正弦定理和余弦定理 12种常见考法归类-人教版高二暑假专项复习

第02讲正弦定理和余弦定理12种常见考法归类

----------------------

学习目标

------------------------

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度

量问题.

豳基础知识］

---------------------IIIII1IIIIIIIIIIII1I1II1IIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

1.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是mb,c,R为△ABC外接圆的半径，则

正弦定理余弦定理

三角形中任何一边的平方，等于其他两

文字在一个三角形中，各边和它所对角的正弦

边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的

语言的比相等.

积的两倍.

a2=b2+c2-2bccosA,

abc

公式b2=a2-\-c2—IcacosB,

sinA=sinB=sinC

c2=a2+b2—2abcosC.

(l)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.

abc

(2)sinA=2^,sin8=永，sinC=淳.

(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，炉+—―—

艮〃：b：c=sinA:sinB:sinC.(1)cosA=2bc，

/+〃2一按

(4)«sinB=Z?sinA,Z?sinC=csinB,〃sinC=csinA.

cos3=2ca，

大边对大角大角对大边

常见(5)Q2+：2-C2

变形〃>。oA>3osinA〉sin8。cosA<cosBcosC=2ab.

0cos2A<cos2B(2)b2+c2-a2=2bccosA，

(6)合分比：

c2+a2-b1=2tzccosB，

a+b+c

sinA+sinB+sinCa1+b2-c2=2abeosC

a+b_b+c_a+c

sinA+sinBsinB+sinCsinA+sinC

=，=上=二=27?

sinAsinBsinC

2.三角形内角和及三角形常见重要关系

B+C匹A

(DA4BC内角和定理：A+B+C=TT,进而有一1=］一5等式子

(2)三角函数关系：①sinC=sin(A+B)=sinAcos3+cosAsin3oc=acos6+bcosA

同理有：a=Z?cosC+ccosB,b=cmsA+acosC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

an

③斜三角形中，-tanC=tan(A+B)=,"+tan'。A+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC

1—tanA-tanB

小.A+BCA+B.C

⑷sin(-------)=cos一；cos(z-------)=sin一

2222

(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

(4)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.即若

BDAB

A。为NA的角平分线，则有比例关系：C5=AC.

3.三角形常用面积公式

1

（1）S=2”,儿（总表示边a上的高）.

1XX

（2）S=2〃bsinC=2〃csin5=2bcsinA.

（3）SAMC==4=13+6+C）"（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R,二）

4/\2

<__________________________1

（4）S=\〃（1一〃）（pi）（p—c）,即海伦公式，其中p=2（〃+8+c）为△A5C的半周长.

_1-，-，

（5）S4ABe=-1—々%I，其中AB=（菁，％）,AC=（x2,y2）

4.解三角形中的常用术语

（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯

角（如图①）.

视线怦尸匕i=h./

西一代］东卜匕吵目标h

线R角线£Bk»东一/d

图①图②图③图④

（2）方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如8点的方位角为a（如图②）.

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.北偏东a,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向（如图③）.

北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.南偏西等其他方向角类似.

(4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角(9为坡角).坡度指坡面的铅直高

度与水平长度之比(如图④，7・为坡度，i=tand).坡度又称为坡比.

II函解题策略

---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

1、正弦定理之齐次式结构

结构特点：每一项中都有边(a,b,c)或sin角(sinAsin&sinC)且次数一致，即可实现边和对应sin角

的互化

结构示例：

ci)整式齐次式：

①边的齐次式

—<?+&=c<4>—sinA+sin5=sinC

22

ab=c2今sinAsinB=sin2C

②sin角的齐次式

sin2A+sin2B—sin2C=—sinAsinB-^a2+b2—c2=-ab

(2)分式齐次式：

sinB_b

sinA+sinCa+c

2、拆角合角技巧

1、化简后的式子同时含有A,5c三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种

①合角

乜口：sinAcosB+cosAsinJ?=sin(A+B)=sinC

cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)--cosC

②拆角——拆单角(“单身狗角”)

4口：sinC=sin(A+B)-sinAcosB+cosAsinB

注：⑴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

cosC=-cos(A+B),cosB=-cos(A+C),cosA=-cos(B+C)

A+BCA+B.C

(2)sin=cos一cos=sin—

2222

(3)AABC中sinA=sin5①人二吕②A+_B=»(舍去)

jr

sin2A=sin25①2A=25=>A=5②2A+23=»<=A+B=—

2

JTJT

sinA=cosB,则A+B=—或A-5=—

22

(4)射影定理

a=ZJCOSC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=«cosB+bcosA

3、三角形最值问题

三角形中角度是最基础的要素之一，围绕角度展开的范围问题主要有两大考查内容:一方面对角度大小

范围做出考查;另一方面对角度的正余弦值范围进行提问.解题难度系数并不大,但准确高效地解题还取决于

对三角形内角和特点是否考虑周到.

(一)角度范围问题

求解三角形的角度范围问题，常见解题思路为:(1)对所给条件做出分析，根据条件特点选择合适定理表达

所求角度,若己知边长值较多则考虑余弦定理，已知角度大小则考虑正弦定理;(2)根据角度的具体表达式结构

特点，讨论有关变量的具体定义域;(3)选择三角函数求值域或基本函数求值域方式，在所求定义域内求得对应

值域,即可得到问题所求的角度相关范围大小.

(-)边长范围问题

边长是组成三角形的另一重要元素，因此与三角形边长有关的范围问题也十分常见.由于这一类范围问

题求解并不复杂，故以选择形式或填空形式出现较为多见.求解这类与边长有关的范围问题，正余弦定理的灵

活运用成为解题的关键步骤，常见的解答思路一般表现为：(1)根据已知条件的特点，选择合适的定理并代人具

体值,得到与问题所求的对应关系等式;(2)根据关系等式以及三角形三边之和、内角和关系特点，得到具体关

系等式或不等式;(3)通过运算，求出问题所求边长对应具体取值范围.

(三)面积范围问题

针对三角形面积进行提问的取值范围问题，属于中等难度的一类解三角形问题，可在选择填空或解答题

中遇见其“身影”.解答这类问题,主要思路在于借助公式将面积问题等价转化为函数求值域或基本不等式求最

值，进而对问题作出具体完整的解答，这些解题思路在解题过程中具体可表现为:(1)对所求三角形大致形状做

出分析，明确选择面积求解公式;(2)运用正余弦定理，取得三角形边长、角度具体值，将其代人面积公式中得到

具体表达式;(3)根据表达式结构特点，运用函数求值域思路或基本不等式求临界值思路，得到具体的范围大小,

即对应问题所求的面积范围值.

Q考点剖析

--------------llllllllllllllllllililllllllllllllllllill-----------------------

考点一：利用正弦、余弦定理解三角形

1.在AABC中，若NA=45。,ZB=30°,BC=3五,贝IJAC=（

A.3B.2由C.73D.巫

2

【答案】A

【分析】利用正弦定理即可求解

【详解】根据正弦定理有等=<=，结合NA=45。，48=30。，BC=3五,

sinAsinB

3V2x-

BC-sinB

贝|JAC=---------=3

sinA丘

2

故选：A

•TTTT

变式1：AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若。=1,A=—,B=-贝l]c=

612

A.1B.亚c.73D.3啦

【答案】B

【分析】首先由诱导公式求出sinC,再根据正弦定理计算可得;

【详解】解：依题意sinC=sin[/r-（A+B）]=sin（A+B）=sin?=

由正弦定理一J=三，即加L解得c=V2;

sinCsinA

22

故选：B

变式2：在锐角AABC中，内角A、8、C所对的边分别是a、b、c,若C=45。，6=4岔，sinB=等，贝U。=

【答案】5A/2

【分析】利用正弦定理即得.

b

【详解】由正弦定理可得,

sinBsinC'

4氐也_

bsinC

sinB

5

故答案为：5A/2.

2.在AABC中,BC=2,AC=V3,ZB=60o,则NA=

【答案】90°

【分析】根据正弦定理求解即可.

【详解】根据正弦定理可知匹；=当7,代入题中数据二一=31_=2,可知sinA=l,所以NA=90。

sinAsingsinAsin60°

故答案为：90°

变式1：在AABC中，/A,/B,NC所对的边分别为a,b,c,其中a=4,c=6,cosA=—,贝UsinC=

()

D1515A/2

B.—c.9

261326

【答案】B

【分析】直接利用正弦定理可求解.

【详解】VcosA=—,/.Ae

由正弦定理一j=三得,

sinAsinC

«A

.csinAXi315.

sinrC=--------=------

a426

故选：B.

变式2：在“1BC中，内角A,B,C所对的边为a,b,c,若a=4/=4&A=30。，贝“3=()

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

【答案】D

【分析】根据a=4,b=4g,A=30。，利用正弦定理求解.

【详解】解：在AABC中，a=4,£>=4>/3,A=30°,

由正弦定理得上7=二，

sinAsinB

由【”•nb-sinA4A/3-sin30°石

所以sinB=------=-.........=—,

a42

所以3=60。或120。，

故选：D

4

3.若△ABC中，a=5,b=4,sinC=-,则。=

【答案】J万或而

【分析】由已知可求得COSC=±不3分8$。=；3与8S。=-13两种情况，根据余弦定理，即可求出结果.

43

【详解】因为sinC=g,0<C<7i,所以cosC=±m.

33

当cosC=£时，由余弦定理，=/+/一2"85。=25+16—2、5、4、5=17,

因为，c>o,解得<?=JF7；

22

当cosC=-|时，由余弦定理c?=a+z,-2a*cosC=25+16-2x5x4x^-|j=65,

因为，C>0,解得C=y/65.

故答案为：J万或扇.

变式1：在AABC中，内角A,B,C所对的边分别是。，b,c,若cosA=g,0=26，c=3,则6=

【答案】3

【分析】利用余弦定理列方程求解.

【详解】由余弦定理/=/-2Z?ccosA得12=户+9—2,即廿一2b—3=0,

解得6=-1（舍）b=3,

故答案为:3.

3

变式2：在A/RC中，已知sinA=《，cosA+cosB<0,a=345»b=5,则c=.

【答案】2

【分析】由a>b,得力>B,再结合cosA+cosB<0,得到角A为钝角，然后利用余弦定理求解.

=

【详解】解：在AABC中，a=3A/5Jb5f

由a>b,得Z>B,

因为cosA+cos_B<0,

4

所以角A为钝角，贝lJcosA=—g,

由余弦定理得=/+°2—2"CCOSA,

即C2+8C—20=0,解得。=2或。=一1。（舍去）,

故答案为：2

71

变式3：在AABC中，^ac=S,a+c=1,B=—,贝!|6=（）

A.25B.5C.4D.石

【答案】B

【分析】利用余弦定理b=八2+C?一2accosB直接求解.

7T

【详解】在U1BC中，若ac=8,a+c=l,B=~,

由余弦定理得6=yja1+c2—2accosB=J（a+c1-3ac=1I。-3x8=5.

故选：B

例4.在中，a=7,匕=4g则”13。的最小角为（）

兀一兀一兀

A.-B.-C.-D.—

34612

【答案】C

【分析】由已知，根据条件给出的三边确定"IBC的最小角为C,直接利用余弦定理计算cosC,即可完成

求解.

【详解】由已知，在中，a=7,b=44,c=&i,

因为a>b>c,所以AABC的最小角为C,

印"-e^+^-c249+48-1373

所以COSC=--------------=------------L=—,

2ab2x7x4。2

又因为Ce(O,7t),

所以C=£.

6

故选：C.

变式1：在AABC中，a:6:c=3:2:4,则cosC的值为()

A.-B.--C.--D.-

3344

【答案】C

【分析】由题意可设。=3m,6=2",。=4",相>0,再根据余弦定理求解即可.

【详解】解：因为a:b:c=3:2:4,

所以设a=3m,b=2m,c=4m,m>0,

/,^2_2(3加)2+(2优)2一(4"7)2

由余弦定理可得cosC=———

2ab2-(3m).(2m)4

故选：C.

变式2：己知AASC中，a:b:c=l:®.2,则/A:/8:NC等于()

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:2

【答案】A

【分析】根据三边的比令。=r,b=^3t,c=2t,(/>0),进而可知/=/+〃，根据勾股定理逆定理推断

出C=90。，进而根据。=工。推断出A=30。，进而求得B,则三个角的比可求.

2

【详解】解：依题意令。=乙b=®,c=2f,(t>0),

:.c2=a2+b2,所以"IBC为直角三角形且C=90。，

又sinA=q=,，且0。<4<90。,

c2

1.A=30。，

.•.B=90°-30°=60°,

:.A:B:C=1:2:3

故选：A.

已知8=120。,》=历,a+c=4,贝!|。=

【答案】3或1##1或3

【分析】利用余弦定理结合。+c=4可求出〃的值.

【详解】在"1BC中，8=120。力=/,。+。=4,

由余弦定理得>2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-ac,

所以13=16—ac,得ac=3.

(a+c=4(Q=3[a=l

由2，得1或Q

[ac=3[c=l[c=3

所以a=3或1.

故答案为：a=3或1.

变式1：A4BC的三个内角A5,C所对边的长分别为a也c,已知c=3,C=j,a=2b,则b的值为

【答案】6

【分析】由c,cosC的值及a=2b,利用余弦定理即可列出关于6的方程，求出方程的解即可得到6的值.

22222

【详解】由c=3,cosC=g,a=26,根据余弦定理c=a+/?-2abcosC得：5b~-2b=9.即b=3,

所以b=布.

故答案为：出

变式2：在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若。==12,A=g,则Hc=()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】利用余弦定理及完全平方公式计算可得.

【详解】解：由余弦定理可得"=62+C2-26CCOSA=13,

IT

又因为历=12,A=g,

所以/+。2=25.

因为(b+c)2=〃+c2+28c=49,

所以6+c=7.

故选：B

考点二：判断三角形解的个数

6.在44BC中，内角A,B,C所对的边分别为。，"c,则下列条件能确定三角形有两解的是（)

l、..7C

A.a=5,b=4,A=—

6

JI

B.a=4,b=5,A=一

4

C.a=5,b=4,A=

D.a=4,b=5,A=—

3

【答案】B

【分析】结合已知条件和正弦定理即可求解.

£

【详解】对于A：由正弦定理可知，-7-=-^-=>sinB=1

sinAsmB5

•：a>b：.B<A=~,故三角形AABC有一解；

f6

对于B：由正弦定理可知，-^—=-^—nsinB=也,

sinAsinB8

■：b>a,：.B>A=-,故三角形AABC有两解；

4

对于C：由正弦定理可知，-^-=-^-=>sinB=l

sinAsinn5

为钝角，，B一定为锐角，故三角形AABC有一解；

对于D：由正弦定理可知，=―也=sinB=%8>l,故故三角形AABC无解.

sinAsin58

故选:B.

变式1：【多选】在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,c,根据下列条件判断三角形的情

况，则正确的是（）

A.b=19,A=45°,C=30°,有两解

B.a=也,6=2收，A=45。，有两解

C.a=3,b=2A/2>A=45°,只有一解

D.4=7,b=7,A=75。，只有一解

【答案】CD

【分析】利用正弦定理，逐项计算判断作答.

【详解】对于A,因为A=45。，C=30°,则8=105。，由正弦定理‘二==J=上，

smAsinCsmB

得。=史?,。=如萼，显然有唯一结果，即只有一解，A错误；

smBsmB

对于B,6=20,A=45。，由正弦定理得$诂8=史必=述学竺=2>1,无解，B错误；

a<3V3

对于C,々=3,。=2血，A=45°,有。则5VA=45。，

由正弦定理得sin3=史史4=2点45=2<，有唯一解，c正确；

a33

对于D,a=7,6=7,A=75。，有。=6,则B=A=75。，此时C=30。，有唯一解，D正确.

故选：CD

变式2：AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知下列条件：①6=3,c=4,3=30。；©a=5,

b=4,A=30°；③c=2,b=6,8=60。；@c=12,h=l2,C=120。.其中满足上述条件的三角形有唯

一解的是（）

A.①④B.①②C.②③D.③④

【答案】C

【分析】对于①，求出顶点A到的距离，再与瓦c两边比较大小即查得出结论，对于②，求出顶点C到A3

的距离，再与匕两边比较大小即查得出结论，③，利用正弦定理判断即可，对于④，利用等边对等角求出

角判断

【详解】对于①，因为6>c-sin2=4x1=2,且b<c,所以三角形有两解；

2

对于②，因为。>6-sinA=4x；=2,且“>6，所以三角形一解;

对于③，sinC=*0=lnC=90。，所以三角形有一解；

b

对于④，c=12,b=12,C=120°,则B=C=120。，则B+C>180。，所以三角形无解.

所以满足上述条件的三角形有一解的是②③.

故选：C

■7T

7.在中，已知"=3,A=-,b=x,满足此条件的三角形只有一个，贝也满足()

A.x=2^/3B.xe(O,3)

C.xe(273}u(O,3)D.xe(2^}u(O,3]

【答案】D

【分析】结合正弦定理得x=2gsinB,满足条件的三角形只有一个，即尤有唯一的角与其对应，即可确定

8的范围，求得结果.

3sin5

3_尤v.__0/7-R嘱C,

【详解】由正弦定理得[闻一嬴万，则有73,5?(0,71A)嘲?

•••满足条件的三角形只有一个，即x有唯一的角与其对应，则Bi簿故

x=20sinB?|2A/3}U(0,3].

故选：D

变式1：AABC中，角A,8,C的对边分别是a,"c,A=60°,a=石.若这个三角形有两解，则人的取值范围

是()

A.y[3<b<2B.拒<b<2

C.l<b<2也D.l<b<2

【答案】B

【分析】由正弦定理结合已知，可推得b=2sinB.进而根据三角形解得个数推得@<sinB<l,即可得出答

2

案.

,,asin8V^sini?〜.c

【详解】由正弦定理:=—勺可得，二屋=飞一=

smAsinB—

2

要使AABC有两解，即8有两解，则应有A<B,且sin3<l,

所以=sinA<sinB<1>

2

所以百<6<2.

故选：B.

变式2：在"IBC中，A=a(0<a<|J,b=m.分别根据下列条件，求边长。的取值范围.

(I)JIBC有一解；

(2)AABC有两解；

(3)〃WC无解.

【答案】(l)a=msina或。上〃7；

(2)msina<a<m-,

(3)a<msina.

【分析】(1)根据正弦定理，得到$也8=吧qin吧".分。<匕、a=b、a>b讨论，即可得出;

a

(2)由已知可得sine〈吧吧<1,求解不等式即可得出结果；

a

(3)由已知可得sin3>l,求解不等式即可得出结果.

【详解】(1)由正弦定理上7=刍可得,.八Z?sinAmsiner

sinB=-----=------

smAsinBaa

/•、、1/7口口,a-nmsina..

(i)当a<Z?,即机时，smB=------>sinA.

a

M7cin

①若sinB>1,即——->1,则3不存在，AABC无解,止匕时avmsina；

a

②若sin3=l,即=1,B=,AABC有一斛，止匕时a-msina；

a2

③若sinB<1,即吧吧<1,因为sin3>sinA,此时8可能是锐角或钝角，即此时AABC有两解，此时

a

a>msina，即msina<a<m.

综上所述，当a=%sina时，AABC有一解；

yncinry

(ii)当a=b,即〃=加时，sin3=------=sinA,AABC有一解；

a

mein

(iii)当a>b,即〃〉机时，sin3=------<sinA,此时3只能是锐角，AABC有一解.

a

综上所述，△ABC有一解时，边长〃的取值范围是〃=/nsina或。2m.

msin6Z

（2）由（1）知，AABC有两解，应满足sinAvsin/vl,由sin5=心足。,gpsina<<\,解得

aa

msma<a<m.

mein/y

（3）由（1）知，△ABC无解，应满足sin3>l,即------>1,解得av机sina.

a

考点三：正弦定理的应用

例8.已知融。的三个内角A、B、C所对的边分别为〃、b、c,且后zcosB=Z?sinA,则5=()

71c兀

A.—D.-

6-72

【答案】C

【分析】由正弦定理化简得出tan5的值，结合角5的取值范围可求得角3的值.

【详解】因为J5acosB=bsinA,由正弦定理可得J^sinAcosB=sinBsinA,

・.・A、BG（O,7：）,贝！JsinA>0,所以，6cos5=sinB>0,

所以，tan5=6，故8=^.

故选：C.

变式1：已知。也c分别为三个内角A3,C的对边，且J5〃sinC-ccosA=0,贝!)A为()

7171_71-71

A.—B.-C.—D.一

2346

【答案】D

【分析】利用正弦定理边化角可化简求得tanA,由此可得A.

【详解】由正弦定理得：y/3sinAsinC-sinCcosA=0,

e.*CG(0,^),「.sinCwO,V3sinA=cosA,BPtanA=,

3

•「A£(0,%),A=—.

故选：D.

变式2：记AABC的内角A,B,C的对边分别为0,b,c,已知角C=:,6sin+Aj-asin［：+8)=c,

则角3=()

A.qB.三C.史D.巴

8683

【答案】C

【分析】先由正弦定理把边转化为角，再展开化简求得8与A的关系，进一步计算得出结果.

【详解】已知角C=(,6sin［：+A］-asin(：+“=c,

由正弦定理可得sinBsin(：+A1一sinAsin［：+2)=sinC,

整理得等.(sinBcosA-sinAcos8)=1^,即sin(B-A)=1,

因为A,Be［o,半］，所以李)，所以B-A=a.

又3+A=?3兀,所以8=S=.

48

故选：C.

例9."1BC的内角A&C的对边分别为a&c，且a=l,6=cosC-csinA,则AABC的外接圆半径为

【答案】也

2

一3

【分析】利用正弦定理可得sinB=sinAcosC-sinCsinA,进而可得人=:万，即得.

［详解］\9a=1,贝！J〃=acosC-csinA,

由正弦定理，得sinB=sinAcosC-sinCsinA

故sin（A+C）=sinAcosC—sinCsinA,

展开化简得：cosAsinC=—sinCsinA,CG（0,^）,sinCw。,

故cosA=—sinA,Ae（0,^）,

外接圆直径2R===应,

故外接圆半径为冬

故答案为：走.

2

变式1：已知44SC的内角A、B、C的对边分别为a、b、C,且26-cosC=2a+c.若6=4,贝UAABC的外

接圆半径为.

【答案】逑

3

【分析】运用余弦定理和正弦定理进行求解即可.

^2>2_2

【详解】根据余弦定理由2b-cosC=2a+c=>2b---------------=2a+c=>b2=a2+c2+ac,

2ab

2

ffijfe2=6^+c-2accosB,因此有cos3=-，，

2

2兀

因为Be（0,兀），所以8=曾，

1b1446

__X-__xz—

由正弦定理可知AABC的外接圆半径为2sinB~2百一3，

~2

故答案为：逑

3

变式2：在融。中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,y/2（c-bcosA）=afb=3及贝U融。的外

接圆面积为（）

A.4万B.6TIC.8万D.9〃

【答案】D

【分析】首先利用三角恒等变形化简，并利用同角三角函数公式求得sinB=正，并利用正弦定理求外接圆

2

半径，即可求得三角形的面积.

［详解】由正弦定理可知,&（sinC-sinBcosA）=sinA,

考点四：余弦定理的应用

10.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,^,a1=b--c2-ac,则角8的大小是（)

A.45°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】直接利用余弦定理计算即可.

【1羊角牟]a2=Z??—c?—etc=^>a?+/+cic—=a?+c?—2accosB-cosB=—,

2

V0°<B<180°,B=120°.

故选：C

变式1：【多选】在“IBC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若（〃+c?一左川遗=石的贝I]B的

值为（）

A—B—C.2D.也

6363

【答案】BD

【分析】利用余弦定理代入式子中能得到sin8=立，结合B的范围即能得到答案

2

【详解】解：根据余弦定理可知/+02一/=24。。58,代入（〃+片—62）tang=gac,可得

2accosB•"nB=6℃,即sin8=^

cosB2

因为0<B〈乃，所以8=5或8=与，

故选：BD.

变式2：在AABC中，（6z+Z?+c）（a+Z?-c）=3tzZ?,则边。所对的角等于（）

A.45°B.60°C.30°D.150°

【答案】B

【分析】根据式子的特点，联想平方差公式，完全平方公式，余弦定理，即可得解.

【详角星】因为（〃+人+c）（a+b—c）=（〃+b）2—c?=+/—。2+2ab=3cth,

所以。2+/一。2=",gp2abcosC=ab,即cosC=；,所以C=60°.

故选：B

例11.在AA5c中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,b2-c2=2a2,cosB=-1,则亍=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由余弦定理求出答案.

【详解】由从一°2=2/得：cosB=「+cTW二二」

laclac2c4

解得：£=2

a

故选：B

变式1：在AABC中，已知三条边是连续自然数，且最大角为钝角，求三角形三条边的长.

【答案】2,3,4

【分析】首先设AABC的三边为。二根,〃=相+l,c=m+2,且根EN*,根据题意得至UcosCvO,从而得到

-l<m<3,再结合三角形两边之和大于第三边，即可得到答案.

【详解】设AABC的三边为々二根,。=%+l,c=机+2,且加EN*,因为最大角为钝角，

m2+(m+I)2-(m+2)2

所以cosC=<0,

2m(m+1)

化简得：m2—2m—3<0,解得-Iv根v3.

又因为机+机+1>m+2,即勿>1,

所以1<相<3,且用EN*,即机=2,

三边为：2,3,4.

12.若锐角三角形三边长分别为2,3,%,则犬的范围是().

A.s/5<x<V13B.l<x<5

C.1<x<y/5D.V13<x<5

【答案】A

【分析】根据锐角三角形分别应用余弦定理列边长关系不等式，计算即可.

【详解】因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，

则设边3对的锐角为角根据余弦定理得cosa=，+、一1>定解得犬〉行;

4x

?24-Q2_r2,_

设X边对的锐角为夕，根据余弦定理得C0S；g=*+：2—〉°，解得0<冗<加，

设边2对的锐角为角九根据余弦定理得cos/=