直线与圆的位置关系（8种常见考法归类）学生版-人教版高二暑假专项复习

第17讲直线与圆的位置关系8种常见考法归类

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学习目标

------V-------

L能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.体会用代数方法处理几何问题的思想.

［豳基础知识

IIIIII1IIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

知识点1直线与圆的三种位置关系

位置关系交点个数图示

相交有两个公共点

相切只有一个公共点C

相离没有公共点

注：直线与圆的位置关系及判断

位置关系相交相切相离

几何法：设圆心到直线的距离名经°

d<.rd=rd>r

代数法：

判定方法

Ax+Bj+C—0,

由1*―4)2+&―32=/J>04=0J<0

消元得到一元二次方程的判别式A

知识点2直线与圆相交

1.解决圆的弦长问题的方法

几何法

（常用）

如图所示，设直线/被圆C截得的弦为A8,圆的半径为r,圆心到直线的

距离为d,则有关系式：|A5|=22/一展

若斜率为左的直线与圆相交于4（必，"），B{XB,班）两点，则以8|=

71+卜27（XA+XB）2—4XAXB=、J1+表•山一如|（其中20）.特别地，当左=0

时，|AB|=|XA-XB|；当斜率不存在时，\AB\^\yA-yB\

代数法注：直线/：Ax+By+C=O；圆M/+/+m+份+/=0

Ax+By+C=0

联立22消去“丁”得到关于“工”的一元二次函

数ax~+bx+c=0，结合韦达定理可得至U%,XAXB

2.当直线与圆相交时；半径、半弦、弦心距所构成的直角=角形（如图中的RtaAOC）；在解题时要注

意把它和点到直线的距离公式结合起来使用.

知识点3直线与圆相切

1.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上（即为切

点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情

况.（注：过圆内一点，不能作圆的切线）

2.求过圆上的一点（xo,如）的切线方程的方法

先求切点与圆心连线的斜率左，若左不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y=yo；若左=0,则结

合图形可直接写出切线方程为x=xo；若左存在且上/0,则由垂直关系知切线的斜率为一/由点斜式可写

出切线方程.

3.求过圆外一点（xo,%）的圆的切线方程的方法

当斜率存在时，设为左，则切线方程为y—%=左（“一xo）,即依一y+必一fcro=O.

几何法

由圆心到直线的距离等于半径，即可求出左的值，进而写出切线方程

当斜率存在时，设为匕则切线方程为y-yo=A（x—xo）,即fcto+yo,代

代数法入圆的方程，得到一个关于X的一元二次方程，由/=0,求得抬切线方程即

可求出

4.圆的切线方程常用结论

（1）过圆/+,2=/上一点pa。，州）的圆的切线方程为xox+yoy=r2.

（2）过圆（x—a）2+（y—5）2=/上一点P（xo，川）的圆的切线方程为（x（）—a）（x—〃）+&（）一5）3一5）=凡

（3）过圆/+,2=户外一点拉（劭，刈）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为“必+刈9=凡

5.切线长公式

记圆C：(x-a)2+(y-»2=/；过圆外一点p做圆c的切线，切点为利用勾股定理求PH;

PH=y/PC2-CH2

知识点4圆上点到直线的最大(小)距离

设圆心到直线的距离为d,圆的半径为广

①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d+厂，最小距离为d-r；

②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为2r，最小距离为0；

③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为2+r，最小距离为0；

豳解题策略

---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIII-----------------------

1、判断直线与圆位置关系的方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.

(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.

2、过圆上一点(xo,加)的圆的切线方程的求法

先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为一£由点斜式可得切线方程.如果斜率

为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y=比或％=孙

3、过圆外一点(刈，为)的切线方程的求法

设切线方程为y-y0=k(x-X0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k,也就得切线方

程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x=xo,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而

过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解.

4、求切线长(最值)的两种方法

(1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；

(2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.

5、求弦长的两种方法

(1)由半径长八弦心距d、弦长/的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理用+自2=，求解，这是

常用解法.

（2）联立直线与圆的方程，消元得到关于x（或y）的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐

标（或纵坐标）之间的关系，代入两点间距离公式求解.此解法很烦琐，一般不用.

6、坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”

l|Q考点剖析

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考点一：直线与圆位置关系的判断

（-）判断直线与圆的位置关系

例L（2023•新疆喀什•校考模拟预测）已知圆C:x2+y2+2x-4y=0,直线/:2x-y-l=0,则圆C

与直线/（）

A.相交B.相切C.相离D.相交且直线过圆C的圆心

变式1.（2023・四川成都・成都七中校考一模）圆C：。-1）2+”-1）2=1与直线/：（+^=1的位置关系为

（）

A.相切B.相交C.相离D.无法确定

变式2.（2023春・北京海淀•高二北理工附中校考期中）直线依-y+2“=0（。eR）与圆尤2+丁=5的位置关

系为（）

A.相离B.相切C.相交D.不确定

变式3.（2023秋•高二课时练习）为圆V+y2=i内异于圆心的一点，则直线+=1与该圆

的位置关系为（）

A.相切B.相交C.相离D.相切或相交

（二）由直线与圆的位置关系求参数

（2023•辽宁•校联考二模）已知圆O:尤2+^=产直线/：3x+4y=/,若/与圆。相交，则

A.点尸（3,4）在/上B.点尸（3,4）在圆。上

C.点P（3,4）在圆。内D.点P（3,4）在圆。外

变式1.（2023春・浙江•高二期中）已知圆（x-iy+（y-2）2=4关于直线办+勿-2=0对称，则寿的

最小值为（）

A.-B.C.6D.1

555

变式2.（2023秋•高一单元测试）若直线，=履-1与曲线y=，_/+4x-3恰有两个公共点,则实数上的取

值范围是（）

变式3.（2023・湖南益阳•安化县第二中学校考三模）直线y=x+6与曲线》子恰有两个不同的公共点，

则实数6的取值范围是（）

A.-l<b<y/2B,-V2<Z?<-1

C.—1<<—1,b=—\/2D.-5/2<b<\

变式4.（2023•新疆阿克苏•校考一模）已知两点A（-m,0）,8（加,0）（租>0）,点P是圆（x-3）2+（y-4y=1上

任意一点，NAPB是锐角，则机的取值范围为（）

A.（0,6）B.（0,4）C.（4,6）D.[6,+功

变式5.（2023春•上海黄浦•高二上海市向明中学校考期中）圆C:f+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+l=0

距离为0的点有（）

A.2个B.3个C.4个D.无数个

变式6.（2023•湖南长沙倜南中学校考二模）若圆（》-°）2+（丁-3）2=20上有四个点到直线2x-y+l=0的

距离为有，则实数。的取值范围是.

变式7.【多选】（2023春・贵州遵义•高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知直线/：V=无+万，圆。：V+V=4,

则下列说法正确的是（）

A.圆。上恰有1个点到直线/的距离为1,则6=±3及

B.圆。上恰有2个点到直线/的距离为1,贝1]6©卜3夜,3忘）

C.圆0上恰有3个点到直线/的距离为1,则6=±0

D.圆。上恰有4个点到直线/的距离为1,则。€卜忘,0）

（三）由直线与圆的位置关系求距离最值

|例3.（2023秋•陕西西安•高二长安一中校考期末）已知直线y+6=O与圆C:（x-l）2+（y-l）2=8,

则圆C上的点到直线/的距离的最小值为（）

A.1B.&C.3亚D.5A/2

变式1.（2023・广西・校联考模拟预测）已知直线/:如+（5-2间y-2=0（meR）和圆。：/+y=4,则圆心

。到直线/的距离的最大值为（）

A.-B.述C,28D.-

5532

变式2.（2023秋・广东梅州•高三大埔县虎山中学校考阶段练习）直线x+>-2=0分别与x轴，y轴交于A,

B两点，点尸在圆（龙+2）2+（y-l）2=：上，则AABP面积的取值范围是.

变式3.【多选】（2023春・浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知P（T0）,N（0,2）,过点

P作直线/:砒-y-a=0的垂线，垂足为则（）

A.直线/过定点B.点尸到直线/的最大距离为夜

c.的最大值为3D.的最小值为2

变式4.（2023春•河北石家庄•高三校联考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4,E是边A3上的一动

点，FGLEC交EC于点P,且直线FG平分正方形A5CD的周长，当线段3P的长度最小时，点A到直线3尸

的距离为.

考点二：直线与圆的交点问题

例4.（2023秋•江苏宿迁•高二统考期中）直线>=-尤+1与曲线x=的交点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

变式1.（2023秋•浙江嘉兴•高二统考期末）直线2x+y-2=0与曲线（x+y-l）正'N=。的交点个数为

A.1个B.2个C.3个D.4个

变式2.（2023春・浙江•高二期中）设圆C：%2-2%+/-3=0,若直线/在V轴上的截距为1,则/与C的

交点个数为（）

A.0B.1C.2D.以上都有可能

变式3.（2023秋•四川南充•高二四川省南充高级中学校考阶段练习）已知点A3是圆C:Y+y2=4与x轴

的交点，P为直线/：x=4上的动点，直线PAP3与圆C的另一个交点分别为M,N,则直线MN恒过定点

()

|,0|,0

A.B.(1,0)C.D.,0

考点三：圆的切线问题

（-）过圆上一点的切线方程

例4.（2023春・天津西青•高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）过点作圆

。:/+r=1的切线/,则切线/的方程为.

变式1.（2023•全国•高三专题练习）经过点（1,0）且与圆/+；/-4尤-2>3=0相切的直线方程为.

变式2.（2023•山东泰安•校考模拟预测）已知点”（1,6）在圆C:/+y2=加上，过加作圆C的切线/,贝心

的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

变式3.（2023•天津武清•天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点A。,。），8（2,0）,经过点8作圆

（x-3>+（y-2）2=5的切线与y轴交于点P,则|AP|=.

变式4.（2023•河南开封・统考三模）已知点A（l,0）,3（2,0）,经过B作圆（x-3『+（,-2）?=5的切线与y轴

交于点P,贝UtanNAP3=.

变式5.（2023秋•高二课时练习）从圆d-2x+y2-2y+l=0外一点P（3,2）向这个圆作两条切线，则两切

线夹角的余弦值为（）

A.；B.-C.立D.6

252

变式6.（2023秋•福建福州•高二福建省连江第一中学校联考期中）已知圆0:炉+/=3,/为过M0,应）的

圆的切线,A为/上任一点，过A作圆N:（尤+2『+V=4的切线AP,AQ,切点分别是P和Q,则四边形APNQ

的面积最小值是.

（二）过圆外一点的切线方程

（2023秋•福建莆田•高二校联考期末）求圆。：V+F一©=0在点尸（1,6）处的切线方程.

变式1.（2023秋・北京•高二北京一七一中校考阶段练习）过点（-4,3）的圆（x+3y+⑶-1>=1的切线方程为

变式2.（2023春•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆C过点440）,8（2,2）,

且圆心。在x+y-2=0上.

⑴求圆。的方程；

（2）若已知点P（4,2君），过点P作圆C的切线，求切线的方程.

变式3.（2023秋・广东阳江•高二阳江市阳东区第一中学校考期中）己知点尸（2,4）,圆。：%2+/=4,则

过点P与圆。相切的直线有条；切线方程为.

变式4.（2023•浙江•校联考模拟预测）已知圆G：/+y2=4和圆Cz：（x-3）2+（y-21=1,则过点

且与c“G都相切的直线方程为.（写出一条即可）

变式5.（2023秋•高二单元测试）若尸（X,y）在圆（x-5）2+（y-3）2=9上运动，则一的最大值为一.

变式6.（2023•全国•高三专题练习）已知M（x,y）为圆C：/+丁-4x74y+45=0上任意一点，且点。（-2,3）.

（1）求|加。|的最大值和最小值.

（2）求三的最大值和最小值.

（3）求v-x的最大值和最小值.

变式7.（2023春•河北•高二校联考期末）过直线x+y-4=o上一点向圆o：f+丁=1作两条切线，设两

切线所成的最大角为。，贝!|sina=（）

A.逑B.也C.立D.史

9948

变式8.（2023・北京大兴•校考三模）若点尸是圆C:/+y2-2x=0上的动点，直线/：x+y+l=0与x轴、>

轴分别相交于M,N两点，则的最小值为（）

7171

A.c.-D.

124I

（三）与切线长有关的问题

［例6.（2023秋・江苏盐城•高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线>=了上的点向圆（x-4）2+（y+2『=l

引切线，则切线长的最小值为.

变式1.（2023•吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线x+V+6=。上一点p向圆

C:（x-3y+（y+5）2=4引切线，则切线长的最小值为.

变式2.（2023•北京海淀・北大附中校考三模）已知圆。:炉+9=1,直线3x+4y-10=0上动点尸，过点尸作

圆。的一条切线，切点为A,贝的最小值为（）

A.1B.72C.73D.2

变式3.（2023・全国•高三专题练习）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆

C:x2+y2_2x-2y+l=0的两条切线，A,3是切点.求四边形24cB面积的最小值.

（四）切线的应用

例7.（2023•四川成都•树德中学校考模拟预测）若直线依+勿=1（4>0,6>0）,与eO:Y+y2=i相

切，则a+2b最大值为（）

A.6B.y/5C.3D.5

变式1.（2023・四川南充・阖中中学校考二模）若点M是圆C:尤2+尸-4尤=0上的任一点，直线/:x+y+2=0

与x轴、》轴分别相交于A、8两点，则的最小值为（）

71一兀一兀一兀

A.—B.-C.—D.一

12436

变式2.（2023・全国•高三专题练习）已知圆C：（x+l）2+（y-l）2=4,若直线y=丘+5上总存在点P,使得

过点尸的圆C的两条切线夹角为60。，则实数上的取值范围是（）

QQ

A.k<-----B.k<---或左之1

1515

Q

C.k4---或女>0D.kN\

变式3.（2023春・江西高二临川一中校联考阶段练习）已知圆O:£+y2=4,直线/的方程为％—y+"=o,

若在直线/上存在点P,过点P作圆。的切线PA切点分别为点A,8,使得/APB为直角，则实数加的

取值范围为（）

A.（-oo,^4-）u（4,+oo）B.（-co,-4]u[4,+a）j

C.(-M)D.[-4,4]

考点四：圆的弦长问题求圆的弦长问题

例8.（2023秋•高二课时练习）过三点A（1,3）,B（4,2）,C（1,-7）的圆交于y轴于两点，则|同|=

（）

A.26B.8C.4&ID.10

变式1.（2023春・江苏南京•高二南京市江宁高级中学校联考期末）己知直线人尤+y-1=0：与圆

C:（x—3『+（y+4）2=5交于48两点，贝U|AB|=.

变式2.（2023•宁夏石嘴山・平罗中学校考模拟预测）直线/:皿-y+2-3皿=O（〃zeR）与圆

C:尤2+V_2y_15=0交于两点P、Q,则弦长|尸。的最小值是.

22

变式3.（2023秋•福建宁德•高二统考期中）已知P（2,2）,圆G:（x-1）?+y2=5,|§|C2:（x—3）+（y+1）=9,

若直线/过点尸且与圆G相切，则直线/被圆c?所截得的弦长为（）

A.4B.245C.6D.8

（一）已知圆的弦长求参数

在1例9.（2023春・上海黄浦•高二统考期末）设直线，="+3与圆/+）?=4相交所得弦长为2石，则

a=•

变式1.（2023秋•高一单元测试）在平面直角坐标系xQy中，已知圆”的圆心在直线丫=-2无上，且圆M

与直线x+y-l=0相切于点尸（2,-1）.

⑴求圆M的方程；

（2）过坐标原点0的直线/被圆“截得的弦长为屈,求直线/的方程.

变式2.（2023秋•高一单元测试）已知直线/：丘-、-2左+2=。被圆C：/+（，+1>=16所截得的弦长为

整数，则满足条件的直线/有条.

变式3.（2023・山东济宁・嘉祥县第一中学统考三模）若直线丘-，+1-2左=。与圆C：（x-iy+y2=4相交

于A,8两点,贝UIA3I的最小值为（）

A.2A/3B.2夜C.73D.应

变式4.（2023春•陕西西安•高二西安市铁一中学校考阶段练习）设。、》为正数，若直线依-勿+1=0被

圆f+y?+4x-2y+1=0截得弦长为4，贝I的最小值为__________.

ab

变式5.（2023秋•黑龙江佳木斯・高二佳木斯一中校考期末）已知过点（0,2）的直线/与圆心为C的圆

（彳-2）2+（丫-1）2=10相交于人，3两点，当AABC面积最大时，直线/的方程为（）

A.2尤一y+2=0B.2%—y+2=0或2%+y一2二0

C.x=0D.x=0或2x+y-2=。

（二）圆的中点弦问题

例10.（2023・全国•高三专题练习）若点为圆C:x2+y2-4x=0的弦AB的中点，则直线AB

的方程是（）

A.x-y-2=0B.x-y+2=0C.x-y=0D.x+y=0

变式1.（2023秋・辽宁锦州•高二校考期中）若尸（-2,1）为圆f+2x+y2=io的弦AB的中点，则直线A3的

方程是（）

A.x-y-3=0B.x+y+3=0

C.x-y+3=0D.x+y-3=0

变式2.（2023秋・北京・高二人大附中校考阶段练习）圆C:Y+4x+y2_5=0的一条弦以点4-1,2）为中点,

则该弦的长为（）

A.2B.4C.非D.2非

变式3.（2023秋•天津河东•高二统考期中）已知圆C:Y+（y-I）?=10,直线/过点P（2,2）且与圆C交于4,8

两点，若P为线段的中点，。为坐标原点，则AAC®的面积为.

考点五：直线与圆的综合问题

［例11.【多选】（2023•湖北武汉・统考三模）己知圆C：x2+y2=l,直线/：y=x+l,则（）

A.直线/在y轴上的截距为1

B.直线/的倾斜角为:

4

C.直线/与圆C有2个交点

D.圆C上的点到直线/的最大距离为&

变式1.【多选】（2023春・广西河池•高二校联考阶段练习）已知直线/：丘-丁-左=。与圆

M:x2+y2-4x-2y+1=0,则下列说法正确的是（）

A.直线/恒过定点（1,0）

B.圆M的圆心坐标为（2,1）

C.存在实数%,使得直线/与圆/相切

D.若％=1,直线/被圆M截得的弦长为4

变式2.【多选】（2023春・湖北孝感•高二校联考阶段练习）已知圆C:（x-l）2+（y-l）2=4,直线

l:x+my+2m-3=0,则下列说法正确的是（）

A,直线/过定点（-2,3）

12

B.当加=不时，直线/与圆C相切

C.当机=-1时，过直线/上一点P向圆C作切线，切点为。，则|尸01的最小值为当

12

D.若圆C上只有一个点到直线/的距离为1,则，〃=-y

变式3.【多选】（2023秋・广东揭阳•高二统考期末）已知圆M:（x-l）2+（y-l）2=4,直线/:无+y+2=。,

产为直线/上的动点，过点尸作圆〃的切线上4、PB,切点为A、B,则下列结论正确的是（）

A.四边形MAE?面积的最小值为4B.四边形MAPS面积的最大值为8

C.当NAPfi最大时，\PA\=2y/2D.当/APB最大时，直线的方程为x+y=0

变式4.【多选】（2023春•重庆沙坪坝•高二重庆八中校考期中）圆C：%2+/+4x-6y+4=0,直线

/:3x-4y-2=0,点尸在圆C上，点。在直线/上，则下列结论正确的有（）

A.直线/与圆C相交

B.的最小值是1

C.若P到直线/的距离为2,则点P有2个

D.从。点向圆C引切线，则切线段的最小值是S

变式5.【多选】（2023春•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考期末）已知直线/：>=京+2左+2（左eR）与圆C：

x2+/-2y-8=0.则下列说法正确的是（）

A.直线/过定点（-2,2）

B.直线/与圆C相离

C.圆心C到直线/距离的最大值是20

D.直线/被圆C截得的弦长最小值为4

考点六：直线与圆方程的应用

在］例12.（2023春•广东广州•高二统考开学考试）如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度A8

为6米，拱高（圆拱最高点到水面的距离）为1米.早季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到

米.

变式1.（2023春•上海静安•高二上海市回民中学校考期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆

弧拱跨度AB=20米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱劣鸟=4米.

（1）建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程；

（2）求其它支柱的高度（精确到0.01米）.

变式2.（2023秋.山西晋中.高二统考期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽

分别为8m、4m）和圆弧构成，截面总高度为6m,为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶

部在坚直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度=6m.

(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程;

(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？

考点七：韦达定理及其应用

例13.(2023春・江苏镇江•高二扬中市第二高级中学校考开学考试)已知圆C经过点仅，-⑹，(0,⑹

及(3,0).经过坐标原点0的斜率为k的直线/与圆C交于M,N两点.

⑴求圆C的标准方程；

(2)已知点尸(-3,0),若APACV的面积为2君，求女的值.

变式1.(2023秋・安徽芜湖•高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习)已知点4(0,0),3(2,0),曲线C任

意一点P满足|郎=&|酬.

⑴求曲线C的方程；

(2)设直线x-y+〃z=。与圆C交于A、B两点，是否存在实数“3使得以48为直径的圆过原点，若存在，

求出实数机的值；若不存在，请说明理由.

变式2.(2023秋•陕西渭南•高一校考阶段练习)已知圆C经过网4,-2),。(-1,3)两点，且圆心C在直线

无+>-1=0上.

⑴求圆c的方程；

(2)若直线/：y=-尤+m与圆C交于点A,B,且以线段A8为直径的圆经过坐标原点，求直线/的方程.

变式3.(2023秋•高二单元测试)已知方程V+y2-2x-4y+"z=0,〃zeR.

(1)若此方程表示圆，求机的取值范围；

⑵若⑴中的圆与直线x+2y-4=0相交于河，N两点，S.\OM+ON\=\OM-ON\(。为坐标原点)，求

m的值.

变式4.(2023秋•辽宁大连•高三校联考阶段练习)圆C:V-(l+a)尤+y2-ay+a=0.

(1)求证：不论。为何值，圆C必过两定点;

⑵已知圆C与龙轴相交于两点M,N(点/在点N的左侧).过点M任作一条与X轴不重合的直

线与圆O:/+y2=9相交于两点A,B,问：是否存在实数。，使得拉=若存在，求出实数。

的值，若不存在，请说明理由.

考点八：与圆有关的定点、定值问题

例14.(2023秋・广西桂林・高二广西师范大学附属中学校考阶段练习)过点加(1,0)的直线/与圆

C：/+(〉-2『=4交于AB两点，N为圆C与>轴正半轴的交点.

⑴若|AB卜2百，求直线/的方程；

(2)证明：直线4V,9V的斜率之和为定值.

变式1.(2023秋・福建宁德•高二统考期中)己知圆C过点A(7,⑹，且与直线后-y=0相切于点网1,@.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若M(-2,0),N(2,0),点尸在圆C上运动，证明：血为定值.

变式2.(2023秋广东深圳•高二统考期末)已知过点P(0T)的直线/与圆E:/+/一4尤-6y+4=0交于A,

B两点，M为AB的中点，直线/与直线机：x+2y+4=0相交于点N.

(1)当|A8|=2V7时，求直线/的方程；

(2)证明：西7.丽+丽・而为定值.

QCj例15.(2023秋•江苏连云港•高二统考期中)已知圆0:1+产=16,直线x-2y-8=。与圆。交于

A,B两点.

⑴求1叫；

⑵设过点P(2,-4)的直线交圆。于M,N两点，过M且平行于无轴的直线与线段A8交于点T,点S满足

MS=2MT.证明：直线SN过定点.

变式1.(2023春•上海徐汇•高二上海市徐汇中学校考期中)已知圆M方程为2)2=1,直线/的方

程为无-2y=0,点p在直线/上，过P作圆M的切线9、PB,切点为A、B.

⑴若尸点坐标为(。,。)，求NAPfi

(2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点〃的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.

变式2.（2023春•四川广安•高二广安二中校考阶段练习）己知在平面直角坐标系xOy中，A（0,l）,3（0,4）,

平面内动点尸满足21PAi=|依|.

（1）求点P的轨迹方程；

⑵点尸轨迹记为曲线?，若C,。是曲线r与x轴的交点，E为直线I：x=4上的动点，直线CE,OE与曲

线，的另一个交点分别为M，N,直线MN与无轴交点为。，求点。的坐标.

||函真题演练

----------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIII------------------------

1.（2023・全国・统考高考真题）已知实数无，、满足/+/一4了-2丁-4=0,则左一》的最大值是（）

A.1+孚B.4C.1+3忘D.7

2.（2023・全国•统考高考真题）过点（0,-2）与圆V+、2-4丈-1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=（）

A.1B.巫C.叵D.逅

444

3.【多选】（2021•全国•统考高考真题）3知直线/:◎+勿-产二。与圆c：x2+y2=/,点A（a,b）,则下列

说法正确的是（）

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

4.（2023•全国•统考高考真题）已知直线/：x-my+l=0与。C:（尤-1）2+y=4交于A,B两点，写出满足

Q

“△ABC面积为:'的m的一个值_____.

5.（2021・天津•统考高考真题）若斜率为6的直线与y轴交于点A,与圆/+（y-l）2=l相切于点3,则|AB|=

6.（2022.天津•统考高考真题）若直线X7+加=0（加>0）与圆（*-1）2+（>-1）2=3相交所得的弦长为机，

贝|机=.

7.（2022•全国•统考高考真题）设点4-2,3）,8（0,a）,若直线A3关于>=。对称的直线与圆

（x+3y+（y+2>=1有公共点，则。的取值范围是.

1昼过关检测门:

-------------------llllllllllllllllillllllllllllllllllllllll------------------------

一、单选题

1.（2023春•广西高三统考阶段练习）若直线x+2y+l=。是圆（x-a）2+y2=i的一条对称轴，则"=（）

A.；B.—C.1D.—1

22

2.（2023春・福建厦门•高二厦门双十中学校考阶段练习）过直线，=无上的一点尸作圆（X-5）2+（y-以=2的

两条切线4，6,切点分别为43,当直线4，4关于V=尤对称时，线段上4的长为（）

A.4B.20C.屈D.2

3.（2023春・甘肃白银•高二校考期末）坐标轴与圆C:f+/一4-2丁+1=0的交点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

4.（广东省江门市2023-2023学年高二下学期期末数学试题）若直线x-y+3=0与圆Y+/-2x+2-a=。

相切，贝（）

A.9B.8C.7D.6

5.（2023•江苏镇江•江苏省镇江中学校考模拟预测）己知半径为1的圆。上有三个动点A,8,C,且||=0，

则正.瓦1的最小值为（）

]LI—1

A.1—^/2B.y/2—1C.——D.——

6.（2023•山东泰安・统考模拟预测）已知直线/：m—>+加+1=0（6。0）与圆C:/+y2—4%+2y+4=0,过

直线/上的任意一点2向圆C引切线，设切点为A5,若线段A5长度的最小值为百，则实数加的值是（）

1212-77

A.——B.­C.-D.——

5555

7.（2023春・江西九江•高二德安县第一中学校考期中）设直线/被圆C：/+,2—2%——=（）所截得弦A5的

中点为则直线/的方程为（）

A.x+y+3=0B.元一）+3=0

C.x+y-3=0D.%-丁一1=0

8.（2023秋・重庆长寿•高二统考期末）已知直线%+>+根=0（根>0）与圆O:/+y2=i相交于人，8两点，

当AAQS面积最大时，实数根的值为（）

A.2B.1C.gD.-

24

9.（2023・高二课时练习）已知从点（-5,3）发出的一束光线，经无轴反射后，反射光线恰好平分圆：

（尤-lf+（y-l）2=5的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）

A.2x-3y+l=0B.2x-3y-l=0

C.3x—2y+l=0D.3%—2y—1=0

二、多选题

10.（2023秋•高二单元测试）设直线/过点（-2,0）,且与圆x?+y2=i相切，贝心的斜率是（）

A.-V3B.-@C."D.73

33

11.（2023秋・福建宁德•高二统考期中）已知点P在圆C:无2+丁-2尤-3=0上，点分别为直线

/:3x-4y+12=0与x轴，y轴的交点，则下列结论正确的是（）

A.直线x=-1与圆C相切B.圆C截y轴所得的弦长为4

C.的最大值为7D.△形尸的面积的最小值为g

12.（2023春•福建福州•高二校联考期中）已知圆C:（x+iy+（y-2）2=25,直线

/:（3〃7+l）x+（〃2+l）y—5，〃-3=0,贝!］（）

A.直线/与圆C相交

B.直线/过定点（2,1）

C.圆C被y轴截得的弦长为

D.圆C被直线/截得的弦长最短时，直线/的方程为x=l

13.（2023・吉林长春・东北师大附中校考模拟预测）已知圆E1的圆心在直线x=2上，且与/:X-6J+2=0相

切于点可1,6）,过点。（LO）作圆E的两条互相垂直的弦A3,8,记线段A3,8的中点分别为则

下列结论正确的是（）

A.圆E的方程为（x-2）2+;/=4B.四边形AC3£＞面积的最大值为4石

C.弦A8的长度的取值范围为［2君,4］D.直线恒过定点1

14.（2023春•河南周口•高二校联考阶段练习）已知直线1与圆O:/+y2=i相切于点〃，且分别与x轴的

正半轴、y轴的正半轴交于A,B点，则下列各选项正确的是（