相似三角形中的动点问题压轴训练（5类压轴）解析版-2024-2025学年苏科版九年级数学下册

相似三角形中的动点问题压轴训练（5类压轴）

01压轴总结

目录

压轴题型一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）...............................1

压轴题型二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）............................7

压轴题型三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题..........................................15

压轴题型四相似三角形中的动点问题与几何综合问题...........................................23

压轴题型五相似三角形中的动点探究应用问题.................................................37

02压轴题型

压轴题型一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）

例题：（23-24九年级上•江西抚州•期中）如图，在△48C中，48=8厘米，/C=16厘米，点尸从点A出发,

沿着边向点5以lcm/s的速度运动，点0从点C出发，沿着C/边向点A以2cm/s的速度运动，其中一个

动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、尸、。为顶点的三角形与△4BC相似时，运

动时间为秒.

C

【答案】半32秒或4秒

【知识点】相似三角形一动点问题

【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，设运动时间为t秒，分4QP=/C和440尸=4,两种情

况，利用相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质，利用分类讨论思想解决问题是

解题的关键.

【详解】解：设运动时间为/秒，

当410尸=/C时，如图：

则/。=16-2t,AP=t,AABCS—PQ,

工理,即：一，，

ACAB168

解得：f=4,

当尸=4时，如图:

则/0=16-2乙AP=t,AABCS“QP,

.AQ=AP_即16-2Z/

ABAC''816'

解得：仁当32，

综上所述，运动时间为半32秒或4秒，

故答案为：半32秒或4秒.

巩固训练

1.（2023八年级上•江苏•专题练习）如图，在△/BC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,动点尸从点3出发

以每秒1个单位长度的速度沿8->/匀速运动；同时点。从点A出发同样的速度沿ZfC-»2匀速运动.当

点尸到达点A时，P、。同时停止运动，设运动时间为/秒，当f为时，以B、P、。为顶点的三角

形是等腰三角形.

A

…心、25,-7a_56工।

【答案】打秒或万秒或三秒

【知识点】相似三角形——动点问题、几何问题（一元一次方程的应用）、等腰三角形的性质和判定、用勾股

定理解三角形

【分析】根据题意分三种情况讨论：当8P=P。时，首先解得/3=5,易得NP=5-g过。作于

AF)AC

D,证明由相似三角形的性质可得力=二W,代入数值并求解；当8尸=2。时，易得

AQAB

BP=AC+CQ=t,BQ=7-t,易得7T=/并求解；当2。=尸0时，过。作于D,易知

BD=\t,BQ=l-t,证明△8OQSC/,由相似三角形的性质可得黑=空，代入数值并求解.

2ZXJ8BQAB

【详解】解：①当=P。时，如图1,

由题意得：BP=PQ=AQ=t,

在RtZX/BC中，AC=3,3C=4,

■■AB^^AC2+BC1-5，

AP=5—tf

过。作于。，

15-/

・•・AD=-AP=——,

22

・・・//=//,ZADQ=ZACB=90°f

Z\ADQ^/\ACB,

ADAC

,•瓦一U'

5—/

3,解得"当秒；

t5

②当=时，如图2,

BQc

图2

由题意得：BP=AC+CQ=t,

：.BQ=3+4—，=7—%,

7

=解得/=5秒；

③当5。=尸。时，如图3,

过。作于。，

：.BD=；BP=gt,BQ=7-t,

vZB=ZB,NBDQ=NACB=90。,

.•.△BDQSABCA,

BD_BC

,,西一五'

J./56

,2_4,解得/二工秒.

--=713

7—/5

综上所述，/的值是II秒或1秒或II秒.

故答案为：弓秒或g秒或II秒.

【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、一元一次方程的应用

等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键.

2.（23-24九年级上•辽宁盘锦•阶段练习）如图，RtZ\43C中，ZC=90°,AC=8,BC=6,点。是3C边

的中点，动点尸从点C出发，沿C-4—8的方向在/C、边上以每秒2个单位的速度向点8移动，运

动至点2即停止.连接P。，当点尸运动时间，=时，线段PO截RtZ\/BC为两部分所得

的三角形与RtZ\/5C相似.

C

PX\

D

AB

【答案】2或39或6.5或8.1

o

【知识点】利用相似三角形的性质求解

【分析】本题主要考查相似三角形性质的运用，掌握分类讨论思想是解题的关键.

由题意可知：线段截为两部分，然后分情况运用相似三角形的性质解答即可.

【详解】解：①当点尸在/C上，即0W/W4时，PC=2t,CD=：BC=3,

CPCD2t3

当△。尸时，三二三，即=解得：t=2.

CTICnoo

当加时，笑=/，即§=解得：,=9；

CTI6Xo

②如图：当点。在25上时，43=招+8?=10,BP4</<9,PB=\8-2t,BD=；BC=3

当△皿力jC/5时，即与4=］解得：U6.5；

A.DCB106

PRF）D1Q_□

当APBDSACBN时，米=至,即竺/=2,解得：/=8」.

\^D±J2i.O10

9

故答案为：2或3或6.5或8.1.

o

3.（23-24九年级下•河南商丘•开学考试）如图1,RtZ\48C中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点

P从点2出发，在胡边上以每秒3cm的速度向点/匀速运动，同时动点0从点C出发，在C8边上以每秒

2cm的速度向点8匀速运动，运动时间为t秒（0<t<2）,连接P。.

（1）若△8P。与△4BC相似，求才的值；

⑵（如图2）连接/。，CP,若/。，。尸，求f的值.

【答案】（嗒或II

【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，由三角形相

似得出对应边成比例是解题的关键.

（1）先根据勾股定理求出力2,分ABPQSABAC、两种情况，再根据相似三角形的性质列

出比例式求解即可；

（2）如图：过尸作于点M,AQ,CP交于点N,则〃/C,可证AAPM,根据相似三

角形的性质可得比/=与入PM=当,再根据"CQSAC九。得出=然后代入数据计算即可.

55CMMP

【详解】（1）解：-ZACB=90°,/C=6cm,3C=8cm,

•••AB=V62+82=10cm,

由题意可得：BP=3t,QC=2t,AB=1Ocrn,BC=8cm,

①当时,

AAP。SAR4c

BPBQ

•乐一疏'

3t8—2，,解得：£=,20;

108

②当ABPQ时,

BPBQ

.菸一而'

8—2，3t左37/n32

不，解得：t=—

10o25

综上,当"言20或32时，尸。与△N5C相似.

(2)解：由题意可得：BP=3t,QC=2t,BC=8cm,AB=10cm,

如图：过尸作尸于点M,AQ,CP交于点N,

.•.△BPMSABAC,

BPBMPM口口3tBMPM129

ABBC~AC，B10-8—,解得：PM=-t,

655

Q

vZNAC+ZNCA=90°,ZPCM+ZNCA=909

；,/NAC=/PCM,^ZACQ=ZPMC=90°,

.“ACQs£MP,

ACCQ

''CM~MP'

6

—13

解得：r

压轴题型二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）

例题：（23-24九年级上•全国•单元测试）如图，ABLBD,CDLBD,AB=6,CD=16,BD=20,一动

点尸从点8向点。运动，当2尸的值是时，与△PCD是相似三角形.

C

BPD

【答案】8或12或与

【知识点】相似三角形的判定与性质综合

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出

两三角形的对应边成比例、对应角相等.

欲证A/MB与△PCD相似，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即/48尸=/。。尸=90。,

此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可.

【详解】解：设5尸=巧BD=20,贝U尸。=3。-3月=20—%,

分两种情况考虑:

ADDO

当△尸ZBs△尸CD,有而=而,

又AB=6,CD=16,

6x

,即6(20—%)=①,

1620—x

解得：x=*

当AP4BSACPD,有理二丝

PDCD

6_x

即x(20-，)=96,

20-x-16

整理得：(x-12)(x-8)=0,

解得：x,=12,x2=8,

综上，当尸离8的距离为五或8或12时，与△PCD是相似三角形.

故答案为：8或12或石.

巩固训练

3

1.（2024•黑龙江鸡西•二模）如图，在矩形N8CO中，BC=6,E是3C的中点，连接NE,tanNA4E=:，P

4

是ND边上一个动点，沿过点尸的直线将矩形折叠，使点。落在/E上的点加处，当是直角三角形

时，PD的值为.

【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题

【分析】根据矩形的性质，中点以及tan//E5=g,求出BE的长，进而求出ZE,的长，设

PD'=PD=x,当是直角三角形时，分两种情况：①当44。'尸=90。，②当乙4尸。=90。时，根据

相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结果.

【详解】解：•••在矩形4BCD中，BC=6,E是2C的中点，

.•.40=50=6,/BAD=/B=/C=/D=9。°,BE=3,

,i4B4

.♦.tan/AEB-——,

BE3

=4,

•••AE=siAB2+BE2=5，

••・沿过点P的直线将矩形折叠，使点。落在4E上的点O'处，

PD=PD',

设PD=PD'=x,贝ij：AP=4D-PD=6-x,

当是直角三角形时，

①//。'。=90。时，则乙4D7=N氏4D=,

：・/PAD'=NAEB=90°-ZBAE,

・•・AABEsAPDA,

ABAERn45

•••——7=——,即：一二----,

PD'PAx6-x

Q

解得：x=\,

Q

经检验，X=］是原方程的解，

.-.PD=~.

3

②当//PD'=90°时，

ZAPD'=ZB=90°,

:ZPAE=ZAEB,

AAPUSAEBA,

APPD'

"耘一下’

6—x_x

•，*=一,

34

24

解得：X=y,

24

经检验，x=万是原方程的解，

24

PD=--

7

综上所述，当△4PD是直角三角形时，尸。=：8或言24.

故答案为:18或24

【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握

上述知识、灵活应用分类思想和方程思想是解题的关键.

2.（2024・河南•三模）如图，在矩形48。中，AB=6,40=12,E是线段AD上一动点，以£为直角顶

点在即的右侧作等腰三角形E3尸，连接。尸，当点尸落在矩形4BCD的对角线上时，则DF的长为.

【答案】2后或6

【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和/S4(44S)综合C4”或者44S)、用勾股定理

解三角形、根据矩形的性质求线段长

【分析】先证明“成0小尸，得出4B=EH=6,AE=HF,然后分尸在C。和NC上讨论，利用相似三

角形的判定与性质求解即可.

【详解】解：过尸作皿，M于〃，

•.•在矩形48CD中，48=6,40=12,

/.A=Z.ADC=90°,AB=CD=6,

ZBEF=90°,

ZABE=ZHEF=90°-AAEB,

又BE=FE,

.“ABE且AHEF(AAS),

AB=EH=6,AE=HF,

设AE=HF=a,贝!|DH=/D-/E-EH=6-a,

当尸在AD上时，如图，

AEHD

产-------------]c

•••FHLAD,N/=90。，

；.HF〃AB,

•••△DHFs^DAB,

DHHFp6—aa

•••亩=方'即1n可有,

解得a=2,

:.HF=2,DH=4,

•*-DF=y/HF2+DH2=2A/5；

当方在ZC上时，如图，

AHHF口门6+aa

/.——=——,即---=-,

DACD126

解得a—6,

・・•尸与C重合，

DF-6,

综上，。尸的长为2石或6.

故答案为：2石或6.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识,

明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键.

3.（2024•河南漠河•二模）如图，在△/BC中，NABC=90。,AB=6,BC=8,点。为/C边上一动点，连接

BD,将△48。沿8。翻折得到当HZ）与△48C的直角边垂直时，4）的长度为.

【答案】2或6/6或2

【知识点】折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形

【分析】分当时和当时两种情况，画出图形求解即可.

【详解】当时，延长HO交48于点E,贝1」44瓦＞=90°,如图，

-AC=SIAB2+BC2=10.

V//=/ADE=/A'DF,

/A'FD=/AWD=90。.

由折叠知，ZABD=AABD,

DE=DF,

•••ZAED=/ABC=90°,

：.DE//BC,

・•・LAEDsAABC,

AEAB_6_3

-8-4?

设4£=3x,O£=4x，则40==5%，

CF=10-5x-4x=10-9x.

•・•/BFC=/ABC=90°,ZC=ZC,

I.ACBFS^CAB,

CFBC

,,二一就‘

10-9x_8

一，

810

2

AD=5x-=2；

5

当HO_L5C时，如图,

•・•/ABC=ZDGC=90°,

・•.AB//AD,

•••/ABD=AADB.

由折叠知，NADB=NA，DB,

NADB=/ABD,

AD=AB=6.

综上可知，ND的长度为2或6.

【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，等角对等边,

分类讨论是解答本题的关键.

4

4.（2024•河南周口•三模）如图，在平行四边形48CD中，N8=6,/。=为锐角，且sinS=-,P是边

AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90。得点U。，当△/CD是直角三角形时，线

段8P的长为—.

22

【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解

【分析】题目主要考查旋转的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，

解一元二次方程等，理解题意，综合运用这些知识点进行分情况分析是解题关键.

过点C作于点〃，根据平行四边形的性质及解三角形得出C"=4,再由旋转的性质分三种情况

讨论：①当以C'为直角顶点时，②当以/为直角顶点时，③当以。为直角顶点时，分别利用旋转的性质,

相似三角形的判定和性质及解一元二次方程求解即可.

【详解】解:过点C作以，48于点H,

,••在口ABCD中，BC=AD=5,

一,4

・•.在Rt^BCH中,CH=BCsvsxB=5x—=4,

由旋转的性质，得△PCDOPCD,CD=CD,CD1CD9,

r

^AB\\CD,CDlABf由△/CD是直角三角形，可知需分三种情况讨论：

①当以C为直角顶点时，如图1，

图1

■.■CD'LAB,

.•.点C'落在A4的延长线上.

PC±PC,

PCVAB,

.••点P与点〃重合，

.-.PC=4,

；.BP=3；

②当以/为直角顶点时，如图2,

设C'。'与射线R4的交点为7,

VPC±PC,

:./CPH+NTPC=90。,

■:CD」AT,

ZPC'T+NTPC'=90°,ZCPH=ZPC'T,

NCHP=ZPTC=90°,PC=CP,

：.&CPHAPCT,

；.C'T=PH,PT=CH=4.

设C'T=PH=t,则/尸=48—3尸=6—(3+0=3—t,

；.AT=PT-AP=^-(3-t)=\+t.

■：ZC'AD'=90°,C'D'YAB,

:.AATD'SAC'TA,

.AT_CT

"TD'~TA，

;.AT2=CT-TD',

.•.(l+/)2="67),

化简得2产一4f+l=0,

解得y1土也，

2

BP=3+1+=4+-^-；

I2J-2

③当以。'为直角顶点时，点P在A4的延长线上，不符合题意.

综上所述，BP=3或4+正或4-1；

22

故答案为：3或4+立或4-变.

22

压轴题型三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题

例题：（24-25九年级上•全国•课后作业）如图，在矩形48c。中，点E是ND上的一个动点，点?是对角线

8。上一个动点，连接BE,EF.若/3=2,/。=4,则8E+E/的最小值是.

【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段问题（轴对称综合题）、垂线段最短、用勾股定理解三角形

【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识.作点3关

于的对称点玄，连接B'A,B'E,B'F,过点Q作于点G,交AD于点H,证明当况及尸三点共线,

且〃尸，3。时，8E+E/的值最小，此时点E在点H处，点尸在点G位置.先求出=4,3。=2VL再

证明得到殁=些，求出8G=85,即可得到BE+E尸的最小值为盛.

BDDA55

【详解】解：如图，作点5关于4D的对称点玄，连接8'45瓦2户，则8名=8E，8',42三点共线，过点

9作夕GLBO于点G,交AD于点则BE+EF=B'E+EF*B'F*B'G,即当",瓦下三点共线，且

*尸，8。时，8E+E斤的值最小，此时点E在点〃处，点尸在点G位置.

,:AB=2,AD=4，

:.BB'=4,BD=2#,

VNBB'G+ZB'BG=NB'BG+ABDA=90°，

ZBB'G=ABDA,

ZB'GB=ZDAB=90°,

:.AB'BG^ADBA,

B'BB'G4B'G

■----=----,即Bn—=―—

BDDA2。54A

解得B'G=—,

5

即BE+EF的最小值为—.

故答案为：—

5

巩固训练

1.（2023・江苏无锡・二模）如图，线段48为。。的直径，点C在48的延长线上，4B=4,BC=2,点、P

是。。上一动点，连接CP,以C尸为斜边在尸C的上方作RSPCD,且使/DCP=60。，连接OD,贝iJOZ>

【答案】2e+1/1+26

【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合（圆的综合问题）

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作ACOE,使得

ZCEO=90°,NEC。=60°,则CO=2CE,OE=26，NOCP=NECD,由△COPs^cED,推出

OpCP1

子=茨=2,即ED=：OP=1（定长），由点E是定点，OE是定长，推出点。在半径为1的OE上，由此

EDCD2

即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

【详解】解：如图，作ACOE,使得NCEO=90。，ZECO=60°,则CO=2CE=4,。£=2百，

/OCP=4ECD,

・•.CP=2CD,

COCP

-----=------=2,

CECD

:ACOPsACED,

OPCPc

・•・--=------=2,

EDCD

即£D=；OP=1（定长），

・••点E是定点，OE是定长,

点。在半径为1的OE上，

-■OD<OE+DE=2y[3+1，

.・・。。的最大值为26+1,

故答案为：2G+L

2.（23-24九年级上•江苏无锡•期中）已知，如图，△4BC中，AB=10,BC=6,AC=S,半径为1的OO与

三角形的边/8、/C都相切，点P为。。上一动点，点0为3c边上一动点，则P0的最大值与最小值的和

为.

【答案】572+5

【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判

定求线段长

【分析】设。。与/C相切于点。，与N8相切于点E,连接OD,OE,过点。，作8c垂足为口交。。

于用此时垂线段。。最短，月。最小值为。。-。用求出。0,当2与8重合时，BO的延长线与QO交于点

，62最大值。2+。6.

本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定等知识，关

键是确定尸。的最小值与最大值的位置.

【详解】解：•・・△NBC中，AB=\Q,BC=6,AC=^,

AB2=AC2+BC2,

:.N4CB=9。。,

设。。与/C相切于点。，与N2相切于点E,连接。。，OE,过点。，作O<J_8c垂足2,交。。于用连

接49,延长与2c相交于点R过尸作尸G14B于点G,如图1,此时垂线段。2最短，片。最小值

为则四边形ODC2为矩形，49平分NB/C,

设CF=FG=x,则BF=6-x,

AC=AG=8,

BG=AB-AG=10-8=2,

由勾股定理得，（6-X）2--=22,

Q

解得：x=t，

:.GF=-,

3

OE//GF,

/\AOEsAAFG,

co1_AE

：.—=—^，即官一丁，

FGAG-

AE=3,

,AF=AE=3,

=C°=8_3=5,

.•陶=0。「06=5_1=4,

如图2,当G与3重合时，连接2。，延长2。与。。交于点心,

此时EQ为最大值，

2222

P2Q2=OQ2+OP2=^JOE+BE+1=^1+(10-3)+1=5近+1,

■■pQ的最大值与最小值的和为：

耳2+2=4+5&+1=5五+5，

故答案为：56+5.

3.(2024・四川自贡•模拟预测)如图，在Rt“O3中，AAOB=90°,CU=8,OB=U,以。为圆心，4为半

径作。。，分别交两边于点C,。两点，P为劣孤CD上一动点，则;尸/+尸3的最小值___.

【答案】5石

【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三角形三边关系的应用、圆的基本概念辨析

【分析】本题考查圆的有关性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，取。C的中点E,证明

△POESAAOP,从而得出=进而由+所以最小值是班长，再利用勾股定理求出班

即可.

【详解】解：如图，连接。尸，取OC的中点E,连接EP，EB,

；.APOES小AOP,

PE_OE

,~PA~~OP~2,

JPA+PB=PE+PBNBE,

2

•.J0”+尸5的最小值是班，

•/OE=—OC=2,OB=11,

2

-BE=yJOE2+OB2=V22+112=5y/5，

.•.；尸/+尸3的最小值是5vL

故答案为：5y[5.

4.（2024•江苏无锡•一模）（1）如图①，RtZi/8C中，N/8C=90°,N8=6,=8,点。是边/C的中

点.以点A为圆心，2为半径在△4BC内部画弧，若点P是上述弧上的动点，点。是边8C上的动点,

PQ+。。的最小值是

（2）如图②，矩形/8C。中48=2006,80=300.E为CO中点，要在以点A为圆心，10为半径的

圆弧上选一处点P,边8c上选一处点Q,M.N是以。为圆心，10为半径的半圆的三等分点处，

PM+NE的最小值是.

（图①）（图②）

【答案】V97-2/-2+V97570

【知识点】矩形与折叠问题、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、线段问题（轴对

称综合题）

【分析】本题是矩形综合题，考查了矩形的性质，轴对称-最小值问题，相似三角形的性质与判定等，本题

综合性较强，巧妙的添加辅助线是解题的关键.

（1）作点。关于2c的对称点连接AP,过点〃作DELNB交22的延长线于E,则

QD=QD',DK=D'K,当A、P、Q、。在同一条直线上时，?。+8=/。一/2取得最小值，由

DK//AB,可得ACDKSACAB,运用相似三角形性质可得。K=3,CK=4,再由勾股定理即可求得答案；

（2）连接M0,NQ,过点。作于K,作点A关于直线"N的对称点W,将E向左平移10得到

点E',过点£作EL/4，过点4作/Z_LEZ于连接、A'E'.E'M,由题意得随着圆心。在3c

上运动，在平行于3C且到3c距离为5e的直线上运动，再运用勾股定理可得PM+NE最小值即可.

【详解】解：（1）如图①，作点。关于8。的对称点。'，连接。'。、AP,过点。作。48交的延

长线于E,

则DK=D'K,

A

图①

当A、P、0、O在同一条直线上时，+=取得最小值,

•••ZABC=90°,AB=6,BC=8,

AC=^AB'+BC2=A/62+82=10，

•・•点。是边4c的中点，

:.CD=-AC=5,

2

■：DK//AB,

.,.△CDKSKAB,

DKCKCDDKCK5

..•布=疏=就，即Rn甘=w=m，

:.DK=3,CK=4,

:.DK=3,BK=4,

■：ZE=ZEBK=ZBKD'=90°,

四边形BEDK是矩形，

:.D'E=BK=4,BE=D'K=3,

:.AE=AB+BE=6+3=9,

AD'=\lAE2+D'E2=V92+42=V97，

■：AP=2,

-PQ+QD的最小值=历一2,

故答案为：V97-2;

(2)如图②，连接NQ,过点。作QKLMN于K,作点A关于直线的对称点4,将E向左平

移10得到点过点E'作EL/AB,过点4作/Z_LEZ于L,连接、A'E'、E'M,

；M、N是半圆。的三等分点，且半径为10,

为等边三角形，且MN〃BC,MN=10,

■:QKLMN,QM=\0,

QK=5y/3,

随着圆心。在上运动，MN在平行于BC且到BC距离为56的直线上运动,

•;EE'〃MN旦EE'=MN=10,

四边形EE2W是平行四边形，

:.NE=ME',

:.PM+NE=PM+ME'>AM-AP+ME'=AM+ME'-IO,

是CD的中点,

:.DE=gcD=T。比,

E'L=AA'-DE=2(AB-QK)-DE=2x(20073-5g)-10073=29073,

A'L=BC-E'E=300-10=290,

在RM/'EZ中，A'E'=YIA'IJ+E'I}=72902+(29073)2=580,

.1PAf+A®■最小值=0£'-42=580-10=570,

故答案为：570.

压轴题型四相似三角形中的动点问题与几何综合问题

例题：（24-25九年级上•四川成都•阶段练习）已知，如图，在△ASC中，4B=/C=4,NA4c=90。，点。

为/C边上的一个动点（点。不与/,。重合），连接。8,将线段绕点。逆时针旋转90。，得到DE,

连接5E、CE.

（1）求证：ABADS^BCE；

AD1

（2）当所=§时，求及。尸的值.

【答案】（1）见解析

（2）S“E℃=；；仃=半

【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和Z&4（AAS）综合（/”或者44S）、等腰三角形

的性质和判定、根据旋转的性质求解

【分析】（1）通过等腰直角三角形的性质可得/48。=/。班'=45。，BC=42AB,BE=4iBD，再根据两

边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，即可证明;

(2)延长/C,过点后作石6，/。于点6,ffi®llABD^KGDE,得出AS=9=4,EG=AD=\,根

据三角形的面积公式求出5皿即可;

延长EC,过点。作。HLEC于点”，根据得出/BCE=/A4c=90。，证明ADC"为等

腰直角三角形，得出=爸=*=呼，根据勾股定理得出CEMJCG'+EG?=彳弄=拒，求

出£〃=。£+。”=亚+逑=逑，证明AEC尸得出三=5与，代入数据求出结果即可.

22DHEH

【详解】（1）证明：••・43=/C,ABAC=90°f

，/ABC=ZACB=1x90°=45°,BC=1AB?+AC?=742+42=4五，

•・・线段。E线段。8绕点D逆时针旋转90。得到，

BD=ED/BDE=90°,

・•./DBE=/DEB=—x90。=45°,BE=41BD,

2

,•"ABC-ZDBC=ZDBE-ZDBC，

即/ABD=/CBE,

BC=血AB，BE=41BD，

ABBD

・•.LBADsABCE.

(2)解：延长4C,过点E作/于点G,如图所示:

则ZEGD=90°,

AD_1

AC=4

BC-39

AD=—x4=lCD=—x3=3,

3+1f3+1

VABAD=ABDE=ZEGD=90°,

/./ABD+AADB=/ADB+/EDG=90°,

・•・ZABD=ZEDG,

BD=DE，

.•・"BD口/\GDE,

：.DG=必=4,EG=AD=\,

113

△EDC222

延长EC,过点。作。于点”，如图所示:

A

则ZD〃C=90。，

根据解析（1）可知，ABADs△BCE,

/./BCE=ABAC=90°,

•・・//CB=45。，

/DCH=180。-90。-45。=45。，

•；/DHC=90。,

.・.ADCH为等腰直角三角形，

CD_3_3>/2

：,CH=DH

V2-V2-2

VDG=4,DC=3,

:.CG=4—3=1,

在Rt^CEG中，根据勾股定理得：

CE=>!CG2+EG2=7i2+i2=V2，

EH=CE+CH=y/2+—=巫,

22

NECF=ADHE=90°,ZCEF=/DEH,

小ECFs^EHD,

CFCE

,•而一而‘

CFV2

即逑「s/2，

~2~

解得：CF=迎.

5

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股

定理，旋转的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质.

巩固训练

1.（2024•江苏徐州•模拟预测）已知在正方形4BCD中，48=4,点E为3C边上一动点（不与点比C重

合)，连接4E,将/E绕点后顺时针旋转90。得到E尸，连接，尸交C。于点G

图1图2

GF

(1)如图1,当点E为8c的中点时，求下的值；

AG

(2)如图2,若DG=BE,求8E的长；

(3)连接。尸，求。尸的最小值.

【答案】⑴:

⑵4拒-4

(3)272

【知识点】利用二次函数对称性求最短路径、全等的性质和/SN(AAS)综合SSN或者//S)、根据正方

形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、二次

函数的性质等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识成为解题的关键.

(1)过点尸作切交3c延长线于，，延长必，4。交于则四边形是矩形，则

AM=BH,HM//AB//CD,由旋转的性质可得4E=E尸，ZAEF=90°,证明丝A£77F(AAS)得到

EH=AB=4,进而求出==证明△/GZ)得到/G=2尸G,FG=，/厂,则；

33AG2

(2)过点尸作F/71BC交5C延长线于延长HF,AD交于M,设5£=QG=x,则四边形是矩

形，贝!|4四=3〃，MH=AB=4,HM//AB//CD,同理可得0△瓦如，贝|

EH=AB=4,FH=BE=x,^MF=4-x,AM=BH=x+4,同理可得空=也，即：_—解方

MFAM4-xx+4

程即可；

(3)如图：过点尸作G//〃。C交8c延长线于8,交4。延长线于G,则/G=Z7/=9O。，则四边形NAfflW

是矩形；再证明A/匹丝AE毋'(AAS)可得3£=彼,//£=/8=8。，即BE=HC；设BE=x,则

6。=彼=占6尸=4-工由勾股定理可得。尸=2(》-2)2+8,最后根据二次函数的性质即可解答.

【详解】（1）解：如图所示：过点尸作万交延长线于7/,延长HF,交于则四边形48H饮

是矩形，

AM=BH9HM//AB//CD,

由旋转的性质可得：AE=EF,ZAEF=90。,

,・,四边形ABCD是正方形，

・•.ZB=ZH=90°,

・•・/BEA+NBAE=90°=ZBEA+ZHEF,

・•・/BAE=ZHEF,

小ABE知EHF(AAS),

：.EH=AB=4,

•・•点£为5C的中点，

：.BE=-BC=2,

2

：.AM=BH=6,

-CD//MH,

工小AGDS^AFM,

AGAD2

••应一加一3'

：.AG=-FG,

3

：.FG=-AF,

3

GF1

"^4G~2

(2)解：过点/作FH_LBC交5C延长线于“，延长处；40交于设BE=DG=x,则四边形

是矩形，

AM=BH,HM//AB//CD,

同理可得：AABE之LEHF,

...EH=AB=4,FH=BE=x,

：.MF=4-x,AM=BH=x+4,

同理可得：AAGDS小4FM,

^DGADx=4

：4-x~x+4"

•,•x2+4x=16-4x,解得：x=-4+4收或-4+4立(舍去)

经检验：x=-4+4也是原方程的解，

BE=4A/2—4;

(3)解：如图：过点尸作G4〃。。交5。延长线于交4。延长线于G,则NG=NH=90。，则四边形GOS

为矩形,

・•.ZHFE+ZFEH=90°,

-ZAEF=90°,

；"FEH+AAEB=9。。,

•••ZHFE=ZAEB,

•；AE=EF,

.•.△Z£5丝△EHF(AAS),

BE=HF,HE=AB=BC,

；.BE=HC,

设BE=x,则GZ)=8C=x,GP=4-x,

DF2=GD2+GF2=X2+(4-X)2=2(X-2)2+8,

.•.当x=2时，。尸2有最大值8,则。尸有最大值2拒

2.(22-23九年级上•四川成都•阶段练习)如图，在矩形/BCD中，点E为线段BC上一个动点，过点E作

EF±AE交线段CD于点F.

图1图2图3

(1)若23=6,BE=7,CE=3,求CF的长;

(2)如图，若48=6,BC=8,BE=3,连接/C交E厂于点G,求CG的长;

(3)如图，连接4斤，若4月平分NE4。，延长FE至点〃，使得NF4H=45。,连接交线段2c于点P,

1AR

且尸£=，C,求强的值.

3BC

7

【答案】⑴CF=]

(2)GC=|

AB4

(z3x)----=—

「BC5

【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、用

勾股定理解三角形

【分析】(1)证明△/BES^ECF,根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据进行计算即可求解;

525

⑵由