圆（十三大题型）原卷版-2024-2025学年北师大版九年级数学下册

园压轴专练(十三大题型)

题型1:“有直径现直角”

1.如图，己知点C是以48为直径的半。。上的动点(点C不与48重合)，点。是介中点，连结

BD、0D,交/C分别于点E、F.

(1)如图1,若22=4,7e的度数为120。，求OF的长.

⑵如图2,若余=前,求差的值.

AF

(3)如图3,连结OE,当△。8£成为直角三角形时，求与AOE/的面积比.

题型2：“有垂径现三角形”

2.如图1,点E是。。直径上一点，AE=2,BE=8,过点E作弦。_LA8,点G在砺上运动，连

接CG.

(2)如图2,连接NG,作"CG的角平分线交NG于点F，在点G运动的过程中，/尸的长度是否会发生变

化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值.

(3)如图3,过点8作3〃LCG于〃，连接。求。〃的最小值.

题型3：题型1和题型2综合

3.已知：48是的直径，弦CD交AB于点、E,且弧8C=弧JB。.

(1)如图1,求证：CE=DE；

(2)如图2,连接/C,点尸为4c上的一点，连接叱，过点C作尸，垂足为点G,若点〃为弧的

中点，求NCE8的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接尸”交48于点N,若AF=AN,FG=4,求。。的半径.

题型4：构造出圆心角、圆周角之间的关系

4.如图，在△43C中，/2=8。,/48。=90。,。是48上一动点，连接CD,以CD为直径的。〃■交/C于

点、E,连接8M并延长交ZC于点尸，交。”于点G,连接BE.

(1)若NE2G=45。，求证：点E是前的中点.

(2)当点。移动到使CD时，求的值.

(3)当点。到移动到使而=30。时，求证：AE-+CF'=EF2.

题型5：题型1-4综合

5.如图，在△/BC中，点。是NC的中点，以。为圆心，04为半径作。。，交2C于点D,交AB于点E,

弧与弧。。相等，点厂在线段8E上，NBAC=2NBDF.

⑴求证：AB=AC；

(2)判断。尸与。。的位置关系，并加以证明；

⑶若OO的半径为5,EB+DF=AO,求AD的长.

题型6：动点问题（列方程；分类讨论）

6.如图1,在RtZX/BC中，AACB=90°,/C=12cm,AB=20cm,动点。由点C向点2以每秒3cm速

度在边NC上运动，动点£由点C向点/以每秒4cm速度在边上运动，若点。、点E从点C同时出发，运

动t秒（方＞0）,连接DE.

图1

⑴求证：ADCEsMCB；

（2）如图2,设经过点。、C、£三点的圆为OO,连接C。并延长交48于点

①猜想直线。C与直线的位置关系，并证明你的结论；

②当。。与边48相切时，贝〃=_；

③在点。、点E运动过程中，若。。与边交于点M、N（点加•在点N下方，如图3）,连接CO并延长

交边48于点连接。河，当AOHM与ACAE相似时，直接写出f值.

7.在矩形48c。中，AB=6cm,5C=8cm,点P从点N出发沿4B边以Icm/s的速度向点8移动，同时,

点。从点2出发沿2c以2cm/s的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动.设运动时

间为/秒：

⑴如图1,几秒后，△8尸。的面积等于8cm2?

（2）在运动过程中，若以P为圆心、PZ为半径的。尸与2。相切（如图1）,求“直；

⑶若以0为圆心，PQ为半径作。0.

①如图2,以。为圆心，尸。为半径作。。.在运动过程中，是否存在这样的［值，使。。正好与四边形/BCD

的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；

②如图3,若。。与四边形CDP。的边有三个公共点，贝心的取值范围为.（直接写出结果，不需说

理）

题型7：圆与平面直角坐标系

8.如图，以点尸为圆心的圆，交无轴于8、C两点（5在C的左侧），交了轴于A、。两点（A在。

的下方），ZABC=30°,将△NBC绕点尸旋转180。，得到△〃£方.

⑴求A、5两点的坐标；

（2）请在图中画出线段MB、MC,并判断四边形/CW的形状（不必证明），求出点M的坐标；

（3）动直线乙从与8M重合的位置开始绕点5顺时针旋转，到与3c重合时停止，设直线工与CM交点为E,

点。为BE的中点，过点E作EG,8c于G,连接M。、QG.请问在旋转过程中/M0G的大小是否变化?

若不变，求出/MQG的度数；若变化，请说明理由.

题型8：圆与二次函数

9.如图1,在平面直角坐标系xQy中，开口向上的抛物线y="2+6x+c与x轴交于/,8(1,0)两点，与y

轴交于点C,且。4=。。=3。8.

(1)求该抛物线的函数表达式：

(2)若点G为抛物线上一点，当=时，直接写出点G的坐标；

⑶如图2若M为线段4B的中点，N为抛物线的顶点，©T经过4B,C三点.经过圆心7的直线交抛物

线于。，E两点，直线沏交x轴于点尸，直线交x轴于点Q.求〃尸同。的值.

10.如图，已知抛物线了=办2+法+0（例＜0）与X轴交于/、2（4在2的左边），与y轴交于C,且

OB=4OA.

图2

⑴若点/的坐标是（-1,0）,C的坐标是（0,-4）,试求抛物线的解析式;

⑵在（1）的条件下，如图1,直线＞=》与抛物线y="2+6x+c交于。、£两点，点尸在直线DE下方的

抛物线上，若以尸为圆心作。尸，满足O尸与直线。E相切，求当。尸的半径最大时，点尸的坐标;

（3）如图2,若OB=OC,M、N分别是抛物线对称轴右侧上的两点（M在N的右边），连接4"、AN、

PB

MN,MV交x轴于点P,点K是取N的中点，若A/W的内心在x轴上，K的纵坐标为"，试探究——的

n

值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

题型9：新定义题一直线与圆的位置关系

II.在平面直角坐标系xOy中，的半径为1.对于。。的弦43和一点C,给出如下定义：若直线/C与

。。只有一个公共点，ZABC=a,则称点C是弦48的“a切割点”.

①若点”(0,〃?)为弦的“120。切割点”，则心=,点8的坐标为；

②若弦4B与x轴平行且只有一个点尸为弦42的“a切割点”，则a的取值范围是；

(2)已知点。为直线了=6x+b上一点，若存在OO的弦MN.当1〈人W〈血时，点。为弦如V的"90。切割

点直接写出6的取值范围.

题型10：内心

12.如图：48是。。的直径，C为O。上一点，CD平分N/C3,/是△N8C的内心，CD与48相交于

连接40、BD、10.

(1)求证：BD=AD=DI；

(2)求证：ACBC-AHHB=CH2；

3

(3)已知tanNC/8=：,。/=逐，求。。的半径.

题型11:圆与锐角的三角函数

13.如图1,四边形488内接于OO,点N是丽的中点，CDfCB.直线MN与。。相切于点4交CD

⑵求。的值.

(3)如图2,在/C上取一点尸，使NCAB=2NCDF.

①判断ND与4尸的数量关系，并说明理由.

4

②如图3,作FH13C于点X,//LAD于点/.若FH:AI=2:3,sinZBCD=~,连接OF,请直接写出

tan/OFG的值.

题型12：弧长与扇形面积综合

3

14.如图，在△A8C中，ZBG4-9O0,5c=12,sin^=-,。是4g的中点，。是线段。8上一点，以O

为旋转中心，将线段。。顺时针旋转120。，得到扇形。。E.

①判断：点CDE1-(填"在”或“不在”)；

②求4E两点间的距离.

(2)如图2,设彘交AC于点F,OE交AC于点G,若。尸，N2于点。，求阴影部分的面积;

图2

(3)当扇形DOE所在圆与△4BC的边相切时，求近的长.

■jr

15.如图1、图2、图3和图4、48是半圆。的直径，且48=4,点C以每秒个单位长的速度从点3沿

AB运动到点/.

O0

图1图2

(1)连接4C,BC.求图1中的阴影部分面积和的最小值S；

(2)如图2,过点C作半圆O的切线尸。，点P在射线N3上，且尸。=3,过点P在射线的上方作

PHLPQ.且9=1.当点。与点C重合时，求点X到射线N8的距离；

(3)如图3和图4,在点C运动过程中，将半圆。沿3C折叠，BC与4B交于点D.

①连接C"若NABC=25°,求/BCD的度数；

②当点。落在半径。4上(包括端点O,A)时，求点C运动的时长；

③如图4,连接。C,过点/作与。C的延长线交于点E,延长2c交/E于点尸，连接CD.当

/E=d(d>0)时，请直接用含d的式子表示器.

题型13：情景探究题

16.阅读理解:

(1)【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的

知识解决，可以使问题变得非常容易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是两种类型.

①类型一，“定点+定长”：如图1,在中，AB=AC,ABAC=44°,。是△4BC外一点，且3=/C,

求/3DC的度数.

解：若以点/(定点)为圆心，AB(定长)为半径作辅助圆。工,则点C、。必在。/上，/A4c是ON的

圆心角，而乙8。。是圆周角，从而可容易得到NBDC=。；

②类型二，“定角+定弦”：如图，RtA/BC中，ABA.BC,48=6,BC=4,P是ZUBC内部的一个动点,

且满足ZPAB=ZPBC,则线段CP长的最小值为；

(2)【问题解决】如图3,在矩形48CD中，己知48=3,BC=4,点尸是8c边上一动点(点P不与8,C

重合)，连接相，作