指对幂函数题过关练习-2025年高考数学一轮复习（含解析）

指对募函数精选题过关练习-2025年高考数学一轮专题复习

一、单选题

1.设6>。>0,ceR,则下列不等式中正确的是()

2.已知定义在R上的函数满足/(—x)+/(x)=0,且当尤40时，2(x)芍+2,则〃1)=()

A.2B.4C.-2D.-4

3.定义在R上的奇函数〃力满足：任意x产马,都有〃?]伍)>0,设

a=-/^log2-p=/(log24.1),c=f(203),则a,瓦c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

ax,x>\

4.若函数〃同=14_31+2犬<1是R上的增函数，则实数a的取值范围为(

A.(l,+oo)B.(1,8)C.(4,8)D.[4,8)

e-x,x<l

5.已知函数/(x)=ln2,尤=1,贝i]〃〃9))=()

/(x-4),x>l

A.e2B.1C.In2D.一

2

G

6.深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：L=L°D心其中，£表示每一轮优

化时使用的学习率，4表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G。表示衰减速度.已

知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18.经过18轮迭代学习时，学习率衰

减为04,则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为()(参考数据：1g2=0.3010)

A.71B.72C.73D.74

7.下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[0,内)上递减的是()

A.f(x)=-B.f(x)=cosxC.〃%)=_/D./(x)=eA-e-x

8.函数/。)=第二的大致图象为()

eX+1

二、多选题

9.下列既是奇函数，又是增函数的是()

A./(x)=x|x|B.g(x)=|lnx|C.3)=412D.g(X)=±1

v72x+2v72X

10.已知!(!<0,贝IJ()

ab

A.a2>b2B.ln(-Z?)>ln(—Q)

(+62)>(Q+8)2

C.2/D.a2<ab

已知函数仆)=.+I,则下列说法正确的是()

11.

A./(x)的图象无对称中心

B.〃尤)+也卜2

C.的图象与g(x)=-而占jT的图象关于原点对称

D.〃x)的图象与力⑺=e'T的图象关于直线y=x对称

三、填空题

12.已知函数为/(尤)=卜：2：2“二：，无在R上单调递增，则"取值的范围___.

[e'+ln(x+l),%＞0

13.已知是定义在R上的奇函数，/(x+2)为偶函数.当0＜》＜2时，/(x)=log2(x+l),则

7(101)=

14.己知数列｛%J满足a“+i=e"「2("eN*),a2+a3=3x0,其中与为函数y=e、"?-d的极值点,

+fl

则e«l2-«3_

四、解答题

15.求下列各式的值：

21

⑴13|了+(0.008产一(兀一3)。；

91

(2)(lg5)+Ig21g5+-lg4-log34xlog23.

(3)已知。＞0,Z?〉0且」~7+=1,求2a+b的最小值.

a+1b+1

16.已知函数/(x)=log?[4*+(a+2)•2*+。+1].

(1)若a=O,求满足2</。)<4的》的取值范围；

⑵若对任意xNl,/(x)Nx恒成立，求a的取值范围.

1_Y

17.已知函数/。)=iog2~-

1+iX

⑴判断并证明“X)的奇偶性；

⑵若对任意xe,te[-2,2],不等式/(无丝产+加-6恒成立，求实数。的取值范围.

18.已知函数/(x)=2，+W，其中。为实常数.

2

⑴若"0)=7,解关于x的方程/(x)=5；

⑵讨论函数f(x)的奇偶性；

(3)当。=1时，用定义证明函数在2,+⑹上是严格增函数，并解不等式〃2x)>〃x+l).

19.已知函数〃司=不彳+，

⑴求函数〃x)的值域;

⑵证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；

Z7-L/I

(3)若x>0时，恒有〃同<2，-27+詈三，求实数"的取值范围.

2—2

参考答案:

题号12345678910

答案CACDDDCBADBCD

题号11

答案BC

1.C

【分析】由事函数的单调性可得A错误；由/=!-。的单调性可得B错误；作差可得C正确，取c=0

可得D错误；

【详解】对于A,由好，在(。,+8)上是增函数可得消＜/故A错误;

对于B,由丁=工-。在(0,+s)上是减函数可得工-c＞g-c

故B错误;

xab

〃+2a2(b—a)a+2a

对于C,~b+2~b=b{b+2}>，所以笄故c正确;

对于D,当c=0时，ac2=bc2,故D错误;

故选：C.

2.A

【分析】利用题意结合奇函数的定义判断，(%)是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.

【详解】因为定义在R上的函数“X)满足〃-力+〃尤)=0,

所以小)是奇函数，且"0)=0,故/+2=0,解得°=-2,

故当X40时，〃x)=-g+2,由奇函数性质得〃1)=一〃一1),

9

而〃-1)=/+2=-2,故/⑴=_”—1)=2,故A正确.

故选：A

3.C

【分析】由题意可得f(x)在R上单调递增，«=/(log25),利用对数函数及指数函数的单调性可得

08

log25>log24.1>2,从而即可得答案.

【详解】因为f(x)是在R上的奇函数，且任意玉片马，都有〃*)-"%)＞在

%一工2

所以“力在R上单调递增,

又因为logzgu-bgzS,

所以a=-/^log2-J=-/(-log25)=/(log?5),

又因为Iog25>log24.1>2,I<20-8<2，

0

^^log25>log24.1>2%

08

所以/(log25)>/(log24.1)>/(2-)

即c<Z?va.

故选：C.

4.D

【分析】根据分段函数的单调性即可求解.

ax,x>l

【详解】•.・函数〃x)=七a}c，是R上的增函数,

I4--lx+2,x<l

a>1

.•.<4一：>0,解得4Wa<8.

a>4--+2

I2

故选：D.

5.D

【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可，注意对数恒等式的

应用.

［详解］由题意，f(f(9))=f(f(5))=f(f(1))=f(In2)=e-ln2=eI^=1.

故选：D.

6.D

4A£

【分析】根据已知条件列方程，可得O=g,再由0.5xg产<0.2,结合指对数关系和对数函数的性质

求解即可.

G

【详解】由于乙=他可，所以Z=Q5x.r，

io4

依题意0.4=0.5xD比，则。=于

G

由4=0.5x(令又<0.2,得至1]($逋<|,

218(g5—lg2)18(l-21g2)

所以G>181ogy=

53Ig5-21g2l-31g2

所以所需的训练迭代轮数至少为74次,

故选：D.

7.C

【分析】根据函数奇偶性的定义、单调性的判断方法进行判断即可.

【详解】解：A./(久)=:为奇函数，但x=0无意义，不符合题意;

B.f(x)=cosx为偶函数，不符合题意;

/1>1

C./(-%)=-=/=_/(x),函数为奇函数，在［0,+8)上递减，符合题意；

D.〃-同=/-/=-e-b)=-〃尤)，函数为奇函数，在［0,+e)上递增，不符合题意;

故选：C.

8.B

【分析】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项.

【详解】函数的定义域为R,且-x)=菖1=为m=-〃同，

所以函数是奇函数，故排除A,

且当x>0时，/(%)>0,故排除C,

=当时，y-0,故排除D,满足条件的只有B.

eH—

ex

故选：B

9.AD

【分析】根据函数的奇偶性可排除BC,利用观察法分析AD两个函数的单调性可得答案.

【详解】对A：因为/(-尤)=-尤卜力=—对H=—〃尤)，所以函数〃尤)为奇函数.且当尤e［0,+oo)时，

〃x)=x2单调递增；

根据奇函数的性质，/(X)在(3,。］上也是单调递增，所以“X)在(-力,+力)上为增函数，故A正确.

对B：因为函数g(x)的定义域为(0,+8),所以函数g(“非奇非偶，故B错误；

1_91

对c：因为/7(0)=1=-§/0,所以函数拉0)一定不是奇函数，故c错误；

对D：应为g(x)=2'-2-，，所以g(-x)=2T-2，=—(2，-2f)=—g(x),所以g(x)为奇函数，

且2*随X的增大而增大，2r随尤的增大而减小,

所以随着X的增大，2-2-，的值在增大，即g(x)=2。2T在上为增函数，故D正确.

故选：AD

10.BCD

【分析】首先判断6<。<0,再结合不等式的性质，函数的单调性，以及作差法，即可判断选项.

【详解】由!<:<0,可知，b<a<0,所以/<匕2,故A错误；

-b>-a>0,对数函数y=ln无单调递增，所以故B正确；

2(a2+b2)-(a+b)2=(a-b)2>0,即2(/+/)>(a+Z??,故C正确；

22

a-ab=a(a-b),由6<a<0,可知/—<0,gpa<ab,故D正确.

故选：BCD

11.BC

【分析】由点的对称性判断图象的对称性，从而判断AC,直接代入计算判断B,利用反函数的解析

式判断D.

【详解】选项A,由已知"X)的定义域是{x|x>0且xwl},

假设“X)的图象有对称中心(%,%),取P(x,y),其中x>2x(,,P关于点(%,%)的对称点是

Q(2x0-x,2y0-y),但2无。-尤不在/(x)的定义域内，即。不是/(x)图象上的点，与对称性矛盾，因

此假设错误，所以A正确;

/(%)+/(-)=—+l+-^-r+l=—+-^—+2=2c"

选项B,xInx.1Inx-In无，B正确;

in—

x

选项c,设P(x,y)是/(x)图象关于原点对称的图象上任一点，它关于原点的对称点为。(-羽-y)在

f(x)的图象上,

即k-f-1

因止匕一了=--------+1

ln(-x)

所以/(X)的图象上任一点关于原点的对称点在g(x)的图象上,

同理可证g(x)的图象上任一点关于原点的对称点都在了。)的图象上，C正确；

选项D,由>=J—+1得lnx=一二，vb,所以f(x)的图象关于直线>=无对称的图象的函数式

Inxy-ix-e

为，错，

yv-cD

故选：BC.

12.[—1,0]

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为/⑺在R上单调递增，且X20时，/(x)=e，+ln(x+l)单调递增，

_2a

-------N0

则需满足-2，解得一14aWO,

-a<e°+ln(O+l)

则。取值的范围为[TO].

故答案为：

13.-1

【分析】根据函数的奇偶性确定函数的周期，再利用对数运算计算即可.

【详解】由题意可知〃x)=—/(f),〃x+2)=〃r+2),

所以〃r+2)=-/(x-2)=〃x+2)n/(x+4)=—/(x)n/'(x+8)=〃x),

所以/(x)的一个正周期为8,即〃101)=〃5)=〃-1)=二/•⑴=-log2(l+l)=-l.

故答案为：—1

14.-/0.5

2

【分析】先根据极值点得出_2x。=0,再应用an+l=(〃©N*),%+%=3无。，化简得出

q+%-%=1叫)+2-飞，又两边取自然对数可得％+/=-2-ln2+2=-ln2计算即可求解.

x2

【详解】因为为函数';产②-日无>])的极值点，y=e--2x,

所以e%-?-2x0=0,x0>l,则2xo=e'。％*),

因为怎+i=ex?,由%+%=3X(,可得a2+e"~=3x0=2x0+x0,

22

将(*)代入得，^-+a2=^-+x0,因为y=e>2+x在R上单调递增，所以外=%，

贝|]。3=3%—。2=2%,而两边取自然对数可得％=1喙+2,

所以=1叫)+2-无0，又由e』-2=2xo，两边取自然对数可得尤o-2=lnxo+ln2,故

q+Q?—〃3二-2-In2+2——In2,

1

所以=匕』2

2

故答案为：接

“13

15.(1)—

9

⑵-1

(3)272

【分析】(1)利用分数指数累计算即可.

(2)利用对数的运算法则与换底公式计算即可.

(3)化解2。+匕=2(。+1)+(6+1)-3,再利用基本不等式“1”的妙用求解即可.

2

【详解】(1)原式=［(2)3产+(旦［q逑x3_l

2，llOOOj5V50

(2)M^=lg5(lg5+lg2)+lg2-21og32xlog23

=lg5+lg2—2=1—2=—1.

(3)由题意,------+------

Q+1Z?+1

贝lj2a+b=2(a+l)+S+l)—3=[2(a+l)+3+l)]('+')-3

。+1b+\

=2+独生+叱+1-3=%9+小

Z?+1〃+1Z?+1Q+1

2(〃+1)Z?+l-/2(a+l)”1=2近,

b+1a+1VZ?+la+1

当且仅当陪Z箸,即，Cl=------

2取等号.

6=0

所以2a+6的最小值为2万.

16.(1)(0,log23)

7

(2)[-j,+co)

【分析】(1)当a=0时，不等式转化为1<log?(2*+1)<2,得到2<2、+1<4,即可求解；

(2)把不等式转化为4'+(“+2)2'+。+122,对任意尤右［收)恒成立，设/=2,22,得

至！］产+(a+l)f+a+120对任意恒成立，设g«)=/+(。+1»+。+1,结合二次函数的性质，即可

求解.

【详解】(1)解：当a=0时，可得/'(x)=log2(4':+2-2，+l)=21og2(2x+l),

Y

由不等式2</(尤)<4,gpi<log2(2+l)<2,可得2<2'+1<4,解得0<。<1鸣3,

所以不等式2</(%)<4的解集为(0,log23).

(2)解：由不等式即f(x)=log2[4'+(a+2)2'+a+l]21og2(2)

等价于4工+(a+2)2%+a+122工对任意xe[1,内)恒成立，

设，=2"22,即/+(〃+1»+〃+120对任意，22恒成立，

g«)=产+(Q+1)方+a+1,

当—等W2时，冢2)=4+3+1)2+0+120,解得

当-—>2时，△=(〃+1)?—4(〃+1)W0,〃无角乐

7

综上，4的取值范围是[-],+8).

17.(1)奇函数，证明见解析；

【分析】(1)利用奇偶性定义证明判断即可；

(2)根据对数复合函数单调性确定了(X)在xe-1,|上最小值，把问题化为产+0-540在

二目-2,2]上恒成立，即可求结果.

【详解】(1)为奇函数，证明如下：

1—Y

由解析式易知>0=>(%—l)(x+l)<0=>—1<X<1,函数定义域为(TD,

1+x

M=log=-log,=-/(X),故/(X)为奇函数.

21—x1+X

1_x2「]]一

(2)由%=；—=--------1在xe上为减函数，而y=log2根在定义域上为增函数，

所以“X)在xe-1,|上为减函数，故〃到3=/(；)=T,

要使任意xe2,2],不等式/(x)2〃+故一6恒成立，

只需/+〃/一6«-1在％4-2,2]上恒成立，即r+0-5<0在％£[-2,2]上恒成立，

14—2〃-5W011

由—开口向上，则4+2-0=一齐"9

综上，-T-a—~Z-

22

18.(l)x=l或x=log23；

(2)答案见解析

⑶证明见解析，

【分析】(1)由"0)=7可得。=6,再借助指数运算解方程即可得；

(2)分该函数为奇函数、偶函数与非奇非偶函数讨论并计算即可得；

(3)借助严格增函数的定义即可证明，结合函数的单调性与奇偶性计算即可得不等式的解.

【详解】(1)由题意/(。)=1+。=7,

：.a=6,/(x)=2"+二，

2

62

42"+—=5,即有(2，)~一5.2，+6=(2*-2)(2。3)=0,

可得2工=2或2—3，

x=1x=log23；

(2)函数定义域R,

①当/(x)为奇函数时，有/(一无)=一/(无)，

②当"X)为偶函数时，/(一无)=/(x),

.,.a=l；

③当aw±1时，函数/(x)为非奇非偶函数；

综上所述，当。=-1时，为奇函数；

当。=1时，/(元)为偶函数，

当。工±1时，了。)为非奇非偶函数；

(3)当。=1时，f{x}=2x+~,任取X],尤，e[0,+8),设占＜々，

2

/5)-〃占)=2*+J-2为-：=2*-2为

2为-2%2/1A

=-2』+-_—=(29一2』1-----------,

Y1-2'112^-211)

又2*2—2%>0，142"<29，所以

故/(%)-〃Z)>。，即〃%)>/&)，

函数/(x)在[0,+8)上是严格增函数，

由(2)知，当a=l时，/(无)为偶函数，

则由〃2x)>f(x+l),可得|2x|>>+l|,

即(2x)