直线与圆的位置关系知识归纳与题型训练（6类题型清单）原卷版-2024-2025学年浙教版九年级数学下册

直线与同的位置关系知识归纳与题型训练

（6类题型）

01思维导图

直线与圆相离直线与圆没有公共点）

K位置关系A-（直线与圆相切A~（直线与圆有唯一个公共点）

X直线与圆相交A~（直线与圆有2个公共点）

|~一（直线与圆的位置关系）

圆。的半径为r,圆心C®l直线I的距离为d

K位置关系的定理dVro直线，与圆。相交；

d=ro直线Z与圆O相切；

d>ro直线/与圆。相离；

切线的判定］，一［煞整幽脸并且垂直这条半径的直线是圆的切线

切线的判定与性质

直线与圆的切线的性质1经过切点的半径垂直于圆的切线

位置关系

定义：从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段

的长叫做切线长

切线长定理

过圆外一点所作的圆的两萩线长相等

内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆

.的外切三角形

三角形的内切圆

内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心

02知识速记

一、直线与圆的位置关系

1、直线与圆的3种位置关系：

（1）直线与圆相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交；

（2）直线与圆相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，该公共点叫作切点;

（3）直线与圆相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；

（、/\\

•0II"）I•Q

直线/与圆。相交直线/与圆。相切直线,与圆〃相离

2、直线与圆的位置关系定理:

如果圆。的半径为r,圆心0到直线1的距离为d,那么:

直线/与圆。相交；

d=ro直线/与圆。相切；

d>r直线/与圆。相离；

3、直线与圆相切的判定定理：

经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线；

4、圆的切线的性质：

经过切点的半径垂直于圆的切线；

要点诠释：

切线性质的应用口诀：有切点，连半径，得垂直；

切线判定的应用口诀：有切点，连半径，证垂直；

无切点，做垂直，证半径；

二、切线长定理

1、切线长：从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切

线长；

如图，线段PA、PB的长是点P到圆0的切线长

2、切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等

如上图，当PA与PB与圆0相切时，PA=PB；

另有性质：①0P垂直平分AB；②0P平分/AOB、ZAPB

三、三角形的内切圆

1、内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的

外切三角形。

2、三角形的内心：三角形的三条角平分线的交点；A

要点诠释：

如图，RtAABC中，圆0为其内切圆，r为△ABC的内切圆半径；则有

\C

r=a+b—cb/—\

2/0\

•IX

I/\

____________________K\

03题型归纳ca1

题型一直线与圆的位置关系

例题：

1.（2023秋•东阳市期末）已知。。的半径为5,点。到直线a的距离为4,则直线。与。。公共点的个数

为（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

2.（2024•镇海区校级二模）已知。。的直径为6c加，点。到直线/的距离为4"?,贝!）/与。。的位置关系

是（）

A.相离B.相切

C.相交D.相切或相交

3.（2024秋•沐阳县校级月考）已知。。的半径是一元二次方程/-2x-3=0的一个根，圆心。到直线/

的距离d=4,则直线/与的位置关系是.

巩固训练

4.（2024•西湖区校级开学）如图，在矩形N8CD中，BC=6,AB=3,是以8c为直径的圆，则直线

AD与的位置关系是.

AD

BC

5.（2024•拱墅区一模）在直角坐标系xQy中，对于直线/：y=kx+b,给出如下定义：若直线/与某个圆相

交，则两个交点之间的距离称为直线/关于该圆的“圆截距”.如图，点〃的坐标为（-1,0）,若O"

的半径为2,当人的取值在实数范围内变化时，直线/关于OM的“圆截距”的最小值为加，贝U6的

值为

6.（2023秋•江北区期末）如图,在RtZUBC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,若0C与直线N8相交,

()

C.r>2.4D.2.4<r<4

题型二切线的性质

例题：

1.（2023秋•镇海区月考）如图，在平面直角坐标系中，。/与y轴相切于原点。，平行于x轴的直线交

于M、N两点，若点〃的坐标是（-8,-4）,则点N的坐标为（）

A.（-5,-4）B.（-4,-4）C.（-3,-4）D.（-2,-4）

2.（2023秋•婺城区期末）如图，△48C的边与。。相切于点8,点C在上，边NC经过圆心

O.已知N/=36°,则NC的度数为（）

A.27°B.36°C.40°D.54°

3.（2024秋•婺城区校级期中）如图，48是。。的直径，PA,PC分别与。。相切于点C,PC交AB

的延长线于点D,DELPO交PO的延长线于点E.

（1）求证：/PDE=NPOA；

（2）若尸C=12,tan/4PC=-l,求DE的长.

巩固训练

4.（2024•莲都区二模）如图，48是O。的直径，C,。是。。上的两点，过点C作O。的切线交48的延

长线于点£,若/E=40°,则/。的度数为（）

5.（2024•鹿城区校级三模）如图，。。经过矩形4BCD的顶点/,B,且与边CD相切于点E,与边

交于点尸，若AF=9DF,则N8和8c的比值为（）

。・唔DY

6.（2023•衢州一模）如图，点。在△/3C的边NC上，。。经过点C,且与相切于点8.若。C=l,

NC=3,则黄的长为（）

7.（2024•浙江模拟）如图，N5是。。的直径，3C切。。于点2,N/C2的平分线交N5于点尸，若/C=

5,BC=3,则。尸的长为,

8.（2024•定海区三模）如图，尸为。O的直径A4延长线上的一点，PC为。。的切线，切点为C,CDL

4B于D,连接NC.

（1）求证：/c平分/pen

（2）若尸N=3,AC=V3＞求。。的半径.

题型三切线的判定

例题：

1.（2023•拱墅区二模）如图，点8在。/上，点C在。/外，以下条件不能判定3c是。/切线的是（）

B.NB-

C.AB1+BC1=AC1

D.GM与NC的交点是/C中点

2.（2024•金华模拟）如图，已知：以的直角边为直径作O。，与斜边NC交于点。，E为BC

边上的中点，连接DE.

（1）猜想DE是。。的切线吗？并证明你的结论；

（2）若/C=40°,AD=6,求。。的半径.（精确到0.01,sin40°心0.64,cos40°心0.77）

巩固训练

3.（2023•龙游县一模）如图，在平面直角坐标系xQy中，半径为2的OP的圆心P的坐标为（-3,0）,

将OP沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使OP与了轴相切，则平移的时间为秒.

4.（2023•龙游县校级一模）已知：如图，△48C中，AB=AC,以N8为直径的交8c于点尸，PDL

NC于点D

（1）求证：尸。是。。的切线；

（2）若/a8=120°,AB=6,求8c的值.

题型四切线的判定与性质

例题：

1.(2024•嘉兴一模)如图，AB=6,以45为直径作半圆，弦CD〃AB,将C。上方的图形沿CD向下折

叠，使弧与直径45恰好相切于点O,则图中阴影部分的面积为.

」......、、

cj'产

AoB

2.(2023秋•柯桥区月考)如图，AB=BC,以5c为直径作。。NC交0。于点£,过点£作EGJ_/8于

点、F,交C8的延长线于点G.

(1)求证：EG是。。的切线；

(2)若GF=2正，GB=4,求。。的半径.

巩固训练

3.(2023秋•浙江期末)如图，是。O的直径，点C、。在上，且ND平分NC48.过点。作ZC

的垂线，与NC的延长线相交于E,与N2的延长线相交于点尸.

(1)求证：即与。。相切；

(2)若DF=2%，BF=2,求。。的半径.

4.(2023•婺城区校级模拟)如图，48为。。的直径，点C是弧48的中点，点。在圆。上，点、E在AB

的延长线上，且EP=ED.

(1)求证：是。。的切线；

(2)连接3C,若tan/BCD=_LDE=6,求N8的长.

C

5.（2023秋•郸州区期末）如图，48为。。的直径，点P为区4延长线上一点，以点P为圆心，尸。为半

径画弧，以点。为圆心，N8为半径画弧，两弧相交于点C,连结OC交。。于点。，连结PZX（1）求

证：即与。。相切;

（2）若PD=4近，cos/POC」，求。。的半径.

3

题型五切线长定理

例题：

1.（2022•拱墅区模拟）如图，48、AC,3。是O。的切线，切点分别是P、C、D.若48=10,/C=6,

则BD的长是（）

A.3B.4C.5D.6

2.（2023秋•玉环市校级期中）如图所示，过半径为6c%的。。外一点尸引圆的切线尸/,PB,连接P。

交O。于尸，过尸作O。的切线，交P4,尸2分别于。，E,如果产。=10c加，ZAPB=40°,则△尸矶）

的周长=;的度数.

BX

3.（2021春•永嘉县校级期末）如图，PA,尸2分别切。。与点/,B,跖V切。。于点C,分别交PHPB

于点跖N,若PA=15cm,则△PAW的周长是（）

A.7.5cmB.10cmC.12.5cmD.15cm

巩固训练

4.（2021•绍兴模拟）如图，在矩形48。□中，AB=3,BC=2,以为直径在矩形内作半圆，自点/作

半圆的切线/E,则sin/C3E=（）

。・唔

5.（2023秋•拱墅区校级月考）如图，一圆内切于四边形48CD,且45=16c加，CD=10cmf则四边形的

周长为.

A'B

题型六三角形的内切圆与内心

例题：

1.（2024•拱墅区一模）如图，在△Z2C中，AB+AC^^-BC,4D_LBC于D,。。为△4BC的内切圆，设

3

O。的半径为七AD的长为场,则旦的值为（）

h

A.3B.2C.AD..1

8732

2.（2024•西湖区校级开学）要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（）

A.三边高线的交点

B.三个角的平分线的交点

C.三边垂直平分线的交点

D.三边中线的交点

3.（2024•青田县校级模拟）如图，△A8C的内切圆。。分别与BC,NC相切于点。，E,F,且AD=

3,BE=2,CF=4,则△4BC的周长为（）

A

A.18B.17C.16D.15

巩固训练

4.（2024•浙江一模）如图，四边形/BCD为矩形，点E在边CD上，DE=2CE,。。与四边形4BED的

各边都相切，。。的半径为x,/XBCE的内切圆半径为乃则x：y的值为（)

A.2B.AC.3D.12

33

5.