云南省曲靖市2025届高三年级上册第一次质量检测数学试题（含答案解析）

云南省曲靖市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合&={玳彳-6）（》-10）＜0},fi={6,7,8,9,10},则4口3=（）

A.{6,7,8,9,10}B.{7,8,9}C.（6,10）D.（7,9）

22

2.若双曲线'-七=1（。＞0,6＞0）的焦距为4,实轴长为2,则其离心率为（）

cib

A.2B.1C.72D.1

3.记S“为等差数列{qj的前〃项和，若4+%=8,a6=12,则S,=（）

A.42B.49C.56D.72

4.已知复数Z［和Z?,满足|zj=|引="-玄2|=1,则|zi+z/=（）

A.且B.3C.6D.1

2

5.有一组样本数据为0,1,2,3,4,5,在其中添加一个数。构成一组新的样本数据，若

ae（0,1,2,3,4,5},则新旧样本数据的第25百分位数相等的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

6336

6.在扇形AO2中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系、若殖=（10,0）,

砺=（8,6）,C为A8的中点，则碇=（）

A.（9,3）B.（3亚,加）C.（573,5）D.（4君,2君）

7.已知正三棱锥尸-ABC的所有顶点都在球。的球面上，PA=A6AB=6,过棱A3作

球。的截面，则所得截面面积的取值范围是（）

A.[971,12K]B.[971,16K]C.[12兀[6兀]D.[12K,36K]

8.已知4是函数/（x）=xlnx—2025的零点，%是函数且（力=3+%—1口2025的零点，贝|玉声

的值为（）

2025e

A.------B.------C.,2025D.2025

e2025

二、多选题

9.已知函数〃x）=2sin12x-£|,则（）

JT

A.“X）的最小正周期为兀B.在0,-上单调递增

C.“X）的图象关于直线x=丁对称D.〃x）的图象关于点对称

O

10.若（8-岳）”的展开式的各二项式系数之和为32,则（）

A.n=5

B.展开式中只有第三项的二项式系数最大

C.展开式中尤4项的系数为1960

D.展开式中系数为有理数的项共有2项

11.“脸谱”是中国戏剧中特有的化妆艺术.“脸谱”图形可近似看作如图所示的由半圆和半椭

圆组成的曲线C.若半圆的方程为F+y2=36（y20）,半椭圆Q的方程为

22

-^+―=1（y<0）,则下列说法正确的是（）

10036I7

A.若点A在半圆C」，点3在半椭圆Q上，且则VAOB面积的最大值为30

B.若“（0,-8）,N（0,8）,。是半椭圆Q上的一个动点，贝Ucos/MDN的最小值是，

C.若尸、。是半椭圆G上的动点，H（异于坐标原点。）是线段尸。的中点，则

,,_25

KpQ,~0

试卷第2页，共4页

D.若曲线C在点石［彳,-6J处的切线为/,半椭圆<?2的焦点为尸，过点尸作直线/的垂

线,垂足为T,则|。刀=10

三、填空题

12.已知直线4：x+y+l=O与­(〃?+2)x+y+机=0平行，贝也与乙间的距离为.

13.在棱长为1的正方体的顶点中任取两个不同的点，则这两点间的距离的均值为.

14.已知min{a,6}=1：：：：,函数〃尤)=min卜,占卜,若使得关于x的不等

式〃x)W/(r)成立，则实数f的取值范围是.

四、解答题

15.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为尸.过点厂的直线/与抛物线C相交于A,8两

点，且线75段A3中点的横坐标为上17.

(1)求抛物线c的方程；

(2)若直线/的倾斜角为锐角，。为坐标原点，求VA03外接圆的一般方程.

16.已知函数〃尤)=2&sinxcosx-2cos2*+1,设锐角VABC三个角A,B,C的对边分别

为。，b,J

(1)若c=g,/(C)=2,2sinA=3sinB,求的值；

⑵将函数的图象向左平移;个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(A)=。，

m=(sinB,sinC),n=(cosC,-cosB),求沅.五的取值范围.

17.在四棱锥尸—ABCD中，PA_L平面ABC。，PA=2#),AD=2.

B

⑴若AD//3C,M为尸C的中点，且DM〃平面上45,求BC的长；

(2)若尸。_LDC,且二面角的大小为45。，求三棱锥A-PDC的体积.

18.已知函数/(%)=62，+(1-2°)6”-口(a€11).

⑴当。=0时，求在x=0处的切线方程；

⑵讨论的单调性；

(3)若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

19.当今社会,每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播,虽提供了丰富知识和多样视角，

但也存在信息过载、虚假信息等问题,需要我们谨慎筛选辨别.信息论之父香农(C.E.Shannon)

在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小与信息

中每个符号(数字、字母或单词)的出现概率或者说不确定性有关，把信息中排除了冗余后

的平均信息量称为“信息燧”，并给出了计算“信息幅”的数学表达式，从而解决了对信息的量

化度量问题.设随机变量X的所有可能取值为1,2,…，w(weN*),且

P(X=7)=口>0。=1,2,…,〃)，£p,=1,定义X的“信息捌为H(X)=-JAlog2Pi.

i=lz=l

⑴当”=1时，求"(x)的值；

(2)当〃=2时，若月小；』］,探究"(X)与”是正相关还是负相关，说明理由；

13

⑶若R=F，P2=F,P，=4Pk(k=2,3,…,n-L),求此时的"(X).

试卷第4页，共4页

《云南省曲靖市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BACCDBBDABDAC

题号11

答案ACD

1.B

【分析】化简集合A,根据集合的交集运算求解.

【详解】VA={x|(.x-6)(x-10)<0}={x|6<x<10},3={6,7,8,9,10},

,-.AnB={7,8,9).

故选：B.

2.A

【分析】根据双曲线的几何性质求出得解.

【详解】由题可得2c=4,2a=2,.'.a=l,c=2f

所以双曲线的离心率为6=£=2.

a

故选：A.

3.C

【分析】应用等差数列的性质结合等差数列求和公式计算求解.

【详解】等差数列{%}中，因为4+%=24=8,则%=4,

Ulllc7(%+〃6)7(4+12)

7222

故选：C.

4.C

【分析】根据复数的模长平方关系计算求和即可.

【详解】因为复数Z和Z2,满足团=%|=归一22|=1,

22

则|z|+Z2『+|z「Z2「=2(|Z1|+|Z2|)=2(1+1)=4,

所以|Z+Z2「+1=4,所以％+Z2|=JL

故选：C.

5.D

【分析】由百分位数的概念可知，当。为1,2,3,4,5时，新的样本数据的第25百分位

答案第1页，共13页

数不变，进而求出概率.

7

【详解】由题意，6x25%=1.5,7X25%=4=1.75,所以原数据和新数据的第25百分位数

4

均为第二个数，

所以，当。为1,2,3,4,5时，新的样本数据的第25百分位数不变，

所以，新的样本数据的第25百分位数不变的概率是尸=:.

0

故选：D.

6.B

【分析】先求出西与丽的模，进而得到-AO3的三角函数值，再根据C为钻的中点，得

到^AOC的三角函数值，最后利用三角函数求出0C的坐标.

【详解】根据向量模的计算公式，若a=(x,y),则|M|=J/+y2.

已知函=(10,0),则丽=,102+02=]0；

加=(8,6),则|函=Ja+G?=>/64+36=/5=10.

可得cosZAOB=

\OA\\OB\'

所以市•丽=10x8+0x6=80.

因为|比|=|)=10,设C。”).

m=|oc|cos^^=10x^^=3>/10；

n=\dc\smZA0B=10x^-=s/l5.

II210

所以反=(3函,何).

故选：B.

答案第2页，共13页

7.B

【分析】求出三棱锥外接球的半径，取A8的中点。，当OD垂直截面时，截面的面积最小，

此时截面圆的直径为A3长，当截面过球心时，截面圆的面积最大，即可得解.

【详解】如图，作平面ABC,垂足为取A3的中点O,外接球的球心为0,连接

AO,AH,

易得H为VABC的中心，则4"=26，所以PH=4P曾-AH。=J48_12=6,

设外接球半径为R,则AO?=4井+明？，即R?=i2+（6-R）2,解得R=4,

当OD垂直过A3的截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为A8长，

最小面积为兀x3?=9兀,

当截面过球心。时，截面圆的面积最大，最大面积为兀x4?=16兀，

故截面面积的取值范围是［9兀,16兀］.

故选：B.

8.D

【分析】根据题意可得％+ln%=lnw+ln（ln%）,利用函数y=x+lnx得单调性可得

%=111玉，运算得解.

玉1nxi=2025

【详解】由题可得可得々+1n々=山（西In玉）=ln%1+ln（ln王），

x2+In/=山2025

因为函数V=x+lnx在（0,+e）上单调递增,

所以％2=In石，则xxx2=%Inxx=2025.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由题得到X2+ln%=ln%+ln（ln%）,构造函数

答案第3页，共13页

y=x+lnx并根据单调性得到无2=也不.

9.ABD

【分析】根据给定的函数解析式，结合正弦函数的性质，逐项判断作答.

【详解】对于A,f（x）的最小正周期为7=胃=兀，故A正确；

对于B,xe0,y,:.2x-^e，由>=sinx的单调性可知，/（无）在0,；上单

_4J6|_63J|_4_

调递增，故B正确；

对于C,将xj代入解析式得/佟］=2sin（2xJ-U=2siW=l,

所以X=£不是的对称轴，故C错误；

6

对于D,当时，/『|）=2$皿卜］-胃=°，所以的图象关于宿,02寸称，

故D正确.

故选：ABD.

10.AC

【分析】由题设得2〃=32即可求解"判断A；由"=5得二项式系数最大的是C；=C：即可求

解判断B；求出展开式的通项公式，再令r=4即可求解判断C；由通项公式令即可求

解判断D.

【详解】对于A,由题意得2"=32n〃=5,故A正确；

对于B,因为“=5,所以展开式中的二项式系数最大的是C；=C；,

分别为展开式中的第三项和第四项的二项式系数，故B错误；

对于C,（8-缶『的展开式的通项公式为（+］=®!旃-=（一1丫&？5T5a

令r=4,则3T?G=g>49X1960，即展开式中一项的系数为I960,故C正确；

对于D,因为（8-J7x）的展开式的通项公式为=（_ijc；?5T5尤「，

所以若;eZ,贝"=0,2,4时，对应的项为85,35840尤2,i960—,均为有理项，

所以展开式中系数为有理数的项共有3项，故D错误.

故选：AC

11.ACD

答案第4页，共13页

【分析】对A,易得|。4|=6,|O@V10,从而求解判断；对B,由椭圆定义可得到

|DM+|DN|=20,由基本不等式可以得到|DW||DN|《网丁M，结合余弦定理即可求

出cos/MDN的最小值；对C,设尸（玉,%）,。（%2，%），”（飞,为）,将点P,Q的坐标代入

椭圆方程，利用点差法求解判断；对D,求出曲线C在点E处的切线方程，进而求出直线FT

的方程，求出点T的坐标，求出|O"

【详解】对于A,因为点A在半圆上，点B在半椭圆上，。为坐标原点，OA±OB,

贝|J|O4|=6,|OB|<10,S^OAB<||OA||OB|=1x6x10=30,

当点B在长轴的端点时，△OA3的面积最大，最大值为30,故A正确；

对于B,因为。是半椭圆上g上一点，所以|£必+|。叫=20,

\2

\DM\"+\DN^-MN\

cosZMDN二

2\DM\\DN

(\DM|+|£W210Mll

2\DM\\DN\

400-2ZJMDN-256

2\DM\DN

144-2|DM||Z)^|72—72j7

==

2|£>^||£>^|\DM\\DN\~~r\DM\+\DN\^~"25,

I2—,

当且仅当|DM|=|£W|时，即点。在短轴顶点时等号成立，故B错误;

对于C,设尸（%,%）,。（孙％），"（如%），则玉+%=2/，%+%=2%,

^I2石2

+一

yl［两式相减得y产工』

^lloo

1u346

+

lloo36

y

-+y_1002525

2W，即心0•上OH=-5■.故C正确;

xi-x2xl+x236

,2

对于D,由椭圆二+二=1在点（X。,为）处的切线方程为小+等=1,

/b2au

答案第5页，共13页

24

所以曲线C在点可告,-6］处的切线方程为-6y—x

一十二BPy=—.r-—

=193

10036

则切线/的斜率为％=,，点/（。,-8）,所以直线尸「的斜率为一卷,

9

直线FT的方程为y=--X-8,

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题选项D解题的关键是求出椭圆在点E处的切线方程，进而求出

点T的坐标.

12.亚

【分析】由两直线平行可求得力=-1,再由平行线间的距离公式代入计算可得结果.

【详解】由4与4两直线平行可得〃z+2=l,解得利=-1；

即可得4：x+y-1=0,

所以4与4间的距离为（驾=V2.

故答案为：&

133++-\/3

.7

【分析】立方体的8个顶点中任意选择2个作为线段的端点共有玛=28种可能，结合各种不

同的长度线段的条数可以计算得到线段长度的均值.

【详解】立方体的8个顶点中任意选择2个作为线段的端点共有《=28种可能，

其中有12条棱，长度为1,12条线段为立方体的6个表面的对角线，长度为&,

另有四条线段为立方体的体对角线，长度为G，

根据均值的定义，计算均值为1x12+0x12+岛4=3+30+6.

287

故答案为：3+3凡.

答案第6页，共13页

14.U3,3

I2」12」

【分析】首先作出y=〃x)的图象，即可求出“X)在xe[l,3]的取值范围，依题意可得

了⑺斗结合图象可得/(f)2；的解集，即可得解.

【详解】因为〃x)=min卜，士j,则定义域为

所以/(x)的图象是取＞=/与＞=士图象位于下方的部分，

作出y=〃x)的图象如下所示(实线部分)：

因为土41,3],使得关于x的不等式/'⑺＜/(?)成立，

所以令/=；,解得尤=±g,

结合图象可得了(。2；的解集为-1〈尤或

即实数f的取值范围是3.

故答案为：—g口

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出/(x)的图象，结合图象得到了。)2；的解集.

15.(l)y2=4x；

(2)x2+y2-^-x-^-y=0.

44

【分析】(1)设4冷％),3仇,必)，由焦点弦长公式结合中点坐标公式即可求出P得解;

(2)由题设设直线/的方程为了=%+1,与抛物线方程联立依次求出M+%和无i+%即可

求出机，进而求出点A、B,再设VAQB外接圆的一般方程列出方程组即可计算求解.

答案第7页，共13页

玉+%2_17

2

【详解】(I)设B(W,%)，则<..P=2,

25

x1+x2+p=—

••・抛物线。的方程为＞2=4X.

(2)由题意可知直线/不与x轴重合，又尸(1,0),

故可设直线I的方程为x=my+l,

fy?=4x

由,得尸_4〃9一4=0,故M+%=4〃Z.

[x=my+1

173

又%+%2=(加>1+1)+(g2+1)=加(丁1+)2)+2=4加2+2=-,故加=±7.

3

•・,直线/的倾斜角为锐角，・•・加=:，

4

□

将根=7带入/一4畋一4=0,解得y=—l或y=4,

不妨设点A在x轴下方，则Ag,-11,3(4,4),

设7A0B外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

F=0

1173

HlJ-£>-£+F+—=0,解得E=

4164

4D+4E+F+32=0F=0

293

所以NAOB外接圆的一般方程为d+J--元-=y=0.

44

16.(1)<2=3,b=2.

V2

⑵

【分析】(1)由二倍角和辅助角公式求得/(x)==2sin12尤-聿)再结合正、余弦定理即可

求解；

(2)根据图像变换确定g(x),求出A=%然后得到和万=sin[2C+；],进而利用三角函

数的性质可求解.

【详解】(1)f(x)=2V3sinxcosx-2cos2x+1=V3sin2x-cos2x=2sin2x-—I.

答案第8页，共13页

•.•/(C)=2,.•.sin^2C--^j=l.

又0<C</故冷，

2666

_7171,71

/.2C--=-,故L0=彳.

623

2sinA=3sinB,由正弦定理得2a=3b.

7

Q2

又c=V7,由余弦定理得79-

.,.a=3,b=2.

(2)由题意可知，g(x)=2sinI2(x+j=2sin(2x+-^j=2cos2x.

・.・g(A)=0且0<Ac],.•.A=：

/.m-n=sinBcosC-cosBsinC=s;:in(5-C)=sin[2C+；].

qr3TT7T

•「△AfiC为锐角二角形，/.0<C<—,0<B=——C<—,

兀「兀3兀兀57r

一<Cv-,——<2C+-<——

42444

■*sin[2C+j*即而为的取值范围是-9,9

17.(1)4

⑵壁.

3

【分析】(1)取PB的中点为E,易证由。0〃平面可得DM//AE,四

边形ADME为平行四边形，得BC=2AD=4得解;

(2)以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，设OC=a(a>0),求出平面ACP和平面

CPD的一个法向量结合二面角A-CP-O的大小为45。，求出。，由匕Y0C=K-DC运算得

解.

【详解】(1)如图，取"的中点为E,连接EM,EA,

则EM〃3C,S.EM=-BC.

2

vAD/ZBC,

答案第9页，共13页

:.EM//AD.

•.■DM//^^PAB,DMu平面ADME,平面R4Bc平面ADME=AE,

:.DM//AE.

又EM//AD,.•.四边形ADME为平行四边形.

:.EM=AD,又EM」BC,

2

BC=2AD=4.

（2）平面ABCD,£>Cu平面ABCD,

:.PA±DC,又PD_LDC,PDCPA=P,且尸APOu平面PAD,

平面PAD,ADu平面PAD,

:.DC±AD.

如图所示，以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，设。C=a（4>0）,

则。（0,0,0）,A（2,0,0）,P（2,0,273）,C（0,a,0）.

.-.C?=（2,-a,2V3）,Q=（0,0,2@,设平面ACP的一个法向量为用=（"J,ZJ,

2x-ay,+2J3z1=0,、

则彳r",令西=a,则y=2,故加=（a,2,0）.

2<3Z]=0

又加=（2,0,2-），反=（0,a,0）,设平面CPD的一个法向量为为二1,方*?）,

则卜+2岳2=0,令餐〜1,可得.=5故”（3

ay2=0'/

答案第10页，共13页

Im-wl门

,•・二面角A—CP—。的大小为45°,所以匕合=cos45,

.#)a_y/2

27a2+42，

a=20，即DC=2/.

-'-^A-PDC=^P-ADC=^^^ADC-=­X—X2X2^X2A/3=,

即三棱锥A-PDC的体积为睫.

3

18.(l)3x-y+2=0

(2)答案见解析

⑶(L+⑹.

【分析】(1)利用导数的几何意义，求出切线斜率和切点坐标，即得切线方程；

(2)函数求导分解因式后，对参数。分类讨论导函数的符号即得原函数的单调性；

(3)根据(2)的结论，对参数。分类，分析函数的单调性，极值以及图象变化趋势，结合

特殊值，即可得解.

【详解】(1)当。=0时，/W=e2l+e\

.•OZe?』，，二［(0)=3.

又〃0)=2,故在x=。处的切线方程为：3尤7+2=0.

(2)/(无)=2e2x+(l-2a)ex-a=(2ex+l)(ev-«).

当a«0时,r(%)>0,故在R上单调递增；

当a>0时，令/'(尤)<0,得x<lna,令/''(无)>0,得x>lno,

故〃x)在(-8,Ina)上单调递减，在(Ina,+。)上单调递增.

综上所述，当aWO时，/(*)在R上单调递增；

当。>0时，”X)在(-8,Ina)上单调递减，在(lna,+8)上单调递增.

(3)当时，”尤)在R上单调递增，不符合题意，故a>0.

由(2)知，当a>0时，/(x)^=/(lna)=a(l-a-lno).

答案第11页，共13页

•."(X)有两个零点，

又ra〉。，:A-a-yna<Q.

令/?(a)=l-a-lna(a>0),则/(a)=-1--=<0,

.•/(a)在(0,+8)上单调递减，且可1)=0,

二当。>1时,h(a)<0,即〃必<0.

▽八11-2。11a(e-2)

又/(一1)=F+----+a=^-+-+—----->0,

v7e2ee2ee

\f(x)在(Tina)上有一个零点；

1_•ex>x,；-f(尤)>e?"-2aex-ax>elx-2aex-aex-ex(ex-3a).

，当x>ln3a时，/(x)>0,

\在(lna,ln3a)上有一个零点.

综上所述，〃x)有两个零点时，。的取值范围是(1,—).

【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是由(2)得。>0,

f(x)injn=f(lna)^a(l-a-lna)<0,构造函数Ma)=l-a-lna(a>0)利用导数研究零点•

19.(1)0

(2)负相关，理由见解析

◎MX),[./—1

【分析】(1)直接利用公式求解；

(2)先求出〃(X)=-[Rog