圆锥曲线中的极点极线问题课件-高三数学二轮复习

极点、极线极点与极线考点一1.极点与极线的定义过点P(x0，y0)的动直线交圆锥曲线于A，B两点，过A，B的切线交点的轨迹叫做点P关于圆锥曲线的极线，点P叫做相应于此极线的极点，简称极.一个极点与其对应的极线称作一对配极元素，它们之间的关系称作一对配极关系.2.极点、极线与圆锥曲线的位置关系如图(1)，若极点P在圆锥曲线外，则相应的极线l与点P的切点弦重合，即相应的极线l是由点P向圆锥曲线所引的两条切线的切点弦所在直线，极线l与圆锥曲线有两个交点；如图(2)，若极点P在圆锥曲线内，则极线l是圆锥曲线经过点P的弦的两端点处的两条切线交点的轨迹，此时，极线l与圆锥曲线相离，它们无交点；如图(3)，若极点P在圆锥曲线上，则相应的极线l与在点P处的切线重合，即相应的极线l就是圆锥曲线在点P处的切线，极线l与圆锥曲线有唯一交点.

例1√√√对于A，点P与圆的位置关系有三种，不妨设点P(x0，y0)在圆C的外部，两切点分别为T1(x1，y1)，T2(x2，y2)，两条切线的方程分别为xix+yiy=r2(i=1，2)，∵P(x0，y0)在切线上，∴x0x1+y0y1=r2，x0x2+y0y2=r2，∴T1(x1，y1)，T2(x2，y2)在直线x0x+y0y=r2上，由两点确定一条直线知直线T1T2的方程为x0x+y0y=r2，A正确；对于B，极线l与椭圆相交，且为由点P向椭圆所引两条切线的切点弦所在直线，设两切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，两条切线的方程分别为

规律方法

规律方法(3)从几何角度看，如图，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E，F，G，H，连接EH，FG交于N，连接EG，FH并延长，延长线交于M，则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.由图同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M对应的极线.因而将△MNP称为自极三角形.

跟踪演练1

考点二极点与极线的性质及应用

例2

(2)设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)，并求出该定点的坐标.

规律方法

规律方法(3)如图3，A，B为圆锥曲线Γ的一条对称轴l上的两点(不在Γ上)，若A，B关于Γ调和共轭，过点B任作Γ的一条割线，交Γ于P，Q两点，则∠PAB=∠QAB.(4)如图4，已知点Q在圆锥曲线Γ的对称轴上，直线l垂直于该对称轴，过点Q作直线交Γ于点M，N，P为l上任意一点.若点Q与直线l是Γ的一对极点与极线，当对称轴是x轴时，kPM+kPN=2kPQ.规律方法

规律方法(6)如图6，设圆锥曲线Γ的一个焦点为F，与F相应的准线为l.若过点F的直线与圆锥曲线Γ相交于M，N两点，则Γ在M，N两点处的切线的交点Q在准线l上，且FQ⊥MN；反之，若过准线l上一点Q作圆锥曲线Γ的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过焦点F，且FQ⊥MN.

跟踪演练2

(2)过点P(4，1)的动直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，在线段AB上取点Q，满足|AP||QB|=|AQ||PB|，证明：点Q总在某定直线上.

√拓展练习思维提升

√

√

4.已知圆M：x2+y2-2x-2y-2=0，且直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM||AB|最小时，直线AB的方程为A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0√

5.(多选)已知直线l：ax+by-r2=0与圆C：x2+y2=r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切√√√显然对于圆C，以A(a，b)作为极点，那么极线就是l：ax+by-r2=0，若极点A在圆C上，则极线l为圆C的切线，故A正确；若极点A在圆C内，则极线l与圆C相离，故B正确；若极点A在圆C外，则极线l是圆C的切点弦，与圆C相交，故C错误；若极点A在直线l上，这时极线恰好为切线，极点为切点，故D正确.

√√√

7.过点P(-2，3)作圆C：x2+(y-2)2=4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为

.

2x-y+6=0切点弦AB所在的直线就是点(-2，3)关于圆C的极线，其方程为-2x+(3-2)(y-2)=4，即2x-y+6=0.8.已知直线l：y=kx+2与圆C：(x-1)2+y2=9交于A，B两点，过A，B分别作圆C的两条切线l1和l2，直线l1和l2交于点P，则线段PC长度的最小值是

，线段PC最短时，四边形PACB

的面积是

.

如图，设P(m，n)，则切点弦AB所在直线的方程即点P关于圆C的极线方程，为(m-1)(x-1)+ny=9，这与直线l：y=kx+2是同一条直线，由于l：y=kx+2过点(0，2)，故点(0，2)在切点弦AB上，因此(m-1)(0-1)+2n=9，即m-2n+8=0.由此知，点P的轨迹方程是x-2y+8=0，记为l3.于是|PC|的最小值就是点C(1，0)到直线l3：x-2y+8=0的距离，

(2)设△MAB的面积为S，试求S的最小值.

10.