苏科版九年级数学下册 第6章《探索相似三角形的判定的条件》题型专练【含答案】

专题。2探索相似三角形的判定的条件（五大类型）

【题型1平行线分线段成比例定理及其推论基本应用】

【题型2相似三角形的概念】

【题型3三边对应成比例，两三角形相似】

【题型4两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】

【题型5两角对应相等，两三角形相似】

【题型1平行线分线段成比例定理及其推论基本应用】

（2023秋•松江区期中）

1.已知在。5C中，点M、N分别在边48、ZC上，那么下列条件中不能够判断

的是（）

AM_ANAM_ANBM_CNAN_MN

~AB~~ACBM~CN~AB~^C~AC~^C

（2023秋•高新区校级期中）

2.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点4,B,

C都在横线上.若线段5。=6cm,则线段ZC的长是（）

A.7cmB.8cmC.9cmD.10cm

（2023秋•青龙县期中）

3.如图，在ABC中，点。在边上，点£在边ZC上，DE//BC,若AD=2,AB=5,

A

A

2i3

A.-B.-C.-D.1

525

（2023秋•沙坪坝区校级期中）

4.如图，正方形/BCD的边长为4,E为边中点，G为边上一点，连接ZE,DG,

相交于点F.若D冬F=4g，则/方的长度是（）

r（jr5

BGC

A2A/5口2A/3j_4

rD.-

9727

（2023秋•顺义区校级期中）

5.如图，4〃/2〃4,根据“平行线分线段成比例定理'\下列比例式中不IE酸的是（）

C\D2

vA/3

CD一AFBE

A2匹B丝=空C9=----D.-......

DFCE'BCCE'CDEF--------------------ADBC

（2023秋•临湘市期中）

AD1

6.如图，点。，E,b分别在。的边上，——=—,DE//BC,EF〃AB,点、M是EF

BD3

的中点，连接9并延长交/C于点N,则下的值是（）

（2023秋•永春县期中）

7.如图，在AABC中，AD=DE=EF=FB,AG=GH=HI=IC,已知BC=2。，则。G+EH+H

的长是（）

22

（2023秋•商水县期中）

8.如图，AB//CD//EF,AD:DF=3:4,BE=14,那么8C的长为（）

（2023秋•南安市期中）

9.如图，AB//CD//EF,若/。=3,DF=5,BC=4,则BE的长为（）

~-33

（2022秋•平陆县期末）

10.如图，直线a〃6,直线/C,相交于点若48=1,BC=2,DE=1.8,则4D

【题型2相似三角形的概念】

（2022秋•定远县校级月考）

II.已知在。6c中，44=60。，AB=4,AC=6,下列阴影部分三角形与原三角形不一

定相似的是（）

D.

60°

（2023•长春模拟）

12.在A/BC中，ZACB=9Q°,用直尺和圆规在上确定点D,使“CDSACBD,根据

作图痕迹判断，正确的是

（）

A

A―星X

C1B

aX

二A

CB

CB

（2022秋•建平县期末）

13.如图，中，//=76。，48=8,/C=6.将沿图示中的虚线剪开，剪下的

阴影三角形与原三角形不相似的是（）

C

二工

C

cp3\

A'----------------

C

A5B

（2022秋•承德县期末）

14.如图所示，网格中相似的两个三角形是（）

A.①与②B.①与③C.③与④D.②与③

（2023•深圳模拟）

15.下列说法中错误的是（）

A.同角或等角的补角相等B.圆周角等于圆心角的一半

C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.两边成比例及其夹角相等的两个三角形相

似

（2023春•宁阳县期末）

16.如图，在三角形纸片/2C中，AB=9AC=6,BC=n,沿虚线剪下的涂色部分的

三角形与△N8C相似的是（）

（2023•金华模拟）

17.下列条件中的两个等腰三角形不一定相似的是（）

A.都含有60。角B.都含有45。的角

C.都含有90。的角D.都含有120。的角

【题型3三边对应成比例，两三角形相似】

（2021秋•华州区期末）

18.如图，己。是△ABC内一点,D、E、F分别是OA、OB、OC的中点.求证：△ABCs/XDEF.

A

【题型4两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】

（2023•庐阳区一模）

19.如图所示，在4x4的正方形方格中，AABC和AD£尸的顶点都在边长为1的小正方形的

顶点上.

（1）填空：NABC=,BC=；

⑵判断“BC与REF是否相似？并证明你的结论.

（2022秋•铜仁市期末）

20.如图，D,E分别为AB,/C边上两点，且/D=5,BD=3,AE=4,CE=6.求证:

/\ADEs八4cB.

（2023•泸县校级模拟）

21.已知如图，分别是“3C的边/BZC上的点，40=3,48=8,AE=\/C=6.求

证：AADEs^acB.

A

（2022•鼓楼区校级模拟）

22.如图，点。为“3C边A8上一点，AD=2,BD=6,ZC=4.求证：A4CDsA4BC.

23.如图，在AABC中，AB=2AA，AC=46，点D在AC上，且AD=：AB,

（1）用尺规作图作出点D（保留作图痕迹，不必写作法）；

（2）连接BD,并证明：△ABDs/iACB.

（2022秋•射阳县月考）

24.如图，矩形48CD中，4D=2,AB=5,P为CD边上的动点，当与A8C尸相似时,

（2022春•丰城市校级期末）

25.如图，已知NB=NE=9Qo,4B=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25.求证:

/\ABCS/\DEF.

（2022秋•邢江区校级期末）

26.如图，中心4=55。，/8=45。，点。、E分别在的边48、AC±,且

ZADE=80°.

（1）求证：4AEDS&4BC.

（2）如果40=4,BD—6,AE—5,求CE的长.

【题型5两角对应相等，两三角形相似】

（2022秋•广州校级期末）

27.如图，。是/C上一点，DE〃4B,NB=NDAE.求证：YABCsVDAE.

（2022秋•西安期末）

28.如图，ABLBD于点、B,ED_L2。于点。，点C为3。上一点，连接/C,CE,若4c1CE,

求证：AABCs^CDE.

（2022秋•射洪市期中）

29.如图，在"3C和VNOE中，ZBAD=ZCAE,ZABD=ZACE.求证:

(1)AB-AE=AC-AD；

□△ADEs—BC.

参考答案：

1.D

【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，对各选项进行判断即可.

.、4e、eAMAN

【详解】由牛：A、———=——-，Z.A=Z.A，

ABAC

AMNs“BC,

：.MN//BC,

故选项不符合题意，

..AMAN

B、・-------，

BMCN

.AM_AN

•・万一元’

又•・•4=4,

・•・AAMNs小ABC,

：.MN//BC,

故选项不符合题意，

..BMCN

C、•一9

ABAC

.AM_AN

•・万一元’

又•・•4=4,

・•・AAMNs“BC,

：.MN//BC,

故选项不符合题意，

ANMN

D、下二=7,但不是对应边的夹角，不能判定故选项符合题意，

ACJDC

故选：D.

2.C

【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关

键.

过点/作平行横线的垂线，交点2所在的平行横线于。，交点。所在的平行横线于E,根

据平行线分线段成比例定理列出比例式计算即可.

【详解】解：如图：过点/作平行横线的垂线，交点3所在的平行横线于。，交点C所在

的平行横线于E,

・・・4C=3+6=9cm.

故选：C.

3.A

【分析】直接运用平行线分线段成比例定理得出比例式求解即可.本题主要考查了平行线分

线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键.

【详解】解：4D=2,AB=5,

.AEAD_2

故选：A.

4.A

【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正方形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题

的关键.作EH/BC交。于则3DH号DF=4/根据E为。。边中点，得HF笠二1，再根

HCFG5ED9

据FH〃4D,得看=黑=〈，根据勾股定理得NE=26,所以尸后=芈.

AEDE99

【详解】解：如图，作FH〃BC交CD于H,

DHDF4

贝nt［lJ==—,

HCFG5

•・•£为。。边中点,

•HE_1

,ED9

•・•FH//AD,

•FEHE_1

…~AE~^E~99

•••AE=V42+22=275，

“275

FE=-----.

9

故选：A.

5.C

【分析】平行线分线段成比例定理进行求解即可：三条平行线截两条直线,对应线段成比例.・

【详解】解：・・・/]〃（〃4,

.AD_BCAD_BCAF_BE

••DF-CE'DF-CE'AD~BC"

.ADDF

••正一布’

根据“平行线分线段成比例定理”不能推出会=*，

CDEF

・・・四个选项中，只有C选项符合题意，

故选C.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键.

6.A

ApAF）1

【分析】过点尸作尸G〃BN交4C于点G,可证EN=GN.同理，TO—

ECDB3

EC=3AE,-=—=-；由FG〃BN,得吧=怛=工，于是GC=3NG；没EN=NG=a，

ECFC3FCGC3

micec20-h,口EN3

则GC=3〃，EC=5a,AC=—a,从而行---——.

3AC20

【详解】解：过点尸作bG〃5N交4C于点G,

.EN_EMx

：.EN=GN.

DE//BC,

.AEAD

・・耘一砺一“

・•・EC=3AE.

EF//AB,

.AEBF

**FC-3,

FG//BN,

.BFNG_\

"FC-GC_3,

GC=3NG.

设EN=NG=a,贝I]GC=3Q,

EC=EN+NG+GC=5a

：.EC=3AE=5a.

A.E=—ci.

3

520

AC=AE+EC=—a+5a=—a.

33

EN_a3

：.^4C~20-20.

—u

3

故选：A

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理；由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键.

7.C

【详解】试题解析：・：AD=DE=EF=FB,AG=GH=HI=IC,

DG\\EH\\FI；

*""那

13

同理可得：EH=—BC,FI=—BC；

.24

1133

/.DG+EH+FI=-BC+-BC+-BC=-BC=3的

4242

故选C.

8.C

【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，由N3〃CD〃EF可得线=当，再代入数

BEAF

据进行计算即可.

【详解】解：*：AB//CD//EF,BE=14,

.BCADBC3

..——=——,即nn——=---,

BEAF143+4

・•・BC=6.

故选：C.

9.D

【分析】本题考查平行线所截线段对应成比例，根据CD〃跖得到对应线段成比例即

可得到答案；

【详解】解：防，

.AB_AG_BGCD_CG_DGAB_AG_BG

"EF~GF~EG'~EF~~GE~FG，~CD一而一CG，

*/AD=3,DF=5,BC=4,

32

BE=—,

3

故选：D；

10.A

【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案.

【详解】解：'：a//b,AB=1,BC=2,DE=1.8,

.ABAD1AD

..—=——,即nn一=—,

BCDE21.8

解得：AD=0.9,

故选：A.

【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是

解题关键.

11.A

【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解.

【详解】解：A、不能证明阴影部分的三角形与原“3C相似，故选项A符合题意；

B、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项B不符合题意；

C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选

项C不符合题意；

D、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选

项D不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键.

12.C

【分析】要使A/CDSACAD,则=即可推出N4DC=/CD8=90。，则CD

是边的垂线即可，由此求解即可.

【详解】解：当C。是48的垂线时，AACDS"BD.

,?CDVAB,

：.NCDA=NBDC=90°,

"?NACB=90°,

：.//+ZACD=ZACD+ZBCD=90°,

NA=ZBCD,

AACDSACBD.

根据作图痕迹可知，

A选项中，CD是/ACS的角平分线，不符合题意；

B选项中，CD不与垂直，不符合题意；

C选项中，CD是48的垂线，符合题意；

D选项中，CD不与48垂直，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，作垂线，解题的关键在于能够熟练掌握相似三

角形的判定条件.

13.C

【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可.此题考查了相似三角形的判定，熟练掌

握判定三角形相似的方法是解题的关键.

【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，

故本选项不符合题意；

B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，

故本选项不符合题意；

C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，

故本选项符合题意；

D、阴影三角形中，//的两边分别为6-2=4,8-5=3,则两三角形对应边成比例且夹角相

等，故两三角形相似，

故本选项不符合题意.

故选：C.

14.B

【分析】分别根据网格的特点求得各三角形三边的长，根据三边对应成比例判断两三角形相

似即可.

【详解】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：行,2,M,

②号三角形的三边长分别为：行,也,3,

③号三角形的三边长分别为：2,2及，2君，

④号三角形的三边长分别为：收,3,后,

..0_2_丽—逝

,2-2A/2-2A/52，

①与③相似，故B选项正确，符合题意；其他选项不正确

故选：B.

【点睛】本题考查了网格中判断相似三角形，分别求得各三角形的边长是解题的关键.

15.B

【分析】根据补角的定义，圆周角定理，平行四边形的判定，相似三角形的判定定理逐项分

析判断即可求解.

【详解】解：A.同角或等角的补角相等，故该选项正确，不符合题意；

B.在同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故该选项不正确，符合题

息；

C.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项正确，不符合题意；

D.两边成比例及其夹角相等的两个三角形相似，故该选项正确，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了补角的定义，圆周角定理，平行四边形的判定，相似三角形的判定定理,

掌握以上知识是解题的关键.

16.B

【分析】

根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可.

【详解】解：在三角形纸片N2C中，AB=9,AC=6,BC=12.

A.因为二=二=:,对应边段=3=：,1^2,故沿虚线剪下的涂色部分的三角

BC122BC12424

形与ZUBC不相似，故此选项错误；

B.因为4下=：4=：2,对应边AC片=6：=?；,又/A=/A,故沿虚线剪下的涂色部分的三角

AC63AB93

形与4/台。相似，故此选项正确;

44AR9a4a

c.因为,对应边初=w=1,即：故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与

AB9BC12494

△48C不相似，故此选项错误；

4761?1

D、因为,对应边痣===（，］片：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△N3C

63BC12232

不相似，故此选项错误；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等

的两三角形相似是解题关键.

17.B

【分析】根据相似三角形的判定及等腰三角形的性质对各个选项进行分析，从而得到答案.

【详解】解：A、有一个角是60。的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三

角形相似，不符合题意；

B、当一个等腰三角形的底角为45。，而另一个等腰三角形的顶角是45。时，这两个等腰三角

形不相似，符合题意；

C、有一个角是90。的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不

符合题意；

D、有一个角是120。的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不

符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是对相似三角形的

判定定理的掌握.

18.见解析.

【分析】先根据三角形中位线性质得到EF=gBC,DF=/c,则可利用三组

222

对应边的比相等的两个三角形相似得到结论.

【详解】•:D、E、F分别是CM、OB、OC的中点，

ADE=-AB,EF=-BC,DF=-AC,

222

nnDEEFDF

ABBCAC

:.ABCs^DEF.

【点睛】本题根据三角形中位线定理得到三角形三条对应边的比相等，确立两三角形相似的

条件是解题关键.

19.(1)135°；272

(2)AABCs^EF,理由见解析

【分析】(1)根据已知条件，结合网格可以求出N/3C的度数，利用勾股定理即可求出线

段3C的长；

(2)根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明28c与9跖相似.

【详解】(1)解：N/3C=90°+45°=135°,

BC=V22+22=272；

故答案为135。；272;

(2)解：A.ABC:A.DEF.

证明：・•・在4x4的正方形方格中，

/ABC=135°,ZDEF=90°+45°=135°,

/ABC=ZDEF.

■-AB=2,BC=2V2，EF=2,DE=-Ji

.任一2_一行BC_2y[2_r-

••DE—亚一“2，五一丁72.

.ABBC

''DE~EF

/\ABC:八DEF.

【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键

是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系.

20.见解析

【分析】根据两边对应成比例，且夹角伯=/即可证明相似.

【详解】证明：QAD=5,BD=3,AE=4,CE=6,

\AB=AD+BD=S,/C=/£+C£=10,

AE4AD51

、~AB~82'~AC~W~2'

_AEAD

,•南一就‘

又彳诃=A,

:.^ADE4cB.

【点睛】本题考查了三角形相似的证明，掌握相似三角形判定方法是解题关键.

21.证明见解析

【分析】本题考查相似三角形的判定.

ADAp1

先利用已知数据得到大二不二彳，结合/DAE=/CAB,运用判定定理“两边对应成比例

ACAB2

且夹角相等的两个三角形相似”，即可得证结论.

【详解】AD=3,AB=84E=4AC=6,

•AP_AE

'：ADAE=NCAB,

AADEs^acB.

22.见解答过程

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握“如果两个三角形的两组对应边成比例，

并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似”是解题关键.

根据“如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似”

即可证明结论.

【详解】解：BD=6,

：.AB=8,

•四二」AC-4-1

,,就一75，8-2,

.ADAC

*'AC-AB；

又•:N4=N4,

AACDs/\ABC.

23.（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）先尺规作线段AB的垂直平分线，再以点A为圆心，以AB的一半作弧，与

AC的交点即为点D的位置；

（2）根据两边成比例且夹角相等证明即可.

【详解】解：（1）点D的位置如图所示：

*B

AC

'D

AB273

:一，且NA=NA，

2V3AC~4^32

AAABD^AACB.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和相似三角形的判定，熟练掌握上述知识是

解题的关键.

24.之或1或4

2

【分析】设。尸=x,禾!J用矩形的性质得到BC=4D=2,CD=AB=5,Z£>=ZC=90°,则根据相

r)Ar)P9yr)Ar)p

似三角形的判定方法，当胃时，ADAPSACBP,1=/」；当胃=芸时，

CBCr25-XCr

2x

△DAPsMPB,即7—=：,然后分别解方程即可.

5—x2

【详解】解：设

・・,四边形力BCD为矩形，

:.BC=AD=2,CD=AB=5,ZD=ZC=90°,

/.PC=5-x,

•・・/D=/C,

力APSKBP,

即：=六，解得x=

25-x2

当生=里时，

CPCB

ADAPSACFB,

即2丹解x得

5-x2

X]=LX2=4,

综上所述，DP的长为1或1或4.

2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.也

考查了矩形的性质.分类讨论是解题的关键.

25.KABC^KDEF

【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得到A/BCSADEF；

【详解】证明：；ZB=90°,AB=6,BF=3,CF=5,

BC=BF+FC=3+5=8JC=V62+82=10

在AA8C中，，26:比：AC=6:8:10=3:4:5

VZE=90°,DE=15,DF=25,

EF=yjDF2-DE2=>/252-