.

故答案为：①②④.

三.解答题(共60分)

21.(8分)如图，排球运动员站在点M处练习发球，将球从M点正上方2m的A处发出，把

球看成点，其运行轨迹呈抛物线形.已知球与M点的水平距离EM为6m时，高度为2.6m.

(1)在图中建立恰当的平面直角坐标系，并求出此时抛物线的关系式；

(2)球网BC与点M的水平距离为9m,高度为2.43m.球场的边界距M点的水平距离为18

m.该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由.

解：(1)如图，以点M为坐标原点，建立平面直角坐标系，则点A,E,D的坐标分别为(0,

2),(6,0),(6,2.6).

由题意知抛物线的•顶点为(6,2.6),.•.设抛物线的关系式为y=a(x—6/+2.6.将点A(0,

11

2)，的坐标代入，得2=36a+2.6,，a=—而，故此时抛物线的关系式为y=—而(x—

6)2+2.6.

1

(2)该球员的判断不对.理由如下：当x=9时,y=-而(9—6)?+2.6=2.45>2.43,.,.球能

1

过网；当y=0时，一而(x—6)?+2.6=0,解得出=6+2相，*=6一2南(舍).V6+

2^/39«18.5>18,故球会出界.

22.(8分)某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈

3

利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的一倍.