中考数学复习学案：几何类比探究题型（原卷版）

中考数学：答题技巧与模板构建

专题13几何类比探究题型（学案原卷版）

题型解读I模型构建I通关试练

图形旋转模型

图形平移模型探究

几何类比探究题型

铺垫、迁移、拓展类探究题型

几何的类比探究题型是近年中招解答题的必考题型，该题型往往以压轴题的形式出现，有一

定的难度.探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并

加以证明的一类问题.根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存

在性探究型等四类.由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求

较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首

先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，

注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答.

模型01图形旋转模型

模型一、A字形（手拉手）及其旋转

模型二、K字型及其旋转

手拉手模型是有两个等腰的三角形或者两个等边的三角形，他们有一个共同的顶点，且两个

等腰三角形的顶角是相等的，那么就可以用角的和差求得共顶点的另外两个角相等等，然后

利用等腰的边对应相等，可证明两个三角形全等（边角边）组成这样的图形模样的我们就说

他是手拉手模型.在类比探究题型中，往往会对等腰三角形或者等边三角形进行演变，变成

一般三角形进行旋转，通常全等三角形变为相似三角形.

模型特征：双等腰；共顶点；顶点相等；绕着顶点作旋转

解题依据：等腰共顶手拉手，旋转全等马上有；左手拉左手，右手拉右手，两根拉线抖一抖，

它们相等不用愁；拉线夹角与顶角，相等互补答案有.

模型02图形平移模型探究

1.四边形平移变换

四边形的平移变换题型中主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，

平移几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等或

相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.

2.三角形平移变换

三角形平移变换主要利用三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和

性质，平移性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的

判定方法.

3.其它图形平移类比探究问题

综合考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，

勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.

模型03动点引起的题型探究

动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、

双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目.而从其中延伸出的折叠、旋转问题，

更能体现其解题核心-动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一

些数学模型来解答.

实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、

填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力.其主要考查的是学生的分析问题

及解决问题的能力.要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想;

转化思想等等.

模型04铺垫、迁移、拓展类探究题型

铺垫、迁移、拓展类探究题型由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题

思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1.利用特殊值（特殊点、特

殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律；2.反

演推理法（反证法），即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知

条件一致；3.分类讨论法.当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按

可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出

正确结果；4.类比猜想法.即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的

结论或解决方法，并加以严密的论证.以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因

而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用.

是结•牌型状）建

模型01图形旋转模型

考I向I预I测

图形旋转模型该题型近年主要以解答题形式出现，图形的旋转模型，在解答题目时经常出现

的一道题目，也是必考题型，手拉手模型是旋转模型中常见的一种题型，熟知手拉手模型的

做法和思路，不论是求证线段的关系，还是求证角度的关系都十分的简单了，本专题就手拉

手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.

答I题I技I巧

第一步：连接拉手线：左手拉左手，右手拉右手

证全等或相似：等腰三角形性质；SAS；证相似应用的方法为两边成比例，夹角

第二步：

相等；

第三步：利用全等或相似的性质得到角度关系+拉手线相等；

例1.（2023•山东）

AAA

（1）【问题呈现】如图1,△ABC和△AOE都是等边三角形，连接班），CE.求证：BD=CE.

（2）【类比探究】如图2,△A3C和△AOE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°.连

接B。，CE.请直接写出空的值.

CE

（3）【拓展提升】如图3,△A8C和△AOE都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,且3=

BC

---=—.连接BD,CE.

DE4

①求经的值；

CE

②延长CE交BD于点F,交A8于点G.求sin/8FC的值.

模型02图形平移模型探究

考I向I预I测

图形平移模型探究该题型主要以探究题型出现，在考试中需要学生结合图形平移的性质综合

运用所学几何知识进行解题，该题型具有一定的难度和综合性，在各类考试中得分率普遍较

低.掌握平移的性质，根据平移前后图形位置的变化找出对应的全等或相似三角形，求出对

应的边长或角度.

答I题I技I巧

第一观察图形经过平移，找对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所

步：连接的线段平行且相等；

第二根据平移性质找出对应结论，平移不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的

步：两个图形是全等形），图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；

第三

图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等；

步：

第四平移是由方向和距离决定的；

步：

］或型守<5'l

例1.（2024•河南周口・模拟预测）

2.问题背景：如图1,在四边形ABCD中，BC=2^,CD_LAD,NA2C=30o,NACB=90。,

将AACD沿AC翻折，点D的对应点E恰好落在AB边上.

（1）操作探究

连接DE,判断AQE的形状，说明理由;

⑵探究迁移

将AACD沿射线平移得到△ACD（点4C、。的对应点分别为A、C'、。），当点A的

对应点A与点E重合时，求四边形AEDZ）的周长；

（3）拓展创新

将AACD继续沿射线48平移得到△ACD（点A、C、。的对应点分别为A、C'、D'）,AC

与交于点M，且即1=00,将△4C'。'绕点M在平面内自由旋转，当CZ>'〃CE时，

直接写出A4'的长.

模型03动点引起的题型探究

考I向I预I测

动点引起的题型探究是近年来中考的一个重难点问题，以运动的观点探究几何图形或函数与

几何图形的变化规律，从而确定某一图形的存在性问题.随之产生的动态几何试题就是研究

在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题.解

决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律抓住变化中图形的性质与特征，化动为静,

以静制动.解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变

化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注-些不变量和不变关系或特殊关

系.

答I题I技I巧

第一步：分析题目；

第二步：依据落点定折痕；

第三步：建立对应几何模型；

第四步：设出未知数列方程求解；

第五步：得到结论.

］或型守＜5'l

例1.(2024•辽宁丹东•模拟预测)

3.【问题背景】

某数学实验小组对坐标平面内线段上的动点问题进行研究.如图1,平面直角坐标系中，A

点坐标为(8,0),尸为线段Q4上的一个动点，分别以OP、"为边在x轴同侧做正方形0PC3

(1)在点P运动中，设正方形OPCB的面积为九正方形PAED的面积为邑，当H+$2=40

时，求点尸坐标.

(2)分别连接OC、CE、OE,OE交CP于点K,当点P运动时，设△OCE的面积为S,

求S与/的函数表达式.

【问题拓展】

(3)当点尸坐标为(1)问结果时，求此时点K的坐标.

(4)如图2,若点M坐标为(3,0),点F，G分别为边BC,OE的中点，FG的中点为Q,

连接MQ,AQ,当点P从。到A的运动过程中，请求出加+QA的最小值.

模型04铺垫、迁移、拓展类探究题型

考I向I预I测

铺垫、迁移、拓展类探究题型解决该类问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材

料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，

然后依题意进行分析、比较、综合、抽象和概括，或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理

论证，并能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方法、观点.展开联想，将获得的新信息、

新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.该题型在考试中主要以解答

题的形式出现，题目一般较长，需要学生具有一定的阅读和理解的能力，同时该题型具有一

定的难度，得分率较低，需要我们认真对待.

答I题I技I巧

第一首先利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，

步：从特殊到一般，从而得出规律；

第二反演推理：假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与己知条件

步：一致；

分类讨论：当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现

第三

的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出

步：

正确结果；

第四类比猜想：即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解

步：决方法，并加以严密的论证.

I题型＜5'1

例1.（2023•湖北武汉）

4.【感知图形】

点P是矩形A3CD的边BC上一动点，连接AP、DP,将△，、ADCP分别沿AP、。尸翻

折，得到AA5'P、ADCP.

B'C

E

DD

（图1）（图2）

【问题探究】

（1）如图1,交AD于点Af,pc'交AD于N,N在/的右侧，求证:

PM+MN+PN=AD;

【问题拓展】

（2）将图1特殊化，当尸、B'、C'共线时，称点尸为2C边上的“叠合点”.如图2,在

矩形ABCD中，AB=4,3C=10,点P为BC边上的“叠合点”，且3P<CP,求OP的长;

京口•福牝钿缘

（2023.福建）

5.如图，正方形ABC。中，点尸是8c边上一点，连接AF,以AF为对角线作正方形AEFG,

边FG与AC相交于点X,连接。G.以下四个结论：

®ZEAB=ZBFE=ZDAG；

@DG±AC.

其中正确的是—.（写出所有正确结论的序号）

（2023・湖北黄冈）

6.某校数学活动小组探究了如下数学问题:

图1

(1)问题发现：如图1,AABC中，ZBAC=90°,AB=AC.点P是底边BC上一点，连接AP,

以AP为腰作等腰RCAPQ,且NR4Q=90。，连接CQ、则3P和CQ的数量关系是

(2)变式探究：如图2,AABC中，ZBAC^90°,AB^AC.点P是腰AB上一点，连接CP,

以“为底边作等腰RtACPQ,连接AQ,判断3P和AQ的数量关系，并说明理由;

(3)问题解决：如图3,在正方形A5CD中，点P是边BC上一点，以。尸为边作正方形DPEF,

点。是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ.若正方形DPEF的边长为2M,CQ=2后,

请直接写出正方形A3CO的边长.

(2023•河南)

7.(1)如图1,在矩形ABCD中，AB=5,3c=4,点E为边BC上一点，沿直线DE将矩

形折叠，使点C落在43边上的点C'处.求AC的长；

(2)如图2,展开后，将AOC'E沿线段AB向右平移，使点C'的对应点与点B重合，得到

心BE',D'E与BC交于点F,求线段所的长；

图1图2备用图

(2023•辽宁沈阳)

8.如图，在平面直角坐标系中，菱形A0C3的边0C在x轴上，ZAOC=60°,0C的长是

一元二次方程/一4%-12=0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线。3于点。，直线分

别交x轴和y轴于点E和点F,动点N从点E以每秒2个单位长度的速度沿历向终点厂运

动.设运动时间为f秒.

(1)求直线的函数表达式:

(2)求点N到直线0B的距离h与运动时间t的函数关系式,直接写出自变量的取值范围;

(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点M.使得以AC,N,M为项点的四

边形是矩形.若存在，直接写出点M的坐标，若不存在,说明理由.

（2023•陕西）

9.【问题出示】

(1)如图①，等腰中，NR4c=30。,BC=SA=16,点M是直线AC上的动点，线

段BM的最小值是

图④

【问题探究】

(2)如图②，线段最短时，在(1)的条件下，线段3N是AABM的角平分线，点尸、

。分别在边BN、上运动，连接加尸、QP,MP+QP的最小值是

【问题拓展】

(3)如图③，线段最短时，在(1)的条件下，点E在边CM上运动，连接8E,将线

段仍绕点3顺时针旋转60。，得到线段正，连接M/，求线段的最小值.

【问题解决】

按照住建部制定的楼间距国家标准，南北朝向的小区，各栋楼之间的距离不小于前排楼高的

0.7倍，例如：前排房屋的楼高是20米，那么后排房屋与前排房屋的距卤至少要14米才符

合要求.

(4)如图④，是某居民小区的部分平面示意图，四边形A5CD各边长都为90米，且两组对

边分别平行，々=120。，DE长30米，边上任意一点产，计划在线段麻、FG、DG上

修建三条小路，点G处修建业主活动楼，其中EF=RG,且/EFG=60。.小区最南边一排

（即线段AD处）楼高70米，当线段0G取小时，点G处的业主活动楼到线段AD处楼房的

距离是否符合楼间距标准？请说明理由.

（2023•四川）

10.在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究：

问题背景：在RtAABC中，4。8=90。,/43。=60。,2^=6.点。为43边上一动点，连

接CD,点E为C。边上一动点，连接BE,以BE为边,在班右侧作等边△3EF,连接CP.

图1图2图3

（1汝口图1,当3C=B□时，求证：ABDE/BCF；

（2）如图2,当点。运动到A3的四等分点（靠近点8）时，点。停止运动，此时点E从点C

运动到点。，试判断点E从点C运动到点。的过程中线段C/和所的数量关系，并说明理

由；

（3）如图3,点。从AB的四等分点（靠近点2）出发，向终点A运动，同时，点E从点Z）出

发，向终点C运动，运动过程中，始终保持ZBEC=90。，直接写出CP的最小值和点/所经

过的路径长.

（2023•广东）

11.综合应用

探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：按照以下思路研究不

等式组-147x1+341的解集：首先令y=-|x|+3,通过列表、描点、连线的方法作出该函

数的图象并对其性质进行探究，列表：

X-4-3-10134

y

描点与连线:

4

厂丁5一

—一4一

r-br-

12345》

—!—;——2-

L.J-L..L.L5

（1）在列表的空格处填对应的y值，在如图给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为

坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象.

⑵若尸《»,。（％5）为该函数图象上不同的两点，则x与y的数量关系是；

⑶观察图象，当-14-1x1+341时，自变量x的取值范围是；

（4）【拓展运用】运用以上的探究过程，求出函数y=|x|与>尤+3的图象所围成的图形

面积.

（2023•湖北）

12.【问题提出】（1）如图1,在四边形ABCD中，/取。=60。，ZSCD=120°,AB=AD,

连接AC.试探究BC、CD、AC之间的数量关系.

小明的思路是：他发现44。和NBCD互补，推得ZB+ZADC=180。，于是想到延长C。到

点E,使。E=BC,连接AE.从而得到ZB=ZADE,然后证明AADE名AABC,不难得到BC、

CD、AC之间的数量关系是；

【问题变式】（2）如图2,四边形ABCO中，NBAD=NBCD=90°,AB=AD,连接AC,

试探究BC、CD、AC之间的数量关系，并说明理由；

【问题拓展】（3）如图3,四边形A8CD中，ZBAD^120°,ZBCD=60°,AB=AD,连

接AC,若AC=26，求四边形的面积.（直接写出结果）

图1图2图3

支式•题型逼美

13.1.问题发现

图(1),在和AOCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=35°,连接AC,BD

交于点M.

①A土C的值为;②NAMB的度数为.

BD

(2)类比探究

图(2),在AOW和AOCD中，ZAOB=ZCOD=90",ZOAB=ZOCD30°,连接AC,交.BD

AT

的延长线于点M,请计算土的值及的度数；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，若。D=2,AB=8,将AOCD绕点。在平面内旋转一周.

①当直线DC经过点2且点C在线段上时，求AC的长；

②请直接写出运动过程中M点到直线08距离的最大值.

(2224・河南周口•一模)

14.在"1BC中，CA=CB,/ACB=tz,点P是平面内不与点A,C重合的任意一点，连

接AP,将线段AP绕点尸逆时针旋转a得到线段。P,连接AD,BD,CP.

C

(1)观察猜想

如图①，当a=60。时，=的值是，直线5。与直线CP相交所成的较小角的度数是

⑵类比探究

如图②，当a=90。时，请写出黑的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并

就图②的情形说明理由.

15.如图1,在放△A8C中，ZC=90°,ZA=30°,BC=1,点。,E分别为AC,8C的中

点.△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为a(0”好360。)，记直线AD与直线BE的交点

为点尸.

(1)如图1,当a=0。时，AD与8E的数量关系为,AD与BE的位置关系为；

(2)当0。＜任360。时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，

请说明理由；

(3)ACDE绕点、C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直

线8c距离的最大值.

(2024•山东济南•一模)

16.某校数学活动小组探究了如下数学问题：

(1)问题发现：如图1,中，ZBAC=90°,AB=AC.点尸是底边上一点，连接

AP,以A尸为腰作等腰RtAAPg,且ZPAQ=90°,连接CQ、则BP和CQ的数量关系是

(2)变式探究：如图2,AABC中，ZBAC=90°,AB=AC.点尸是腰AB上一点，连接CP,

以CP为底边作等腰Rt^CPQ,连接A。判断8尸和A。的数量关系，并说明理由；

(3)问题解决:如图3,在正方形A8CD中，点P是边8C上一点，以QP为边作正方形DPEF,

点。是正方形。PEF两条对角线的交点，连接CQ.若正方形。PEP的边长为9,CQ=42,

求正方形ABC。的边长.

17.如图，RtaABC中，ZACB=9Q°,将ULBC沿AB的方向平移得到力所，连接

CD,FB,CF.

备用图

(1)当点。移至什么位里时，四边形CE出尸是菱形，并加以证明.

⑵在(1)的条件下，四边形CD班'能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给AABC

添加一个条件，使四边形CD2尸为正方形，并写出推理过程.

18.在平面直角坐标系中，点A,3的坐标分别为(2,0),(-2,0),现将线段A8先向上平移

3个单位，再向右平移1个单位，得到线段。C,连接AD,BC.

图1图2

(1)如图1,求点C,。的坐标及四边形ABCD的面积；

⑵如图1,在y轴上是否存在点尸，连接上4,尸3,使&皿=5四边形帅6?若存在这样的点,

求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；

(3)如图2,点石为8与,轴交点，在直线C£＞上是否存在点Q,连接。8,使

S“2cB=；S四边形若存在这样的点，直接写出点。的坐标；若不存在，试说明理由；

2()........................

19.已知：如图①，在矩形ABC。中,AB—5,AD=—,AE±BD,垂足是E点尸是点E

关于的对称点，连接AF、BF.

图①

（1）求AE和8E的长;

（2）若将沿着射线8。方向平移,设平移的距离为m（平移距离指点8沿8。方向

所经过的线段长度）当点尸分别平移到线段AB、AD上时，求出相应的根的值;

（3）如图②，将△ABE绕点B顺时针旋转一个角研0°<£<180。），记旋转中的△A3R为

A/TBF,在旋转过程中，设A尸所在的直线与边AD交于点尸与直线交于点。是否存

在这样的巴。两点，使VDPQ为等腰三角形？若存在，直接写出此时。。的长：若不存在，

请说明理由.

（2024・山西太原•一模）

20.综合与实践

问题情境：数学课上，同学们以菱形为背景，探索动点运动过程中产生的几何问题.

己知，在菱形ABCD中，AB=5,对角线3D=8,点E是射线8。上的一个动点，连接AE,

△ABE与△ABF关于边AB所在直线对称.

图1备用图

初步探究：（1）如图1,小颖同学研究了AF〃血时的情形，并提出如下问题，请你解答:

①判断四边形AH汨的形状，并说明理由；

②此时线段BE的长为；

拓展延伸：(2)小彬同学研究了时的情形，请你直接写出此时线段BE的长.

21.如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形45cD,AD=10y/3,CD=10,点Af

是线段AC上一动点(不与点A重合)，连接过点M作的垂线交射线DE于点N,

连接BN.

图一

⑴求/C4O的大小；

(2)问题探究：

动点〃在运动的过程中，是否能使A4WN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；

如果不能，请说明理由.

(3)问题解决：

如图二，当动点/运动到AC的中点时，40与的交点为尸，的中点为7/,求线段

FH的长度.

22.苏科版教材八年级下册第94页第19题，小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请

你和他一起完成问题探究.

【问题提出】如图1,点E尸分别在方形ABCD中的边AD、AB上，且BE=CF,连接

BE、CF交于点求证：BE1CF.请你先帮小明加以证明.

【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1,在边长为6cm的正方形A5co中，点

E从点A出发，沿边A£＞向点。运动，同时，点尸从点8出发，沿边54向点A运动，它们

的运动速度都是2cm/s,当点E运动到点。时，两点同时停止运动，连接CFBE交于点、M,

设点E,尸运动时间为，秒.

(1)如图1,在点E、歹的运动过程中，点M也随之运动，请直接写出点M的运动路径长

cm.

(2)如图2,连接CE,在点E、b的运动过程中.

①试说明点D在的外接圆。O上；

②若①中的。。与正方形的各边共有6个交点，请直接写出f的取值范围.

23.材料：在处理有动点的几何问题时，寻求与动点相关的常量，可以帮我们分析出动点的

运动轨迹，进而解决问题.如果动点C与定线段A3所成的/C4S为常量，那么点C的运

动轨迹为射线AC,如图A.如果动点G与定直线所的距离GH为常量，动点G的运动轨

迹即为过点G且与直线班平行的直线/,如图瓦

八

AB

图A图B

AB=5,3C=6,点P在边上且尸£)=2,点M为直线AB上的

一