四川数学一模试卷及答案

四川数学一模试卷及答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.若函数f(x)=x^2-4x+m在区间[2,+∞)上单调递增，则实数m的取值范围是（）。A.m≥-4B.m≥0C.m≤4D.m≤02.已知等比数列{an}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_3=7，则公比q为（）。A.2B.-2C.3D.-33.函数f(x)=sin(x)+√3cos(x)的最小正周期为（）。A.2πB.πC.2D.44.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=1相交于A、B两点，且|AB|=√2，则k的值为（）。A.0B.1C.-1D.±15.已知函数f(x)=x^3-3x，若f'(a)=0，则a的值为（）。A.0B.1C.-1D.±16.已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√2x，则双曲线C的离心率为（）。A.√3B.√2C.2D.37.已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，则向量a+2b的坐标为（）。A.(5,0)B.(4,3)C.(0,-3)D.(4,-3)8.已知等差数列{an}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_3=9，则公差d为（）。A.2B.3C.4D.59.已知函数f(x)=x^2-6x+8，若f(x)=0的根为x_1，x_2，则|x_1-x_2|的值为（）。A.2B.4C.6D.810.已知抛物线C：y^2=4x的焦点为F，点P(1,2)在抛物线C上，则|PF|的值为（）。A.1B.2C.3D.411.已知函数f(x)=x^3-3x，若f'(x)>0，则x的取值范围为（）。A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-∞,1)∪(-1,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-∞,1)∪(1,+∞)12.已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为e=√3/2，且a=2，则椭圆C的方程为（）。A.x^2+4y^2=4B.x^2/4+y^2=1C.x^2+y^2/4=1D.x^2/4+4y^2=1二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数f(x)=x^3-3x，若f'(x)=0的根为x_0，则f(x_0)的值为______。14.已知抛物线C：y^2=4x的焦点为F，准线方程为x=-1，则抛物线C上的点到焦点F的距离等于到准线的距离，即|PF|=|PQ|，其中Q为P在准线上的垂足，则|PF|的最小值为______。15.已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为e=√3/2，且a=2，则椭圆C的短轴长为______。16.已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√2x，则双曲线C的离心率的平方为______。三、解答题（本题共6小题，共70分）17.（本题满分12分）已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)的单调区间。解：首先求导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)>0，解得x>1或x<-1，令f'(x)<0，解得-1<x<1，所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)，单调递减区间为(-1,1)。18.（本题满分12分）已知抛物线C：y^2=4x，焦点为F，准线方程为x=-1，求抛物线C上的点到焦点F的距离等于到准线的距离的点的坐标。解：设P(x,y)为抛物线C上的点，由题意可知|PF|=|PQ|，其中Q为P在准线上的垂足，即x+1=√((x-1)^2+(y-0)^2)，化简得y^2=4x，代入抛物线方程得x=1，y=±2，所以点P的坐标为(1,2)或(1,-2)。19.（本题满分12分）已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为e=√3/2，且a=2，求椭圆C的方程。解：已知离心率e=√3/2，a=2，根据离心率公式e=c/a，可得c=√3，再根据椭圆的性质a^2=b^2+c^2，可得b^2=1，所以椭圆C的方程为x^2+y^2=4。20.（本题满分12分）已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√2x，求双曲线C的离心率。解：已知双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x，由题意可知b/a=√2，设a=√2t，b=t，则c=√(a^2+b^2)=√(3t^2)=√3t，根据离心率公式e=c/a，可得e=√3。21.（本题满分12分）已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)的极值。解：首先求导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1，当x<-1或x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减。所以f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=2，在x=1处取得极小值f(1)=-2。22.（本题满分10分）已知等差数列{an}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_3=9，求公差d及数列{an}的通项公式。解：已知S_3=9，根据等差数列的求和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入n=3，a_1=1，可得3/2(2+2d)=9，解得d=2。所以数列{an}的通项公式为an=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。四、选做题（本题共2小题，每小题10分，共20分）23.（本题满分10分）已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为e=√3/2，且a=2，求椭圆C的焦点坐标。解：已知离心率e=√3/2，a=2，根据离心率公式e=c/a，可得c=√3，焦点坐标为(±c,0)，即(±√3,0)。24.（本题满分10分）已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√2x，求双曲线C的