中考数学二轮复习重难点专练：开放探究与新定义问题（原卷版+解析）

重难点突破06开放探究与新定义问题

目录

题型01新定义问题

类型一新定义问题-数、式、方程

类型二新定义问题-函数

类型三新定义问题-图形的性质与变化

题型02方法迁移题型

题型03归纳概括问题

题型04探究实践类问题

【命题趋势】开放探究与新定义问题是近年中考数学的热点问题.开放探究（阅读理解）问题通常不会单

独考查，往往会结合初中数学中某个知识点进行命题，进而既能考查初中数学中某个知识点的掌握情况，

又能考查学生的自学能力和分析问题、解决问题的能力.新定义问题是在问题中定义了初中数学中没有学

过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运

算、推理、迁移的一种题型.一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接新知识;

（3）定义新概念.这类试题考查考生对新定义的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将新

定义的知识与己学知识联系起来，利用己有的知识经验来解决问题.

题型01新定义问题

类型一新定义问题-数、式、方程

1.（2022・四川巴中•中考真题）对于实数a,b定义新运算：a助=仍2一儿若关于光的方程1伺％=k有两个

不相等的实数根，贝丸的取值范围（）

-1-11-1

A.k>-[B.k<--C,k>--5.k^0D.k>--B.k^0

2.（2022•内蒙古・中考真题）对于实数a"定义运算"软为a0b=b2-ab,例如302=22-3X2=-2,

则关于x的方程（k-3）®x=k-1的根的情况，下列说法正确的是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

3.（2022•浙江宁波・中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a,6,a区匕=（+1.若。+1）⑤x=

—,则x的值为.

X

4.（2023.山东枣庄.中考真题）对于任意实数a,b,定义一种新运算：a助=[屋，羽,例如：

（a+匕-6（a<Zb）

301=3-1=2,504=5+4-6=3.根据上面的材料，请完成下列问题：

（1）403=,（-1）0（-3）=；

(2)若(3%+2)团。-1)=5求尤的值.

类型二新定义问题-函数

5.（2023•山东济南・中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（*i，%）,当点满足23+上）=

为+丫2时，称点Q（久2，丫2）是点。（的，儿）的“倍增点”，已知点B（l,。），有下列结论：

①点Q1（3,8）,<?2（—2,—2）都是点Pl的“倍增点”；

②若直线y=%+2上的点A是点B的“倍增点”，则点4的坐标为（2,4）；

③抛物线y=%2-2x-3上存在两个点是点Pi的“倍增点”；

④若点B是点A的“倍增点”，则的最小值是W.

其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

6.（2023・江苏盐城・中考真题）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，

则称二次函数为一次函数的轴点函数.

【初步理解】

（1）现有以下两个函数：①y=/一1；②丫=久2一久，其中，为函数y=K—l的轴点函数.（填

序号）

【尝试应用】

（2）函数y=%+c（c为常数，c>0）的图象与汽轴交于点A,其轴点函数y=a/+6%+。与％轴的另一交

点为点B.若。B=工。4求b的值.

4

【拓展延伸】

（3）如图，函数y=[x+t（t为常数，t>0）的图象与无轴、y轴分别交于M,C两点，在x轴的正半轴上

取一点N,使得。N=OC.以线段MN的长度为长、线段M。的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE.若函数

y=|x+t（t为常数，t>0）的轴点函数丫=根%2+70；+1的顶点「在矩形用可£^的边上，求n的值.

7.（2023•北京・中考真题）在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1.对于O0的弦4B和O。外一点C给

出如下定义：

若直线C4CB中一条经过点。，另一条是。。的切线，则称点C是弦A8的“关联点”.

⑴如图，点4(—1,0),Bi(一患),S2(f,-y)

①在点6(—1,1),C2(-V2,0),。3(。，/)中，弦的“关联点”是.

②若点C是弦的“关联点”，直接写出。C的长；

(2)已知点M(0,3),N(W，0).对于线段MN上一点S,存在。。的弦PQ,使得点S是弦PQ的“关联点”，记PQ

的长为f,当点S在线段MN上运动时，直接写出f的取值范围.

8.(2023•内蒙古赤峰•中考真题)定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M

上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”.

(1)如图①，矩形4BCD的顶点坐标分别是4(—1,2),B(—1,—1),C(3,-l),0(3,2),在点M2(2,2),

M3(3,3)中，是矩形4BCD“梦之点”的是；

⑵点G(2,2)是反比例函数月=£图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点''"的坐标是

,直线GH的解析式是.当月＞、2时，X的取值范围是.

(3)如图②，已知点A,8是抛物线y=—+x+1上的“梦之点，，，点C是抛物线的顶点，连接力C,AB,BC,

判断△ABC的形状，并说明理由.

类型三新定义问题-图形的性质与变化

9.(2022•黑龙江绥化•中考真题)定义一种运算；sin(a+/?)=sinacos^+cosasin，，sin(a—，)=sinacos/?—

coscrsin/?.例如:当a=45°,p=30。时,sin(45°+30°)=、x1+上义工=叵在，则sinl5。的值为_____.

22224

10.(2023・江苏・中考真题)综合与实践

定义：将宽与长的比值为*1T5为正整数）的矩形称为n阶奇妙矩形.

（1）概念理解:

当n=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1）,这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽"D）与长（CD）的

比值是_________

（2）操作验证：

用正方形纸片4BCD进行如下操作（如图（2））：

第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF,连接CE；

第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点。的对应点为点”，展开，折痕为CG；

第三步：过点G折叠纸片，使得点4、8分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK.

试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形.

图⑴图（3）图（4）

（3）方法迁移:

用正方形纸片4BCD折叠出一个2阶奇妙矩形.要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注.

（4）探究发现:

小明操作发现任一个郃介奇妙矩形都可以通过折纸得到.他还发现：如图（4）,点E为正方形4BCD边48上

（不与端点重合）任意一点，连接CE,继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形力GHE的周长与矩形GDCK

的周长比值总是定值.请写出这个定值，并说明理由.

11.（2023•浙江宁波・中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等

四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角.

国二一二匚口

IIIIIII

fCl'7'T'

图1图2图3

（1）如图1,在四边形4BCD中，AD||BC,^A=90°,对角线BD平分乙4DC.求证：四边形4BCD为邻等四边

形.

(2)如图2,在6x5的方格纸中，A,B,C三点均在格点上，若四边形A8CD是邻等四边形，请画出所有符合

条件的格点D.

(3)如图3,四边形力BCD是邻等四边形，4DAB=Z.ABC=90°,4BCD为令B等角，连接2C,过B作BE||4C交

ZM的延长线于点E.若AC=Q,DE=10,求四边形EBCD的周长.

12.(2022•北京・中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,6),N,对于点P给出如下定义：将点P向右

(a>0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b>0)或向下(6<0)平移网个单位长度，得到点P',点P'

关于点N的对称点为Q,称点Q为点P的“对应点”.

⑴如图，点”(1,1)点N在线段0M的延长线上，若点P(-2,0)点Q为点P的“对应点”.

①在图中画出点Q；

②连接PQ,交线段ON于点T,求证：NT=RM；

(2)0。的半径为1,M是O。上一点，点N在线段0M上，且。N=tG<t<l),若P为O。外一点，点Q为

点P的“对应点”，连接PQ.当点M在。。上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示).

题型02方法迁移题型

13.(2023•湖南张家界•中考真题)阅读下面材料：

将边长分别为a,a+4b,a+24b,a+3VF的正方形面积分别记为S?，S3,S4.

则S2—Si=(a+V^)2—a?

=[(a+Vh)+a]­[(a+Vb)—a\

=(2a+Vb)-Vb

=b+2aVh

例如：当a=l,匕=3时，S2-Si=3+2V3

根据以上材料解答下列问题：

(1)当a=1,6=3时，S3—S2—，S4—S3=；

(2)当a=l,6=3时，把边长为a+nVF的正方形面积记作%+i，其中〃是正整数，从(1)中的计算结果，

你能猜出土+1-5日等于多少吗？并证明你的猜想；

(3)当a=1,6=3时，令t[=52—S]，t2=S3-52,13=S4—S3,…，tn=Sn+i—Sn,且T=+上+13+

-+t50,求T的值.

14.(23-24九年级上.江苏宿迁•阶段练习)阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基

本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元

一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求

解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程

的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，

我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程/+/-2久=0,可以通过因式分解把它转化为

x(x2+x—2)=0,解方程x=0和/+久—2=0,可得方程/+x2—2x—0的解.

(1)问题：方程6/+14久2-12%=0的解是：久1=0,久2=>%3=；

(2)拓展：用“转化”思想求方程=x的解；

(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=14m,宽AB=12m,点尸在AD上(4P>PD),小华把一根

长为28m的绳子一段固定在点8,把长绳PB段拉直并固定在点P,再拉直，长绳的另一端恰好落在点C,

求4P的长.

--，-丹、---

，，、、

---------

15.(2022.湖北黄石.中考真题)阅读材料，解答问题：

材料1

为了解方程(久2尸-13/+36=0,如果我们把久2看作一个整体，然后设y=久2,则原方程可化为必一13y+

36=0,经过运算，原方程的解为均,2=±2,久3,4=±3.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法.

材料2

2

已知实数机，〃满足Hl?—7n-1=0,71—n—1=0,且THW几，显然根，〃是方程久2一%一1=0的两个不

相等的实数根，由韦达定理可知m+九=1,mn=-1.

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：

方程/—5/+6=0的解为；

(2)间接应用：

已知实数。，6满足：2a4—7(?+1=0,一762+1=o且a力b,求6^+〃的值；

(3)拓展应用：

已知实数无，y满足：二+为=7,层一几=7且n>0,求二+"的值.

16.(2023•江苏泰州・中考真题)阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务.

小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式一一万一6<0的解集？

通过思考，小丽得到以下3种方法：

2

方法1方程/-x-6=0的两根为/=-2,%2=3,可得函数y=x-%-6的图像与x轴的两个交点

横坐标为-2、3,画出函数图像，观察该图像在无轴下方的点，其横坐标的范围是不等式/-久-6<0的

解集.

方法2不等式/一x一6<0可变形为/<%+6,问题转化为研究函数y=/与y=x+6的图像关系.画

出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是-2、3；y=/的图像在y=%+6的图像下方的点，其横

坐标的范围是该不等式的解集.

方法3当％=0时，不等式一定成立；当x>0时，不等式变为x-1<之当“<0时，不等式变为x—1>士问

XX

题转化为研究函数y=x-1与丫==的图像关系…

任务：

(1)不等式--%-6<0的解集为；

(2)3种方法都运用了的数学思想方法(从下面选项中选1个序号即可)；

A分类讨论区转化思想C特殊到一般。.数形结合

(3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答.

17.112345模型】(2023・四川凉山・中考真题)阅读理解题：

阅读材料：

如图1,四边形28CD是矩形，AAEF是等腰直角三角形，记NB4E为a、乙FAD为0,若tana=点则tan£=}

-1

证明：设BE=k,*.*tana=,9.AB-2k,

〃--------------------------------\D

易证△AEBEFC(AAS)长冷

C

E

图1

：.EC=2k,CF=k,

：.FD=k,AD=3k

Atan/?

rAD3k3

若a+S=45。时，当tana=则tan/?=

同理：若a+S=45。时，当tana=1,贝ljtan£=|.

根据上述材料，完成下列问题：

如图2,直线y=3%-9与反比例函数y=:(%>0)的图象交于点4与无轴交于点反将直线绕点川顺时

针旋转45。后的直线与y轴交于点E,过点/作ZM1%轴于点M,过点力作4Vly轴于点N,已知。Z=5.

⑴求反比例函数的解析式；

(2)直接写出tan/BAM、tanNNAE的值;

(3)求直线4E的解析式.

题型03归纳概括问题

18.（2023•浙江嘉兴・中考真题）观察下面的等式：32-I2=8x1,52-32=8X2,72-52=8X3,92-72=

8x4,•••

(1)写出192-"2的结果.

(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含”的等式表示，〃为正整数)

(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.

19.【中点四边形模型】(2023•山西・中考真题)阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读

并完成相应任务.

瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1,在四边形4BCD中，点E,F,G,H分别是边的中点，顺次连接

得到的四边形EFGH是平行四边形.

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁

(Varingnon,Pierrel654—1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.

③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下：

证明：如图2,连接2C,分别交于点P,Q,过点。作DM1AC于点M,交HG于点N.

•..”,6分别为4。,(7。的中点，：.HG||AC,HG=1AC.(依据1)

,;DG=GC,：.DN=NM=-DM.

NMGC2

,四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，||GF,即HP||GQ.

'：HG||AC,即HGIIPQ,

四边形"PQG是平行四边形.(依据2)...S0HPQG="G-MN=}”G

-I1

,^AADC=2^~'^^HPQG=■同理，…

任务：

(1)填空：材料中的依据1是指：.

依据2是指：.

(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形2BCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH,使得四边形EFG”为

矩形；(要求同时画出四边形ABC。的对角线)

(3)在图1中，分别连接AC,B0得到图3,请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,8。长度的关

系，并证明你的结论.

20.(2022・吉林・中考真题)下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整.

【作业】如图①，直线川七，△ABC与ADBC的面积相等吗？为什么？

图①

解：相等.理由如下：

设4与G之间的距离为八，贝!ISAABC=•%,SADBC=-BC-h.

,,SMBC=SAOBC•

【探究】

(1)如图②，当点。在k，办之间时，设点4,D到直线。的距离分别为mh',则受匹=9

S^DBC九

图②

证明：•••$△"一

(2)如图③，当点。在A,)之间时，连接4。并延长交。于点“，则登型=黑・

b^DBC0”

图③

证明：过点4作AEIBM,垂足为E,过点D作DF1BM,垂足为F,贝！U4EM=NDFM=90。，

：.AE\\_.

△AEM

,AE_AM

**DF-DM'

由【探究】（1）可知产=_,

S^DBC

・S“BC_-M

S^DBCOM

（3）如图④，当点。在％下方时，连接4。交%于点E.若点A，E,。所对应的刻度值分别为5,1.5,0,衿空的

S^DBC

值为•

21.（2022・湖南.中考真题）阅读下列材料：

在A4BC中，乙4、NB、NC所对的边分别为a、b、c,求证：—=—.

smAsmB

证明：如图1,过点。作CD于点。，贝IJ：

在RtABCD中,CD=asinB

在RtAACD中，CD=bsinA

•••asinB=bsinA

.a_b

sinAsinB

根据上面的材料解决下列问题:

八A

(1)如图2,在2L4BC中，乙4、£B、NC所对的边分别为a、b、c,求证：—=—；

sinBsinC

(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境.如图3,规划中的一片三角形区域需美

化，已知乙4=67°,乙B=53°,AC=80米，求这片区域的面积.(结果保留根号.参考数据：sin53°«0.8,

sin67°-0.9)

题型04探究实践类问题

22.(2023•山东潍坊・中考真题)［材料阅读］

用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+…+口几+…的值，其中。<q<1.

例求1+GY+GY+……的值.

方法1:借助面积为1的正方形，观察图①可知

1+(1)+(9+…+G)+-•的结果等于该正方形的面积，

方法2：借助函数y=巳久+巳和y=x的图象，观察图②可知

3+©2+©3+-“+0”+-的结果等于。「a2,a3,....即…等各条竖直线段的长度之和,

即两个函数图象的交点到x轴的距离.因为两个函数图象的交点(1,1)到x轴的距为1,

所以，1+(1)+©+,--+©+…=1•

图①

【实践应用】

任务一完善|+(I)?+(|丫+--+(|)"+…的求值过程.

图③

方法1:借助面积为2的正方形，观察图③可知|+(|『+(|丫+--+(|)"+--=.

方法2：借助函数y=弓尤+1和y=x的图象，观察图④可知

因为两个函数图象的交点的坐标为,

所以，l+dy+dY+…+G)n+-=-------

任务二参照上面的过程，选择合适的方法，求3+(£)2+(£)3+…+(|)2+…的值.

任务三用方法2,求0+42+43+...+0“+...的值(结果用4表示).

【迁移拓展】

长宽之比为等：1的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形.

观察图⑤，直接写出(与)2+(^+(当二)6+…+(当二)"+…的值.

23.（2023•甘肃兰州•中考真题）综合与实践

【思考尝试】

（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,在矩形A3。中，E是边4B上一点，DF1CE于点F,

GD1DF,AG1DG,AG=CF.试猜想四边形4BCD的形状，并说明理由；

【实践探究】

（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2,在正方形力BCD中，E是边AB上一点，DF1CE

于点八4"1。后于点“，GD1DF交AH于点、G,可以用等式表示线段AH,CF的数量关系，请你思

考并解答这个问题；

【拓展迁移】

（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在正方形力BCD中，E是边力B上

一点，2H1CE于点X,点M在CH上，且连接AM,BH,可以用等式表示线段CM,的数量

关系，请你思考并解答这个问题.

图1

24.（2023•甘肃兰州•中考真题）综合与实践

问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角.”即：

作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在。4和OB上分别取

点C和。，使得。。=。。，连接CD,以CD为边作等边三角形CDE,则。E就是乙4。8的平分线.

请写出0E平分乙4。8的依据：；

类比迁移：

（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE=DE即可.他查阅资料：我

国古代已经用角尺平分任意角.做法如下：如图3,在N40B的边。40B上分别取。M=ON,移动角尺，

使角尺两边相同刻度分别与点N重合，则过角尺顶点C的射线0C是〃。B的平分线，请说明此做法的

理由；

拓展实践：

（3）小明将研究应用于实践.如图4,校园的两条小路4B和4C,汇聚形成了一个岔路口A,现在学校要在

两条小路之间安装一盏路灯E,使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离

和休息椅。到岔路口A的距离相等.试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的

示意图5中作出路灯E的位置.（保留作图痕迹，不写作法）

25.【手拉手模型】（2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与实践

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知

识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

(1)发现问题：如图1,在AABC和AAEF中，AB=AC,AE=AF,ABAC=AEAF=30°,连接BE,CF,

延长BE交CF于点D.贝UBE与CF的数量关系：,乙BDC=°；

(2)类比探究：如图2,在△力BC和△力EF中，AB=AC,AE=AF,Z.BAC=Z.EAF=120°,连接BE,CF,

延长BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及NBDC的度数，并说明理由；

(3)拓展延伸：如图3,AABC和ANEF均为等腰直角三角形，NB4C=NE4F=90。，连接BE,CF,且点B,

E,F在一条直线上，过点4作4M1BF,垂足为点M.贝|BF,CF,力M之间的数量关系：；

(4)实践应用：正方形力BCD中，AB=2,若平面内存在点P满足NBP。=90。，PD=1,则S“BP=.

重难点突破06开放探究与新定义问题

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题型01新定义问题

类型一新定义问题-数、式、方程

类型二新定义问题-函数

类型三新定义问题-图形的性质与变化

题型02方法迁移题型

题型03归纳概括问题

题型04探究实践类问题

【命题趋势】开放探究与新定义问题是近年中考数学的热点问题.开放探究（阅读理解）问题通常不会单

独考查，往往会结合初中数学中某个知识点进行命题，进而既能考查初中数学中某个知识点的掌握情况，

又能考查学生的自学能力和分析问题、解决问题的能力.新定义问题是在问题中定义了初中数学中没有学

过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运

算、推理、迁移的一种题型.一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接新知识;

（3）定义新概念.这类试题考查考生对新定义的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将新

定义的知识与己学知识联系起来，利用己有的知识经验来解决问题.

题型01新定义问题

类型一新定义问题-数、式、方程

1.（2022・四川巴中•中考真题）对于实数a,b定义新运算：。鲂=仍2一心若关于X的方程I伺X=k有两个

不相等的实数根，贝丸的取值范围（）

-1-11-1

A.k>—B.k<—C.k〉—且k力0D.kN—且k丰0

4444

【答案】A

【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等

式组求解.

【详解】解：'：l^x=k,

.'.x2­x—k,

即——x—k—0,

••・关于X的方程1回久=k有两个不相等的实数根，

；.△=（-1）2-4x（-fc）>0,

解得：k>故A正确.

4

故选：A.

【点睛】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式,熟练掌握根的判别式A=b2—4ac当A>0,

方程有两个不相等的实数根；当A=0,方程有两个相等的实数根；当△<（）方程没有实数根.

2.（2022•内蒙古・中考真题）对于实数a,b定义运算“国"为a®b=b2-ab,例如302=22-3x2=-2,

则关于x的方程（k-3）®x=k-1的根的情况，下列说法正确的是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

【答案】A

【分析】先根据新定义得到关于x的方程为/-伏-3次+1-k=0,再利用一元二次方程根的判别式求

解即可.

【详解】解：：(k-3)(8)x=k-l,

*,•一(k—3)xk—1,

—(k-3)x+1-/c=0,

A=b2-4ac=(k-3)2—4(1—fc)=fc2-6/c+9—4+4fc=(fc—l)2+4>0,

方程--(fc-3)x+1-fc=0有两个不相等的实数根，

故选A.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为一一

(k-3)x+l-k=0是解题的关键.

3.(2022•浙江宁波・中考真题)定义一种新运算：对于任意的非零实数a,6,a⑤b=1+].若Q+1)③x=

—X，则x的值为.

【答案】-j/-0.5

【分析】根据新定义可得(％+1)⑤久=筌|,由此建立方程安=等解方程即可.

【详解】解：•；a(8)b=L+3

ab

•',3、c1.1x+l+x2x+l

..(X+1)=-----1—=-----=-z-，

'yx+1xx(x+l)x2+x

又,:(%+1)0X=

.2X+1_2X+1

**x2+xx'

(x2+x)(2x+1)—x(2x+1)=0,

(x2+%—x)(2x+1)=0,

.*.x2(2x+1)=0,

•..(>+1)名)％=等即万力0,

/.2x+1=0,

解得x=—点

经检验X=—；是方程等=空11的解，

2x2+xx

故答案为：-1.

【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于X的方程是解题的关键.

4.(2023•山东枣庄•中考真题)对于任意实数a,b,定义一种新运算：a助=，%乙"3例如:

(a+匕-6(a<2b)

3回1=3—1=2,504=5+4-6=3.根据上面的材料，请完成下列问题：

(1)403=,(—1)回(-3)=；

(2)若(3久+2)回(刀-1)=5,求尤的值.

【答案】(1)1;2；

(2)x=1,

【分析】(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；

(2)已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可.

【详解】(1)V4<3x2,

.­.403=4+3—6=1,

-1>(-3)x2

(-1)12(-3)=一1一(-3)=2；

故答案为：1；2；

(2)若3x+222"-1)时，即时，贝|

(3%+2)—[x—1)—5,

解得：x=1,

若3%+2V2(%-1)时,即％V—4时，则

(3%+2)+(%—1)—6=5,

解得：x=|,不合题意，舍去，

・•・%=1,

【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键.

类型二新定义问题-函数

5.(2023•山东济南・中考真题)定义：在平面直角坐标系中，对于点PG，%),当点满足23+%2)=

为+丫2时，称点Q(久2，丫2)是点。(的，儿)的“倍增点”，已知点B(l,。)，有下列结论：

①点Q1(3,8),<?2(—2,—2)都是点Pl的“倍增点”；

②若直线y=%+2上的点A是点B的“倍增点”，则点4的坐标为(2,4)；

③抛物线y=%2-2x-3上存在两个点是点Pi的“倍增点”；

④若点B是点A的“倍增点”，则的最小值是W.

其中，正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证Q1，Q2即可；②点43,a+2),根据“倍增点”定义，列出

方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点。色产-2-3)是点R的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出

方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断;④设点根据“倍增点”定义可得2(巾+l)=n,

根据两点间距离公式可得心5=(m-I)2+n2,把几=2(m+1)代入化简并配方，即可得出此加的最小值

为蔡，即可判断.

【详解】解:①；Pi(l,0),(2i(3,8),

2(x1+%2)=2X(1+3)=8,%+=0+8=8,

.*.2(%1+x2)=y1+y2,则Qi(3,8)是点匕的“倍增点”；

VPi(1,0),Q2(-2,-2),

2(%i+x2)=2x(1-2)=—2,y1+y2=0—2=-2,

.,.2(X1+X2)=y1+y2,则Q2J2,—2)是点R的“倍增点”；

故①正确，符合题意；

②设点力(a,a+2),

:点A是点Pi的“倍增点”，

2x(1+ci)=0+a+2,

解得：a=0,

4(0,2),

故②不正确，不符合题意；

③设抛物线上点。(。产-2t-3)是点B的“倍增点”，

.,.2(l+t)-t2-2t-3,整理得：t2-4t-5=0,

=(一4尸-4x1x(-5)=36>0,

二方程有两个不相等实根，即抛物线y=x2-2x-3上存在两个点是点A的“倍增点”;

故③正确，符合题意；

④设点B(m,n),

:点8是点Pi的“倍增点”，

2(m+1)=

Pi(1,0),

222

.".P1B=(m—l)+n

=(m—l)2+[2(m+l)2]

=5m2+6m+5

V5>0,

的最小值为

.♦•PiB的最小值是。=卓，

故④正确，符合题意；

综上：正确的有①③④，共3个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题

的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解.

6.(2023•江苏盐城・中考真题)定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，

则称二次函数为一次函数的轴点函数.

【初步理解】

(1)现有以下两个函数：①y=/—1；②y=7—%,其中，为函数y=x—1的轴点函数.(填

序号)

【尝试应用】

(2)函数y=%+c(c为常数，c>0)的图象与X轴交于点4其轴点函数y=a/++c与1轴的另一交

点为点B.若。B=；Q4,求b的值.

4

【拓展延伸】

(3)如图，函数y=+t(t为常数，t>0)的图象与x轴、y轴分别交于M,C两点，在x轴的正半轴上

取一点N,使得。N=。仁以线段MN的长度为长、线段M。的长度为宽，在久轴的上方作矩形MNDE.若函数

y=|x+t(t为常数，t>。)的轴点函数y=TH/+*+的顶点p在矩形MNDE的边上，求n的值.

【答案】(1)①；(2)b=5或一3；(3)n=l或几=一1一夜或几=)

4

【分析】(1)求出函数y=x-1与坐标轴的交点，再判断这两个点在不在二次函数图象上即可；

(2)求出函数丫=乂+。与坐标轴的交点，再由。B=；。4求出点B坐标，代入二次函数解析式计算即可;

(3)先求出M,C的坐标，再根据y=zn/+九％+七的顶点p在矩形MNDE的边上分类讨论即可.

【详解】(1)函数y=%-1交式轴于(1,0),交y轴于(0,-1),

・・,点(1,0)、(0,—1)都在丫=%2一1函数图象上

・,•①y=/_1为函数y=%-1的轴点函数；

点(0,—1)不在y=%2-久函数图象上

・,•②y=x2-%不是函数y=%-1的轴点函数；

故答案为：①；

(2)函数y=%+c交工轴于4(—c,0),交y轴于(0,c),

函数y=x+c的轴点函数y=ax2+bx+c

，/(—gO)和(0,c)都在y=ax2+b%+c上，

,.,00

AOA=c

=-0A

4f

1

：.0B=-c

4

，B（一%,0）或B（［c,O）

12

当B(-,0)时，把4(-c,0)S(-ic,0)代入y=ax+bx+c得

0=iac2—浊+c,解得6=5,

I0=ac2—be+c

当B([c,0)时，把/(—c,0)8Qc,0)代入y=a/++c得

0=—ac2+工儿+c

164,解得b=-3,

V0=ac2—be+c

综上，b=5或一3；

（3）函数y=1%+力交式轴于M（—2。0）,交y轴于C（0,t）.

•ON=0C,以线段MN的长度为长、线段M。的长度为宽，在无轴的上方作矩形MNDE

・函数y=+t（t为常数，t>0）的轴点函数y=m%2+nx+1

.M(-2t,0)和C(0,t)在y=mx24-nx+力上

.o=m(—2t)2+n(—2t)+t,整理得47nt—2n+1=0

r.1

.n=2mt+-

2

•y=mx2+nx+1的顶点尸坐标为（一言，电/-

*函数y=mx2+nx+t的顶点尸在矩形MNDE的边上

.可以分三种情况讨论：当P与M重合时；当P在ED上时;当P在DN上时;

'--=-2t

2m

当P与M重合时，即m=o,解得n=i；

4m

n=2mt+-

.2

-2t<--<t

2m

4mt-n2„

当P在ED上时,------=Zt,整理得九2+2几一1=0,解得71=-1±V2

4m

n=2mt+-

此时二次函数开口向下，则m<0

•,-2t<-/<t整理得：4mt<n<-2mt,

由ri=2mt+[整理得=n—

：.2(n-^<n<-(n-^

解得几<p

4

/.n=—1—V2,

'——=t

2m

当P在ON上时，<0<47nj.<2t，整理得27nt=—n=n解得九=-

4m24

1?i=2mt+-

・・21711=—

4

此时对称轴左边y随x的增大而增大，

/.m<0

2

...0工4加.42t整理得：8mt<4mt—n<0

4m

・•・代入=-->n=-fn8mt<47nt—n2<0成立

44

・1

..n=-,

4

综上所述，n—1或九=-1-鱼或九=-

4

【点睛】本题综合考查一次函数与二次函数，解题的关键是理解轴点函数的定义.

7.(2023•北京・中考真题)在平面直角坐标系比Oy中，。。的半径为1.对于O0的弦4B和O。外一点C给

出如下定义：

若直线C4CB中一条经过点O,另一条是O。的切线，则称点C是弦A8的“关联点”.

⑴如图，点4(—1,0),Bi(一患),S2(y,-y)

①在点G(—1,1),C2(-V2,0),。3(。，声)中，弦AB1的“关联点”是

②若点C是弦4殳的“关联点”，直接写出。C的长；

(2)已知点M(0,3),N(W，O).对于线段MN上一点S,存在。。的弦PQ,使得点S是弦PQ的“关联点”，记PQ

的长为3当点S在线段MN上运动时，直接写出/的取值范围.

【答案】(1)Q,c2；0C=V2

(2)1<t<手或竽<t<V3.

【分析】(1)根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可；

(2)根据M(0,3),N(等,0)两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点M和经过点。的MN的垂线

上，运用相似三角形计算即可.

【详解】(1)解：①由关联点的定义可知，若直线C4CB中一经过点O,另一条是。。的切线，则称点C

是弦48的“关联点”，

•.•点4(—1,0),当(一今日)，6(—1,1),C2(-V2,o),C3(O,V2),