一元二次方程及应用 过关检测-2025年中考数学一轮复习

专题07一元二次方程及应用过关检测

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。

1.用公式法解方程2久2+3%=1,把原方程化为一般式，则a,b,c依次是（）

A.2,—3,1B.2,3,—1C.—2,3,1D.2,—3,—1

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把原式移项得2/+3x-1=0,再结合一元二次方程的

一般式的特征进行作答即可

【详解】解：,•,2/+3%=1,

；.2久2+3x—1=0,

■■.a,b,c依次是2,3,-1,

故选：B

2.方程x（x—2）=4（久—2）的根是（）

A.x=2B.x=4C.=-2,久i=—2D.久1=2,%2=4

【答案】D

【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得解.

【详解】解：,••X（X—2）=4（X—2）,

久—2）—4（%—2）=。，

•1•（%—2）（x—4）=0,

.■-x-2=0,x—4=0,

解得：q-2,x2-4,

故选：D.

3.一元二次方程/+4x+2=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程以2+版+。=0（aKO,a,b,c为常数）的根的判别式A=/―4ac,

理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键.当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）

时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程没有实数根.

【详解】M："x2+4x+2=0,

■■■a=l,b=4,c=2,

,•,A=b2-4ac-16—8=8>0,

原方程有两个不相等的实数根

故选：B.

4.用配方法解方程-—6%-7=0,下列变形正确的是()

A.(久+6)2=43B.(x-6)2=43C.(%+3)2=16D.(%-3)2=16

【答案】D

【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，得#-6%=7,再配方，即久2

-6x+9=7+9=16,即可作答.

【详解】解：r/一6%-7=0,

移项，得三一6久=7,

则配方，得――6x+9=7+9=16,

即(x-3)2=16,

故选：D.

5.如图，有一个面积为72cm2的矩形，一边剪短3cm,另一边剪短4cm,恰好变成一个正方形，则这个正

方形的边长为多少？设正方形边长为xcm,可列方程为()

4cm

A.(久+3)(%+4)=72B.(x-3)(久-4)=72

C.Q+3)(%—4)=72D.(x—3)(%+4)=72

【答案】A

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设正方形的边长为xcm,则长方形的长为(％+4)cm,

宽为Q+3)cm,再根据"一个长方形的面积为72"列出方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系是

解此题的关键.

【详解】解：设正方形的边长为xcm,则长方形的长为Q+4)cm,宽为(x+3)cm,

由题意可得：(久+3)(久+4)=72.

故选：A.

6.已知加，〃是一元二次方程K2-2%-4=0的两个实数根，则nm=()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，注意两根之积等于?根据根与系数的关系可得出

mn=-4,此题得解.

【详解】解：•.•加，〃是方程%2-2%-4=0的两个实数根，

■•■mn=—4.

故选：A.

7.某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到

方程()

A.1+x+x(l+%)=36B.x(l+x)=36

C.2(1+K)=36D.1+x+x2=36

【答案】A

【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病,

包括在总数中，设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是

(x+1)人，则传染支(%+1)人，依题意列方程：l+x+x(l+W=36即可，找到关键描述语，找到等量

关系准确地列出方程是解决此问题的关键.

【详解】解：由题意得：1+x+X(1+X)=36,

故选：A.

8.宾馆有60间房供游客居住，当每间房每天定价为170元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加

10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用，当房价定

为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元.则有()

A.(%-15)(60-^4r£)=10890B.(170+x-15)(60-=10890

C.460—^^)—60x15=10890D.(x+170)(60-^)-60x15=10890

【答案】A

【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据利润=房价的净利润x入住的房间数即

可得解，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系.

【详解】•••房价定为尤元，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用，

.海间房的利润为（久-15）元，

••・当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，

二可住（60-m）间房，

・•・宾馆当天的利润为10890元，

二（久-15）（60-审）=10890.

故选：A.

9.已知叼，过是方程/-乂-2024=0的两个实数根，则代数式巧2-2024+冷的值是（）

A.2024B.-2024C.-1D.1

【答案】D

【分析】本题考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系；由根与系数的关系得/+和=1，

（।__b

由方程的根的定义得/2_巧_2024=0,即可求解；掌握根与系数的关系：:二;[是解题的关

I比1”2a

键.

【详解】解：由题意得巧+亚=1，%I2-%I-2024=0,

2

•••xt-2024=x1,

•••久I2-2024+久2

=久1+久2

=1,

故选：D.

对于〃个多项式222我

10.Mi=/+%+1,M2=x+2%+3,M3=X+3%+5,Mn=x+nx+2n—1,

们将任意k（2<k<九且人九均为整数）个多项式进行求和，计算出结果，称为项求和操作〃.比如:

当71=3,/c=2时，在Mi、M2>M3中任意选取2项求和，得到MI+M2=/+%+1+/+2%+3=2公

+3%+4,M]+M3=汽？+%+1++3%+5=2%2+4%+6,+M3=+2%+3+%2+3%+5=2

%2+5%+8.下列说法正确的个数是（）

①若几=4,进行〃2项求和操作〃的结果有5种；②若对这〃个多项式进行〃4项求和操作〃的结果恰好

有81种，则九=25；③若对这几个多项式进行〃3项求和操作〃，存在三项MQ、Mb、Mc，使+Me

=0这一方程有实数根，贝MN9

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】本题主要考查了整式的加减，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识是解题的关键.

对比题中后项求和操作计算可得①②，对③进行3项求和操作，根据根的判别式化简可得

(a+b+c-6)2>0,进而根据a、b、c为正整数，JLa<b<c,可得a=l,b=2,c=3,故nNc=3即可

判断③，从而选出正确答案.

2222

【详解】解：①当n=4时，M1=x+x+1,M2=x+2x+3,M3=x+3x+5,M4=%+4%+7,

22

二进行2项求和操作的结果有Mi+M2=2久2+3x+4,Mi+M3=2%+4x+6,M1+M4=2%+5%+8,

222共种，

M2+M3=2X+5X+8,M2+M4=2X+6X+10,M3+M4=2x+7x+12,5

故①正确；

②对这ri个多项式进行4项求和操作的结果有竺R言竺及=81种，

解得71=25,

故②正确；

③对这几个多项式进行3项求和操作，结果为Ma+Mb+Me=3/+(a+6+c)x+

(3+2a+2b+2c-3)，

令3/+(q+。+c)%+(3+2a+2b+2c-3)=0,

2

则4=(。+b+c)-12(2a+2b+2c-3)，

=(a+b+C)2-24Q+力+C)+36,

=(a+b+c-6)2>0,

当。+力+。-6=0时，方程有实数根，此时a+b+c=6,

又，:a、b、c为正整数，且aWbWc,

/.a=l,b=2,c=3,

此时ri>c=3,

故③错误.

综上所述，正确的个数是2个.

故选B.

二.填空题(本题共6题，每小题2分，共12分)

11.一元二次方程/-2久=0的根是.

【答案】尤1=0,町=2

【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键.

根据因式分解法法求解即可.

【详解】解：：X2-2X=0,

••­XQ—2)=0,

x=0或尤—2=0,

二巧=0,次=2；

故答案为：%1=0,%2=2.

12.若巧和*2是方程％2-4x—3=0的两个根，则x1x2—x1—x2=.

【答案】-7

【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系对所求代数式进行恒等变形是

解决问题的关键.

根据一元二次方程根与系数的关系得出巧+亚=%X1-X2=-3,然后整体代入求解即可.

【详解】rxi和外是方程一一4X—3=。的两个根，

-'-x1+x2=4,xr-x2=-3

■■■x1x2-x1~x2-x1x2~(x1+x2)=-3-4=-7.

故答案为：-7.

13.关于x的一元二次方程X2-3%+机=0的一个根为一2,则另一个根为

【答案】5

【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数

的关系是解题的关键；

根据韦达定理得巧+利=3,进而求解即可；

【详解】解：设乂1、犯是关于久的一元二次方程3%+爪=0的两个根，

・•・由韦达定理，得尤1+亚=3，即—2+亚=3,

解得*2=5.

故另一个根为5；

故答案为：5

14.如果方程6/+2%+1=。有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是.

【答案】m<1且m*0

【分析】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的

关系是解题的关键.

由方程有两个不相等的实数根即A=b2-4ac>0且mH0,从而得出关于m的不等式组，解之可得.

【详解】解：•・・关于x的方程m/+2%+1=0有两个不相等的实数根，

△>0且mH0,

・•・4—4m>0且znH0,

•••m<1且znW0,

故答案为：血〈1且6。0.

15.如图，某小区要在长为8m,宽为6m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛

所占面积为矩形空地面积的一半，设小路的宽为、m,根据题意可列方程为.

Tn

噩花坛

【答案】(8-2x)(6-2x)=；x8x6

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题

的关键.根据小路的宽度，可得出矩形花坛的长为(8-2x)m,宽为(6-2幻m,结合矩形花坛所占面积

为空地面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【详解】解：，.,小路的宽度为无m,

二矩形花园的长为(8-2x)m,宽为(6-2%)m.

1

根据题意得：(8-2x)(6-2x)=-x8x6,

故答案为：(8-2x)(6-2x)=|x8x6.

16.若a是方程比之—久—1=0的一个根，则a'—a?—a+2024的值为.

【答案】2024

【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据题意，得到。2-。-1=0,进而得到a?

=a+l,利用整体代入法，进行计算即可.

【详解】解：:a是方程1=0的一个根，

a—1=0,

•'a?=a+1

••.a3-a2-a+2024

=CL,(ci+1)—a2—a+2024

=公+。一层—。+2024

=2024；

故答案为：2024

三.解答题(本题共7题，共58分)。

17.(8分)计算：

⑴2%2-4%-5=0(2)(%—3)2+2%(x—3)=0

【答案】(1氏=空42=宁

(2)久1=3,久2=1

【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题

的关键.

(1)利用公式法即可求解；

(2)利用因式分解法求解.

2

【详解】(1)解:2X-4X-5=0

a=2,b=—4,c=-5,

△=(-4)2-4X2X(-5)=56,

v_4±V56_4±2V14_2±V14

2x242

._2+V14_2-V14

•.%1---

(2)解：(*—3)2+2x(x—3)=0

(%—3)(%—3+2%)=0

(%—3)(3x-3)=0

%—3=0或3久—3=0

解得：巧=3,%2=L

18.(8分)已知关于％的一元二次方程2-+(2々+1)久+k=0.

⑴求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个小于1的正根，求土的取值范围.

【答案】⑴见解析

(2)-1<fc<0

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，一元一次不等式的解法，掌握以

上知识点是解答本题的关键.

(1)根据根的判别式即可求出答案；

(2)根据因式分解法求出方程的两根，然后列出不等式即可求出答案.

【详解】(1)证明：A=(2k+1)2-4x2xfc=4k2_4k+1=(2/c-l)2>0,

方程总有两个实数根；

(2)解：方程化为(2x+l)(x+k)=0，

二久1=-2，乂2=一卜，

・••方程有一个小于1的正根，

0<—kV1,

k的取值范围为一1<k<0.

19.(8分)某休闲广场准备用长为100米的篱笆修建一个矩形花圃4BCD,如图，花圃的一边靠着一面墙

MN,墙MN的最大可用长度是50米，要使矩形花圃力BCD的面积为1200平方米，求矩形花圃BC边的

长.

一50m一

BC

【答案】40m

【分析】设4B=x米，根据题意，得BC=100-24B=(ioo—2%)米，根据面积公式列出方程即可.

本题考查了一元二次方程的应用，因式分解方法解方程，转化思想，熟练掌握解方程，是解题的关键.

【详解】(1)解：设力B=x米，则此=100-248=(100一2；0米，

根据题意，得x(100-2%)=1200,

.1•%2—50%+600=0,

•■•(%-20)(%-30)=0.

解得巧=20,%2=30,

••・墙的长度不超过50m,

,­,0<100-2x<50

■■-25<x<50,

-'-x1=20舍去，

■■■x=30,

・•.BC的长为100-2%=40(m)，

答：矩形花圃BC边的长为40米.

20.(8分)今年深圳“读书月"期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天

的销售量是300本.已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出

10本，设每本书上涨了x元.请解答以下问题：

⑴填空：每天可售出书一本(用含x的代数式表示)；

⑵若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？

【答案】⑴(300T0X)

(2)5

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用(营销问题)，列代数式等知识点，读懂题意，根据题中

的数量关系正确列出方程是解题的关键.

(1)设每本书上涨了x元，根据题意即可表示出每天的销售量；

(2)根据"每本书的利润X每天的销售量=总利润”列出方程，解方程即可求解.

【详解】(1)解：•.•每本书上涨了万元，

每天可售出书(300-10久)本，

故答案为：(300-10为；

(2)解：设每本书上涨了x元(%<10),

根据题意可得：(40-30+x)(300-10x)=3750,

整理，得：%2-20%+75=0,

解得：巧=5,犯=15(不合题意，故舍去)，

答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元.

21.(8分)【问题背景】

如图，在RtZkTIBC中，ZB=9O°,AB=5cm,8c=7cm,点P从点/开始沿边4B向点B以lcm/s

的速度运动，点0同时从点3开始沿边BC向点C以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts.

Q

-------"B

【构建联系】

(1)点。，尸出发几秒后，△PBQ的面积等于6cm2?

(2)ZiPBQ的面积能否等于8cm2?请说明理由.

【深入探究】

(3)当:为何值时，/-PQB=30°?

【答案】(1)2s或3s；(2)不能，理由见解析；(3)10百-15

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元

二次方程是解题的关键.

(1)根据题意得PB=(5-t)cm,BO=2tcm,根据三角形面积公式列方程求解即可；

(2)根据(1)的方法列出方程，再判断出方程是否有解即可；

(3)根据勾股定理列出方程，求解即可.

【详解】解：依题意，得P8=(5—t)cm,BO=2tcm,则SPDQX(5-t)X2ts6,

整理，得t2-5t+6=0,

解得=2,t2=3.

即2s或3s后，aPBQ的面积等于6cm2；

(2)不能，理由如下：

由(1)得SPBQ=^X(5-t)x2t=8,

整理，得产—5t+8=0,

•••△=(-5)2-4x1X8=-7<0,

该方程无实数根，即APBQ的面积不能等于8cm2；

(3)在RtZiPBQ中，•"QB=30。，

;.PQ—2PB—2(5—t)cm,

由勾股定理，得(5-1)2+(2()2=[2(5—1)]2,

整理，得，t2+30t-75=0,

解得t=10百-15或t=-10b-15(舍去).

即当f为10百一15时，NPQB=30°.

22.(10分)某宾馆有50个房间供游客居住.当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每

个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.(不考虑其他因素)

⑴若宾馆某一天利润9870元，则每个房间的定价为多少元？

(2)求每个房间的定价为多少元时，宾馆这一天的利润最大？

【答案】⑴房价定为470元或210元

(2)房价定为340元时，宾馆这一天的利润最大

【分析】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含

的相