天津市五区县重点校2024-2025学年高二年级上册期末联考数学试题

天津市五区县重点校2024-2025学年高二上学期期末联考数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.空间直角坐标系中，点P（2,3,4）关于xOz平面的对称点是（）

A.（2,-3,4）B.（-2-3,4）C.（2,3,Y）D.（-2,3,4）

2.若直线/的一个方向向量为卜3,6），则它的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.已矢口数歹!!｛%｝的前九项和="一2",贝1]%+%+%等于（）

A.12B.15C.18D.21

4.以直线/：x+（根+2）、-3-根=0恒过的定点为圆心，半径为血的圆的方程为（）

A.%?+y?—2x+2y-2B.-2x+2y—1

C.x2+y2-2x-2y+1=0D.x2y2-2x-2y=0

丫2Jjr

5.已知双曲线.—七=1（〃〉0/>0）的两条渐近线之间的夹角小于或，则双曲线的离心率

cib3

的取值范围是（）

A.（1,V2）B.）孚）C.（2,内）D.’当）32,+动

ab,、a,9

6.定义=ad-bc,已知数列｛%｝为等比数列，且。3=1，„=0,则%=（）

cd

A.3B.±3C.9D.±9

22

7.已知椭圆C：土+二=1的左、右焦点分别为片，F2,M为椭圆C上任意一点，N为圆

32~

E-.（>5）2+（丫-3）2=4上任意一点，则|肱7|-|町|的最小值为（）

A.3+273B.3-2#>C.5-273D.2+2出

22

8.已知双曲线[-与=1（。>0,6>0）的一条渐近线与抛物线V=4x交于点A,点3是抛物

ab

线的准线上一点，抛物线的焦点/为双曲线的一个焦点，且△丽为等边三角形，则双曲线

的方程为（）

7x27/7x27y2

A.----------------=1D.------------------=1

3443

3—4/7X17y2

C.----------------=1D.-----------------=1

771216

9.如果数列｛凡｝对任意的〃eN*,an+2~an+\>an+\~册,则称｛〃“｝为“速增数列”，若数列｛%｝

为“速增数列”，且任意项为wZ,%=1,g=3,4=456,则正整数上的最大值为（）

A.27B.28C.29D.30

二、填空题

10.两条直线入彳-2了+1=0与。2x-4y-8=0之间的距离为.

11.已知圆G：/+丁=4与圆6：/+y?-8x+6y+%=0外切，此时直线/：3x+4y+5=0

被圆G所截的弦长为.

12.如图，在正方体ABC。-A4G。］中，M,N分别为。8,AG的中点，则直线AM和

〃+]〃+]2〃+1

13.已知数列｛%｝满足q=3,an+l-an=2,bn=(-1)"-----,则£白=.

anan+li=l

22

14.已知双曲线C:工-当=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为"、F],过点F?的直线/与C

ab

的右支相交于尸、Q两点，若|尸。|：忸周：|。制=3：4:5,点尸位于第一象限，则双曲线C的

离心率为.

15.如图，已知抛物线E：y2=2px（p>。）的焦点为尸，过点E且斜率为1的直线交E于A,

B两点,线段AB的中点为其垂直平分线交x轴于点C,MN1y轴于点N.若四边形CMNF

试卷第2页，共4页

的面积等于则P的值为

三、解答题

16.设数列｛%｝是首项;，公比不为1的等比数列，数列｛2｝满足2=㈣,.已知4,2%,3a3

成等差数列.

⑴求｛%｝和低｝的通项公式；

⑵求｛4｝的前〃项和S,,色｝的前"项和Tn.

17.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，ABAC=90°,AB=AC=AAt=2,E是2C中点.

⑴求证：AB”平面AEG;

(2)求平面AEG与平面AB与A所成角的余弦值;

⑶求点A到平面AEG的距离.

221

18.己知椭圆C：1r+方=1伍>6>0)的离心率e=j,点M(2石,-石)在C上

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知椭圆C的左顶点为A,过点A作斜率为左(左中。)的直线/交椭圆C于点尸，交y轴于

|AP|+|AD|

点。，若过原点。作直线/的平行线交椭圆C于点£,求II的最小值.

OE\

22

19.已知椭圆C：—+与=1（。>6>0）的长轴长为4,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周

长为4A污.

（1）求椭圆的方程；

⑵直线>=履+根（而存0）与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点线段A8的垂直平分

线与A8交于点尸，与y轴交于点。，。为坐标原点，如果NMOP=2NMQP,求上的值.

20.已知等差数列｛%｝,5,是数列｛q｝的前"项和，满足$2=4,§4=16；数列抄“｝各项都

是正数，且满足4=%,2=%-1，="+i（〃eN*）.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式；

（67）6.，”为偶数,

⑵记c“=Janan+2''数列｛ca｝的前2”项和为应；

4,〃为奇数，

⑶在为和以+1，左£N*中插入左个相同的数（-1广1%，构成一个新数列｛4｝：

%,1,〃2,一2,-2,〃3,3,3,3,〃4,…，求｛4｝的前2025项和.

试卷第4页，共4页

《天津市五区县重点校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题》参考答案

题号123456789

答案ADBDDCBAC

1.A

【分析】可知点关于xOz平面的对称点的横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数,

从而得出答案.

【详解】根据对称点坐标规律，空间直角坐标系中点尸（2,3,4）关于xOz平面的对称点是

（2-3,4）.

故选：A.

2.D

【分析】根据方向向量可得斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解.

【详解】由于直线/的一个方向向量为卜3,石），故直线的斜率为一日，

故倾斜角为150°,

故选：D

3.B

【分析】利用S5-S2即可求得％+%+%的值.

【详解】因为数列｛4｝的前"项和=n2-2n,

2

所以4+4+。5=$5-S2=5-2X5-（2?-2X2）=15.

故选：B.

4.D

【分析】首先需要求出直线恒过的定点，然后根据圆的标准方程。-。）2+“-6）2=/（其中

（。,6）为圆心坐标，r为半径）来确定圆的方程.

【详解】将直线/的方程x+O+2）y-3—根=0变形为x+2y-3+m（＞-1）=0

fx+2y—3=0

令《「八，解得x=l,y=L

[y-l=0

所以直线/恒过定点（1,1）,即圆心坐标为（L1）.

已知半径r=五,所以圆的标准方程1尸+（y-1）2=（应＞.

答案第1页，共14页

展开可得J-2%+1+y?一2y+1=2,BPx2+j2-2x-2y=0.

故选：D.

5.D

【分析】根据题意分0<2<tan?或"tan?两种情况，结合e，=J1+⑶一求解.

a6a3a\)

【详解】解：因为双曲线5-与=1(。>0/>0)的两条渐近线之间的夹角小于g,

cib3

所以0<2<tan巴或—>tan—,

a6a3

即0<2</或->V3,又

a3a

所以eeLu（2,+oo）,

故选：D

6.C

【分析】首先根据行列式的定义计算出关于等比数列项的等式，再利用等比数列的性质求出

%的值.

a,9

【详解】根据行列式的定义，对于c=0,可得44-9x9=0,即44=81.

9as

因为数列｛%｝是等比数列，根据等比数列的性质：所以。6%=%%=0；.

由a6a8=81,可得a；=81,则％=±9.

又因为生=1>。，等比数列奇数项符号相同，所以为=9.

故选：C.

7.B

【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得-2,再结合椭圆的定义将

|MN|凰化为|M2V|+1次|-2』，结合IMV|>|ME|-2以及图形的几何性质即可求得答

案.

22

【详解】由题意知M为椭圆。:上+乙=1上任意一点，N为圆E：(X-5)2+(^-3)2=4±

32

任意一点，

答案第2页，共14页

故区(1,O),E(5,3),

故|AffJ+13|=|A£V闫ME|-2,

当且仅当M,N,E共线，N在线段ME上时取等号,

=]MN\+\MF2\-2-^^ME\+\MF2\-2y/3-2>\EF2\-2y/3-2,

当且仅当M,N,E声共线，在线段EB上时取等号，

而|%|="(5-1)2+(3-0)2=5,

故的最小值为5—2班―2=3—2后,

故选：B.

8.A

【分析】根据题意得AB，/,设4二J),列方程可得点A的坐标，然后求解得2=空，

4a3

再由。2=。2+62=1,即可求出双曲线的方程.

【详解】由题意，点尸(1，。)，抛物线的准线方程为x=-l,作AO_U,由抛物线的定义可知，

|AT)|=|AF|,又△及汨为等边三角形，所以|AB|=|AF|,所以|AB|=|AD|,即点B,O重合，所

2t=P=—=2J3__

以AB，/,设A(LJ),不妨设r>0,则—tan30一相一，得f=，所以A(3,2不)，

4T

所以2=2叵，又因为,2=4+62=1,所以得片=之62=3,所以双曲线的方程为

a377

7f7yl.

---------------=1.

34

故选：A

答案第3页，共14页

9.C

【分析】根据“速增数列”的定义，结合累加法建立不等式并求解即得.

［详解］当上22时，％=456=（以_以_］）+（以_］_%_2）++（生_4）+4,

由数列｛风｝为“速增数列”，贝1J%—>〃1一％.2>>%—%=2,

又见£Z,贝I%一〃223、%%>4、L、ak-ak_x>k,

.z、/、（、（1+k）k

贝n！J（%_/_］）+（以_］_以_2）+•-+（a2—q）+%2女+上一1+.•+1=——,

即（1+后）左W456,当左=29时，（1+29）29=15x29=435<456,

22

当左=30时，1+3030故正整数人的最大值为29.

（）=15X31=465>456,

2

故选：C.

10.岳

【分析】将直线4化为x-2y-4=0,再由平行线间的距离公式计算可得.

【详解】直线4：2x—4y—8=0即x-2y-4=0,又直线3尤―2y+l=0,

1-4-11「

所两直线间的距离”=.二0

一+（-2）

故答案为：石

11.4A/2

答案第4页，共14页

【分析】根据两圆外切可得m=16,即可根据点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求解.

【详解】C1；/+y2=4的圆心和半径分别为G(0,0),r=2,

。2：%2+,2一8%+6'+机=。圆心和半径分别为。2(4,-3),R=:25-m，

由于两圆外切，^|C2Cj=r+7?=>5=2+V25-m,解得帆=16,

故c2(4,-3)直线的距离为d=|4X3+4”3)+5]=]，

故弦长为2西—[2=2万1=4A/2，

故答案为：4A/2

12.2

3

【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,求出各点坐标，利用异面直线空间向量

夹角公式进行求解.

【详解】以。为坐标原点，DADC,。〃所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为2,则A(2,0,2),M(1,1,0),3(2,2,0),N(1,1,2),

kM-BN\1(-1,-1,2)

故AM和m的夹角的余弦值为式湛=1鬲

13.1----------------

1216〃+20

【分析】先求出数列｛见｝的通项，代入么=(-1)3片-后将其拆成

(-l)"+1xlx(-l-+-l-),再求和，通过裂项相消法即可求得数列的和.

【详解】由4+「4=2知数列｛%｝为等差数列，且％=3,公差d=2,

答案第5页，共14页

贝U=3+(n-l)x2=2n+l,

—d7(i\〃+i〃+l+1n+\

于是"=T——=(-l)"

%A+i(2〃+1)(2〃+3)

/-.\n+l1.11、

=(-1)X-X(--------+---------),

v)42n+l2n+3

2n+l

则Za=4+62++匕2用

z=l

ll1、,11、/1、A1、

=蒲r/+7飞+尹尸尸§+”T

111x11

+(4M-1H-----------)一(-----H---------)+(--------)]

4n+l4n+l4n+34n+34〃+5

1111111

-----1----1---------------FLH--------------1-)-----------

7799114〃+34〃+5

111、11

一(Z—I--------)=F

434n+51216〃+20

11

故答案为:------1----------------

1216〃+20

14-f

【分析】设|尸。卜3f,|「闻=4,|QR|=5t,易得尸工,令|尸叫=根，则血闾=3人加,

利用双曲线的性质可得〃z=:，可求出上|尸耳|、\PF2\,结合勾股定理可求得结果.

【详解】如下图所示:

不妨设|P0=3t,则归耳|=4f,|Q£|=5f,贝1]|尸。「+卢耳「=|。耳「，所以，ZFtPF2=90,

^\PF2\=m,则|。用=3/_加，

由双曲线的定义可得2。=卢玛-怛阊=|。4|-|。阊，

即4/—〃?=5t—（3/—〃?），解得m=t,所以，2a=4/—in=3:n,可得机=三，

所以，|P团=4f=F，|「目=彳，

答案第6页，共14页

由勾股定理可得|尸£「+|尸阊2=1片引2,即竽+茅=公2,可得

所以，°=姮0,故该双曲线的离心率为e=£=姮.

3a3

故答案为：叵.

3

15.3

【分析】作出辅助线，根据直线A5的斜率表达出梯形CMVF的上底和下底以及高，列出方

程，求出P.

【详解】易知尸，,。)，直线A5的方程为y=x/,四边形C肱VF为梯形，支FC//NM.

k.X一为X一为2P一1

设A(X，yJ,3(%,%),Af(x0,y0),则“yfyf%+%,

2p2p

所以乂+为=2。，所以%=P.

作研，x轴于点K,则|MK|=〃.

因为直线A8的斜率为1,所以fMC为等腰直角三角形，故|EK|=WK|=|KC|=p,

所以|初V|=|O尸|+|五同学,\FC\=2p,

所以四边形OVWF的面积为:x(¥+2p]xp=孚,

2(2)4

解得。=3,

【分析】(1)由｛4｝是首项为g的等比数列，结合可，2%,3a3成等差数列求解;

(2)由(1)的结论，利用等比数列求和公式和错位相减法求解.

答案第7页，共14页

【详解】（1）{%}是首项为:的等比数列，

设其公比为4,因为q,2%,3%成等差数列,

所以4g=%+3%，即=囚+3%，,

即3q2-4q+l=0,解得q或4=1（舍）,

故""=[3],所以勿="%=/

1__1_

（2）由（1）可得s“=r^=：（i一

-3

.12n-1n

北=§+系+…+产+守①

e1e12n-1n与

则/=乎+三+--+丁+诃，②

①-②得：l=;+1+/+・・•+]-言

n

产'

3

3一小平

4（24月

17.（1）证明见解析;

⑵立;

3

⑶型.

3

【分析】（1）连接AC交4（^于/点，利用线面平行的判断推理得证.

（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面AEG与平面AB片A的法向量，利用面面

角的向量法求解.

（3）由（2）,利用点到平面距离的向量求法求解.

【详解】（1）在直三棱柱ABC-A与G中，连接AC交AC于F点，连接EP,

答案第8页，共14页

由侧面ACGA是平行四边形，得P是AC的中点，又E是BC中点，则EP//AB,

而EFu平面AEG，ABN平面AEG，所以4台〃平面AEG.

(2)依题意，明，底面ABC,ABJ.AC,则直线AB,AC,胡两两垂直,

以A为原点，直线AB,AC,M分别为％y,z轴建立空间直角坐标系,

则4(0,0,0),2(2,0,0),C(0,2,0),4(0,0,2),G(°，2,2),E(1,1,O),A£=(1,1,0),AQ=(0,2,2),

n•AE=x+y=0

设平面AEG的一个法向量为n=(x,y,z)，则，'，令y=T,得〃,

n•AC=2y+2z=0

而AC=(O,2,O)是平面ABB6的一个法向量，设平面AEG与平面所成角为凡

ci/।\n-AC\2百

贝niUlcos0=|cos〈2AC)|=-----------=------=——,

|n||AC|2xV33

所以平面A明与平面A网a所成角的余弦值为‘

(3)由(2)知，M=(0,0,2),

\A\-n\2_2A/3

所以点A到平面AEC,的距离d=

1«13

x2v2

18.⑴工+匕=1

1612

Q)20

答案第9页，共14页

【分析】（1）根据离心率可得（=£，将点M（2班,-6）代入椭圆方程，结合/="+'2,

可求解得。，瓦c的值，进而得标准方程;

（2）设直线/的方程，与椭圆方程联立，可得点尸的横坐标；根据平行关系，设直线OE的

方程，与椭圆方程联立，可得点E的横坐标，根据直线平行可用尸,ARE四个点的横坐标

\AP\+\AD\

表示,再利用基本不等式求最值即可.

\OE\

【详解】（1）因为椭圆C的离心率e=；,且M（2道,-若）在c上

C_1

a2

123

所以/+瓦=1,解得储=16，b2=12,

a2=b2+c2

设直线/的方程为y=Mx+4）,0）,

3-1

联立1612，消去y,得（x+4）[（4f+3）x+16左2-12]=0,

y=左（冗+4）

一16"2I1O

所以X=1。2+1一，因为OE〃/,所以直线OE的方程可设为y=履,

p4r+3

1

联立，1612一，消去丁，得（4/+3）d-48=0,

y=kx

所以点E的横坐标为4=±^==，

V4F+3

答案第10页，共14页

|AP|+|AD|_昌-XA+尤0-乙

由OE〃/,得

-16r+12

二丰>=尸^谭力2

，4一+3

当且仅当，4r+3=6,即4=±正时，等号成立，

，4r+32

、h\AP\+\AD\「

由此，当左=±及时，有最小值,且最小值为20.

2'\O1E\।

19.（1）—+/=1

(2)k=+—

2

【分析】(1)由题意列出。，瓦c的方程组，求解即得椭圆方程；

(2)将直线与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出点尸的坐标，写出直线P。的方程，求得

点。的坐标.法一：根据条件推得=计算求得上的值；法二：根据条件推得

\OM\=\OQ\,由％+均=0求出％的值.

【详解】(1)由题设得4J吊=4石,解得a=2,6=1,c=g,

所以椭圆C的方程为上+y2=l.

4

B\

儿2[

+y

联立~4=,得（4左2+1）*2+8砧+4m2—4=0,

y=kx+m

由A=（8A"）？一4（4左2+1）（4根2-4）>0,得4/一加2+1>0,

设A（为另），8（々，%），则%+%=一噂券T，y1+y2=k（xl+x2）+2m=,

4/C+14k+1

答案第11页，共14页

ll…i人心年”」一x+x,4km八一1」一、rm

所以点P的横坐标Xp=-=-—~-,纵坐标为yP=-5~-

乙4/C十1^rK十1

所以直线尸。的方程为>-舟=1（.4km]

ir+4v+ij

令尤=0,则点Q的纵坐标九=-京石，则。［。,-耳47

因为Af（O,机），所以点M、点Q在原点两侧,

因为ZMOP=2ZMQP,所以ZPQO=ZOPQ,

法一：由上可得10Pl=|Q2|,

16k2m2+m29m2..

所以…（伏…x）,解得⑹2+1=9,

所以2=±-^-.

2

法二：因“尸,尸。,10Pl=IQ2I,故有|。叫二|。。|,即加+%=0,

因为丁知=w，”=一,721，所以）一厂=。（6—（）），

丫4%+144+1

解得4公+1=3,所以左=±变.

2

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合图形，将相关条件等价转化，再结合韦达定

理解决问题.

20.⑴4=2〃-1,bn=2"-'；

An

（2）7i„=--7-l+2«2+»

4n+1

（3）2583

f2a.+d=4,、

【分析】（1）根据S?=4,S4=16,由6d=16求得｛"/的通项公式，由

b„bn+2=%仅eN*）,得到数列也｝为等比数列求解.

'（6-7）2"

-------------"为

（2）易得％=（2〃-1）（2〃+3）',分奇数项和偶数项，分别利用裂项相消法和公式

为偶数

法求解；

答案第12页，共14页

⑶易得｛〃"｝中从4到矶共有4+1+（1+2+…+外=色+吗士©项，再由％=62时，

2025

有*2016项，后由〉：4=%+/+…+〃63+1+2x（-2）+3x3+…-62x62+（2025—2016）x63

Z=1

求解.

[2CL+d=4fa=1

【详解】⑴解：依题意，邑=4,S4=16,即।