整式与因式分解 过关检测-2025年中考数学一轮复习解析版

专题02整式与因式分解过关检测

(考试时间：90分钟，试卷满分：100分)

一.选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)。

1.用代数式表示，的3倍与〃的差的平方"，正确的是()

A.(3m—n)2B.3(m—n)2C.3m—n2D.(m—3n)2

【答案】A

【分析】本题考查了列代数式的知识；认真读题，充分理解题意是列代数式的关键，本题应注意的是理

解差的平方与平方差的区别，做题时注意体会.认真读题，表示出加的3倍为3机，与"的差为3爪-",

最后再整体平方，即可得出答案.

【详解】解：因为加的3倍与“的差为3zn—n,

所以加的3倍与n的差的平方为(3m-7i)2.

故选：A.

2.单项式-12/y的系数和次数分别是()

A.-12,4B.-12,3C.12,3D.12,4

【答案】A

【分析】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数，次数的意义是解题的关键.

根据单项式的系数，次数的意义判断即可.

【详解】解：单项式中的数字因数叫单项式的系数，即-12/y的系数是—12,单项式次数是所有字母的

指数和，即-12dy的次数是4.

故选：A.

3.下列运算中，正确的是()

A.3ab-2a=bB.a4+a4=a8C.(a/)2)2=2a2/)4D.a8-i-a4=a4

【答案】D

【分析】此题主要考查了积的乘方运算，合并同类项，同底数幕的除法，直接利用积的乘方运算，合并

同类项，同底数幕的除法分别计算，进而判断即可.

【详解】解：A.3ab和2a不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；

B.a4+a4=2a4,故此选项不合题意；

C.(防2)2=(12b4,故此选项不合题意；

D.a8-a4=a4,故此选项符合题意.

故选：D.

4.计算：(-|xy2)=()

A.-|犯4B.-|x3y4C.D.a2y4

【答案】D

【分析】本题主要考查了积的乘方、幕的乘方等运算法则.直接运用积的乘方、塞的乘方的运算法则化

简即可解答.

【详解】解：(-|%y2)2=1x2y4.

故选：D.

5.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()

A.x(a—fo)=ax—bxB.x2—l+y2=(%—1)(%+1)+y2

C.%2—1=(x—l)(x+1)D.ax+by+c—x{a+b)+c

【答案】C

【分析】本题考查因式分解的判断，把一个多项式转化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此进

行判断即可.

【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意;

B、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意;

C、是因式分解，符合题意；

D、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意;

故选C.

6.如图，可以验证下列哪个乘法公式(

A.(a+厅=a2+2ab+b2B.(a-b)2=c^-2ab+b2

C.(a+b)(a—b=a?一庐D.a2-/?2=(a+b)(a—h)

【答案】B

【分析】此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式和

数形结合思想.

通过两种不同方法求大正方形阴影部分的面积进行求解、辨别即可.

【详解】解：由题意得，大正方形阴影部分的面积为：（a-6）2或a?-ab-ab+庐=滔一+/,

•■.（a-6）2=a2-2ah+b2,

故选：B.

7.如图1,将边长为根的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个"2"的图案，如图2所示，再将剪下的两

个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（）

图3

A.2m—4nB.2m—3nC.4m—8nD.4m—6n

【答案】C

【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算等知识.正确表示新矩形的长和宽是解题的关键.

由题意知，剪下的两个小矩形的长为（m-n），宽为与二，则新矩形的长为（a-n），宽为（爪-3n），然后

求周长即可.

【详解】解：由题意知，剪下的两个小矩形的长为（爪-n）,宽为巴内，

二新矩形的长为（m—?i）,宽为（m—3几），

二新矩形的周长可表示为2［（爪—九）+（m-3n）］=4m—8n,

故选：C.

8.（%_1）.+2）的结果是（）

A.%2+21B.X2-X-2C.%2+x-2D.%2-2

【答案】C

【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式.根据多项式乘以多项式法则计算，即可求解.

【详解】解：（x-l）（x+2）=X2-X+2X-2=X2+X-2.

故选：C.

9.在求1+2+3+…+100的值时，发现：1+100=101,2+99=101,从而得到

1+2+3+…+100=101x50=5050.按此方法可解决下面问题.图（1）有1个三角形，记作组

=1;分别连接这个三角形三边中点得到图(2),有5个三角形，记作。2=5；再分别连接图(2)中间

的小三角形三边中点得到图(3),有9个三角形，记作口3=9;按此方法继续下去，则的+。2+&3+…+

an=().(结果用含"的代数式表示)

A.2n2-nB.n2C.2n2D.n2+n

【答案】A

【分析】本题考查了图形类变化规律、列代数式，根据所给图形，2表示出图形中三角形的个数，发现

规律即可得出答案.

【详解】解：由所给图形可得：

的=1=1x4—3,

做=5=2X4—3,

a3=9=3X4—3,

.•.an=4n-3(九为正整数)，

•••(!]+02++…+an

=1X4-3+2X4-3+3X4—3+…+4九-3

=(1+2+3+…+九)X4-3n

n(n+1)

=-------x4—3n

=2n2—n,

故选:A.

10.若%—2y=l,则代数式3%-6y+4的值为()

A.7B.1C.-5D.13

【答案】A

【分析】本题主要考查了求代数式的值.根据题意可得3久-6y+4=3(%-2y)+4,整体代入即可求解.

【详解】解：3%—6y+4=3(%—2y)+4=3xl+4=7,

故选A.

二.填空题(本题共6题，每小题2分，共12分)

1L请写出单项式—2。26的一个同类项：.

【答案】a2b(答案不唯一)

【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键.

所含字母相同，相同字母的次数也相同的项是同类项，据此写其中一个即可，

【详解】解：写出单项式一2a2b的一个同类项：02b(答案不唯一)，

故答案为：a2b(答案不唯一).

12.已知|a+l|+(6—2)2=0,贝胴-6=.

【答案】-3

【分析】此题主要考查了非负数的性质，偶次嘉的非负性，代数式求值，直接利用非负数的性质得出

a,6的值，进而得出答案.

【详解】解：|a+l|+(6—2)2=0,

•••a+1=0,b—2=0,

解得：a=-1,b=2,

故a—b=—1—2=—3.

故答案为：-3.

13.因式分解：a-9a3=.

【答案】a(l+3a)(l—3a)

【分析】本题考查了提公因式与公式法相的综合应用，先提取公因式，再利用平方差公式进行计算即

可.

【详解】解：a-9a3=a(i-9a2)=a(l+3a)(l-3a)>

故答案为：a(i+3a)(l—3a>

14.如图所示，三个电阻串联起来，串联电路电压=若线路A8的电流/=2.54三个

电阻阻值分别为12.9Q,23.8Q,9.3Q,则电压为V.

z__LxJLxJ%

【答案】115

【分析】本题考查了代数式求值，把三个电阻阻值分别为12.9Q,23.8Q,9.3Q,/=2.54代入"=//+/

R2+/R3中即可求值.

【详解】••三个电阻阻值分别为12.9Q,23.8Q,9.3(1,1=2.5X

■-U=/(%+&+-3)=25X(12.9+23.8+9.3)=2.5x46=115V,

故答案为：115.

15.若a+b=3,ab=2,则a?+b2=.

【答案】5

【分析】本题考查对完全平方公式的变形应用能力，根据。2+/=缶+与2—2必，代入计算即可.

【详解】解：:a+6=3,ab=2,

■■-a2+/=(a+b)2—2ab=9—4=5.

故答案为：5.

16.已知一组有理数a,b,我们将左边的数减去右边相邻的数即a-b的值插入到a,6之间称之为一次“差

数操作若a=2,b=-3,第一次"差数操作"得2,5,—3；第二次"差数操作"得2,-3,5,8,-3；

则第2024次"差数操作"所得数的和是.

【答案】10119

【分析】本题主要考查了数字规律，理解"差数操作"的定义和发现操作一次数串比前一次之和多5的规

律是解答本题的关键.根据题意，求出操作一次数串比前一次之和多5,进行求解即可.

【详解】解：第一次"差数操作”得2,5,-3；和为：2+5-3=4；

第二次"差数操作”得2,-3,5,8,-3；和为：2-3+5+8-3=9；

第三次"差数操作”得2,5,-3,-8,5,-3,8,11,-3；和为：

2+5-3-8+5-3+8+11-3=14；

观察可知：操作一次数串比前一次之和多5

二第n次操作后，和为4+5(72-1)=5n-l,

・•・第2024次"差数操作"所得数的和是5X2024-1=10119；

故答案为：10119.

三、解答题(本题共7题，共58分)。

17.(6分)(1)计算：8+(-2)2+(百)°；

(2)化简：(x+3)(x—3)—x(x—3).

【答案】(案3(2)3x-9

【分析】(1)根据有理数的乘方，零指数塞的意义解答即可；

(2)利用平方差公式，单项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后合并同类项进行化简.

本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，掌握a°=l(aAO),平方差公式(a+b)(a-6)=a2-廿是

解题的关键.

【详解】解：(1)8+(—2)2+(旬°

=8+4+1

=2+1

=3；

(2)(%+3)(%—3)——3)

=%2—9—x2+3%

=3%—9.

18.(6分)先化简，再求值：[(2%—y)2—(y+2%)(2%—y)—2%y]+2y,其中％=一1,y=-3.

【答案】y-3x,-

【分析】本题主要考查了整式的混合运算.先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去掉

中括号内的小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可.

【详解】解：[(2x—y)2—(y+2x)(2%—y)—2xy]+2y

=[4x2—4xy+y2—(4%2—y2)—2xy]+2y

=(4x2—4xy+y2-4x2+y2-2xy)+2y

=(2y2—6xy)+2y

=y—3x,

当％=_：,y=_3时，原式=-3-3x=-3+|=一|.

19.(8分)如图，4、B,C三个小桶中分别盛有2个、11个、3个小球，将5小桶中部分小球转移到4,C

两个小桶中，数量如图所示.

2加个加个

----------------------------------J

2个11个3个

7no-—oro-

A桶B桶C桶

⑴求转移后1,c两个小桶的小球的数量和(用含加的代数式表示).

⑵若转移后/，C两个小桶的小球的数量和与8小桶中剩余小球的数量相同，求转移后C小桶的小球

的数量.

【答案】⑴5+3m

(2)4

【分析】本题考查整式加减的应用；

(1)先分别求出转移后/小桶的小球的数量和转移后C小桶的小球的数量，相加即可；

(2)求出转移后5小桶中剩余小球的数量，令其相等即可求解.

【详解】(1)转移后/小桶的小球的数量：2+2m：转移后C小桶的小球的数量：3+m

二转移后C两个小桶的小球的数量和：2+2m+3+m=5+3m；

(2)由(1)得：转移后/,C两个小桶的小球的数量和为5+3小

转移后B小桶中剩余小球的数量：ll-2m-m=ll-3m

.■-5+3m=11—3m,解得m=1

••・转移后C小桶的小球的数量：3+6=4个

20.(8分)生活中我们使用的数是十进制数，有时候也会用到其它进制数，如计算机使用的数是二进制数,

二进制数可以转化为十进制数.如，二进制数1101换算成十进制数是1x23+1x22+0x21+1x2°

=13

第十四届国际数学教育大会QCME—14)在中国上海举行，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展

现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的"卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进

制是以8作为进位基数的数字系统，有0〜7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是3X83

+7X82+4X81+5X8°=2021表示ICMET4的举办年份.

⑴八进制数3747换算成十进制数是」

⑵小颖设计了一个m进制数156,换算成十进制数是90,求m的值.

【答案】⑴2023

(2)7

【分析】本题主要考查有理数的混合运算，因式分解，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数

的计算方法.

（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以8°,8】，82,83,再把所得结果相加即

可得解；

（2）根据小进制数和十进制数的计算方法得到关于m的方程，解方程即可求解.

【详解】（1）解：3747=3X83+7X82+4X81+7X8°

=1536+448+32+7

=2023.

故答案为：2023；

（2）解：依题意有：

1xm2+5xm1+6xm°=90,

m2+5m+84=（m+12）（m-7）=0

解得mi=7,Hi2=-12（舍去），

故m的值是7.

21.（8分）有一电脑Al程序如图，能处理整式的相关计算，已知输入整式4=1,整式C=2/+k-3后,

屏幕上自动将整式2补齐，但由于屏幕大小有限，只显示了整式8的一部分：B=2k+-\.

A-B=C

⑴求程序自动补全的整式3

⑵在（1）的条件下，嘉淇发现：若左为任意整数，整式解-2。的值总能被某个大于1的正整数整除,

求这个正整数的值.

【答案】⑴2k+3

（2）5

【分析】本题考查了整式的乘法，加减法，因式分解，熟练掌握知识点以及运算法则是解题的关键.

（1）设广代表的代数式为优，即B=2k+m,利用多项式乘以多项式进行展开，再合并同类项,

即可求解；

（2）利用完全平方公式，单项式乘以多项式展开，再因式分解即可.

【详解】（1）

解：设4%代表的代数式为如

即B=2k+m,则4-B=(/c-l)(2fc+m)=2k2+mk-2k-m=2fc2+,

...X-B=C=2k2+/c-3,

■,-2fc2+(m—2)k—a=2k之+/c—3,

.,.m—2=1,解得m=3,

即程序自动补全的整式B=2k+3；

(2)«：•■-s2-2C=(2fc+3)2-2(2fc2+/c-3)

2

=4k2+I2k+9-(4fc+2k-6)=10k+15=5(2k+3)，

若左为任意整数，贝|2k+3为整数，

二整式屏-2C的值总能被5整除.

22.(10分)【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、

不等式的性质等证明已知结果或结论.

【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数〃八"，它们的乘积q(q=rmi)与较大数

的和一定为较大数的平方.

(1)举例验证：当m=4,n=5,则q+n=4x5+5=25=52

(2)推理证明：小明同学做了如下的证明：

设m、"是连续的正整数，

■■-n=m+1；-■-q=mn,.--q+n=mn+n=n(jn+1)=n2.

■■q+几一定是正数n的平方数.

【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方.

请你举例验证及推理证明；

【深入思考】若P=[q+2n+[q_2m(加,〃为两个连续奇数，0＜根＜71国=爪71),求证：0一定

是偶数.

【答案】见解析

【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简；

类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可；

深入思考：由〃为两个连续奇数，0＜小＜兀，可得n=m+2,q=mn=ni2+2m,然后代入计

算即可.

【详解】解：类比猜想：(1)举例验证：当zn=4,7i=5,则q-m=4X5-4=16=42

(2)推理证明：小明同学做了如下的证明：

设mVri,m、〃是连续的正整