圆的方程（7种常见考法归类）-人教版高二暑假专项复习

第16讲圆的方程7种常见考法归类

☆

学习目标

回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.

1隼I基础知识

知识点1圆的标准方程

1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.

2.圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.如图所示.

3.圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程是(无一a)2+(y—b)2=尺

当a=b=O时，方程为<+>2=/，表示以原点为圆心、半径为广的圆.

注：(1)圆的方程的推导：

设圆上任一点M(尤，y),则|MA|=r,由两点间的距离公式，得y(x-4+&-6.=r,

化简可得：0—°)2+&—6)2=尺

(2)当圆心在原点即A(0,0),半径长厂=1时，方程为x2+y2=i,称为单位圆.

(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的.

(4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上.

知识点2点与圆的位置关系

(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d>rO点在圆外；d=rO点在圆上；d<K=>点在圆

(2)根据点M(xo,yo)的坐标与圆的方程(x—a)2+(y—6)2=产的关系判断:

（X0—。）2+（州一与2>，0点在圆外；

（刈一。）2+（州一/?）2=户<4点在圆上；

（刈一。）2+（州一份2〈於0点在圆内.

知识点3圆的一般方程

1.圆的一般方程的概念

当Z）2+E2-4F>0时，二元二次方程/+：/+6+4+尸=0叫做圆的一般方程.

注：将方程f+V+.+4+尸=0,配方可得G+g2+Q+|y=2!士?二竺，当。2+序—4八>0时，

方程/+/+瓜+砂+尸=0表示圆.当D2+£2-4F=0时，方程^+/+Dx+Ey+F=G,表示一个点

2.圆的一般方程对应的圆心和半径

圆的一般方程/+>2+m+@+/=0（》+£2—4月>（））表示的圆的圆心为（一当，—5,半径长为3

ylD2+E2~4F.

注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需

要代数运算才能得出，且圆的一般方程/+产+.+与+歹=0（其中。，E,尸为常数）具有以下特点：

（l）f,9项的系数均为1；

⑵没有孙项；

（3）D2+E2-4F>0.

3.常见圆的方程的设法

标准方程的设法一般方程的设法

圆心在原点%2+,2=^2x2+y2—/^=0

过原点(x—a)z+(y—b)2=a2+b2x2+y2+Dx+Ey=Q

圆心在X轴上(x—a)2+y2=i2x2+y2+Dx+F=0

圆心在y轴上^+(y—b)2=r2x2+y2+Ey+F=0

222

与无轴相切(x-a)2+(y-b)2—b2x+y+Dx+Ey+^D=0

222

与y轴相切(x—«)2+(y—Z?)2=(22x+y+Dx+Ey+^E=0

A=C^0,

4.二元二次方程加+2孙+Cy2+nr+Ey+P=0表示圆，则<2=0,

^+E2~4AF>0.

5.以A（xi,yi）,B（X2,>2）为直径端点的圆的方程为（x—尤I）（X—尤2）+0—yi）（y—>2）=0.

知识点4圆的轨迹问题

轨迹和轨迹方程区别：轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标

满足的关系式.

弱解题策略)

---------------------llllllllillllllllllilllllllllllllllllllll-----------------------

1'求圆的标准方程的方法

确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a,%)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a,

b,r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径.常用到中点坐标公

式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心'“'两条弦的中垂线的交点必为圆

心”等.一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.

2、判断点与圆的位置关系的方法

(1)确定圆的方程：化为(x—aA+Cy—6)2=尺

(2)将点的坐标代入代数式(x—。尸+⑪一6)2,比较代数式的值与片的大小关系.

(3)下结论：若(x—a)2+(j—6)2=户，表示点在圆上；若(x—a)2+(j—匕)2>,，表示点在圆外；若(无一°尸

+Q—6)2cz表示点在圆内.

此外，也可以利用点与圆心的距离］与半径厂的大小关系来判断.当d>厂时，点在圆外；当d=r时,

点在圆上；当水厂时，点在圆内.

3、圆的一般方程辨析

判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一

般方程的特征时，再看它能否表示圆.此时有两种途径：一是看加+序—4尸是否大于零；二是直接配方变

形，看方程等号右端是否为大于零的常数.

4、方程*2+y2+£)x+Ey+尸=0表示的图形

条件图形

D2+£2-4F<0不表示任何图形

表示一个点(一3-£)

》+序一转=0

表不以(r3为圆心，以4.为半径

U+F-gO“D

的圆

5、利用待定系数法求圆的方程的解题策略

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方

程，再用待定系数法求出a,b,r.

(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D,

E,F.

6、求与圆有关的轨迹问题的方程

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.

(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.

7、用代入法求轨迹方程的一般方法

建立适当的坐标系，如果题目中已经建好坐标系

我们可以省略此步骤________________________

［设］点＞［设曲线上任意一点|

Jr|把点”的坐标看作已知点，寻找在已知方程的

［列式卜图形的相关点，并表示相关点，代入已知方程,

列出方程f(x,y)=0

|化‘简川化方程/G,y)=O为最简形式］

8、圆上的点到定点的最大'最小距离

设。A的方程(x-a)2+(丁一6)2=/,圆心A(a,b),点河是。A上的动点，点尸为平面内一点；记

d=\PA\；

①若点尸在。A外，则|PMImax=d+r；IPMlmin=d一厂

②若点尸在OA上，则|PMLx=2r；|PM|min=0

③若点P在0A内，贝UIPMLx=d+/；IPM1mm=厂—d

9、与圆有关的最值问题常见的几种类型

(1)形如“=E形式的最值问题，可转化为过点(X,7)和3,历的动直线斜率的最值问题.

(2)形如/=ax+勿形式的最值问题，可转化为动直线＞=-3+(截距的最值问题.

(3)形如(工一”)2+。一A/形式的最值问题，可转化为动点(x,y)到定点3,%)的距离的平方的最值问

题.

l|Q考点剖析

------------------lllllllllllllllllllllillillllllllllllllil-----------------------

考点一：求圆的标准方程

(一)由圆的标准方程求圆心、半径

例1.(2023秋•高二课时练习)已知圆C的标准方程为(x-iy+丁=13,则此圆的圆心及半径长分

别为()

A.(1,0),r=13B.(1,0),r=713

C.（-L0）,r=13D.（-1,0）,r=y/13

【答案】B

【分析】根据圆的标准方程直接求解即可.

【详解】由标准方程（尤-l）?+y2=13可得：圆C的圆心为（1,0）,半径为旧，

故选：B.

变式1.（2023秋•高二单元测试）圆（x+4）2+（y-3）2=7的圆心和半径分别是（）

A.（＜3）,7B.（＜3）,万

C.（4,-3）,7D.（4,-3）,77

【答案】B

【分析】根据圆的标准方程的定义即可得圆心坐标和半径.

【详解】由圆的标准方程（X-a）?+（y-6）2=/可得，

圆心坐标为（T3）泮径厂=6.

故选：B

变式2.（2023.江苏.高二假期作业）已知圆C的标准方程为（x-以+（y-I）?=2,则圆心C的坐标为

圆的面积为.

【答案】（1,1）27r

【分析】由圆的标准方程直接得出圆心和半径，进而得圆的面积.

【详解】圆C的标准方程为（x-l）2+（y-l）2=2,

则圆心半径/=收，故圆的面积S二兀/-2兀.

故答案为：（1,1）,271.

（二）求圆的标准方程

例2.（2023春•河北邯郸•高二统考期末）已知圆C的圆心为点C（2,l）,且经过原点，则圆C的标准

方程为.

【答案】。-2）2+（、-1）2=5

【分析】先求出圆C的半径，再写出圆C的标准方程.

【详解】由已知得圆C的半径「=亚币=有，

所以圆C的标准方程为(尤-2)2+(y-l)2=5.

故答案为：(x-2)2+(y-iy=5.

变式L(广东省广州市培正中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题)求圆心在y轴上，半径为1,

且过点(1,2)的圆的标准方程.

【答案】x2+(y-2)2=l

【分析】设圆的方程为/+日-加2=1,将点(1,2)代入圆的方程，求得6的值，即可求解.

【详解】由题意，可设圆的方程为炉+(〉-加2=1,

因为点(1,2)在圆上，可得1+(2-6产=1,解得6=2,

所以所求圆的方程为f+(>-2)2=1.

变式2.(福建省泉州外国语中学2022-2023学年高二上学期期中质量监测数学试题)与x轴相切，且圆心

坐标为(-1,-2)的圆的标准方程为

【答案】—('+2)2=4

【分析】根据圆的圆心坐标结合与y轴相切可得到该圆的半径可得答案.

【详解】•••圆心坐标为(-1,-2),又与y轴相切，

二圆的半径为2,

.•.圆的标准方程为(x+l)2+(y+2『=4.

故答案为：(x+l『+(y+2)2=4.

变式3.(2023春.重庆沙坪坝.高一重庆八中校考期末)在平面直角坐标系xQy中，已知弓(。,2)、鸟(4,4)两

点，若圆/以勺丹为直径，则圆加的标准方程为()

A.(无一2)2+(y—3)2=5B.(无一2)?+('—3)?=百

C.(x-l)2+(y-4)2=5D.(x-l)2+(y-4)2-75

【答案】A

【分析】求出圆心/坐标以及圆”的半径，即可得出圆M的标准方程.

0+42+4

【详解】由题意可知，圆心M的横坐标为亍=2,纵坐标为亍=3,即点M(2,3),

圆M的半径为四用=J(2-0『+(3-2『=石，

因此，圆加的标准方程为(x-2)2+(y-3『=5.

故选：A.

变式4.(2023・江苏•高二假期作业)求经过点P(L1)和坐标原点，并且圆心在直线2元+3y+l=0上的圆的

方程.

【答案】(x-4)2+(y+3)2=25

【分析】利用待定系数法或几何法求解.

【详解】法一(待定系数法)：

设圆的标准方程为(》-城+(丫-力=心

122

a+b=r4=4

则有<(«-l)2+(&-l)2=r2,解得.b=—3,

2a+3Z?+1=0r=5

圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.

法二(几何法)：

由题意知。尸是圆的弦，其垂直平分线为无+>-1=0.

•••弦的垂直平分线过圆心，

2x+3y+l=0

由

x+y-l=0

即圆心坐标为(4,-3),半径r=J42+(-3『=5.

.•.圆的标准方程是(XT)?+(y+3)2=25.

变式5.(广东省肇庆市百花中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题)直线4：2x+5y-12=。与直线

4：-3x+y+l=O相交于点A,直线/过点A且与直线2x-y+l=0平行.

(1)求直线/的方程；

(2)求圆心在直线/上且过点0(0,0),8(2,0)的圆的方程.

【答案】⑴2x-y=0；

(2)(x-l)2+(y-2)2=5.

【分析】(1)由题可得4(1,2),然后根据直线的位置关系可设/：2x-y+c=0,进而即得;

(2)根据圆的几何性质可得圆心和半径，即得.

2x+5y-12=0二，即A(l,2),

【详解】(1)由-3x+y+l=0'可信

由题可设直线/：2x-y+c=0,又直线/过点4(1,2),

所以c=0,

所以直线/的方程为2x7=0；

(2)因为圆心在直线/上且过点0(0,0),以2,0),

由0(0,0),3(2,0),可得线段的中垂线方程为尤=1,

J尤=1

可得尤=l,y=2,

[2x-y=0

所以圆心坐标为(1,2),半径为r=正万=宕，

所以圆心在直线/上且过点。(0,0),3(2,0)的圆的方程为+(y-2)2=5.

考点二：圆的一般方程

(-)圆的一般方程辨析

例3.(2023秋•江苏盐城•高二盐城市伍佑中学校考期末)方程/+/+2,+%=。表示一个圆，则加

的取值范围是()

A.(l,+oo)B.(F,l)

C.[!,+<»)D.(fl]

【答案】B

【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.

【详解】由尤2+J?+2y+"7=。，得*2+(y+l)2=1-根>0,

解得m<l.

故选：B

变式1.(2023秋•河南许昌•高二禹州市高级中学校考阶段练习)方程尤2+/-依+2殴+2。+1=0表示圆,

则实数。的可能取值为()

A.1B.2C.0D.-2

【答案】D

【分析】先把尤2+丁-公+2冲+2°+1=0整理成圆的标准形式，满足右边关于。的表达式大于零.

可得(无一微)+(y+aj=^——2a—1,

【详解J由/+旷-依+2ay+2a+l=0,

所以至-2〃-1>0,

4

2

解得。<-二或a>2,

选项中只有-2符合题意.

故选：D.

(-)由圆的一般方程求圆心、半径

例4.(上海市第三女子中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题)圆V+丁+2x-4y=0的圆

心坐标是.

【答案】(T2)

【分析】化圆的一般方程为标准方程，即可求得圆心坐标.

【详解】由X2++2%—4y=。，得(％+1)2+(y—2)2=5,

可得圆心坐标为(-1,2).

故答案为：(7,2).

变式1.(2023春・湖北武汉•高二武汉市新洲区第一中学校考开学考试)已知圆CY+y2_4y+3=0,则

圆。的圆心和半径为()

A.圆心(0,2),半径r=lB.圆心(2,0),半径厂=1

C.圆心(0,2),半径r=2D.圆心(2,0),半径r=2

【答案】A

【分析】将圆的方程化为标准方程，从而可得圆心与半径.

【详解】由f+/_分+3=0化为标准方程可得炉+(y-2)2=1,

故圆心(0,2),半径r=l.

故选:A.

变式2.(2023秋•高二课时练习)圆C：/+尸+4》一2>+3=0的圆心是，半径是.

【答案】(—2,1)④

【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得出答案.

【详解】将圆方程化为标准方程可得，"+2)2+(、-1)2=2.

所以，圆心C(-2,l),半径7=0.

故答案为：(-2,1)；0.

(三)求圆的一般方程

色2)例(2023秋・新疆克拉玛依・高二克拉玛依市高级中学校考期中)求适合下列条件的圆的方程：

⑴圆心在直线x-2y-3=0上，且过点4(2,-3),3(-2,-5)的圆；

(2)过三点4(1,0),3(—1,—2),C(3,—2)的圆.

【答案】⑴(尤+1产+。+2)2=10

(2)x2+y2-2x+4y+l=0

(2-〃『+(_3_6『='

【分析】(1)首先设圆的标准方程为-6)2=/，根据题意得到.(-2-4+(_5-4=产，再解

ci—2b—3=0

方程组即可.

l+D+F=0

22

(2)首先设圆的一般方程为：x+y+Dx+Ey+F=0,。2十石2一4方>。，根据题意得到1+4—O—2E+/=0,

9+4+3D-2E+F=0

再解方程组即可.

【详解】⑴设圆的标准方程为(》-。)2+(>-6)2=/，由题知:

(2-a)2+(-3-b)2=r2

<(-2-a)2+(-5-Z?)2=r2,解得<6=-2.

a-2b-3=0[r2=10

所以圆的标准方程为：(x+l)2+(y+2)2=10.

(2)设圆的一般方程为：^+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0,

1+D+F=OfD=-2

由题知：\l+4-D-2E+F=Q=4,

9+4+3D-2E+F=0[F=1

所以圆的方程为：炉+y一2x+4y+l=0.

变式1.(2023•河南•校联考模拟预测)已知圆C经过抛物线y=/-4x-8与x轴的交点，且过点(0,2),则

圆C的方程为.

【答案】x2+y2-4x+2y-8=0

【分析】首先设圆的一般方程，结合条件，利用待定系数法，即可求解.

【详解】设圆C的方程为必+丁+6+£丫+尸=0,令y=o,X2+Dx+F=o,

则由圆C经过抛物线y=l-4x-8与x轴的交点可知方程/+m+尸=。与/一4x-8=0同解，

所以D=T,尸=一8,所以圆C的方程为/+/一4了+4一8=0,

又因为圆C过点(0,2),所以4+2E-8=0,所以E=2,

所以圆C的方程为炉-4x+2y-8=0.

故答案为：x2+y2-4x+2y-8=0

变式2.(2023•河南郑州•模拟预测)己知点A(-2,l),3(-1,0),孰2,3),。(°,2)四点共圆，则点。到坐标原点。

的距离为.

【答案】3

【分析】待定系数法求得过AB,C的圆的方程为Y+y2-4y-l=0,从而可得〃+4-8-1=0,解得/=5,

再根据两点距离公式即可求解.

2222

【详解】设过AB,C的圆的方程为：x+y+Dx+Ey+F=0,D+E-4F＞0,

‘4+1-2D+E+F=0[D=0

则＜1—。+尸=。,解得＜E=-4,

4+9+2Z)+3E+F=0[F=-l

所以过A,8,C的圆的方程为：x2+y2-4y-l=0.

又因为点。在此圆上，所以标+4-8-1=0,解得4=5,

所以点。到坐标原点。的距离为正值=3.

故答案为：3

变式3.（2023・江苏•高二假期作业）过坐标原点，且在无轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（）

A.无2+V-2a-3y=0B.尤?+2^-3,=0

C.x~+y2—2x+3y=0D.x~+y~+2x+3y=0

【答案】A

【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程.

【详解】设圆的方程为/+/+6+4+尸=0,（。2+1-4尸>0）,

由题意知,圆过点（0,0）,（2,0）和（0,3）,

F=0D=-2

所以4+2D+F=0,解得E=-3,

9+3£+F=0[F=0

所以所求圆的方程为x2+/-2x-3y=0.

故选：A

变式4.（2023秋•高二校考课时练习）已知圆经过点（2,1）和（-1,0）,该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2,

求圆的方程.

【答案】x2+y2-3x+5y-4=0.

【分析】利用待定系数法设出圆的方程，然后利用圆与两坐标轴的四个截距之和为-2,即可求解.

【详解】设圆的一般方程为一+>2+m+珍+尸=。，由圆经过点（2』）和（-1,0）,

2D+E+F+5=0

代入圆的一般方程，得

-D+F+l=0

设圆在x轴上的截距为4、X”贝I］它们是方程》2+m+/=（）的两个根，得玉+%=-，

设圆在y轴上的截距为％、内，则它们是方程^+万丁+尸=0的两个根，得%+为=-△

由已知，得—。+（—£）=—2,即。+石—2=0.③

由（*）③联立解得D=-3,E=5,F=-4.

故所求圆的方程为％2+y1-3x+5y-4=0.

考点三：根据对称性求圆的方程

（、1例6.（2023秋•重庆荣昌•高二重庆市荣昌永荣中学校校考期中）圆（尤+iy+（y-2）2=4关于直线y=0

对称的圆的标准方程为.

【答案】(》+以+(丁+2)2=4

【分析】两圆关于直线对称等价于圆心关于直线对称，半径不变，根据题意运算求解.

【详解】•••圆(尤+仔+(二2)2=4的圆心(-1,2),半径为4=2,

则(-1,2)关于直线y=0对称的点为(-1,-2),

.•.对称圆的圆心为(―1,—2),半径为弓={=2,

故对称圆的方程为：(x+iy+(y+2)2=4.

故答案为：—(y+2)2=4.

变式1.(2023秋•高二单元测试)圆(x+l)2+(y-4)2=l关于直线＞=无对称的圆是()

A.(x-叶+(,+4)2=1B.(x-l)2+(y-4)2=l

C.(x+4)2+(y-l)2=lD.(%-4)2+(J；+1)2=1

【答案】D

【分析】求出圆心关于直线对称的点的坐标，即可得到对称圆的方程.

【详解】圆-6-4)2=1圆心为(-1,4),半径为1,

设点(T4)关于直线V=x对称的点为(4力)，

b-4

----=—1

'*I，解得Q=4

则

Z?+4a-1b=-l9

r二F

所以点(-1,4)关于直线y=X对称的点为(4,-1),

所以圆(x+l)2+(y—4『=l关于直线y=x对称的圆是(x—4)2+(y+l)2=l.

故选：D.

变式2.(2023・全国•高三专题练习)与圆C:/+y2—工+2,=0关于直线/：%+y=0对称的圆的标准方程是

【答案】(x-l)2+^+1J=|

【分析】先求得所求圆的圆心坐标，进而得到该圆的标准方程.

【详解】圆C:x2+y「x+2y=0的圆心半径

点关于直线/：x+y=0对称的点坐标为c[i，-£|

则所求圆的标准方程为(x-l)2+[y+j2=?

故答案为：(x—l)2+[y+g)=1

变式3.(2023秋•高二课时练习)已知圆&：/+/+2苫-2.丫+1=0,圆C?与圆C1关于直线x-y-l=0对称,

则圆G的方程为()

A.尤2+y?_4x+4y+7=0B.x2+y2-4A：-4V+7=0

C.Y+>2+4苫+4了+7=oD.X2+J+4工-4,+7=0

【答案】A

【分析】先求得圆C1的圆心坐标C(-1,1)和半径厂=1,再求得J(-1,1)关于x-y-1=。的对称点C?(2,-2),

得到圆C?的圆心坐标，进而求得圆C?的方程.

【详解】由题意知，圆C?的圆心与G关于直线x-y-1=。对称，且两圆半径相等，

2222

因为圆Cl:x+y+2x-2y+l=Q,即q:(x+l)+(y-l)=1,

所以圆心C1(-1,1),半径为r=1,

设圆G(-1,1)关于直线x-y-1=。对称点为C?(北〃)，

-1+m1+n

-------------1=0

则2；2,解得加=2,,=—2,即Cz(2,-2),

n—14“

----xl=-l

、机+1

所以圆C2的方程为C2：(x-2)2+(y+2)2=l,即Y+y2_4x+4y+7=0.

故选：A.

变式4.(2023春•河南开封•高二统考期末)已知圆4：尤2+>2=4与圆C?关于直线2x+y+5=0对称，则圆

C2的标准方程为()

A.(x+4?+(y+2)2=4B.(x-4)2+(y-2)2-4

C.(x+2)2+(y+4)2=4D.(x-2)2+(y-4)2=4

【答案】A

【分析】根据题意，求得圆心关于直线2元+y+5=0的对称点，即可得到结果.

【详解】由题意可得，圆G的圆心坐标为(。，0)，半径为2,设圆心G(0,0)关于直线2x+y+5=0的对称点

-x(-2)=-l

a=-4

为G(a，6)，则“°，解得

C40L八b=-2,

2x—+—+5=0

22

所以圆C2的标准方程为(x+4)2+(y+2)2=4.

故选：A

变式5.(2023秋•高二课时练习)求圆尤2+丁+4X-12丁+39=0关于直线3x-4y-5=0的对称圆方程.

【答案】卜一外口+野1

【分析】求出已知圆的半径和圆心坐标，再求出其圆心关于直线标-分-5=0对称的点的坐标，则可求对

称圆的方程.

【详解】由丁+丁+4X-12、+39=0可得(》+2)2+(、-6)2=1,

故圆心坐标为P(-2,6),半径为1,

设点尸关于直线3x-4y-5=0的对称点为P(a,6)

_a-2.8+6_八

3---------4---------5=0a=

22,故喑26

则有,,,，解得

p-645

b=-

。+23

所以圆x2+y2+4x-12y+39=0关于直线3x-4y-5=0的对称圆的方程为:

考点四：点与圆的位置关系

注2|例7・【多选】(2。23秋•高二课时练习)(多选)下列各点中，不在圆(x-iy+(y+2)2=25的外部的

是()

A.(0,2)B.(3,3)

C.(-2,2)D.(4,1)

【答案】ACD

【分析】利用给定的圆方程，把各选项中的点的坐标代入判断作答.

【详解】对于A,(0-1)2+(2+2)2<25,点Q2)在圆内；

对于8,(3-1)2+(3+2)2>25,点(3,3)在圆外；

对于C,(一2-1『+(2+2)2=25,(一2,2)在圆上；

对于D,(4-1)?+(1+2)2<25,(4,1)在圆内.

故选：ACD

变式1.(2023・江苏•高二假期作业)写出圆心为42,-3),半径为5的圆的标准方程，并判断点

^(5,-7),^2(-2.-1)是否在这个圆上.若该点不在圆上，说明该点在圆外还是在圆内？

【答案】答案见解析

【分析】将点的坐标代入圆的方程，验证是否在这个圆上.根据点到圆心的距离判断该点在圆外还是在圆

内.

【详解】圆心为A(2,-3),半径为5的圆的标准方程是(x-2>+(y+3)2=25.

把点M|(5,-7)的坐标代入方程(x-4+(>+3)2=25的左边，

得(5-2)2+(-7+3)2=25，左右两边相等，

点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上.

把点心(一2,-1)的坐标代入方程0-2)2+(y+3)2=25的左边，

得(-2-2)2+(-1+3)2=20,左右两边不相等，

点M2的坐标不满足圆的方程,所以点M2不在这个圆上.

又因为点心到圆心A的距离d==J(—2-2)2+(-1+3)2=26<5.

故点加2在圆内.

变式2.（2023秋•高二校考课时练习）若点在圆尤2+y2-2ay-4=0的内部，则a的取值范围是

（）.

A.a>\B.0<a<lC.—l<a<—D.a<\

5

【答案】D

【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.

【详解】由题可知，半径厂=行工，所以aeR，把点-1）代入方程，

贝Ma+l）2+（a-l）2-2a（a-l）-4<0,解得a<1,所以故°的取值范围是a<1.

故选：D

变式3.（2023秋•高二课时练习）点P（5,〃?）与圆V+y2=24的位置关系是（）

A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不确定

【答案】C

【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外.

【详解】因为十+77/=25+7*>24,所以点在圆外,

故选：C

考点五：圆过定点问题

例8.（2023秋・山西晋中•高二山西省平遥中学校校考期中）若圆

c：d+/一（加_2卜+（〃?-2））+加2-3优+2=0过坐标原点，则实数机的值为（）

A.1B.2C.2或1D.-2或一1

【答案】A

【分析】把坐标（。,。）代入圆方程求解.注意检验，方程表示圆.

【详解】将（0,0）代入圆方程，得病一3%=0,解得加=3或0,

当〃z=3时，x2+y2-3x+6y=0,满足题意；

当”=0时，f+y2=o,不满足题意.

故选：C.

变式1.（2023・高二课时练习）点尸（x,y）是直线2x+y-5=0上任意一点，。是坐标原点，则以OP为直径

的圆经过定点（）

A.（0,0）和（1,1）B.（0,0）和（2,2）C.（0,0）和（1,2）D.（0,0）和（2,1）

【答案】D

【分析】设点尸。,5-2。，求出以OP为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.

【详解】设点尸,5-2/）,则线段O尸的中点为詈）

圆M的半径为依闾=,2+（：-垃=,5户一产+25,

所以，以OP为直径为圆的方程为卜-;J+卜-子:=*’25

2

即x+y2_江+(2，_5),=0,即(炉+y2_5y)+(2y-x)=0,

2y—x—0

解得

尤2+,2_5y=0，

因此，以OP为直径的圆经过定点坐标为（0,0）、（2,1）.

故选：D.

变式2.（2023•全国•高三专题练习）若抛物线y=Y+G+6与坐标轴分别交于三个不同的点A、B、C,

则URC的外接圆恒过的定点坐标为

【答案】（0,1）

【分析】设抛物线y=1+办+6交y轴于点3（0,6）,交x轴于点4（/0）、C（%,0）,根据题意设圆心为

求出/=亨，写出圆P的方程，可得出关于x、y的方程组，即可得出圆P所过定点的坐标.

【详解】设抛物线y=，+方+6交）轴于点5（0,6）,交x轴于点4（%,0）、C（x2,0）,

由题意可知A=T-46>0,由韦达定理可得%+%=-。，*=b,

所以，线段AC的中点为（一｝。｝设圆心为尸

由四|2=|PB|2可得L+£：+产=：+(-6)2,解得t=X：+叫一〃

1-b—Z?+1।,1—b

•t,x；+g+Z?=0,贝m卜=------=----，则m，一〃=—^

-lb22

所以，圆尸的方程为［x+~|j+（y_等j一片+y

整理可得（/+/-耳+办+N1-'）=0,

x2+y2-y=0

x=0

方程组尤=。的解为一

1=03=1

因此，U1BC的外接圆恒过的定点坐标为（0,1）.

故答案为：（。,1）.

变式3.（2023春•上海徐汇・高二上海中学校考期中）对任意实数加，圆/+/_3小-6冲+9根-2=0恒过

定点，则定点坐标为—.

17

【答案】。,1）或

555

x2+y2-2=0

【分析】由已知得龙2+/一2-（3x+6y-9）〃?=0,从而3二1二。’由此能求出定点的坐乐

【详解】解：x2+y2—3mx-6my+9m-2=0,BPx2+y2-2-(3x+6y—9)m=0,

:十：::，解得x=i,y=i,或x==，y

令

3%+6y—9=055

17

所以定点的坐标是（LI）或

5；5

7

故答案为：（U）或

5；5

变式4.（2023秋・四川内江•高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知曲线C：

++(1+.)y2-4%+8〃y=0.

（1）当。取何值时，方程表示圆？

（2）求证：不论。为何值，曲线C必过两定点.

（3）当曲线。表示圆时，求圆面积最小时4的值.

【答案】（1）"一1；（2）证明见解析；（3）a=~.

4

【分析】（1）当。=-1时，可知方程表示直线；当aw-L时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；

（2）将已知方程整理为/+/-4工+°（/+必+8幻=0,从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可

证得；

（3）根据（2）的结论，可知以AB为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，与已知方程对应相等可构造

方程组，解方程组求得结果.

【详解】解：（1）当。=-1时，方程为x+2y=0表示一条直线.

当1时，(1+a)x2*4+(1+6f)y2-4x+Say=0,

4+16a2

整理得(x—2)2+(y+¥)2=

a+1a+1(a+1)2

4+16a2

>0

由于(1+a)2

所以OH-1时方程表示圆.

(2)证明：方程变形为x2+y2-4x+a(x2+y2+8y)=0.

X2+y2-4x=0,

由于。取任何值，上式都成立，则有

x2+y2+8)7=0,

16

铲汨卜=0­、=亍

解4=0或-8

卜--H

所以曲线C必过定点A（0,0）,一11

即无论。为何值，曲线C必过两定点.

（3）由（2）知曲线C过定点A,B,在这些圆中，以AB为直径的圆的面积最小（其余不以AB为直径的

圆的直径大于A5的长，圆的面积也大），

16

从而以为直径的圆的方程为

ABy

2_8

1+a5

所以4产a=?4,解得a=；1.

1+a54

4+16a216

(1+a)2-5

考点六：与圆有关的轨迹问题

例9.(上海市上海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题)点/与两个定点0(0,0),尸(2,0)

的距离的比为3:1,则点/的轨迹方程为.

【答案】(%-Q孑+，2=Q[

416

【分析】设出动点M(x，y),利用条件得到3,再化简即可得到结果.

7(x-2)2+y2

I22

【详解】设点M(x,y),由题知J*+了=3,两边平方化简得2/+2y2一兔+9=0,即(a1+/=:

7(-r-2)2+y2416

QQ

所以点M的轨迹方程为(X-：)2+/.

416

QQ

故答案为：(%-二)2+>2=77.

416

变式1.(2023秋•高二课时练习)已知圆C：f+—6y+i6=0,过点P(4,l)的直线与圆C交于点M,

N,线段MN的中点为。，则点。的轨迹方程为.

【答案】(iy+(y-2)2=l

【分析】先判断点P在圆内，连接C。，设出点。的坐标5y),在利用垂径定理得到C。，MN,写出说和

而坐标，利用西•而=0,得到x,V的关系，即可得出结果.

【详解】由圆C：/+/一8了-6>>+16=0方程变形为标准式(了-4)2+('-3)2=9,

进而得出(4一4>+(1-3)2=4<9,所以点「(4,1)在圆C内部，

又因为Q为线段MN的中点，连接CQ,由垂径定理得CQ_LMN,

设点。的坐标(苍丫)，得诙=(x-4,y-3),P2=(x-4,j-l),

所以西.苑=0,得(x-4)2+(y-3)(y-l)=0,整理得(x-4>+(y-2)z=1,

所以点。的轨迹方程为(x-钎+(y-2)2=1,

故答案为：(x—4)~+(y—2)-=1

变式2.(2023秋・安徽阜阳•高二校联考阶段练习)已知圆E经过点4(0,0),3(1,1),且被直线

(1)求圆E的一般方程；

(2)设尸是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.

【答案】⑴/+丁-2x=0

(2)x?+y~-x=0

【分析】(1)根据直线方程求定点，结合圆的性质，可得圆心，利用两点之间距离公式，可得答案;

(2)设动点坐标，根据题意，建立等量关系，代入圆的方程，可得答案.

【详解】(1)直线，取一y—，〃=。恒过点(L0).

因为圆E恒被直线侬-y一机=0(机eR)平分，

所以;加-丫一〃7=0恒过圆心，

所以圆心坐标为(1,0),又圆E经过点4(0,0),所以圆的半径r=l,

所以圆E的方程为(尤-1)2+,2=1,HPX