圆的综合题型（圆性质的应用、圆与四边形结合的动态探究、情景与应用题型、隐圆问题）原卷版-2025年中考数学答题技巧与模板构建

重难点01圆的综合题型（圆性质的应用、圆与四边行结

合的动态探究、情景与应用题型、隐圆问题）

模型01圆性质的应用）

模型02圆与四边形结合的动态探而

专题16圆的综合题型（圆性质的模型03情景与应用题型）

应用、圆与四边形结合的动态探

究、情景与应用题型、隐圆问题）模型04隐圆问题〕

吩时我解读

圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高，多

考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相

似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点以及数形结合、整体代入等数学思想.

模型01圆性质的应用

圆性质的应用该题型近年主要以选择、填空形式出现，在综合性大题考试中，难度系数不大，在各类

考试中都以中档题为主。解这类问题的关键是结合圆的性质及相关判定定理与推论并结合圆和其它几何

的相关知识点进行解题。

答।题।技।巧

1.灵活应用弦弧角之间的关系，弦和弧最终转化为角，一般情况下是圆周角；

2.碰到直径想直角，直径所对的圆周角为90°；

3.看到切线一一连半径一一90°,证明切线时注意证明90°；

4.圆内接四边形一一对角互补，外交等于内对角；

［器型行停T

1.（2024,江苏）如图，在O。中，2B是直径，CD是弦，且4B1CD,垂足为E,AB=20,

CD=12,在的延长线上取一点F,连接CF,使NFCD=2NB.

（1）求证：CF是。。的切线;

（2）求EF的长.

'支式

1.如图，四边形48co内接于圆。，400=108。，则/8CD的度数是（）

A.127°B.108°C.126°D.125°

2.如图，一个烧瓶底部呈球形，该球的半径为5cm,瓶内截面圆中弦N8的长为8c加，则液体的最大深度CD

为（）

3.如图，为。。的直径，点C为圆上一点，且NC/B=50。.现有以下操作：①以点B为圆心，适当长

为半径作弧，交4B,3c于点。，E；②分别以点。，E为圆心，大于gDE的长为半径作弧，两弧交于

点尸；③作射线B尸交。。于点G.则/GZC的大小为（）

25°C.20°D.15°

4.如图，在△4BC中，ZACB=3QO,AC=4,。为2c上的一个动点，以8。为直径的圆。与相切于

点、B,交4D于点E,则CE的最小值为

5.如图，48是圆。的直径.C,。为圆。上两点，且8。平分/CA4,连接CD,AC,若NACD=29°,

6.如图，。。是直角三角形N5C的外接圆，直径/C=4,过C点作。。的切线，与延长线交于点D,

M为C。的中点，连接BM,OM,且8c与0M相交于点N.

⑴求证：9与。。相切;

⑵当乙4=60。时，在。。的圆上取点尸，使乙45尸=15。，补全图形，并求点尸到直线48的距离.

7.如图，是。。的直径，C,。是同侧圆上的两点，半径OD〃8c交/C于点£,ZBAC=30°.

ac

B

⑴求证：CD=BC；

(2)若/C=2石，求。。的半径.

8.如图，在△ZBC中，ZC=90°,/B/C的平分线交2c于点。，点。在48上，以点。为圆心，0/为半

径的圆恰好经过点。，分别交NC、48于点£、F.

(1)试判断直线BC与。。的位置关系，并说明理由.

(2)若30=36，BF=3,求。。的半径.

■■^一■■■■

模型02圆与四边形结合的动态探究

考|向|预|测

特殊四边形与圆结合的动态探究模型该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，主要考

查对圆性质的理解与三角形或四边形综合知识的应用。实际题型中对数形结合的讨论是解题的关键。许多

问题的讨论中需要我们对四边形的判定和性质有清晰认识。

答|题|技|巧

I.圆的性质应用，根据专题1的解题思路进行求解；

2.注意结合的四边形的形状，特殊平行四边形的性质与判定熟练应用；

3.四边形的存在性问题注意假设、反推；

4.数形结合进行分析、解答

［题型行停T

1.如图，圆内接四边形4BOC,4B是。。的直径，0D上BC交BC于点、E,NACB=9Q°.

⑴求证：点。为蓝的中点；

（2）若8E=4,AC=6,求DE.

＞麦K

1.如图，四边形NBC。是圆。的内接四边形，ABAD=50°,则Z8CD的度数是（）

A.120°B.80°C.130°D.50°

2.圆内接四边形4BCD中，AB=AD,BD是对角线，480=40。，则NC的度数是（）

3.在。。中，点4瓦。,。在圆上，OB〃DC,OD〃BC,则/N为（）

A.45°B.50°C.60°D.65°

4.如图，四边形NBCD是圆。的内接四边形，ZC=110°,则//的度数为（）

C

5.阅读下列材料，然后解答问题.

经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正

四边形叫做这个圆的内接正四边形.

如图，正方形N8CD内接于。。，。。的面积为岳，正方形N3CD的面积为S2.以圆心。为顶点作/MON,

使/MON=90。.将/MON绕点。旋转，OM、ON分别与。。交于点E、F,分别与正方形的边交

于点G、H.设由OE、OF、不及正方形工BCD的边围成的图形（阴影部分）的面积为S.

图②图③

⑴当经过点A（如图①）且。。的半径为1时，求S的值（结果保留万）;

（2）当于G时（如图②），求S、5、邑之间的关系为：J用含岳、S2的代数式表示打

⑶当/MON旋转到任意位置时（如图③），则（2）中的结论仍然成立吗：请说明理由.

6.定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的"闪亮四边形

图1图2

(1)若口/BCD是圆的“闪亮四边形"，贝！|口/BCD是一(填序号)；

①矩形；②菱形；③正方形

(2)如图1,已知。。的半径为ROELBC于点E,四边形N2C。是。。的“闪亮四边形

①求证：OE=；AD

②求证：AB2+CD2=4R2

(3)如图2,四边形4BCD为。。的“闪亮四边形"，AC、AD相交于点尸，AC=BD=3BC=4,求。。

的半径为R

7.定义：若圆内接三角形是等腰三角形,我们就称这样的三角形为“圆等三角形

(1)如图1,是。。的一条弦(非直径),若在。。上找一点C,使得A/BC是"圆等三角形”，则这样的点

C能找到个.

⑵如图2,四边形N3CD是。。的内接四边形，连结对角线50,△48。和△BCD均为“圆等三角形”，且

AB=AD.

①当乙4=130。时，求/80C度数.

②如图3,当//=120。，48=2时，求阴影部分的面积.

模型03情景与应用题型

考I向I预I测

圆结合的情景与应用模型近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易得满分。

该题型主要以解答题的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。该题型通常和我们的日常生活中所接触的

事物或者生活现象紧密结合，需要同学们有较强的阅读和理解题意的能力，同时还要有一定的知识储备。

在解题时要根据题意把转化为我们所学习的圆的相关知识应用。

答I题I技I巧

I.理解题意，联系圆的相关知识点；

2.圆的相关证明与判定依据模型1的思路总结；

3.利用四边形、圆、直角三角形或相似的相关知识点解题;

|毂型三例

1.利用素材解决：《桥梁的设计》

某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端1用的水面宽AB=L称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=/称

问

拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧3W或抛物线型，若修建拱桥的跨度£=32米，拱高〃=8米.

题

驱，人

动

)

方案一：圆弧型方案二：抛物线型

c

图C

形

A。（0

(1)如图，我们通过尺规作图作荔所在圆的圆心

(3)以N8所在直线为x轴，48的垂直平分线

任0,得出结论：不在同一条直线上的_____个点确

为丁轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函数表

务定一个圆.

达式.

(2)求力所在圆的半径.

＞支式

1.在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆

相交，另一边与圆相切的角；如图，直线〃与。。相切于点/,即是。。的一条弦，则/皿就是弦切角）,

发现弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数相关.请根据这个思路完成以下作图和填空.

⑴尺规作图：已知是。。的直径，延长48,过点8作。。的切线（M在点8左侧，N在点、B右

侧.保留作图痕迹，不写作法）

（2）如图C、。是圆上两点，在（1）的条件下，/DBN为弦切角，求证：NDBN=NBCD.

证明：连接工。.

・•,是。。的直径，

NADB=①•

是过点2的切线,

即NABN=90°，

ZDBN+ZABD=90°

ZA+ZABD=90°

：.ZDBN=ZA

又・•・NN和ZC是弧丽所对的圆周角

，//=③.

NDBN=ZC.

由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角⑷它所夹弧所对的圆周角.（横线上填："大于"或"等于"或"小

于"）

2."求知”学习小组在学完"圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动:

⑴如图1,点4B、C在。。上，点。在。。外，线段40、CD与。。交于点E、F,试猜想/8+/。」80。

（请填"<"或"="）；

（2）如图2,点4B、C在。。上、点。在。。内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明;

若不成立，请写出你的结论并予以证明；

3.阅读与思考

直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔

记，请仔细阅读并完成相应的任务.

欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直

线.切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线.平面几何中，将

和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线…

证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利

用切线的判定定理来证明.

添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直.

图1是古代的"石磨"，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的"连杆"，推动"连杆"然

后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为"曲柄连杆机构”.图2是

一个"双连杆"，两个固定长度的“连杆"/尸，的连接点尸在。。上，MN1EF,垂足

为。，当点尸在。。上转动时，带动点48分别在射线加，。尸上滑动，当点3恰好

图1图2

切.

理由：连接O尸.

•••点2恰好落在。。上，

:.ZPBO=-ZPOE.（依据1）

2

：ZPBO=-ZPAO,

2

ZPOE=ZPAO.

MN1EF,

ZPOE+ZAOP=90°,

ZPAO+ZAOP=90°.

■：ZPAO+ZAOP+ZAPO=180°,（依据2）

N4Po=90°,

.•.4尸与。。相切.

任务：

⑴依据1：.

依据2：.

（2）在图2中，。。的半径为6,4P=8,求3尸的长.

4.如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面AB=274cm（台面厚度忽略不计）与地面平

行，且高度为76cm（台面与地面之间的距离），直线型支架PE与。尸的上端E,尸与台面下方相连,

PF与QF的下端尸，Q与直径为4cm的脚轮（侧面是圆）相连（衔接之间的距离忽略不计），直线型支架CG

与。H的上端C,。与台面NB下方相连，下端G,H与PE,。尸相连，圆弧形支架GH分别与PE,QF

在点G,〃相连，且OQ1AB,PE=QF,CG=DH,AB=BD,CE=DF,已知所=106cm,

—=-,tanZECG=tanZFDH=-

CE93

(2)当初所在的圆经过点尸、。时，求：丽所在的圆的圆心到台面48之间的距离

模型04隐圆问题

，［而i袁国

隐圆问题主要出现在压轴题型中，一般是填空题的最后一道或者多可能问题中出现，属于动点模型问题。

想要解决此类问题需要解决此类问题，需要真正理解圆的定义及性质，根据圆的定义与性质判定动点移动

的轨迹。

答।题।技।巧

隐圆问题一般有以下几种表现形式：

(1)根据圆的定义判定，动点在移动的过程中到某一定点的距离始终不变；

(2)等弦对等角，一般考试中出现直角不变型的情况居多；

(3)四点共圆型，利用圆内接四边形的性质，对角互补；

模型01定义型

点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。

模型02直径所对的角为直角(直角模型)

一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；

如图，若P为动点，AB为定值，ZAPB=90°,则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。

模型03等弦对等角模型

一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧.

如图，若尸为动点，为定值，乙4依为定值，则

|题型三例

1.如图，在A42C中，ZACB=90°,AC=3,2c=4,点。在NC边上，且/。=2,动点P

在2C边上，将△PDC沿直线尸。翻折，点C的对应点为E,则△/E2面积的最小值是（）

,支式

1.如图，在正方形48co中，AB=2,E为边AB上一点、,下为边3c上一点.连接和/尸交于点G,

连接2G.若AE=BF,则8G的最小值为

cB

E

D

2.如图，四边形48CD为矩形，AB=3,BC=4.点尸是线段3C上一动点，点M为线段4尸上一

点.ZADM=ZBAP,则BM的最小值为（）

C.V13-|D.V13-2

3.如图，菱形/8CD边长为4,乙4=60。，M是边的中点,N是N8边上一动点，将△/MTV沿所在

的直线翻折得到△4MN,连接4C,则4c的最小值是（）

C.277-2D.3

4.如图，在Rt^ABC中，入4cB=90。，点E在AC上，以CE为直径的。。经过力B上的点D,与。B交于点尸,

S.BD=BC.

（1）求证：4B是。。的切线；

（2）若4。=遮，AE=1,求方的长.

1.（2023•山西）如图，△N5C中，ZC=90°,/A4c=30°,48=2,点尸从C点出发，沿C8运动到点

8停止，过点3作射线NP的垂线，垂足为。，点0运动的路径长为（）

A.2爪B.V3C.6兀D.—

363

2.（2023•广州）如图，等边三角形和等边三角形点N,点M分别为8C,DE的中点，AB=6,

AD=4,△，£>£绕点/旋转过程中，VN的最大值为.

3.（2024•云南）如图，"筒车"盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心。在水面上方，且当圆

被水面截得的弦NB为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为—

米.

4.（2023・贵州）如图，在△48C中，ZACB=30°,AC=4,。为8c上的一个动点，以2D为直径的圆。

与48相切于点8,交AD于点、E,则CE的最小值为

A

5.（2024・青海）如图，直线28经过点C,且。4=OB,CA=CB.

⑴求证：直线力B是。。的切线；

（2）若圆的半径为4,NB=30。，求阴影部分的面积.

•模廷渗用

1.一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为4（单位：dm）的正方形纸片N5。，他在边和

4D上分别取点E和点使AE=BE,AM=1,又在线段MD上任取一点N（点N可与端点重合），再

将沿所在直线折叠得到△E/W,随后连接。4,小明同学通过多次实践得到以下结论：

①当点N在线段上运动时，点H在以E为圆心的圆弧上运动；

②W的最大值为4；

③D4'的最小值为2出-2;

④当H到43的距离达到最大值时，MN=\.

你认为小明同学得到的结论中正确结论的序号是.

2.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A,B,C均在格点上.

(1)线段ZB的长等于；

(2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心。，并简要说明点。的位置是如何找到的(不要

求证明).

3.已知以48为直径的圆。，C为弧的中点，尸为2C弧上任意一点，CDLCP交4P于D,连接8。,

若43=8,8。的最小值为.

4.。。中，A8为直径，点C为圆上一点，将劣弧4C沿NC翻折交42于点。，连接CD.

(1)如图1,若点。与圆心。重合，AC=3,则。。的半径