杨辉三角与裴波那契数列（2大题型）原卷版-2025高考数学重难题型解题技巧

i重难题型•解题技巧攻略

J_________________________________________________________

专题09杨辉三角与裴波那契数列

♦>-----------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01杨辉三角中的数列问题..................................................................1

题型02裴波那契数列..........................................................................4

舱-----------题型探析・明规律-----------令

题型01杨辉三角中的数列问题

【解题规律•提分快招】

1、第二层是自然数列

।n।nj।

।；।；।；।

I；I；I!I；I

，口心口。口:。丘।仙，

|1|6口5|20|15|6|1|

|i|1|21|35|35|2M7口|

|i|612al5117Al5%|2%|1口|

|1|9|36|84|126|126|84|36|9|1|

|i|10|45|120|2,0|252|210|120|45|10|i|

|i|11||165|330|4丁2|462|330|165|55|11|i|

[：口2|66|220|4最|762I9鼠|7^2|495|2之0|66|12|1|

I1口3I78I286I715|128717：6117：611287|715|286|78|13|1|

IiI141sl|364回01|2£()2|3003|3432|3003|2002|荷1|3&4|91|14口|

IiI15I105I455|1365|3003片005|6435|6435|5005|3003|1365|455I105I15|i|

IiI16I1茄I560|1820|4368|8008|11440|12870|11440|8008|4368|1820|56011$0I16|i|

2、第三层是三角数列

,rri,

III

I;I;I;I

I;II;口I

口口口口口I

，口口□yI,口In,

I1I6I15I20I15I6I1I

II?I21I3gI3gI21I1口I

IiI6I2%I51I7^)15kl2%I6口I

I]I9I36I84I126I126I84I36I9|i|

IiI10I45I120I2ioI252|2：0|120|45口0口|

IiI11I55I165I330I462|462|330|165|55|11|i|

IiI12I66I2茄I4s5I7,2|9£|712|495|220|66|12|j|

IJI13I78I286I|I2871l7】6117】61】287|715|28rl78]】3|1|

IiI14I91I3%4|1001|2002|3003|3432|3003|2002回01|364I91|14口|

IiI15I105]455|1365|3003|5005|6435|6435|5005|3003|1365|455[105I15|i|

IiI16I120I560回30|43%8|80%8|11：40|12670|1160|80力8|43%8|1820|510|12()I16|i|

这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形.

3、每一层的数字之和是一个2倍增长的数列

[:f中？+,+J

I$§41+”a+晒i.

||'a*RM1血》*小％%,=|]

|g+?+*+g+'卡.+?卡,=8簪

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【典例训练】

一、单选题

1.（2024•江西景德镇•三模）如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该

数歹U前几项和为Sn，设b,=J510g2（S“+1）+1,将数列也,｝中的整数项依次取出组成新的数列记为｛q｝,则G°

A.545B.51C.560D.48

二、填空题

2.（24-25高三上•天津•阶段练习）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成

果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶

等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某

个二阶等差数列的前4项为1,3,7,13,则该数列的第15项为.

3.（23-24高三下.安徽合肥•阶段练习）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示

的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,

1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,L,记作数列｛凡｝,贝1]%4=;若数列｛4｝的前〃项和

为5皿，贝！|$67=.

1

11

121

1331

14641

4.（2024.浙江绍兴.模拟预测）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项

的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1,2：第二

行得到数列1,2,2：第三行得到数列1,2,2,4,2,…，则第5行从左数起第8个数的值为；4表示第〃

行所有项的乘积，设纥=1暇4,则与=.

122428482

1

5.（23-24高三下.重庆璧山.阶段练习）将杨辉三角中的每一个数C；都换成分数而碇7,就得到一个如图

111

所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：（4、一+/口…，

111111,、

令""=三历+而+而+…+两簿+（〃+2）C；JS“是｛%｝的前"项和,则---------

1

-

-

11

6-23-

111

4--4-

12

±11

203020

11111

-一

76

16060305

1111111

30一

---一-

71141O7

42051142

题型02裴波那契数列

【解题规律•提分快招】

一、斐波那契数列

1、斐波那契数列概念

把这个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...称为斐波那契数列，一般记为｛6｝。

2、斐波那契数列的递推公式

E=F2=1

递推公式

F“_2+F,T=F”(〃23,neN*)

3、斐波那契数列的通项公式

、国币八.如k1+君丫n一君丫]

通项公式：F=—5x\[—2—）---[-----2---）\

4、斐波那契数列的性质（通项公式斯，前〃项和S”）

⑴5„=ax+a2+a3+■..+«„=an+2-1；

a

(2)fl,+a3+a5H----1-a2n-i=in；

⑶a2+aA+a6+---+a2n=a2n+l-1；

a+a+a+---+a=^(a„-1)；

(4)3693ii3+2

(5)an_2+an+2=3an-

a=aa

(6)m+n-lmn^。机一1。〃一1；

(7)a；t=an+lan-anan_l；

⑻a：+屋1=电”+1;

(9)a；+魅+a；H-----Fa~=d,fln+x；

(10)~=a,I+a„+i

【典例训练】

一、单选题

1.（2024.海南省直辖县级单位.模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那

契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”,其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……,在数学

上，这一数列以如下递推的方法定义：/。）=1，尸⑺=尸（"-1）+尸何-2乂心3,〃wN*）,记此数列为｛%｝,

)

a

A.2023B.02024C.%025D.02026

2.（23-24高三上.陕西宝鸡・期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：

1,1,2,3,...；该数列的特点是：前两个数都是1,从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的

和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为｛怎｝,则以下结论中错误的是（）

A.%=5B.4=8

C.%为+1D.+a：H--------F=4；+]

3.（24-25高三上・甘肃甘南•期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：

1,1,2,3,5,....其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数

列｛%｝称为“斐波那契数列”，记S“为数列｛q｝的前〃项和，则下列结论正确的为（）

A.%=21B.2an=a„_2+a,;+2（n>3）

C.4]+/。2024=。2025-]D.4+（72HF02024=02024^2025

二、填空题

4.（2024.四川•模拟预测）数列｛〃"｝：1,1,2,3,5,8,13,21,34..........称为斐波那契数列，该数列是

由意大利数学家莱昂纳多・斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，

｛。“｝满足%=%=1，。”=。"-1+。"一2（"23,neN*）>贝1J1+%+%+。6+，，，+。2024是斐波那契数歹!J的第___

项.

5.（23-24高三下•云南昆明•期中）斐波那契数列（Fibonaccisequence）由数学家莱昂纳多-斐波那契（Leonardo

Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，又称为“兔子数列”.斐波那契数列｛%｝有如下递推公式：

/l~\n（l~\n

%=1,卬=1,。，=a“T+a〃_2（"N3,"eN*）,通项公式为氏=二=-15，故又称黄金分割数

“5R2JI2人

歹U.若4=｛%,%,%，…，%"｝（"eN*）,B=A且3r0,则3中所有元素之和为偶数的概率为.（结

果用含”的代数式表达）

o-----------题型通关•冲高考-----------♦>

一、单选题

1.（23-24高三下•北京大兴・期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示

的“杨辉三角”.若将这些数字依次排列构成数列1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,

则此数列的第2024项为（）

A.「B.小

C.C：3D.<4

2.（23-24高三下•湖南邵阳•期中）如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所

指的数依次构成一个数列：1,2,3,3,6,4,10,5,则此数列的前20项的和为（）

：第1行11i

；第2行1211：

；第3行1大户1;

；第4行14<—641;

；第5行15<-101051：

A.350B.295C.285D.230

3.（23-24高三下.河南信阳・期末）意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数

歹U.数歹!]｛%｝满足4=%=1，an+2=a„+。用.现从数列的前2024项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是

（）

253r505〃758一759

A.------B.------C.------D.------

2023202320232023

4.（24-25高三上•四川绵阳•阶段练习）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子

数列”.这一数列如下定义：设｛%｝为斐波那契数列，4=1,g=1,%=a,i+%_2（"23,"wN*）,其通项公

式为4=[1甘5]一[上手]-设”是bgz[（l+君-番）4的正整数解，则”的最大值为

（）

A.5B.6C.7D.8

5.（23-24高三上.安徽合肥•阶段练习）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列｛4｝：

1,1,2,3,5,8...,其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即4=%=1,an+2=an+l+an,这

样的数列称为“斐波那契数列”.若%,=2（/+4+%+…+如4）+1，则利=（）

A.175B.176C.177D.178

二、多选题

6.（2024高三.全国.专题练习）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列

数：1,1,2,3,5,…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的

数列｛〃"｝称为“斐波那契数列”，记册为数列｛〃〃｝的前〃项和，则下列结论正确的是（）

A.。8=21B.力=32

n]2021

=

C.Z/i-1D.Z%CL2022

i=\。2021z=l

7.（2024.福建宁德.模拟预测）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第〃行

从左至右的数字之和记为％,如4=1+1=2,%=1+2+1=4,-一,｛%｝的前〃项和记为3,依次去掉每一行中

所有的1构成的新数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,记为｛2｝,｛么｝的前〃项和记为，，则下列

说法正确的有（）

第

1行

11

第

2行

121

第

3行

第1331

4行

第

行14641

5

15101051

A.50=1022B.1J]1的前九项和1------二

l\-\+lJ2an+2~2

C.%=66D,T51=4150

8.（23-24高三上•安徽阜阳•阶段练习）意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一个数

列：1,1,2,3,5,8,这个数列的前两项均是1,从第三项开始，每一项都等于前两项之和.人们把

这样的一列数组成的数列｛凡｝称为斐波那契数列，并将数列｛尺｝中的各项除以3所得余数按原顺序构成的

数列记为｛GJ,则下列说法正确的是（）

20242024

A.E4=与026一1B.Z耳=^2023^2024

z=lz=l

2024

C.G2024=°D.£6=2277

Z=1

9.（2024・山东•模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,

1,2,3,5,8,13,21,....该数列的特点如下：前两个数均为1,从第三个数起，每一个数都等于它前面

两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用/（〃乂N*）表示斐波那契数列的第

〃项，则数列但（叫满足：F（1）=F（2）=1,网"+2）=厂（”+1）+尸⑺.则下列说法正确的是（）

A.b（10）=34

B.3F（n）=F（w-2）+F（n+2）（n>3）

C.