新高考数学专项突破：解三角形（解析版）

第22讲解三角形

【知识点总结】

1.角的关系

A+B+C=180°,sinA=sin(B+C)cosA=-cos(B+C),tanA=-tan(B+C),

.AB+C

sin—=cos--------cos—=sinB+C

2222

2.正最定理

，一=—「=—J=2R（2R为A43c的外接圆的直径）.

sinAsin3sinC

正弦定理的应用：

①已知两角及一边求解三角形.

②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：

>1,无解

右a<6,已知角A求角B.sinB=<=1,B=工

'2

<1,两解（一锐角、一钝角）

若a>6,已知角A求角B,一解（锐角）.

3.余弦定理

c2=/+及-TabcosC（已知两边a,b及夹角C求第三边c）

cosC=①丁I（已知三边求角）.

2ab

余弦定理的应用：

①已知两边及夹角求解第三边；

②已知三边求角；

③已知两边及一边对角未知第三边.

4.三角形面积公式

=—ah=—absinC=—besinA=—acsinB.

AABC2222

【典型例题】

例1.（2022.浙江.高三专题练习）ABC中，角A,B,C的对边分别是。，b,c,A=30。，

a=3,若这个三角形有两解，贝防的取值范围是（）

A.3</?<6B.3Vb<6

C.b<6D.b<6

【答案】B

【详解】

因为这个三角形有两解，故满足6sinA<a<6,

BPZ，sin30<3<b<解得3<6<6.

故选：B

例2.（2022•浙江•高三专题练习）已知ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且

满足AcosC=a+ccos3,则该三角形的形状是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】C

【详解】

因为Z?cosC=a+ccosB，

由正弦定理可得：sinBcosC=sinA+sinCcosB,

所以sin5cosC-sinCcosB=sin[7r-(B+C)],

所以sin(B-C)=sin(B+C),

所以B—C=B+C或=

Jr

即C=0(舍去)或8=5，

故，ABC为直角三角形，

故选：C

例3.(2022•全国•模拟预测)已知「ABC的内角A民C所对的边分别为a*,c.且

6sin8-asinA="电丝电C-csinC,a=2,____在①.ABC的周长为6；②sinB=2sinC；

sinA

③bsinC=csin(B+gJ这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.

(1)求A；

(2)求A5C的面积.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解析】

(1)由正弦定理及6sinB—。sinA="sm'smC_csin。，

sinA

得b1—a1—be—c1j即b1+C1—a1=bc,

由余弦定理得cosA=fS=g,

2bc2

由于Ae(O,万)，所以A=.

(2)选①:由ABC的周长为6,得Z?+c=6-a=4,

由(1)^a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=16-3/?c,

所以be=———=4，

3

所以ABC的面积为S=—Z?csinA=—x4x^^=^3.

222

选②:由正弦定理及sinB=2sinC,得b=2c,

由余弦定理得，a2=b2+c2-be=4c2+c2-2c2=3c2,即4=3/,解得°=撞

3

所以b=2c=-----，

3

所以的面积为S=LcsinA」x生8x毡x^=毡.

223323

选③:由正弦定理及hsinC=csin^B+y^,得sinBsinC=sinCsin(B+^),

因为0<C<»,所以sinC>0,

所以sin3=sin(B+5),BPsinB=—sinB+^-cosB，整理可得tanB=A/5，

322

因为0<3(乃，则8=(TT,所以MBC为等边三角形，

所以ABC的面积为5=』/$苗4=」、4乂虫=道.

222

例4.(2022・全国•高三专题练习)在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、

B、C的度数成等差数列，b=岳.

(1)若3sinC=4sinA,求c的值；

(2)求〃+。的最大值.

【详解】

(1)由角A、B、。的度数成等差数列，得28=A+C

TT

又A+B+C—B=—.

由正弦定理，得3c=4。,即a=-.

4

由余弦定理，得〃=+。2_2〃ccosB,

即13=(&]+C2-2X—xcx—,解得c=4.

(4J42

acb岳_2岳

⑵由正弦定理,得sinAsinCsinB石^3>

T

.2万..2A/13.「

.,a=-7=-smA,c=-T=-sinC.

V3V3

a+c=2^^(sinA+sinC)=2^^[sinA+sin(A+8)]

A/3，3-

=2^「sin4+sin(A+二]哥伍inA+且。SA]

V3LI3；百122I

[c42%Zpq7C.7C5»

由0<A<—^—<A+—<——.

3666

所以当A+'='时，即4=工时，（a+c）=2713.

6231/max

例5.（2022・上海•高三专题练习）如图，在中，4=45。,点。在5c边上，且8=2,

AD=3,cosZADC=—

3

(2)求sin/BAD的值.

【详解】

(1)CD=2,AD=3,cosZADC=-,

3

2

，在ADC中，由余弦定理得cosZADC=切+必-松=3。+2?-AC?=1；AC=9,:.AC=3

2AD-CD2x3x23

(2)cosZA£)C=i所以sin/AQC=述，又由题意可得N®LD=NADC—/3,

33

/.sinZBAD=sin(ZADC—ZB)=sinZADCcosNB-cosZADCsinNB

2V2V21V24-V2

~~r-3~-6

例6.(2022・全国•高三专题练习)已知函数=4cosxsin1-(+73.

(I)求函数在区间pf上的值域.

(II)在ASC中，角A,B,C,所对的边分别是a,b,c,若角C为锐角，f(C)=6,

且c=2,求..ASC面积的最大值.

【详解】

解：(I)f(x)=4cosxsin(x-y)+\/3

=4cosxsinxcos--cosxsin—十百

I33j

=4cosx|—sinx-^-cosxI+^3

22

=2sinxcosx-2A/3COS2X+A/3

=sin2x—A/3COS2X=2sin(2x-—),

争所以""一巾

由津I有［融

63

，函数/（x）的值域为[1,2].

(II)由/(C)=耳，Wsin(2C-|)=^,

C为锐角，.,.2C-5=g,.•.C=g.

c=2,二由余弦定理得：a?+）2一〃人=心

a2+b2..2ab,/.4=a2+b2—ab..ab.

.SABC=5absinC—ab,,\/3,

二当a=b,即，ABC为正三角形时，ABC的面积有最大值6.

【技能提升训练】

一、单选题

1.（2022・全国•高三专题练习）在，ABC中，若二=smAcos8,则为8。的形状为（）

bcosAsinB

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】

■TT

由已知条件，结合正弦定理得sin2A=sin25,有A=3或A+B=,,即可知正确选项.

【详解】

<72sinAcosB.sin2AsinAcosB....„八

由iti言=-----——知：=；一=-----；——,EnPnsinAcosA=sinBcosB,

bcosAs;inBsinBcosAsinB

sin2A=sin2B，即2A=23或2A+25=JI，

-TT

***A=A+B=—,

2

故选：D

2.（2022・全国•高三专题练习）在△A3c中，内角A,3,。所对的边分别为。，b,c,NA=60。,

a-2b+c

b=l,S=,则的值等于（

ABCsinA-2sinB+sinC

273926A/38A/3

D.2A/3

33亍

【答案】A

【分析】

a—lb+ca

根据面积公式及余弦定理求出«,以及根据正弦定理变形进一

sinA-2sinB+sinCsinA

步求出答案.

【详解】

S=-bcsinA

2

2S2A/3,

c=_____=____=4

**•6sinA73

~2

22

・，.Q2=b+C-2/?ccosA=l+16-2xlx4x—=13,

2

a—y/13

“屈2739

.a—2b+c_a=—=^=--------

•sinA-2sinB+sinCsinA

2

故选：A.

3.(2022・全国•高三专题练习(文))已知.ABC的内角A民。所对的边分别为。，瓦。满足

b

b2+c2—a2=Z?c且a=yf3，贝U-：———()

smB

A.2B.3

C.4D.273

【答案】A

【分析】

TT

先利用余弦定理求得A=],再利用正弦定理求解即可.

【详解】

b1+C1-a1be1

由题"+C2ri9—be,「.cosA4=--------------=-----=—,

2bc2bc2

baG

又0<A<»,•.A=§，sin3sinAG，

故选：A.

4.（2022.全国.高三专题练习）在.ABC中，ZA=30°,AB=6,BC=1,则NC等于（

A71fzi兀TX5»C兀71

A・5或可B-碧豆Q6D-I

【答案】A

【详解】

BCAB

由正弦定理知

sinAsinC

j__A/3

sinC=•sinA=班x

BC

VO<C<71,C>A,，C=K或二.

33

故选：A.

5.（2022.全国•高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万

里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为

30（班-l）m的建筑物在它们之间的地面上的点M（氏三点共线）处测得楼顶A、

楼顶C的仰角分别是15。和60。,在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°,则估算黄鹤楼的高度

CD为()

D.300m

【答案】C

【分析】

分别在aABM,AACM及VCDM应用正弦定理求解.

【详解】

40—

在中，NAM5=15°,则AM=--------=60y/2m

sin15

在AACM中，因为ZCAM=15。+15。=30°,ZCMA=180°-(60°+15°)=105°,

所以ZMCA=180°-105°-30°=45°

高穿正=金综T所以*6。应=6。㈣，故8—6。。=3。同叫

故选：C.

6.（2022.全国•高三专题练习）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为。、久c,若a=l,b=出,

2=60。，则A=()

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

【答案】A

【分析】

ab的式子，代入题中数据算出=；,结合△中可得

根据正弦定理sinAABC

sinAsin5

A=30°.

【详解】

解：：在△ABC中，3=60。,

b一/口.qsin81xsin60°_1

.••根据正弦定理二可得smA4=--------

smAsin3

又•在△ABC中"6,可得A<6,.\A=30°.

故选：A.

7.（2022・全国•高三专题练习）已知ABC中，BC=4,AC=4代，NA=3O。，则/3=（）

A.30°B.30。或150。C.60°D.60°或120°

【答案】D

【分析】

直接利用正弦定理计算即可得出答案.

【详解】

解：因为5c=4,AC=46,ZA=30°,

BCAC

sinAsinB

所以.RAC-sinA义;0,

sinD=--=----=—

BC42

所以60。或120。.

故选：D.

8.（2022・全国•高三专题练习）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a也c,已知

4+c2-〃—讹=0,ABC的外接圆半径为百，ABC的周长为9,则ac=（）

A.6B.9C.16D.24

【答案】B

【分析】

首先由余弦定理可得8$8=正《^=工，所以8=W，再由正弦定理可得b=2RsinB=3,

lac23

根据周长为9,由（a+c）2-3碇=》2=9即可得解.

【详解】

在4ABC中，由—ac=0,可得々2+02—=QC,

a2+c2-b2

所以cosB=

2ac2

TT

由0<3<乃可得8=9，

所以6=2RsinB=26x3=3,

2

由.ABC的周长为9,所以a+c=9-6=9-3=6,

由a?+c._b~_etc—0,

可得（。+c）?—3oc=b2=9,

所以3ac=27,所以oc=9,

故选：B

TT

9.（2022・全国•高三专题练习）在A5c中，BC=6,A=—,sin8=2sinC.则ABC的面积为

3

（）

A.673B.6C.9^/3D.4后

【答案】A

【分析】

由余弦定理可得36=02+从—加，由正弦定理可得b=2c,解得人和c的值，再由S=gbcsinA

即可得解.

【详解】

a2=b2+c2-2Z?ccosA，

36=c?+b2—be,

sinB=2sinC,

:.b=2c.

解得：c=2\/3,b=4A/3,

■■■ABC的面积为S=4csinA=Lx26x4^x^=6g.

222

故选：A.

10.（2022•浙江•高三专题练习）在11ABe中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是

（）

A.A=50,6=20,c=30B,A=50,8=20,c=30

C.a=24,Z?=31,A=30D.A=50,a=45,c=29

【答案】C

【分析】

根据三角形的性质依次分析各选项即可得答案.

【详解】

解：对于A选项，已知两边及夹角，由余弦定理可知第三边为定值，故只有一个解；

对于B选项，己知两角及任意一边，则三角形确定，只有一个解；

对于C选项，由正弦定理得Sin2=-----=—>sin30,所以B有两个解；

a48

对于D选项，由正弦定理和大边对大角得C为小于50的锐角，故只有一个解.

故选：C

11.（2022.全国•高三专题练习）在，ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知

6=12,A=30。，使得三角形有两解的条件是（）

A.a=6B.6<a<12C.a>12D.a<6

【答案】B

【分析】

计算C到AB的距离力，结合图形即可得出结论.

【详解】

b=12,A=30°,

「.C到A3的距离/z=bsinA=6,

.,・当a<6时，三角形无解，

当。=6时，三角形有一解，

当6<。<12时，三角形有两解，

当a.12时，三角形有一解.

故选：B.

12.（2022.全国.高三专题练习）在，ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,其中

a—2,smAsmB+sinAsinC=smBsinC,贝!Jb+c的最小值为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】

根据题意，利用正弦定理得到"+a=从，进而得到女2+：2=1,再结合基本不等式，即可求

cb

解.

【详解】

由题意知sinAsinB+sinAsinC=sinBsinC,

根据正弦定理，可得必+oc=8c,

22

因为o=2,所以力+2c=历，即一+：=1,

cb

贝lj。+c=3+cx2+2)=4+a+至24+2,竺之=8,

cbcbcb

当且仅当c=Z?=4时等号成立，即6+c的最小值为8.

故选：C.

2

13.（2022•全国•高三专题练习）在ABC中，内角A、5、C所对的边分别为。、8、c,cosA=§,

h

B=2A.则2=()

a

A-7B-ic-1D-I

【答案】A

【分析】

利用正弦定理并结合已知条件即可求解.

【详解】

bsin5sin2A2sinAcosAc,4

由正弦定理可得,=2cosA=—

asinAsinAsinA3

故选：A.

14.（2022・全国•高三专题练习）已知ABC中,内角A,8,C对应的边分别为“，b,c,若

TT

a+b=4,c=,C=—,贝!!/A6C的面积为()

A.迪

B.273C.4D.372

4

【答案】A

【分析】

已知两边之和与第三边，直接套用余弦定理公式求出两边之积，再代入面积公式计算.

【详解】

由余弦定理可得7=a2+b2—2abcosC=(a+bf—3ab=l6-3ab,所以而=3.

所以S=!"sinC=!x3x^="

2224

故选：A.

15.（2022・全国•高三专题练习）已知ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c

且Q=2,C=45°,accosB=b2+becosA>则qASC的面积为(

A.B.1C.2D.4

【答案】B

【分析】

根据题意，结合余弦定理化简得出片=2〃，从而求得6=0,最后利用三角形的面积公式

S=^absinC,即可求出结果.

【详解】

解：已矢口accos3=/+Z?ccosA,

ac/+/一方=方+-/+—一片

由余弦定理得:

2ac2bc

解得：a2=2b2,故6=0,

S=—absinC=-x2x^x^^-=1.

222

所以ABC的面积为1.

故选：B.

16.（2022•浙江•高三专题练习）在—ABC中，。，b,c分别为内角A,B,C所对的边长,

jr

若/=（〃一））2+5,C=y,则dASC的面积是（）

A.3B.竽C.孚D.3g

【答案】C

【分析】

先根据题意以及余弦定理求出湖，再根据三角形面积公式即可求解.

【详解】

解^：,c?=（a—Z?）2+5=a?—2ab+Z?2+5,

即2"—5,

222

九a+b-c2ab-51

由余弦定理得:cos—=--------------=----------=—

32ab2ab2

解得：ab=5,

则dABC的面积为：—absinC=—x5x^-=^^-.

2224

故选：C.

17.（2022.全国•高三专题练习（文））已知。，b,。分别为"C内角A,B,。的对边,

(22—b2=—c2ASC的面积为:，，则A=()

3f6

A.45°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【分析】

由余弦定理和面积公式分别可得2%，sinA与，可得ta“=l即可得解.

【详解】

由余弦定理可得:

2c2

b2+c2-a13c

cosA=--------------==——

2bc2bc3b

由5ABe=TAsinA=/2

可得sinA=£,

3b

所以sinA=cosA,

即tanA=l,由0<A<180,

所以A=45°.

故选：A.

18.（2022・全国•高三专题练习）在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若

（3a-2Z7）2+（5a-4c）2=0,则ABC最小内角的余弦值为（）

A4RV7,33

5454

【答案】D

【分析】

_3

[3a-26=0b~2a

首先根据题意得到“二八，从而得到7,即可得到ABC的最小内角为角A,再

[4<:一5。=05

Ic=­a

[4

计算cosA即可.

【详解】

3a-2b=0

因为（34-26）2+（5o-4c）2=0,所以

4c-5a=0"

b=-a

2

解得可知ABC的最小内角为角A,

c=­a

I4

9252

—a2H--------a2-a

b2+c2-a23

所以cosA=416

2bc20x—3x5-a24

24

19.（2022.全国•高三专题练习）在，ABC中，角A,B,C所对的边分别是b,c,若

b2+c2=a2-y/3bc,则角A的大小为（）

A—B.女C.二D.主

6336

【答案】D

【分析】

根据给定条件结合余弦定理求出cosA即可得解.

【详解】

在ABC中，因—垂品，

由余弦定理得cosA=,而0<A<],

2bc2bc2

所以A

o

故选：D

20.（2022・全国•高三专题练习）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩

A,8（如图），要测量A,8两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC,测得8C=50机，Z

ABC=105°,ZBCA=45°.就可以计算出A,B两点的距离为（）.

A

二二七七三

—____

（I-------JK

A.200mB.30忘mC.40忘mD.50夜m

【答案】D

【分析】

根据正弦定理，结合三角形内角和定理进行求解即可.

【详解】

由三角形内角和定理可知：ZBAC=1800-ZACB-ZABC=30",

"=BC一金笆一一=5。二

由正弦定理得:sin/ACBsinZBAC应]_,

T2

故选：D

二、多选题

21.（2022•全国•高三专题练习）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（）

3

A.。=3,b=4fA=30°B.4=3,Z?=4,cosB=—

C.〃=3,Z?=4,C=30°D.a=3,b=4,B=30°

【答案】BCD

【分析】

利用正弦定理、余弦定理一一判断即可；

【详解】

解：根据题意，在A条件下：=gnsinB=±xsinA=3,因为』<2<1，所以角B

bsmB33232

在［菅《）和］与上各有一个解’并且这两个解与角A的和都小于”’所以A不满足;

3

在B条件下，a=3,b=4,cosB=-,根据余弦定理可得。2=/十/,即

1Q7

16=9+/—?。，解得。=5或（舍）,所以只有1个解，满足题意；在C条件下,

asinA3331

条件为边角边，所以有唯一解；在D条件下,=^>sinA=—xsinB=—,因为一v一,

bsin54882

所以角在］今,乃）时，角3与角A的和大于万,

A0,?和上各有一个解'当解在

所以只有1个解，满足题意,

故选：BCD.

22.（2022・全国•高三专题练习）在，ABC中,b,c为三个内角A,B,C的对边，若

［a1+c2,则角3=（）

A.30°B.60°

C.150°D.120°

【答案】BD

【分析】

由余弦定理化边为角即得.

【详解】

2

由题得“2+c、"tanB=e

2ac2

根据余弦定理可知cosBtan3=sinB=^,

2

2=60。或3=120°.

故选：BD.

三、填空题

23.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中，角A,B,C的对边分别是。，b,c,已知A=120。,

a=7,cosB=—,贝｝Jb=

14

【答案】5

【分析】

先结合8的范围和同角三角函数的平方关系得至IJsinB=%3,再利用正弦定理，即得解

14

【详解】

由题意，由于8为ABC的内角，故3e(0,%);.sin3>0

/.sinB=Vl-cos2B=

14

由正弦定理，\上。=竺邛

sinAsmBsmA

7x^1

代入可得：6=匚芹=5

故答案为：5

24.(2022・全国•高三专题练习)△ABC的内角A,B,。的对边分别为。，b,c已知bsinC

+csinB=4asinBsinC,/+c2一4=8,则△ABC的面积为.

【答案】空

3

【分析】

利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得sinA,6c,由此求得三角形ABC的面积.

【详解】

由6sinC+csinjB=4asinBsinC,

得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,

因为sinBsinC#),所以sinA=；.

因为〃+c2—〃=8,所以34=一

"+©24>0,

2bc

0<A<.7r=>A=—,cosA=，

62

,,Z?2+c2-tz2873

故-----:-----

2bc2bc2V3

所以S-LsinA」>4xL亢空

22g2⑺3

故答案为：手

25.（2022.全国•高三专题练习（文））在，ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若

TT

1,八"的面积S=2,则ABC的外接圆的面积为-----------

【答案】弩

【分析】

由“ABC的面积5=2,可求得c=4及，再利用余弦定理求出匕=5,然后利用正弦定理求

出.ABC的外接圆的半径，从而可求出外接圆面积

【详解】

因为S=2=；xacsinB,所以c=40，

由余弦定理得加=+/-2〃ccosB=25,所以Z?=5,

所以刍=5&.

sinB

225乃

所以的外接圆的面积为「组

ABC4x~T

故答案为：于

26.（2022・全国•高三专题练习）在ABC中，若sinA（sin3+cos3）=sinC,°=贝I]ABC

外接圆的面积为.

【答案】万

【分析】

将给定等式消去角C,而求得A,再由正弦定理求出外接圆半径即可得解.

【详解】

ABC中，因sinA(sin3+cos3)=sinC,则sinAsin8+sinAcosB=sin(A+8),

化简得sinAsin3=cosAsin3,而sinB>0,则tanA=l,sinA=1

2

MC外接圆半径为R,由正弦定理得2R=-=2,即R=l,

sinA

所以ABC外接圆的面积为S=%R2=%.

故答案为：71

27.（2022・全国•高三专题练习）已知.ABC外接圆的直径为d,AB=4,AC=5,BC=J,

贝普=.

【答案庠

【分析】

根据余弦定理，求得cosA,根据同角三角函数的关系，求得sinA,利用正弦定理，即可求

得答案.

【详解】

由余弦定理得…。s/勺42+52-"721

5

所以sinA=A/1-COS2A=~~~

由正弦定理得"=后=等

故答案为：噂

28.（2022.全国•高三专题练习）在.ABC中，角A、B、C所对的边分别为“、b、c,若

sinA:sinB:sinC=7:5:4,则最大角等于.

【答案】arccos

【分析】

由sinA:sin8:sinC=7:5:4,利用正弦定理可得a:b:c=7:5:4,从而可得角A为最大角,

设a=7x/=5x,c=4x（x>0）,再利用余弦定理即可的解.

【详解】

解：因为sinA:sin5:sinC=7:5:4,所以a:Z?:c=7:5:4,

所以所以A>5>C,

设a=7x,b=5x,c=4x(%>0),

425X2+16X2-49X2

贝mt！］lcosA=------------------------—,所以A=arccos

2x5xx4x

即最大角为arccos

故答案为：arccos

27r

29.（2022・全国•高三专题练习）在，ABC中，角C的对边分别为a,6,c,已知B+C=B

a=«,b=l,则-ABC的面积为.

【答案邛

【分析】

利用余弦定理求得边C,再利用三角形的面积公式即可得出答案.

【详解】

解：因为B+C=等，所以4=(,

贝1J〃=〃2+'-2〃ccosA,即3=l+c?—c,解得c=2或一1(舍去),

所以S=—/?csinA=-

ABC22

故答案为：显.

2

30.(2022・全国•高三专题练习)在，ABC中，内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,若

c(tzcosB-Z?cosA)=16,〃+。=8,ZC=60,则c的值等于

【答案】晒

【分析】

由余弦定理把角化为边，即可求得再由余弦定理即可求解

【详解】

a2+c2-b2b2+c2-a2

c(«cosB-Z?cosA)=(?(〃•-b-)=16,

lac2bc

—Z?2—(Q+/?)(〃—b)—16,

又Q+Z?=8,贝心-^=2,

・、〃=5,b=3,

又NC=60°,

故/=/+/一2aoeosC=25+9-15=19,

：.c=y/19.

故答案为：c=^/T9

31.(2022•全国•高三专题练习)已知在ABC中，sin2A+sin2B-sin2C=^sinAsinB,则

cosC

cos2C=.

【答案】△-1

【分析】

利用正弦定理将角化边可得,再由余弦定理可求出cos'C,进而可求

cosC

side,从而利用二倍角公式可解.

【详解】

缶zjnri、/1.2A•2r'i,2z-»v3sinAsinB

解：因为sinA+sm3-sinC=-----------------，

cosC

所以由正弦定理得-=避虫，即。2+/一二=4_,

cosC2ab2cosC

由余弦定理得cosC=———，所以cos2CuX^,从而sin2c二1-cos?C=,

2cosC22

所以cos2C=cos2C-sin2C=-—~~—=石-1，

22

故答案为：V3-1.

32.（2022・全国•高三专题练习）在如图所示四边形ABC。中，AD=DC,AC=5y/3,

BC=—母,ZADC=120°,NBCD=15°,则四边形438的面积为

2

【答案】10^/3

【分析】

TTJT

由已知条件可得AD=DC=5,ZDCA=-,ZACB=-,应用三角形面积公式求，

64

S-，即可求四边形A3C。的面积.

【详解】

AC

>口=,AD=D（J=..__-5|—।..7C..7T

由就思，知：力.ZADC,Z.DCA=—,Z.ACB=—,

2sin---64

S=—DC-AC-sinZDCA,5=—AC-BC-sinZACB,

AUr,Cc2A4CrRD2

，四边形ABC。的面积S.w+S,r„=-x5x573x-+-x5V3x—x—=

•ADC-ACB2222