中考数学专项复习提升：一次方程（组）及其应用 （思维导图+5考点+3命题点15种题型（含5种解题技巧））（讲义）（解析版）

第二章方程与不等式

第05讲一次方程（组）及其应用

（思维导图+5考点+3命题点15种题型（含5种解题技巧））

01考情透视•目标导航＞题型03加减法解二元一次方程组

02知识导图•思维引航•►题型04整体法解二元一次方程组

03考点突破•考法探究＞题型05解二元一次方程组--同解方程组

考点-----元一次方程基础•►题型06解二元一次方程组一已知二元一次方程组

考点二解一元一次方程的解的情况求参数

考点三二元一次方程（组）基础＞题型07中考最热考法之以注重过程性学习的形式

考点四解二元一次方程（组）考直一次方程（组）

考点五一次方程（组）及其应用命题点三一元一次方程（组）的应用

04题型精研•考向洞悉＞题型01列一元一次方程组

命题点一一元一次方程（组）的相关概念＞题型02一元一次方程的应用

＞题型01等式的性质•►题型03二元一次方程组的应用

＞题型02一元一次方程的相关概念»题型04中考最热考法之以跨学科背景考直一元

»题型03二元一次方程的相关概念一次方程的实际应用

命题点二解一元一次方程（组）■题型05中考最热考法之以真实问题情境为背景考

＞题型01一元一次方程的解法查二元一次方程组的实际应用

•►题型02代入法解二元一次方程组

考情透视•目标导航

中考考点考查频率新课标要求

一元一次方程

★★

掌握等式的基本性质；能解一元一次方程.

及其解法

二元一次方程掌握消元法，能解二元一次方程组；

★★

及其解法*能解简单的三元一次方程组；

一次方程（组）

★★

能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程

的应用

【考情分析1］一元一次方程属于初中的基础内容，试题形式多样，难度不大，主要以解决实际问题为

考查背景，多出现在销售、行程、工程等问题中，确定题目中的等量关系，正确地列出方程是解题的关

键.此外,准确的计算能力也是得分所必不可少的技能.

【考情分析2］中考对二元一次方程组的考查包括解方程组和利用二元一次方程组解决实际问题，其关

键是"消元"思想，即将"二元"转化为"一元"，这也体现在用二元一次方程组可解决的问题用一元一

次方程也可以解决，考查形式多样，难度不大，多以解决实际问题为出题背景.

知识导图•思维引航

等

式

的

相同的数

性

实际问题理生数学问题至近*已知fit,未知量.等量关系❶加、减T相同式子

质等式仍然成立

等号两边同时

学I❷乘、除相同非。数

III）g法

解释«._解的合理性♦^亟方程的解方程

指一元一数

一次方程4^1

（组）应导效一次次数期

用一

含有未知数

元

一概合方程I

等式等号两边都是知：

次---------1

方

一方程臃的值的让李边相等

程

知

次

识

方

梳❷去括号

程

理

解方程步骤❸移项

组

❹合并同类项

及

其❺系数化为1

应

一移譬诞演学二元有两个未知数

习

用

蕨用舌号渤HI—次次数为］

--误

方程组两个方程组成

去分母时，漏给不含分母的项秉公分母次方程的区

忽视钠线的•1括号"作用现事®二定义未知数的值使方程两边相等

二元一次方程|--------------------------------------------

元

---------假磁个

"0"的特性:任何数与。相乘都得0一

解

次

把d强以数也跟着扩大——言两个方解公共解

一〃激化为碱时方二次方程组I------------------

同一分jS中的分子，分母扩大的倍数不同F-------程------------=~j个数一组

由多化少二欣一元

清元将未知数的个数|----------------------------

----------------------------逐一解决求一m^f

代人消元

解方程代人清元法❷

❸回解

❶变换关系

加濡肖族❷加减满元

❸回代得解

考点突破•考法探究I

考点一一元一次方程基础

一、一元一次方程的相关概念

一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1,这样的整式方程叫一元一次方程.

一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且aWO）.

方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.

解方程：求方程的解得过程叫做解方程.

【易错易混】

1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程；

2）方程的解是通过解方程求得的.

3）方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程/=4的解），也有可能无解（如/=—4无解）.

二、等式的性质

等式的性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即：

如果a=b,那么a±c=a±c

等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即:

如果a=b,那么ac二be；如果a=b（cWO）,那么-=-

cc

等式的性质3：如果a=b,则b=a（对称性）

等式的性质4：如果a=b,b=c,则a=c（传递性）

【易错易混】

1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.

2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0,若题目没有注明该字母不为0,那么这个变形就不成立.

针对训练

1.（2023・湖南永州•中考真题）关于x的一元一次方程2%+血=5的解为x=l,则根的值为（）

A.3B.-3C.7D.-7

【答案】A

【分析】把x=1代入2久+m=5再进行求解即可.

【详解】解：把x=1代入2%+=5得：2+m=5,

解得：m=3.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左

右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤.

2.（2024•山东济南.模拟预测）若关于x的方程（爪―1）/+2x—1=0有根，则根的取值范围是.

【答案】m>0

【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，分类讨论思想是关键.由于方程有实数根，当

方程为一元二次方程时，令△>（）,即可求出机的取值范围，要注意，m-1^0.再令方程为一元一次方

程，进行解答.

【详解】解：当方程（巾-l）x2+2%-1=0为一元二次方程时，方程有解，

则加一1力0且公=22-4x（m-1）x（-1）>0,

解得：m>0且mH1,

当方程（m-l）x2+2x-1-0为一元一次方程时，

方程有解，则只需m—1=0,即m=1,

综上：当加20时，方程有实数根.

故答案为：m>0.

3.（2024.贵州•中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入▲”三

种物体，如图所示，天平都保持平衡.若设“■”与“・”的质量分别为尤，y,则下列关系式正确的是（）

、■”。勺▲/\BAz

A~△1

甲乙

A.x=yB.x=2yC.x=4yD.x=5y

【答案】C

【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为。，根据题意列出等式x+y=y+2a,x+a=x+2y,然

后化简代入即可解题.

【详解】解：设“▲”的质量为

由甲图可得x+y=y+2a,即x=2a,

由乙图可得x+a=x+2y,即a=2y,

.".x=4y,

故选C.

4.（2022・青海・中考真题）下列说法中，正确的是（）

A.若ac=be,贝！Ja=bB.若a?=]j2,则a=b

C.若巴=贝!|a—bD.若一工x=6,则无=2

cc3

【答案】c

【分析】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质分析得出答案.

【详解】解：A、若ac=bc,当存0,贝IJ故此选项错误；

B、若a2=》2,则。=±万，故此选项错误；

C、若2=2,则（1=依故此选项正确；

CC

D、若—（x=6,则％=-18,故此选项错误；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键.

5.（2022•山东滨州•中考真题）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U,导体的电阻R之间有以

下关系：I=3去分母得IR=U,那么其变形的依据是（）

A.等式的性质1B.等式的性质2C.分式的基本性质D.不等式的性质2

【答案】B

【分析】根据等式的性质2可得答案.

【详解】解：/=（去分母得/R=U,其变形的依据是等式的性质2,

故选:B.

【点睛】本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立.

考点二解一元一次方程

基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且aWO）的形式，得出方程的解

步骤具体做法

去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号

移项把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边

合并同类项把方程变为ax=b（aWO）的形式

系数化为1将方程两边都除以未知数系数a,得到方程的解x=-

a

【补充说明】解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤,

有分母的去分母，有括号的去括号.

针对训练

1.（2024.海南.中考真题）若代数式x-3的值为5,贝ijx等于（）

A.8B.-8C.2D.-2

【答案】A

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知X-3=5,解方程即可得到答案.

【详解】解：•••代数式工一3的值为5,

%—3=5,

解得％=8,

故选：A.

2.（2024.河北•模拟预测）下面是嘉淇同学解一元一次方程芋-1=?的过程，请认真阅读并回答相应的

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问题.

解：去分母，得5%—6=2（3支一2）,……第一步

去括号，得5%—6=6比—2,...第二步

移项，得5%—6x=-2—6,..…第三步

合并同类项，得—x=—8,...…第四步

解得％=8.

以上解题步骤中，开始出错的一步是()

A.第一步B.第二步C.第三步D.第四步

【答案】B

【分析】本题考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，

系数化为1进行计算，即可解答.

【详解】去分母，得5%-6=2(3.2),……第一步

去括号，得5刀—6=6%—4,.........第二步

・•・第二步开始出错，

故选：B.

3.(2024・贵州贵阳•二模)已知关于无的方程2久-m=。的解是％=-3,则瓶的值为.

【答案】-6

【分析】把方程的解代入原方程，方程左右两边相等得到关于m的方程，解方程即可.本题考查了一元一次

方程的解，解题的关键是知道使一元一次方程左右两边相等的未知数的