一次方程（组）（讲义）学生版-2025年中考数学一轮复习（全国版）

第05讲一次方程（组）［2大考点12大题型】

知识网络

题型1等式的性质及一元一次方程的概念

题型2—元一次方程的解法

题型3由一元一次方程的解求值

题型4-元一次方程与一次函数

题型5由实际问题*象出一元一次方程

题型6一元一次方程的应用

题型7三元一次方程（组）的解法

题型8由二元一次方程（组）的解求值

考点二二元一次方程题型9三元一次方程组与一次函数

（组）及其应用题型10由实际问题抽象出二元一次方程（组）

一次方程（组）题型11二元一次方程（组）的应用

题型12二元一次方程（组）的解法及其应用

新考向：新考法）

新考向：新趋势j

特色专项练

新考向：新情境

新考向：跨学科

1.方程

定义：含有未知数的等式叫做方程。

2.方程的解

定义：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3.等式的性质

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

4.一元一次方程

定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程ax+b=O（x

为未知数，a/））叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。

典例分析

【题型1等式的性质及一元一次方程的概念】

【例1】（2024•青海•中考真题）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（）

A.若?=g则a=6B.若ac=be,则a=b

C.若。2=/,则a=6D.若一•|x=6,贝!]x=-2

【变式1-1]（2024•四川南充・中考真题）关于万的一元一次方程2/-2+爪=4的解为％=1,贝必+6的值为

（）

A.9B.8C.5D.4

【变式1-2]（2024•贵州，中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入

▲"三种物体，如图所示，天平都保持平衡.若设"・"与"•"的质量分别为X,乃则下列关系式正确的

是（）

ZK~ZK~1

甲乙

A.x=yB.x—2yC.x=4yD.x—5y

【变式1-3]（2024•安徽•中考真题）已知实数a,b,c满足a+b=ab=c,有下列结论：

①若80,则打，=1；

②若a=3,则b+c=9；

③若a=b=c,贝!Jabc=0；

④若a,b,c中只有两个数相等，则a+b+c=8.

其中正确的是—.（把所有正确结论的序号都选上）

【题型2一元一次方程的解法】

【例2】（2024•浙江杭州•一模）某同学解方程%-兽x=1的过程如下框：

两边同时乘以10,得京-孑=10......①

合并同类项，得9=10……②

系数化1,得久=60……③

请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程.

【变式2-1］（2024•江苏徐州•中考真题）解方程亨-1=亨.

4o

【变式2-2］（2024•山东济南•中考真题）代数式平与代数式3-2x的和为4,贝咏=—.

【变式2-3］（2024・山东烟台・中考真题）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的"洛书".把洛书用今

天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方.将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每

一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15,则a的值为.

【题型3由一元一次方程的解求值】

【例3】（2024•湖北•中考真题）对于实数码九，定义运算m*九二（zn+2）2-2几.若2*。=4*（-3）,则

a=____

【变式3-1］（2024•重庆•中考真题）若关于x的方程爰+a=4的解是x=2,则。的值为.

【变式3-2］（2024•河北邯郸・三模）已知关于x的方程4%+26=3%+1的解比方程3刀+2爪=6刀+1的解

大5,求这两个方程的解.

【变式3-3］（2024•云南曲靖•一模）若不论左取什么实数，关于x的方程竽-^=1（a、b是常数）的

3o

根总是x=L则a+b=（）

A“.-1B-.3-C_.—1—D-.3——

【题型4一元一次方程与一次函数】

【例4】（2024・山西大同•一模）"人说山西好风光，地肥水美五谷香”.山西复杂的地形、多样的气候、丰

富的杂粮品种资源，使山西成为“小杂粮王国"，某杂粮经销商对本地购买20袋以上杂粮的客户有两种销售

方案（客户只能选择其中一种方案）：

方案出每袋30元，由经销商免费送货；

方案8：每袋26元，客户需支付运费200元.

（1）请分别写出按方案4方案2购买该杂粮的应付款》（元）与购买量x（箱）之间的函数表达式;

（2）某单位计划购买该经销商的杂粮，选择哪种方案更省钱？

【变式4-1］（2024・山西太原•二模）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是0或8时，输出

的V值相等，贝化等于（）

A.-16B.-10C.-8D.-2

【变式4-2］（2024•湖北黄冈・中考真题）钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡逻.

某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽

搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达.如图是该艇行驶的路程y（海

里）与所用时间1（小时）的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是.

【变式4-3］（2024•江苏连云港•中考真题）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为

计算周期设定了如下表的三个气量阶梯：

销售价

阶梯年用气量备注

格

第一0-400m3（含400）的2.67元/

阶梯部分m3

若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气

量的上限分别增加100n?、200m3.

第二400-1200m3（含3.15元/

阶梯1200）的部分m3

第三3.63元/

"OOn?以上的部分

阶梯m3

⑴一户家庭人口为3人，年用气量为200m3,则该年此户需缴纳燃气费用为元；

⑵一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3（x>1200）,该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y与工的函数

表达式；

⑶甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户

比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确至Uln?）

【题型5由实际问题抽象出一元一次方程】

【例5】（2024•江苏无锡•中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭）,大意如下：野

鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天.如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，

经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（）

1111

A.-x+-x=1B.y%--%=1C.9%+7%=1D.9x—7x=1

【变式5-1】（2024•福建・中考真题）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快,

第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%,求去年第一季度社会消费品零售总

额.若将去年第一季度社会消费品零售总额设为无亿元，则符合题意的方程是（）

A.（1+4.7%）X=120327B.（1-4.7%）^^120327

1+4.7%=120327D.if、％=120327

【变式5-2］（2024•江苏宿迁•中考真题）《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车,

剩九人步，问人与车各几何？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（）

A.3（x+2）=2X-9B.3（x+2）=2x+9

C.3（X-2）=2x-9D.3（X-2）=2x+9

【变式5-3］（2024・广东广州•中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车

的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆.设该车企去年5月交付新车X辆，根据题意，可列

方程为（）

A.1.2%+1100=35060B.1.2x-1100=35060

C.1.2（%+1100）=35060D.x-1100=35060X1.2

【题型6—元一次方程的应用】

【例6】（2024•辽宁•中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36m3、工作期间需同时排水，乙池的

排水速度是8m3/h.若排水3h,则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍.

⑴求甲池的排水速度.

⑵工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24m3,那么最多可以排水几小时？

【变式6-1］（2024・山东•中考真题）常言道：失之毫厘，谬以千里.当人们向太空发射火箭或者描述星际

位置时，需要非常准确的数据.1"的角真的很小.把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度

数是1。.1。=60，=3600”.若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是

1".太阳到地球的平均距离大约为1.5X108千米.若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1”的等腰三

角形底边长为（）

A.24.24千米B.72.72千米C.242.4千米D.727.2千米

【变式6-2］（2024•浙江•中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题："今有生丝三十斤，干之,

耗三斤十二两.今有干丝一十二斤，问生丝几何？"意思是："今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中

国1斤等于16两）.今有干丝12斤，问原有生丝多少？"则原有生丝为斤.

【变式6-3］（2024•北京•中考真题）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面

实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，"标准"要求4类物质排放量不超过35mg

/km,A,B两类物质排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的4B两类物质排放量之和原为92mg/

km.经过一次技术改进，该汽车的4类物质排放量降低了50%,B类物质排放量降低了75%,A,8两类物质

排放量之和为40mg/km,判断这次技术改进后该汽车的4类物质排放量是否符合"标准”，并说明理由.

1.一元二次方程定义:

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c=0（a^0）,它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax?

叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

典例分析

【题型7二元一次方程（组）的解法】

【例7】（2024•浙江・中考真题）解方程组：｛©£7,1?10

【变式7-1］（2024•浙江衢州•中考真题）下列各组数满足方程2x+3y=8的是（）

A.｛；口B.限：C.｛--1D./

【变式7-2]（2024•江苏南通•中考真题）若实数％,y,租满足％+y+m=6,3x-y+m=4,则代数式-2%y+1

的值可以是（）

A.3B.—5C.2D.—3

【变式7-3]（2024•山东滨州•中考真题）若关于x、y的二元一次方程组｛蒙附；鼠的解是｛；；；,则关

于a、b的二元一次方程组｛需端；嚅瑞士的解是一.

【题型8由二元一次方程（组）的解求值】

【例8】（2024・甘肃天水・中考真题）已知a+2匕=3，3a+4b=3,贝必+6的值为.

【变式8-1]（2024・四川眉山•中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组｛%；；：盥的解满足x—y=4,

则m的值为（）

A.0B.1C.2D.3

【变式8-2】（2024•四川泸州・中考真题）关于x,y的二元一次方程组。的解满足久+y>2

近,写出a的一个整数值________.

【变式8-3】（2024・山东济宁•一模）已知k为整数，关于x,y的二元一次方程组二道3的解满足

2023〈久-y<2025,则整数k值为（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

【题型9二元一次方程组与一次函数】

【例9】（2024•黑龙江绥化•中考真题）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用4、B两型客车（每种型

号的客车至少租用一辆）.4型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元.若5辆4型和2辆8型车坐满后共

载客310人；3辆力型和4辆B型车坐满后共载客340人.

产（千米）

300z/

00.53.5f（小时）

（1）每辆4型车、B型车坐满后各载客多少人？

（2）若该校计划租用4型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地.该校有

几种租车方案？哪种租车方案最省钱？

⑶在这次活动中，学校除租用4B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车.已知从学校到夏令营目的

地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地.下

图是两车离开学校的路程s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数图象.根据图象信息，求甲乙两

车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米.

【变式9-1］（2024•浙江宁波•一模）小聪和小慧去某风景区游览，约好在飞瀑见面.上午9：00,小聪从塔

林出发，沿景区公路（如图1）步行15分钟至草甸，休息若干分钟后搭乘景区班车赶往飞瀑，车速为36

km/h.小慧也于上午9：00从古刹出发，骑自行车前往飞瀑.两人离古刹的路程y（米）与时间支（分）的

函数关系如图2所示.已知古刹与塔林的路程为1500m.

（1）求小聪步行时离古刹的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式.

（2）求小聪乘坐景区班车的时间.

（3）若小慧比小聪早到2分钟，求两人几时几分相遇.

【变式9-2］（2024•山东济宁•中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量

J（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.

⑴求这段时间内y与x之间的函数解析式;

(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多

少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？

【变式9-3](2024•湖北鄂州•中考真题)已知直线尸9+2与函数尸卷二?的图象交于/，3两

点(点/在点3的左边).

(1)点N的坐标是；

(2)已知。是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移加个单位，点a8平移后的对应点分别为4,

B',连结OW,OB'.当加=时，104-02'|取最大值.

【题型10由实际问题抽象出二元一次方程(组)】

【例10](2024•天津•中考真题)我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼"问题："今有鸡兔同笼，

上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何."设有x只鸡，y只兔，根据题意，可列方程组为.

【变式10-1】(2024・四川成都•中考真题)中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共

买琏，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数，现价各几何？其大意是：今有人合伙买班石，每人出

钱，会多出4钱；每人出?钱，又差了3钱.问人数，琏价各是多少？设人数为X,现价为y,则可列方程组

为()

Cy=-x+4(y=-%—4(y=-x-4fy--x+4

A.?B.i2C.?D.2i

(y=-x+3(y=-x+3[y=-x-3(y=-x-3

【变式10-2](2024・辽宁营口・中考真题)2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公

顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷.1台大收割机和1台小收割机每小时

各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列

方程组为()

A]2(5x+2y)=3.6(2(3x+2y)=8

I5(2x+3y)=815(2%+5y)=3.6

「12(2久+5y)=3.6r2(2%+5y)=8

,I5(3%+2y)=8,15(3%+2y)=3.6

【变式10-3】(2024•山东泰安•中考真题)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价"问题，其内容大致如下：

用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y

个，列出符合题意的二元一次方程组：^x+iy=999-根据已有信息，题中用"…，…"表示的缺失的条件

应为()

A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱

B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱

C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱

D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱

【题型11二元一次方程（组）的应用】

【例11】（2024•贵州•中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动

实践.经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.如果种植3亩甲作物和2亩乙作

物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生.

根据以上信息，解答下列问题：

⑴种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？

⑵种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？

【变式11-1】（2024•四川宜宾•中考真题）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4

千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，

则所装的箱数最多为（）

A.8箱B.9箱C.10箱D.11箱

【变式11-2］（2024•浙江温州•中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳

水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g.设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g）,y（g）,可列出方程为（）

5533

A.-%+y=30B.x+-y=30C.-x+y=30D.%+-y=30

【变式11-3】（2024•山西•中考真题）健康中国，营养先行.今年5月12日-18日是第十届全民营养周，社

区食堂在全民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐/的菜品如下图所示.

菜品：清蒸鱼块滑炒鸡丁素炒时蔬主食水果

主要食材：草鱼鸡胸肉芹菜、西兰花粳米苹果

⑴该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁，每100克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中

的蛋白质和脂肪含量如下表所示.按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、

脂肪量应分别为34克、24.8克、求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品各有多少克；

清蒸鱼块（每100克）滑炒鸡丁（每100克）

蛋白质（克）1615

脂肪（克）814

⑵按配餐要求，每份素炒时蔬中芹菜与西兰花共260克，已知每100克芹菜与每100克西兰花分别含有1.5

克、2.5克的膳食纤维，若要使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于5克，则每份素炒时蔬中西兰花至少

有多少克？

【题型12三元一次方程（组）的解法及其应用】

【例12】（2024•浙江温州•中考真题）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程

相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等.

【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟.小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时

25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间f的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处,

他到出口还要走10分钟.

【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（）

【变式12-1]（2024・四川成都•中考真题）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格

点"，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上

的格点数记为L例如，图中的三角形2BC是格点三角形，其中S=2,N=0,L=6；图中格点多边形DEFG"/

所对应的S,N,工分别是.经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为5=。可+4+的其中

a,b,c为常数，则当N=5,L=14时，S=.（用数值作答）

【变式12-2］（2024•黑龙江・中考真题）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划

出资500元全部用于采购4B,C三种图书，/种每本30元，3种每本25元，C种每本20元，其中/种

图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（）

A.5种B.6种C.7种D.8种

【变式12-3】（2024•四川宜宾•中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别

命名为甲槽、乙槽、丙槽.有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，

且每个小球所标数字互不相同.作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入

不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽

小球上所标的数字），完成第一次操作.再重复以上操作两次.已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和

分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是（从

"甲槽"、"乙槽"、"丙槽"中选填）.

特色专项练

【新考向：新考法】

1.（2024•浙江绍兴•中考真题）若关于x,y的二元一次方程组的解为则多项式N可以

是—（写出一个即可）.

2.（2024・陕西•中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任

务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮

球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务.小峰和爸爸这次一共打扫了3h,求这次小峰打扫了多长时

间.

3.（2024•重庆沙坪坝,模拟预测）若一个四位正整数赤3满足：a+c=b+d,我们就称该数是"交替数"，

则最小的"交替数”是;若一个"交替数""满足千位数字与百位数字的平方差是15,且十位数字与个

位数的和能被5整除.则满足条件的"交替数”加的最大值为.

4.（2024・山西大同•模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务.

换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，

换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，

则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明.

例1：计算：20163-2015X2016x2017.

解：设2016=久，贝!J原式=，一（久一1）•%（x+1）=%3—%（久2一1）=%=2016.

请你利用上述方法解答下列问题:

⑴计算：123456789X123456786-123456788X123456787；

（2）已知方程组出院空热的解是｛kbl,则方程组舄储））二焉的解是

【新考向：新趋势】

1.（2024•浙江,中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼.小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑

步时中间休息了两次.跑步机上C档比8档快40米/分、3档比/档快40米/分.小明与小丽的跑步相关

信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间/（分）的函数关系如图所示.

时间里程分段速度档跑步里程

小明16:00〜16:50不分段/档4000米

第一段3档1800米

第一次休息

小丽16:10〜16:50第二段3档1200米

第二次休息

第三段C档1600米

⑴求A,B,C各档速度（单位：米/分）；

（2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；

⑶小丽第二次休息后，在。分钟时两人跑步累计里程相等，求。的值.

2.（2024・湖北孝感•模拟预测）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深."低

碳环保，绿色出行“成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行.阳光公司销售甲、乙两种型号的自行车，

其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元.该公司销售3台甲型自行车和1

台乙型自行车，可获利550元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利400元.

⑴该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？

（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过12400元，最多可以

购买乙型自行车台.

3.（2024•广东珠海•三模）阅读下面材料，并完成相应的学习任务.

"整体思想"是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数〃2,〃满足

{4（m+nHn=1（2）-求爪+n和"f的值.

小真：利用消元法解方程组，分别求出小，"的值后，再代入爪+n和即可.

小善：由①，得租+九=2,③

将③代入②，得4x2+71=5,解得几=一3,

把71=-3代入③,解得m=5,

所以原方程组的解为{7:3、

张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的"整体思想”的运用，请你参考小善

同学的做法，完成以下两个任务.

f2a-3b-5=0

（1）任务一：解方程组fa-3b+2+6=0

（2）任务二：在（1）的前提下取a,6的值，若抛物线y=a久2+b久+C与X轴有唯一的交点，求此抛物线的

解析式.

【新考向：新情境】

1.（2024•陕西咸阳•三模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框

图，当输入尤的值为4时，根据程序计算，输出的结果为5；当输入x的值为3时，根据程序计算，输出的结

果为7,请你计算该程序框图中a力的值.

2.（2024•重庆•模拟预测）定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足百位上的数

字与个位上的数字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数.设/为一个开合数，将/的百

位数字与个位数字交换位置后得到的新数再与N相加的和记为e（4）.例如：852是"开合数"，贝肿

(852)=852+258=1110.

已知开合数m=103+10万（。＜久W9,且为x整数），贝I］巾（m）=：

若三位数/是一个开合数，若百位数字小于个位数字,,且中（4）能被个位数字与百位数字

的差整除，则力=.

【新考向：跨学科】

1.（2024・四川成都•一模）待定系数法是确定函数表达式的常用方法，也可用于化学方程式配平.石青［xCuC

△

。3-yCu（OH）2］加热分解的化学方程式为：xCuCO3-yCu（OH）2^^3CuO+H2O+%CO2T,其中x,y为正整

数，则yr=

2.（2024,江苏镇江•模拟预测）古秤是一种人类智慧的产物，也是华夏文明的瑰宝之一.如图，我们可以

用秤蛇到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤钩所挂物重为工

（斤），秤坨到秤纽的水平距离为y（cm＞下表中为若干次称重时所记录的一些数据:

3.（2024・四川南充・中考真题）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m,当

动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省N的力.（杠杆原理：阻力X阻力臂=动力X

动力臂）

中考真题练

1.（2024•江苏镇江・中考真题）把方程含-岑萨=1中的分母化为整数，正确的是（）

x17-2%,10%17-2%Y-10%17-20%,八10%17-20%〃

A•丁丁=1B.〒一—=1C.————=10D.——--=1

2.（2024•内蒙古通辽•中考真题）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%,

另一件亏损25%,则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（）

A.亏损20元B.盈利30元C.亏损50元D.不盈不亏

3.（2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题）点尸®y）在直线y=-.x+4上，坐标®y）是二元一次方程5x-6y=33

的解，则点P的位置在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.（2024•山东•中考真题）根据以下对话，

1班所有人的身高2班所有人的身高

均不超过180cm.均超过140cm.

哦，我发现，1班夕♦

我发现，1班同学的

最高身高与2班同学的最同学的最低身高与2班（一

同学的最低身高之和为班班长

1班班长高身高之和为350cm.2

290cm.

给出下列三个结论：

①1班学生的最高身高为180cm；

②1班学生的最低身高小于150cm；

③2班学生的最高身高大于或等于170cm.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

5.（2024•浙江温州•中考真题）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等,

⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等.

【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟.小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时

25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间z的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处,

他到出口还要走10分钟.

【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（）

6.（2024•四川自贡•中考真题）如图，在口48CD中，ZB=60°,AB=6cm,8C=12cm./点尸从点/出

发、以lcm/s的速度沿ArD运动，同时点0从点C出发，以3cm/s的速度沿C-B-CT…往复运动，当点尸

到达端点。时，点。随之停止运动.在此运动过程中，线段PQ=C。出现的次数是（）

7.（2024・湖北随州•中考真题）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一

九宫图.将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之

8.（2024・湖北孝感・中考真题）有一列数，按一定的规律排列成g-1，3,-9,27,-81，.…若其中某

三个相邻数的和是-567,则这三个数中第一个数是.

9.（2024•湖南湘西•中考真题）若关于x的方程3x-kx+2=0的解为2,则k的值为.

10.（2024•黑龙江绥化•中考真题）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙

两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有种购买方案.

11.（2024,内蒙古呼伦贝尔,中考真题）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次

方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是

{%：有二雪，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是.

IllII-TIII-II

IHU=wHU川二T

图(1)