振动与波、光学计算题（解析版）-2025年高考物理二轮复习热点题型专项训练（新高考）

热点题型•计算题攻略

专题14振动与波、光学计算题

目录

01.题型综述..........................................................................

02.解题攻略..........................................................................

题组01机械振动的方程、对称性及能量......................................................1

题组02机械波的形成、多解以及叠加..........................................................6

题组03光的折射与全反射....................................................................13

03.高考练场..........................................................................................25

01题型综述

高考对于本部分内容要求考生熟练掌握简谐运动各物理量的特点和规律、机械波的传播规律和特点。能

根据振动和波动图像分析质点的振动和波动特点。考察方式多以波的多解以及干涉为载体。光作为一种特

殊的波在高考中每年都会涉及，要去考生能利用光的折射和全反射规律解决光的传播问题。会分析几何光

学与物理光学的综合问题。

02解题攻略

题组01机械振动的方程、对称性及能量

【提分秘籍】

1.简谐运动的规律

规律x=4sin（①/+夕）

反映同一无发点在各个时刻的位移

X

图像A一一八T

0

-A

受力特征回复力尸=—而，F（或。）的大小与x的大小成正比，方向相反

运动特征靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、

X都增大，V减小

振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的

能量特征

机械能守恒

质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周

期就是简谐运动的周期7；动能和势能也随时间做周期性变化，其变

周期性特征

化周期为1

2

关于平衡位置。对称的两点，加速度的大小、速度的大小、相对平衡

对称性特征

位置的位移大小相等；动能、势能相等

2.单摆

(1)单摆周期公式7=2^^

①g为当地重力加速度，在地球上不同位置g的取值不同，不同星球表面g值也不相同。

②单摆处于超重或失重状态时等效重力加速度go=g±a。在近地轨道上运动的卫星加速度a=g,为完全失重,

等效重力加速度go=O。

(2)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F=mgsin8=_：x=_kx,负号表示回复力厂与位移x的

方向相反。(如图所示)

2

①当摆球在最高点时，方向=掌=0,FT=wgcos0O

22

②当摆球在最低点时，/向=出广，尸向最大，尸r=mg+m比广。

【典例剖析】

【例1-1](2025高三上•河南•期中)如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为:0时刻的波形图，虚线

为l=0.7s时刻的波形图。f=0.7s时刻，质点尸正沿V轴负方向运动，从:0时刻开始到"0.7s时刻这段时

间内，质点P共两次经过平衡位置，且t=0时刻和，=0.7s时刻质点尸在同一位置，求：

(1)试确定质点P的平衡位置坐标及该列波的传播速度;

⑵写出质点尸的振动方程。

53

【答案】(1)(16.5m,0),v=30m/s(2)歹=10sin—Tit——兀cm

28

【详解】(1)根据对称性可知，质点尸的平衡位置为

xp=112+•1)m=16.5m

由于"0.7s时刻，质点。正沿丁轴负方向运动，说明波沿％轴正方向传播，从，=0时刻开始到"0.7s时刻

这段时间内，质点。共两次经过平衡位置，由图像可知0〜0.7s时间内波传播的距离

x=21m

波传播的速度

x21.__.

v=—=——m/s=30m/s

t0.7

(2)由于波沿％轴正方向传播，因止匕£=0时刻，质点尸正沿歹轴正向运动，从/=0时刻，质点尸第一次到

达平衡位置需要的时间

t=—=s=0.15s

0Qv30

质点振动的周期

T=-=—s=0.8s

v30

®=—=2.57trad/s

T

因此质点尸的振动方程

y=Zsin("一^0)

解得

53

y=10sin|二兀，一二兀|cm

28

【例1-2].(2025高三上•安徽马鞍山•期中)如图所示，两个完全相同的轻弹簧竖直固定在水平地面上，两

弹簧均处于原长状态，弹簧的劲度系数后=150N/m。质量为〃片2kg的小球。从弹簧A上端开始，以某一初

速度竖直向上运动，质量为加＞=1.5加〃的小球b从弹簧B上端开始静止下落。已知两小球下落到最低点时两

弹簧的压缩量相同，两小球均与弹簧不栓接，重力加速度g=10m/s2,不考虑空气阻力。

球a球6

Ag|B

(1)求小球a相对于出发点上升的最大高度〃；

(2)已知小球a与弹簧接触过程中，从最低点上升到加速度为0时所用最短时间U0.18S,求小球a运动的周

期7。

【答案】(l)0.2m(2)0.88s

【详解】(1)小球。从弹簧A上端开始，以某一初速度竖直向上运动，小球。做竖直上抛运动，利用逆向

思维，根据速度与位移的关系有

¥=2gh

两小球下落到最低点时两弹簧的压缩量相同，令该压缩量为即两小球在最低点时，弹簧的弹性势能相

等，对a小球有

m12L

aSX0+~mava=%

对b小球有

mhgx0=Ep0

小球6静止释放后做简谐运动，根据简谐运动的对称性，结合胡克定律有

mbg=k^-

解得

x0=0.4m,v0=2m/s,h=0,2m

(2)小球a做竖直上抛运动，根据速度公式有

一%=%"

解得

tQ=0.4s

小球。接触弹簧的运动为简谐运动的一部分，令该简谐运动的周期为"，在加速度为0时有

mag=kx、

解得

2

x二­m

115

上述简谐运动的振幅

,4

A=x0-x1=—m

则有

小球。与弹簧接触过程中，从最低点上升到加速度为。时所用最短时间"0.18s,则有

4

由于加速度为0的位置，即平衡位置到刚刚脱离弹簧的间距等于振幅的一半，根据简谐运动的函数表达式

有

位移等于振幅的一半时，可以解得经历时间最少等于工，则小球«从加速度为0的位置到刚刚脱离弹簧的

时间

t,=—=0.06s

112

则小球。运动的周期为

T=t。+2+4）

解得

T=0.88s

【例1-3].（2025高三上•安徽•开学考试）如图所示，半径很大的光滑球面固定在水平桌面上，小球甲从球

面上的N点由静止释放，在球面上45之间来回运动，已知标远小于球面的半径，当甲从/点释放时，

同时在球面上的最低点C以某一初速度竖直上抛小球乙，经过时间f小球乙恰好第一次下落至C点且与甲球

相碰，此时小球甲第5次通过C点。已知重力加速度为g,不计空气阻力，两小球均可视为质点。求：

⑴小球乙的初速度为;

（2）光滑球面的半径R。（保留兀）

【答案】⑴％=：即⑵火=蹩

28171

【详解】（1）小球乙上抛再落回。点的时间为

g

解得

1

%=28t

(2)设小球甲做简谐运动的周期为T,则

R

T=2几

g

又

2-T=t

4

解得

题组02机械波的形成、多解以及叠加

【提分秘籍】

形成条件(1)波源；(2)传播介质，如空气、水等

(1)机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附

近做简谐运动，并不随波迁移

传播特点(2)介质中各质点振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同

(3)一个周期内，质点完成一•次全振动，通过的路程为44位移为零

(4)一个周期内，波向前传播一个波长

(1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位

移

波的图像

(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移

波长、波速和频率(周⑴—〃⑵­：

期)的关系

(1)两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为

,,,)>振动减弱的条件为盘=(〃：〃

波的叠加AX=M2(/7=O,1,2,2+1)(=0,1,2,i)

(2)振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和AI+A2

波的多解问题由于波的周期性、波传播方向的双向性，波的传播易出现多解问题

【典例剖析】

【例2-1］（2024•四川泸州•一模）图甲是一列简谐横波在"0时刻的波形图，此时波恰好传到x=4m处，P

是平衡位置％=3.5m的质点，0是平衡位置%=6m的质点。已知乙=6s时，。质点第一次处于波谷状态，

2

0-■——1——■~1——1----►t/s

4812

甲乙

⑴波在介质中的传播速度；

（2）在乙图中画出。质点的振动图像（画一个完整周期的图像）；

⑶从"0时刻开始到0质点经历的路程s=40cm时，求此时刻尸质点的位移大小。

【答案】（l）v=0.5m/s

⑶V2cm

【详解】（1）4=6s时，。质点第一次处于波谷状态，说明波向右传播了x=3m,故

（2）波从:0时刻到传递到。需要

周期

由波形图和同侧法知波中每个点的起振方向一致，都沿y轴负方向，故。质点的振动图像为

y/cm

-2[-

（3）。质点经历的路程s=40cm所需时间为

此时波传递的距离为

Ax=v(Z2+Z3)=22m=5—A

故此时刻尸质点的位移为

y-sin45°=-42cm

位移大小为V2cm。

【例2-2]（2025高三上・江西•阶段练习）如图所示，一列横波沿x轴方向传播，实线表示某时刻的波形图,

虚线表示加=0.2s后的波形图，则该波在介质中传播的速度可能是多少？

【答案】若波沿x轴正方向传播，匕=20，+j]m/s（〃=0,l,2,3,…）；若波沿x轴负方向传播,

v2=201+*]m/s（n=0,1,2,3,

【详解】由图示知，波长4=4m。若波沿x轴正方向传播，加=0.2S内波传播的距离至少为

Ax.=0.1m=—2

140

则沿x轴正方向传播的距离

2(〃=0,1,2,3,…)

故波在介质中传播的速度

m/s(〃=0,1,2,3,…)

若波沿X轴负方向传播，At=0.2s内波传播的距离至少为

Ax=3.9m=——2

?40

则沿X轴负方向传播的距离

x2+=0,1,2,3,…)

故波在介质中传播的速度

马=$=201+北]m/s(〃=0,1,2,3,…)

【例2-3].(2025•全国•模拟预测)如图所示，坐标轴x轴上的岳(-s,0)点和邑区0)点有两个相同的波源，

两波源同时向平面内产生振幅为A、频率为了的简谐横波，起振方向垂直纸面向上，/8$2耳为矩形，当4B

从岳邑沿了轴向上移动时，线段NB上(包含A、B两点)两列波的加强点的数量随着A、3两点纵坐标的

变化而变化。当N=L5s时，48上恰好有5个加强点(A、B点恰好为加强点)。

如

A'------------\B

II

II

II

II

II

~&O-M_X

⑴求简谐横波的波速。

(2)求上只有1个加强点时了的取值范围。

【答案】(1)曰(2)y>—s

【详解】⑴设波长为讥波速为V,题图中A、B中点到岳和星的距离相等，为加强点，当y=L5s时,

加强点关于V轴对称分布，则A到两波源的距离差为22。根据几何关系有

J(2sy+(1.5s)2一1.5s=22

又

联立解得

(2)根据对称性可知，加强点关于y轴对称分布，当只有一个加强点时，A点到两波源的距离差将小于波

长。当恰好有三个加强点，且A到两波源的距离差为彳时，设的纵坐标为外,根据几何关系有

-%=X

解得

则当

时将只有一个加强点。

【变式演练】

【变式2-1］（2025•四川成都•模拟预测）一简谐波的波源位于坐标原点，波源振动后f=0.3s时第一次形成

⑴求该波的波长和传播速度大小

⑵在给出的坐标图上画出波在，=2.0s时刻的波形图;

⑶求从/=0至，=2s,x=25m处的质点的运动路程s。

【详解】(1)由图可知

—2.=15m

4

所以

2=20m

波速v为

v=—=-^-m/s=50m/s

t0.3

(2)波的周期

r=-=o.4s

由于

t=2.0s=ST

经过一个周期波刚好传到％=20m质点处，根据周期性可得，=2.0s时刻的波形图如图所示

（3）波传播到x=25m处所需的时间

At=—s=0.5s

50

从/=0至，=2s时间内x=25m处质点振动的时间

3

%=2s-0.5s=1.5s=3T+—Tx=25m处质点的运动路程

4

3

s=（3+Nx4/=30cm

【变式2-21,（2025高三上•江苏南通•期中）某波源S发出一列简谐横波，波源S的振动图像如图所示。在

波的传播方向上有/、B两点,它们到S的距离分别为45m和55m。4、5两点开始振动的时间间隔为0.5s。

⑴这列波的波长4;

⑵当B点处于平衡位置时，A点离开平衡位置的位移是多少？

【答案】⑴40m（2）见解析

【详解】（1）波在介质中的传播速度为

v==———m/s=20m/s

AZ0.5

周期

T=2.0s

解得

A=vT=40m

（2）根据题意可得

a=；T3在平衡位置向上振动时，4点处于波峰，即离开平衡位置的位移为

x，=6cm3在平衡位置向下振动时，/点处于波谷，即离开平衡位置的位移为

xA=-6cm

即/点离开平衡位置的位移大小为6cm,方向可能为正方向，也可能为负方向。

【变式2-3].(2025高三上・江苏•阶段练习)一列简谐横波在介质中沿x轴传播，。和N是介质中平衡位置

分别为x=0和x=10cm处的两个质点，且两质点的振动情况始终相同，已知周期为4s。

(1)求简谐波的波长；

(2)若。和/是相邻的两个质点，求波速。

【答案】⑴％=Lm,(n=1.2.3...)(2)0.025m/s

10n

【详解】(1)。和4两质点的振动情况始终相同，则两点间距为波长整数倍

0.1m=nA,(〃=1.2.3...)

波长

。1/、

Z=-----m,(〃=1.2.3…)

10〃

(2)。和4是相邻的两个质点，则波长为

%=0.1m

波速

v=—=0.025m/s

T

【变式2・41(2025高三上,广西•阶段练习)如图所示，一列简谐横波沿》轴传播，实线为:0时刻的波形

图，虚线为/=0.7s时刻的波形图”0.7s时亥IJ,质点P正沿y轴负方向运动，从(=0时亥！J开始至卜=0.7s时

刻这段时间内，质点P共两次经过平衡位置，且/=0时刻和y0.7s时刻质点尸在同一位置，求：

(1)试确定该列波传播的方向及传播速度大小；

(2)试确定质点P的平衡位置坐标及从；0时刻质点尸第一次到达到平衡位置需要的时间。

【答案】(l)x轴正方向，30m/s(2)(16.5m,0),0.15s

【详解】(1)根据对称性可知，质点尸的平衡位置为

xn=9+24nl=]6.5m

2

由于f=0.7s时刻，质点尸正沿了轴负方向运动，说明波沿x轴正方向传播，从t=0时刻开始到t=0.7s时刻

这段时间内，质点P共两次经过平衡位置，由图像可知0〜0.7s时间内波传播的距离

x=21m

波传播的速度

v/=21m/s=30m/s

t0.7

(2)根据以上分析可知质点尸的平衡位置坐标为(16.5m,0),由于波沿x轴正方向传播，因此f=0时亥!

质点P正沿了轴正向运动，从:0时刻，质点P第一次到达平衡位置需要的时间

Ax

^s=0.15s

v30

题组03光的折射与全反射

【提分秘籍】

1.常用的三个公式：曲&=",〃=£,sinC=L

sin923n

2.折射率的理解

(1)折射率与介质和光的频率有关，与入射角的大小无关。

(2)光密介质指折射率较大的介质，而不是指密度大的介质。

(3)同一种介质中，频率越高的光折射率越大，传播速度越小。

3.求解光的折射和全反射问题的思路

(1)根据题意画出正确的光路图，特别注意全反射的临界光线。

(2)利用几何关系确定光路中的边、角关系。

(3)利用折射定律等公式求解。

(4)注意折射现象中光路的可逆性。

【典例剖析】

【例3-1](2025•云南•模拟预测)如图甲是天然水晶制成的水晶球。如图乙是半径为R的水晶球的一个截面

圆，N3是截面圆的直径，某种单色细光束从。点平行直径射入水晶球，恰好从8点射出水晶球，已知

C8与直径的夹角为仇光在真空中的传播速度为c。求：

甲乙

⑴水晶球对此单色细光束的折射率;

（2）细光束在水晶球中的传播时间。

【答案】（l）2cos。（2）竺竺凹

C

【详解】（1）在图乙中作出过。点的法线并根据数学知识标出角度，如图所示

根据折射定律，水晶球对此单色细光束的折射率为

（2）细光束在水晶球中传播的路程为

s=27?cos。

细光束在水晶球中传播的速度为

c

v=—

n

又

s=vt

求得细光束在水晶球中的传播时间为

4Rcos20

t=------------

c

【例3-2］（2025高三上・山东泰安・期中）如图为某长方体透明材料截面图，长为Z,宽为与，一束单色光

斜射到上表面A点，反射光线和折射光线恰好垂直，折射光线经长方体侧面反射后射到下表面，所用时间

为干

,光在真空中的传播速度为求:

⑴单色光在透明材料上表面的入射角e；

（2）通过计算判断光能否从透明材料侧面射出。

【答案】⑴60°⑵不能

【详解】（1）单色光在透明材料上表面的入射角为8,反射角也为凡反射光线和折射光线恰好垂直，则折

射角为

4=90°-6

根据折射定律

sin6>sin。sin。

H=-------=-----------------=--------

sinqsin（90p-0）cos。

折射光线在介质中的速度为

c

v=—

n

折射光线经长方体侧面反射后射到下表面，折射光线在介质中的路程为

L

s=------

sin。

折射光线经长方体侧面反射后射到下表面，所用时间为一，即

c

s2L

v=~

解得

0—60°,n=V3

（2）临界角

.「11V3

smC=—=—j==——

MV33

折射光线到长方体侧面时入射角为。=60°

,AV3

sinU=——

2

所以

0>C

入射角大于临界角，所以会发生全反射，光不能否从透明材料侧面射出。

【例3-3］（2025高三上•江苏盐城•阶段练习）在2024年巴黎奥运会中，中国游泳队取得了辉煌的成绩。如

4

图所示，游泳比赛的泳池（假设足够大）水深人2m,在泳池底部中央有一标记物已知水的折射率为〃

角度很小时。二sin。=tan。。求:

⑴右运动贝在水面上4正上方向下看，看起来/在水下多深处？

⑵运动员在水面上能看到标记物的最大面积。

【答案】(l)1.5m(2)等n?

【详解】(1)如图甲所示设/的视深为力'，从/上方看，光的入射角及折射角均很小，由折射定律

sinatanah4

n=--«---=—=—

sin尸tan/?h'3

解得

=1.5m

A

甲

(2)画出临界光路图，如图乙所示，当从N发出的光在N点处发生全反射时，有

.13

sin。=sinC=—=一

n4

则

R3

/R2+h2~4

解得

3m

7

则最大面积

cr>2367r2

S—7iR------m

7

【例3-4】一次“科技发明”活动中，小录同学制作了一种简易的测定某种液体介质折射率的仪器，如图所示,

地面上放置一不透光的圆柱形容器，容器直径为乙，高为〃，容器底部边缘处有一发光装置K,距离容器右

边4处固定一竖直光屏，光屏上的。点与容器等高。将事先测好折射率的液体注满容器，然后在光屏上光

斑的下边缘刻上记号，标上该液体的折射率及对应刻度，再测某种待测液体的折射率时，直接读数就行。

在测量某种待测液体时，光屏上的光斑下边缘离地面高度为d.

O

d

h

・K

4

(1)求该液体的折射率";

(2)若容器中换装折射率更大的液体，这时光屏上对应的读数值会不会在。点的下方？请说明理由。

【答案】⑴邑,122

⑵光屏上对应的读数值不会在。点的下方

Lx]g+(d-/z)2

【详解】(1)作出如图所示光路图

sinr=1'

jg+mw

可得折射率为

sinrL2I片+——

sinzL,NE+（d—h?

（2）若换折射率更大的液体，由折射定律知，光从光密介质斜射入光疏介质时，折射光线远离法线，若"C

（临界角），则r=90。，所以光屏上对应的读数值不会在。点的下方。

【例3-5】如图甲所示，一同学在岸上不慎将手表甩落在正前方水深为2m的泳池中，手表掉落在池底/位

置，该同学趴在泳池岸边，眼睛在边缘O处刚好看不到手表。。点正下方池底为2位置，池岸与水面的高

度差可忽略不计。已知真空中光速为光在泳池水中的传播速度为-C，V7=2.6°

4

0，/艮睛

0/\O

___________ZL

---------------A------------f----------埼

甲------------------乙

⑴求手表到B点的距离（结果保留一位小数）；

（2）在第（1）问基础上，若该同学蹲在。点时沿图乙所示光路看到手表,Off=0.8m,请估算其蹲在。点

时眼睛到泳池岸边的高度。

【答案】⑴2.3m（2）0.6m

【详解】（1）由光的传播速度与介质折射率的关系得

C

n=­

V

由全反射临界角公式可得

AB

sinC=-

nOA

解得得泳镜到B点的距离

AB®2.3m

(2)设蹲下时眼睛到池岸的高度为九空气中光线与竖直方向夹角为4,则有

OO'

sinO=

xyj00'2+h2

令水中光线与竖直方向夹角为。2，则有

AB-OO'3

sin%

^AB-OO')2+OB25

由折射定律有

sin4

sin%

解得蹲下时眼睛到池岸的高度

h=0.6m

【变式演练】

【变式3-1］如图所示，一块足够大的平面镜与一块横截面为半圆形的玻璃砖平行放置，玻璃砖圆心为。，

半径为凡圆心。点正下方尸点可向平面镜发出单色细光束，P点到2点的距离为R。调整光束方向，可

使得光线经平面镜反射后进入玻璃砖，恰好从沿垂直于玻璃砖直径48的方向射出，且射出点为0/中点

已知玻璃砖对该光的折射率为〃=百。求：

平

面

镜

，尸

I

⑴光线进入玻璃砖时的入射角；

(2)平面镜与玻璃砖直径N3之间的距离。

【答案】⑴60。Q)巫R

2

【详解】(1)光路图如图所示

艾N

2

7

1

平o

a

配G

镜5

玻璃有

点射入

光从尸

，则

的中点

为/。

6。

吆=

”=里

sin<7

0。

a=3

所以

0。

6=6

,则

线过4

的延长

光跖

反射

(2)

3R

AP=

3R

0

=