中考数学解题方法专项训练：新定义问题（原卷版+解析）

52第11章新定义问题之新定义问题

一、单选题

1.定义新运算：对于任意两个有理数。，b,有/b=/（8—1）,则（—3）*4的值是（）

A.-9B.-27C.27D.9

2.阅读短文，完成问题：

沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算”，然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法

则进行运算的算式：

（+5必（+2）=+7；（―3）※（—5）=+8；（―3）※（+4）=—7；（+5）※（—6）=—H；0X（+8）=8；（-6必0=6.

下列是智羊羊看了这些算式后的思考，其中正确的有（）

A.两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加

B.0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，等于这个数本身

C.（一2）※[0※（一1）]=（—2）※（-1）=3

D.加法交换律在有理数的※（加乘）运算中不适用

3.己知点A在函数！（%>0）的图象上，点3在直线为=3%+4上，若A、B两点关于原点对称,

x

则称点A、B为函数为、为图象上的一对“友好点”•请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）

A.只有1对B.只有2对C.有1对或2对D.有无数对

4.对于两个非零有理数a、b定义运算※如下：aXb=^————,则（-3）※（-4）=（）

2b3

33

A.-3B.—C.3D.--

22

5.对于有理数a、b,定义一种新运算“※”，规定：aXb=|a|-|b|-|a-b|,贝|2※（-3）等于（）

A.-2B.-6C.0D.2

6.对于实数尤,V,规定一种运算：x\y=ax+by（a,b是常数），己知243=11,5A（-3）=10,则a,匕

的值为（）

35

A.a=3,b=—B.a=2,b=3C.a=3,b=—D.a=3,b=2

53

7.设以)表示大于工的最小整数，如[3)=4,[-1.2)=-1,则下列结论中正确的是(填写所有正确结论

的序号)①[0)=0；②比)-%的最小值是0；③[X)-%的最大值是1；④存在实数X,使[%)-x=0.6成

立.()

A.①②B.②③C.③④D.②③④

「尤+2-

8.对于有理数x，我们规定国表示不大于x的最大整数，例如[L2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3,若==6,

则x的取值可以是()

A.52B.62C.56D.68

9.若定义:f(a,b)=(-a,b),g(m,n)=(m,-n),例如f(l,2)=(-l,2),g(-4,-5)=(-4,5),则g(f(3,-4))的值为()

A.(3,-4)B.(-3,4)C.(3,4)D.(-3,-4)

10.若点河，N分别是两条线段。和〃上任意一点，则线段MN长度的最小值叫做线段。与线段6的“理

想距离已知0(0,0),41,1),5(3,左),。(3,左+2),线段3c与线段。4的“理想距离''为2,则左的取值错

误的是()

A.-1B.0C.1D.2

11.若定义新运算4区人=精，贝1(2⑤2虑3的值为()

A.12B.16C.64D.81

12.我们规定这样一种运算：如果ab=N(a>0,N>0),那么b就叫做以a为底的N的对数，记作：b=logaN,

例如：因为23=8,所以log28=3,那么log381的值为()

A.4B.9C.27D.81

btnq丈,Q2QmJi-*3=（）

13.现规定一种新运算“*”：女口3*2=3-9,贝I]:

113

A.-B.8C.一D.-

682

14.在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(。力)，若规定以下三种变换:

①"9)=(—。力).如，/(1,3)=(-1,3)；

②g(a,b)=伽a).如，g(1,3)=(3,1)；

③h(a,b)=.如，/i(l,3)=(-1,-3).

按照以上变换有：/(g(2,-3))=f(-3,2)=(3,2),那么以(妆5,-3))等于(

A.(—5,—3)B.(5,3)C.(5,-3)D.(-5,3)

15.对于任何一个数，我们规定符号ababx+1x

的意义是=ad—be,按照这个规定计算的

cddx—2x~l

结果是()

A.—2x—1B.—2x+1C.2x+1D.2x-l

二、填空题

16.等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值左称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰AABC中，

ZA=70°,则它的特征值左=.

17.“！”是基斯顿・卡曼于1808年发明的一种数学运算符号，叫做阶乘.自然数几的阶乘写作加，并且知道:

201

1!=1,21=2x1=2,3!=3x2xl=6,……那么一1等于.

21!

18.规定㊁是一种新运算规则：a®b=a2-b2,例如：2®3=22-32=4-9=-5,则5®[1®(-2)]=.

19.定义一种新运算“*“：xy=2xy-x1,贝!)-1*2=

20.对于任意有理数a,b,c,d,规定一种运算：，[二ad-be,例如J|=5x(-3)-1x2=-17.如

果I：：|=2,那么m=.

21.任何实数。，可用[a]表示不超过。的最大整数，如[4]=4,[73]=b现对72进行如下操作：，这

样对72只需进行3次操作后变为1.类似地，对81只需进行3次后为1,那么只需进行3次操作后变为1

的所有正整数中，最大的是.

22.现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a,b,有a*b=a+2b—1,a^b=2ab+\,则

(2*3)☆(3^2)的值为.

23.定义新运算：a*b=(a+2)(h-5),贝|5*(—7)=.

24.用“☆”定义一种新的运算：对于任意有理数a和b,规定a☆b=ab?+2ab+a.如：1☆3=lx32+2xlx3+l=16,

则G2)+3的值为.

25.用“※”定义新运算：对于有理数。力都有：a^b=ab-（a+b）,那么当加为有理数时，

⑸※3）=（用含加的式子表示）

26.“便>”定义新运算：对于任意的有理数。和b,都有“应人=尸+1.例如：905=52+l=26-当初

为有理数时，则机位（相位3）等于.

27.定义一种新运算规则如下：对于两个有理数a,b,aQb^ab-b,若（5。%）。（—2）=-1,则

x=_____

28.对于两个不相等的实数a也我们规定符号max{a,圻表示中的较大值，如：max{2,4}=4,故

max{3,5}=；按照这个规定，方程max{x,-x}=-------的解为.

29.%、y是一个函数的两个变量，若当。0烂人时，有（a<b）,贝!!称此函数为〃上的闭函数.如

函数产一x+5,当20x03时，2<y<3,所以y=—x+5是2sx03上的闭函数，已知二次函数y=N+6x+m是

区运-3上的闭函数，则m的值是.

30.定义一种新的运算：a*6=巴子，如：4*1=4+广=|,则（2*3）*（—1）=.

三、解答题

31.定义：若a+b=2,则称。与6是关于1的平衡数.

（1）直接填写：①5与是关于1的平衡数；

②1-2龙与是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）；

③y与________是关于1的平衡数（用含y的代数式表示）；

@z与Z是关于1的平衡数，则Z=.

（2）若a=2x~—3（尤~+x）+3,b=2x—[3x—（4x+x~）+l],先化简a、b,再判断.与6是否是关于

1的平衡数.

32.设用符号<a,b>表示a,6两数中较小的数，用团，切表示a,。两数中较大的数.试求下列各式的值.

（1）<-5,-0.5>+[-4,2]；

（2）<1,3>+[-5,<-2,7>].

33.若a,6是有理数，定义一种运算“③"：a®b^ab-2a-2b+l,

（1）计算3⑤（—2）的值;

(2)计算［(-4虑2］区(-3)的值；

(3)定义的新运算“③”对交换律是否成立？请写出你的探究过程.

34.历史上的数学巨人欧拉最先把关于尤的多项式用/(x)来表示.例如：f(x)^x2+3x-5,当％时,

多项式的值用/(«)来表示.例如％=—1时，多项式无2+3%—5的值记为/(—1)=(-1)2+3x(-1)-5=-7.

(1)已知/(x)=—2/—3x+l,求/(—2)的值;

(2)已知/(x)=ax'+2%2-ax-5,当/0.求a的值;

(3)已知/。)=加+法+7(其中a,6为常数)，若/(—7)=—17,求/(7)的值.

Q+C

35.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a,b),B(c,d),若点T(x,y)满足％=---,y

="4，那么称点T是点A,8的三分点.

3

例如：A(-1,5),B(7,7),当点T(x,y)满足x==吆=2,>=三2=4时，则点T(2,4)是

点A,8的三分点.

(1)已知点C(-l,8),D(1,2),E(4,-2),请说明其中一个点是另外两个点的三分点.

(2)如图，点A为(3,0),点82什3)是直线/上任意一点，点T(x,y)是点A,8的三分点.

①试确定y与尤的关系式.

②若①中的函数图象交y轴于点M，直线/交y轴于点N,当以M,N,B,T为顶点的四边形是平行四边形

时，求点5的坐标.

③若直线AT与线段MN有交点，直接写出/的取值范围.

36.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（x,,y）,B（%2，%）,若点T（x,y）满足x=%：,

K-

y=2i±A,那么称点T是点A，3的左联点.例如：A（o,8）,B（3,l）,当点T（x,y）满足了=写=1,

k3

QI1

y='」=3时，则T（l,3）是点A，3的3联点.

（1）已知点C（x,y）是点A（—1,5）,8（10,4）的2联点，求点C坐标；

（2）已知点展总是点“（1,5）和点N（3,〃）的左联点，求左和〃的值；

⑶如图，点。（3,0）,若点E&2/+3）是直线/上任意一点，点T（x,y）是点的3联点，直线ET交

①直接写出点H的坐标；

②当AD7H为直角三角形时，求点E的坐标.

37.在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A,B,C的“矩积”，给出如下定义：“横底”a：任意两点横

坐标差的最大值；“纵高”h：任意两点纵坐标差的最大值；贝『'矩积"S=ah.例如：三点坐标分别为A（1,

-2）,B（2,2）,C（-1,-3）,则“横底”a=3,“纵高”h=5,“矩积"S=ah=15.已知点D（-2,3）,E

（1,-1）.

（1）若点F在x轴上.

①当D,E,F三点的“矩积”为24,则点F的坐标为；

②直接写出D,E,F三点的“矩积”的最小值为；

（2）若点F在直线y=mx+4上，使得D,E,F三点的“矩积”取到最小值，直接写出m的取值范围是.

备用图备用图

38.我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”.

用3翻四

图I

(1)如图1,在四边形ABC。中，ZA+ZC=270°,ZD=30°,=求证：四边形ABCD是“准

筝形”；

(2)如图2,在“准筝形”ABCD中，AB^AD,ABAC=ZBCD=60°，BC=4,CD=3,求AC的

长；

(3)如图3,在AABC中，ZA=45°,ZABC=120°,AB=3—6设。是AABC所在平面内一

点，当四边形A3CD是“准筝形”时，请直接写出四边形A3CD的面积.

39.定义一种新运算：观察下列各式:

[☆3=lx5+3=8；3^(-1)=3x5-1=14；5^r4=5x5+4=29；4☆(-3)=4x5-3=17

(1)请你算一算：(-3)☆(-6)=；

(2)请你想一想：a表b=;

(3)若〃☆(—，)=5,请计算(a—☆(5a+3。)的值.

40.定义一种新运算：球b=2a—济.例如：2X5=2x2—5°=3.

（1）求（—2）※（—1）的值；

（2）己知，算式"（—万）°+卜一若卜］辛；—•"的最终结果是1,“•”部分的值和a※/b#0）相等，且

a=2sin（夕+15°）,求锐角£的值.

52第11章新定义问题之新定义问题

一、单选题

1.定义新运算：对于任意两个有理数。，b,有a%=/仍—]),贝i](—3)*4的值是()

A.-9B.-27C.27D.9

【答案】C

【分析】根据定义新运算公式计算即可.

【解答】解：由题意可得(一3)*4

=(-3)2X(4-1)

=9x3

=27

故选C.

【点评】此题考查的是定义新运算，掌握有理数乘方的意义和乘法法则是解题关键.

2.阅读短文，完成问题：

沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫※(加乘)运算”，然后他写出了一些按照※(加乘)运算的运算法

则进行运算的算式：

(+5必(+2)=+7；(―3)※(—5)=+8；(―3)※(+4)=—7；(+5)※(—6)=—H；0※(+8)=8；(-6必0=6.

下列是智羊羊看了这些算式后的思考，其中正确的有()

A.两数进行※(加乘)运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加

B.。和任何数进行※(加乘)运算，或任何数和0进行※(加乘)运算，等于这个数本身

C.(―2)※[0※(—=2)※(-1)=3

D.加法交换律在有理数的※(加乘)运算中不适用

【答案】A

【分析】首先根据※(加乘)运算的运算法则进行运算的算式，归纳出※(加乘)运算的运算法则即可判

断A；然后根据：0X(+8)=8；(―6必0=6,可得：0和任何数进行※(加乘)运算，或任何数和0进行

X(加乘)运算，等于这个数的绝对值可判断B；根据总结出的※(加乘)运算的运算法则，以及有理数

的混合运算的运算方法，求出（-2）※［0※（-1）］的值是多少即可判断C；加法有交换律和结合律，这两种

运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可判断D.

【解答】解：由归纳※（加乘）运算的运算法则：两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并

把绝对值相加，故A正确；

由0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，等于这个数的绝对值，故B错误;

由（―2忤［0※（—1）］=（―2忤（+1）=—3,故C错误；

加法交换律和加法结合律在有理数的※（加乘）运算中还适用.由※（加乘）运算的运算法则可知：（+5）

X（+2）=+7,（+2）※（+5）=+7,所以（+5）派（+2）=（+2）※（+5）,即加法交换律在有理数

的※（加乘）运算中还适用，故D错误.

故选A.

【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺

序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做

括号内的运算，注意加法运算律的应用.

3.己知点A在函数,（%>0）的图象上，点3在直线%=3x+4上，若人、3两点关于原点对称,

x

则称点A、B为函数%、为图象上的一对“友好点”.请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）

A.只有1对B.只有2对C.有1对或2对D.有无数对

【答案】B

【分析】根据“友好点”的定义知，点A在函数%=-4（%>0）的图象上关于原点对称点B一定在直线

X

%=3x+4上，然后进行求解即可.

【解答】解：设点A%,—51,由题意得点在直线％=3x+4上，则有：

-=-3tz+4,整理得：3a2—4a+l=0；

a

解得q=g,%=1，因止匕“友好点”的个数为2对；

故选B.

【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数上点的坐标及“友好点”的定义是解题的

关键.

4.对于两个非零有理数a、b定义运算※如下：aXb=^-----------，则（-3）X（--）=（

2b3

33

A.-3B.—C.3D.--

22

【答案】B

【分析】根据新定义运算代入计算即可.

_2-6+2

_4

-3

-2

故选B.

【点评】本题考查了新定义下的实数运算，正确代入新定义运算中是解题的关键.

5.对于有理数a、b,定义一种新运算“※”，规定：aXb=|a|-|b|-|a-b|,则2※（-3）等于（）

A.-2B.-6C.0D.2

【答案】B

【分析】根据aXb=|aHbHa-b|,可以求得所求式子的值.

【解答】解:Va^b=|a|-|b|-|a-b|,

―※（-3）

=|2|-|-3|-|2-(-3)|

=2-3-|2+3|

=2-3-5

=-6,

故选：B.

【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.

6.对于实数光,，，规定一种运算：xAy=ax+by（a,b是常数），已知2Z^3=11,5A（-3）=10,则a涉

的值为（）

35一

A.a=3,b=—B.a=2,b—3C.a=3,b=—D.a=3,b—2

53

【答案】C

【分析】根据解方程组，可得答案.

【解答】解：由题意，得

2a+3b=ll,5a-3b=10

解得a=3力=9

3

故选：C

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用'△y=ax+by（a、b是常数）”得出方程组是解题关键

7.设[尤）表示大于x的最小整数，如[3）=4,1-1.2）=-1,则下列结论中正确的是（填写所有正确结论

的序号）①[0）=0;②[x）-x的最小值是0；③口）-x的最大值是1；④存在实数x,使[无）-x=0.6成

立.（）

A.①②B.②③C.③④D.②③④

【答案】C

【分析】利用题中的新定义判断即可.

【解答】解：：[x）表示大于X的最小整数，

.\0<[x）-x<1

①[0）=1；

②[x）-X无最小值；

③[X）-X的最大值是1;

④存在实数X,使[X）-x=0.6成立，

故选：C.

【点评】此题考查了实数的运算，理解新定义实数的运算法则是解本题的关键.

「尤+2-

8.对于有理数x，我们规定国表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3,若—=6,

则x的取值可以是（）

A.52B.62C.56D.68

【答案】B

【分析】根据题意可得5868,再对各项进行判断即可.

x+2

【解答】•/k=6,

：.6/<-X--+--2-<7r

10

解得58Wx<68

则x的取值可以是62

故答案为：B.

【点评】本题考查了解不等式的问题，掌握解不等式的方法是解题的关键.

9.若定义：f(a,b)=(-a,b),g(m,n)=(m,-n),例如f(l,2)=(-l,2),g(-4,-5)=(-4.5),则g(f(3,-4))的值为()

A.(3,-4)B.(-3,4)C.(3,4)D.(-3,-4)

【答案】B

【分析】直接根据新定义的运算进行求解.

【解答】由题意知，f(3.-4)=(-3,-4),

.•.g(f(3,-4))=g(-3,-4)=(-3,4),

故选B.

【点评】本题是新定义运算，考查点的坐标变化，正确理解新定义运算规则是解题的关键.

10.若点河，N分别是两条线段。和6上任意一点，则线段长度的最小值叫做线段。与线段6的“理

想距离”.已知。(0,0),4(1,1),5(3,4),。(3,左+2),线段3c与线段。4的“理想距离”为2,则左的取值错

误的是()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得k的取值范围.

【解答】由题意可得，

1+2>1

'k<l

解得,-10仁1,

故D错误，

故选D.

【点评】本题考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的不等

式组.

11.若定义新运算aOb=d，则（2⑤2虑3的值为（）

A.12B.16C.64D.81

【答案】C

【分析】根据新定义列出算式计算即可.

【解答】解：=

（2®2）03=22（8）3=43=64,

故选C.

【点评】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键.

12.我们规定这样一种运算：如果ab=N（a>0,N>0）,那么b就叫做以a为底的N的对数，记作：b=logaN,

例如：因为23=8,所以log28=3,那么log381的值为（）

A.4B.9C.27D.81

【答案】A

【分析】先把81转化以3为底的幕，再根据有理数的乘方的定义和题目所提供的信息，log381等于以3

为底数81的对数.

【解答】解：•••34=81，

•,.log381=4.

故选：A.

【点评】本题主要考查新定义下的实数运算以及有理数乘方的理解，读懂题目信息并灵活运用是解题的关

键.

13.现规定一种新运算“*“：a*b="，如3*2=32=9,则量*3=（）

113

A.-B.8C.—D.一

682

【答案】C

【分析】仿照新定义的形式求解即可.

【解答】解：由题意可知：：。%=力，

故选：c.

【点评】本题借助新定义考查有理数的乘方运算，关键是能读懂题意，仿照新定义形式进行运算即可求解.

14.在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(。力)，若规定以下三种变换：

①/"=(").如,/(1,3)=(-1,3)；

②g(a,b)=伽a).如，g(1,3)=(3,1)；

③h[a,b)=(-a,询.如，h(l,3)=(-1,-3).

按照以上变换有：/(g(2,-3))=/(-3,2)=(3,2),那么了(妆5,—3))等于().

A.(—5,—3)B.(5,3)C.(5,—3)D.(—5,3)

【答案】B

【解析】【分析】根据题意的描述，可得三种变换的规律，按此规律化简/(/I(5,-3))可得答案，注意从

题目中所给的变化范例中找到验证规律.

【解答】解：根据题意，/(/I(5,-3))=/(-5,3)=(5,3)；

故选B.

【点评】本题考查了点的坐标，几何变换，读懂题目信息，理解八g、九的变化方法是解题的关键.

15.对于任何一个数，我们规定符号&b1+1%

,的意义是,=ad-bc,按照这个规定计算°,的

Caax-2x-i

结果是()

A.—2x—1B.—2%+1C.2%+1D.2%—1

【答案】D

ab

【分析】根据Ld—bc,可以将所求式子化简，本题得以解决.

ca

x+1x

【解答】解:

x-2x-1

=(x+1)(x-1)-X(x-2)

=x2-l-x2+2x

=2x-l,

故选：D.

【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答.

二、填空题

16.等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值上称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰AABC中,

NA=70°,则它的特征值左=.

414

【答案】一或一

711

【分析】分/A为顶角及/A为底角两种情况考虑，当/A为顶角时，利用三角形内角和定理可求出底角的

度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值k的值；当NA为底角时，利用三角形内角和定理可求出顶角的

度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值k的值.

【解答】当NA为顶角时，则底角度数为;义（180。-70。）=55。，

,70°14

贝nrlk=--=——；

55°11

当NA为底角时，则顶角度数为180。一70。><2=40。，

,40°4

k—-----=一；

70°7

4,14

故答案为：一或—.

711

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分/A为顶角及NA为底角两种情况求出“特

征值”k是解题的关键.

17.“！”是基斯顿・卡曼于1808年发明的一种数学运算符号，叫做阶乘.自然数〃的阶乘写作加，并且知道:

20'

1!=1.2!=2xl=2,3!=3x2xl=6,……那么一1等于

21!

【答案】—

21

201

【分析】根据题意，可以写出——的式子，然后化简即可解答本题.

21!

【解答】解：由题意可得，*20xl9xl8x...xl」,

21!21x20xl9x...xl21

故答案为：—

21

【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.

18.规定®是一种新运算规则：a^b—a2-b-,例如：2®3=22-32=4-9=-5,贝!J5®[1®(-2)]=.

【答案】16

【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值.

【解答】解：根据题中的新定义得：原式=5®(1-4)=5®(-3)=25-9=16.

故答案为：16.

【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

19.定义一种新运算"*"：xy-2xy-x~,贝U-l*2=

【答案】-5

【分析】根据新定义运算法则代入即可求解.

【解答】；x*y=2孙-/

.•.-1*2=41=5

故答案为：-5.

【点评】此题主要考查代数式求值，解题的关键是根据题意的运算方式即可求解.

20.对于任意有理数a,b,c,d,规定一种运算：力=ad-be,例如J|=5x(-3)-1x2=-17.如

果I一力=2,那么m=.

【答案】-5

【分析】按新定义规则展开，变成方程，解方程即可.

【解答】由I：中=2,

3x4-mx(-2)=2,

12+2m=2,

2m=10,

m=-5,

故答案为：-5.

【点评】本题考查新定义问题，关键读懂新定义的内涵，掌握新定义的规则，会用新定义将等式变成方程

是关键.

21.任何实数a,可用［可表示不超过a的最大整数，如［4］=4,［73］=b现对72进行如下操作：，这

样对72只需进行3次操作后变为1.类似地，对81只需进行3次后为1,那么只需进行3次操作后变为1

的所有正整数中，最大的是.

【答案】255

【分析】根据题意，先设［五］=1,从而求出x的最大正整数值为3；再设［J7］=3,从而求出y的最大

正整数值为15；最后设［五］=15,求出z的最大正整数值即可.

【解答】解：设［五］=1,x为正整数，则1<4<2，

•,.l<x<4,即最大正整数是3；

设［正］=3,y为正整数，则3W4<4,

-,.9<y<16,即最大正整数是15；

设［虚］=15,z为正整数，则15«&<16，

225<z<256,即最大正整数是255.

.♦•只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255.

故答案为：255.

【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力.

22.现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a,b,有a*b=a+2b—1,a^b=2ab+i,则

（2*3）☆（3^2）的值为.

【答案】183

【分析】根据题目中定义的运算方法进行计算即可.

【解答】解：（2*3）翁（3+2）

=（2+2x3-1）前3时

=7近3公）

=2x7x（3^2）+l

=14x（2x3x2+l）+l

=14x13+1

=183,

故答案为：183.

【点评】本题考查了新定义下的实数运算，理解题意是解题关键.

23.定义新运算：。*匕=(。+2)3—5),贝"5*(—7)=.

【答案】-84

【分析】根据新的定义计算即可.

【解答】解：5*(-7)=(5+2)(-7-5)=-84,

故答案为：-84.

【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，学会根据新的定义计算.

24.用“☆”定义一种新的运算：对于任意有理数a和b,规定aM=ab2+2ab+a.$0：1☆3=lx32+2xlx3+l=16,

则(-2)仝3的值为.

【答案】-32

【分析】读懂题意，理解“☆”运算的含义，发现-2与a对应，3与b对应，把a=-2,b=3代入ab?+2ab+a求

值即可.

【解答】比较a^b、(-2*3得

a=-2,b=3,把之代入得

a☆b=ab2+2ab+a=(—2)x32+2x(—2)x3+(—2)—32.

故答案为：-32.

【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

25.用“※”定义新运算：对于有理数。力都有：a^b=ab-{a+b),那么当加为有理数时，

(w※3)=(用含加的式子表示)

【答案】2m-5

【分析】各式利用题中的新定义计算即可求出值.

【解答】解：根据题中的新定义得：辰6=3m-(m+3)=2m—3；

2※(加X3)==2派(2m-3)=2(2m-3)-(2+2m-3)=2m-5,

故答案为：2m-5

【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

26.“③”定义新运算：对于任意的有理数a和6,都有a(8)人=尸+1.例如：905=52+l=26,当机

为有理数时，则机位(相位3)等于.

【答案】101

【分析】根据“③”的定义进行运算即可求解.

【解答】解：m®(m®3)=m®(32+l)=m010=102+1=101.

故答案为：101.

【点评】本题考查了新定义运算，理解新定义的法则是解题关键.

27.定义一种新运算规则如下：对于两个有理数a,b,aOb=ab—b,若(5。%)。(—2)=-1,则

x=______

【答案】:

O

【分析】根据给定新运算的运算法则可以得到关于X的方程，解方程即可得到解答.

【解答】解：由题意得：(5x-x)0(—2)=—1,

3

-2(5x-x)-(-2)=-1,/.-8x+2=-L解之得：x=—,

8

3

故答案为一.

8

【点评】本题考查新定义下的实数运算，通过阅读题目材料找出有关定义和运算法则并应用于新问题的解

决是解题关键.

28.对于两个不相等的实数a,。，我们规定符号max{a,。}表示a,。中的较大值，如：max{2,4}=4,故

max{3,5}=；按照这个规定，方程max{x,-x}=-----的解为.

【答案】5—1—逝或1

【分析】按照规定符号可求得max{3,5}=5；根据%与一%的大小关系化简所求方程，求出解即可.

【解答】max{3,5}=5；

故答案为:5；

2x-1

当犬〉—犬，即%>0时，方程化简得：％=-----,

x

去分母得：f=2x—1,

整理得：犬―2x+l=0，即（％—1『=0

解得：x=l,

经检验：X=1是分式方程的解；

2r-1

当尤<—x,即％<0时，方程化简得：—x=----,

X

去分母得：—f=2x—1，

整理得：X2+2x-l=0>

解得：兀=一1+应（不合题意，舍去）或T一夜，

经检验：x=-1-0是分式方程的解；

故答案为：—1—0或1.

【点评】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解

分式方程一定注意要验根.弄清题中的新定义是解本题的关键.

29.x、y是一个函数的两个变量，若当。三烂6时，<a<y<bCa<b）,则称此函数为aWxWb上的闭函数.如

函数y=—x+5,当2WxW3时，2<y<3,所以y=—x+5是2WxW3上的闭函数，已知二次函数y=x?+6尤+m是

t<x<-3上的闭函数，则m的值是.

【答案】5

【分析】先求得二次函数的对称轴为％=-3,a=l>Q,根据二次函数的性质可知=三在区间

fWxW—3上y随x的增大而减小，然后将X=—3和％=分别代入二次函数的解析式，得到方程组，从而

可求得m的值；

b6

【解答】・・・元=——=——=—3,〃=1>0,

2a2

・••二次函数丁=九2+6犬斗加在区间，4工<—3上丫随x的增大而减小.

•..二次函数y=d+6x斗机是区间MxW—3上的“闭函数”，

，当％=—3时，y=m-9；当％=/时，y^t2+6t+m.

m-9=t

/+6：+加=—3'

t=—3|7=—4

解得：</或1u，

m=bym—5

t<—2

t=-4

m=5

故答案为：5.

【点评】本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，关键是理解闭函数的定义并利用闭函数的定义

得出方程组.

30.定义一种新的运算：子，如：4*l=4+；xl=|,贝|]（2*3）*（—1）=.

【答案】-

2

【解析】【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果.

【解答】利用题中的新定义：

(2*3)*(-1)=^^*(-1)

v7442

故答案为：一

2

【点评】本题为考查有理数的运算的变式题型，正确理解新定义计算以及熟练掌握有理数运算法则是解答

本题的关键.

、解答题

31.定义：若a+b=2,则称。与6是关于1的平衡数.

（1）直接填写：①5与是关于1的平衡数；

②1-2尤与是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）；

③y与是关于1的平衡数（用含y的代数式表示）；

④z与z是关于1的平衡数，则z=.

（2）若。=212-3（/+尤）+3,ZJ=2X-F3X-（4X+X2）+1],先化简以b,再判断0与6是否是关于

1的平衡数.

【答案】(1)①—3；②l+2x；@2—y；④1；(2)a=—%2—3%+3，Z?=x2+3x-1>曲是关于1的

平衡数.

【分析】(1)根据平衡数的定义求解即可.

(2)先对a、b化简，再判断a+〃是否等于2即可.

【解答】解：⑴①：5+(-3)=2,

•••5与-3是关于1的平衡数，

故答案为-3；

②由题得：2-(l-2x)=l+2x,

故答案为l+2x；

③y+(2-y)=2,

故答案为2-y；

④z+z=2,

2z=2，

z=1，

故答案为1；

(2)化简a=f：2-3x+3

b=%2+3x—1

因为a+b=2,所以ab是关于1的平衡数.

【点评】本题主要考查整式的加减，理解题目中所给平衡数的定义是解题的关键.

32.设用符号表示a,b两数中较小的数，用伍，切表示a,6两数中较大的数.试求下列各式的值.

(1)<-5,-0.5>+[-4,2]；

(2)<1,3>+[-5,<-2,7>].

【答案】(1)-3；(2)-1.

【分析】(1)首先比较出-5与-0.5,以及-4与2的大小关系，求出<-5,-0.5>、[-4,2]的值各是多少；然

后把它们相加即可.

(2)比较出1与3,以及-2与7的大小关系，求出<1,3>、<-2,7>的值各是多少，进而求出<1,3>

+[-5,<-2,7>]的值是多少即可.

【解答】(1)v-5,-0.5>+[-4,2]

=-5+2

=-3；

(2)<1,3>+[-5,<-2,7>]

=1+[-5,-2]

=1+(-2)

=-1.

【点评】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0;

②负数都小于0;③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小.

33.若。，人是有理数，定义一种运算“g"：a®b=ab-2a-2b+1,

(1)计算3⑤(—2)的值；

(2)计算[(-4)区2]③(-3)的值；

(3)定义的新运算“③”对交换律是否成立？请写出你的探究过程.

【答案】(1)-7；(2)22；(3)定义的新运算“③”对交换律成立，过程见解析

【分析