易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题（解析版）

专题04易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题

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目录

【典型例题】..................................................................................1

【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】.......................1

【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】.......................4

【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】..............................8

【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】..................12

学优

【典型例题】

【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】

例题：（2022春・浙江•八年级期末）己知:等腰三角形的两边长分别为6和4,则此等腰三角形的周长是.

【答案】16或14##14或16

【分析】分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计

算即可得解.

【详解】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、4,能组成三角形，

周长是6+6+4=16,

②6是底边时，三角形的三边分别为6、4、4,能组成三角形，

周长是6+4+4=14,

综上所述，三角形的周长为16或14.

故答案为：16或14.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两

种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.

【变式训练】

1.已知实数x,y满足|尤-5|+。-10）2=0,则以无，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）

A.20B.25C.20或25D.以上答案均不对

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分5是腰长与底边两种情况讨论求解即可.

【详解】

解：•.•|x-5|+(y-10)2=0,|x-5|>0,(y-10)2>0

•*.x-5=0,y-10=0,

解得x=5,y=10,

当5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、10,

回5+5=10,

团不能组成三角形；

当5是底边时，三角形的三边分别为5、10、10,

能组成三角形，周长=5+10+10=25,

所以，三角形的周长为25,

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数

的和等于0,则每一个算式都等于0,求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形

的三边关系进行判断.

2.(北京市延庆区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题)等腰三角形有两条边长分别为3cm和7cm,

则这个等腰三角形的周长为cm.

【答案】17

【分析】由等腰三角形两腰长相等的性质，分7为腰长或3为腰长两种情况，结合三角形三边关系即可求

解.

【详解】解：根据题意，当腰长为7cm时，7、7、3能组成三角形，周长为：7+7+3=17(cm)；

当腰长为3cm时，3+3<7,7、3、3不能构成三角形，

故答案为：17.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题的关键是掌握"三角形两边之和大于第

三边，两边之差小于第三边

3.(2022春•江苏苏州•八年级校考期中)已知一个等腰三角形的两边长分别为9cm,5cm,则该等腰三角形

的周长为cm.

【答案】23或19

【分析】分9a找是腰长与底边长两种情况，再结合三角形的三边关系讨论求解.

【详解】解：①若9。根是腰长，则三角形的三边分别为9c"z、9cm、5cm,

5+9>9,能组成三角形，

周长=9+9+5=23(cm),

②若9c:w是底边长，则三角形的三边分别为9c加、9cm、5cm,

5+5>9,能组成三角形，

周长=9+5+5=19(cm).

综上所述，三角形的周长为23或19cm.

故答案为：23或19.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形三边关系

判断是否能组成三角形.

4.（2022春・吉林长春•八年级统考期末）若AABC的三边长分别为10-a,7,6,当AABC为等腰三角形时，

则a的值为.

【答案】3或4##4或3

【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况：当10-。=6时，当10-a=7时，再结合三角形三边关系检验

即可.

【详解】解：回AABC为等腰三角形，

回当10-a=6时，

解得a=4,

团三边长为6,6,7

06+6>7,

回符合三角形三边的条件，

当10-。=7时，

解得a=3,

团三边长为7,7,6

06+7>7,

回符合三角形三边的条件，

回a的值为4和3.

故答案为：4和3.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的定义（两边相等的三角形），灵活运用所学知识求解

是解决本题的关键.

5.（2022春•湖北武汉•八年级统考期中）用一条长为28cm的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角

形一边长是另一边长的L5倍，则它的底边长为cm.

【答案】12或7

【分析】可设一边为'em,则另一边为L5xcm,然后分x为腰和底两种情况，表示出周长，解出x,再利用

三角形三边关系进行验证即可.

【详解】解：设一边为xcm,则另一边为1.5xcm,

①当长为xcm的边为腰时，此时三角形的三边长分别为xcm、xcm、1.5xcm,

由题意可列方程：x+x+1.5x=28,

解得x=8,

此时三角形的三边长分别为：8cm、8cm和12cm,满足三角形三边之间的关系，符合题意；

②当长为xcm的边为底时，此时三角形的三边长分别为：xcm、L5xcm、1.5xcm,

由题意可歹!I方程：x+1.5x+1.5x=28,

解得：x=7,

此时三角形的三边长分别为：7cm、10.5cm、10.5cm,满足三角形的三边之间的关系，符合题意；

团这个三角形的底边长为12cm或7cm.

故答案为：12或7.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分情况讨论且进行三边验证是解题的关键.

【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】

例题：（2022春•浙江•八年级期中）等腰三角形的一个内角为70。，则这个等腰三角形的顶角为

【答案】70°或40°##70°或40°

【分析】首先要进行分析题意，”等腰三角形的一个内角"没明确是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨

论.

【详解】本题分两种情况，

①当70。角为顶角时，顶角的度数为70。，

②当70。角为底角时，顶角的度数为180。-2乂70。=40。；

回这个等腰三角形的顶角为40。或70。.

故答案为：70。或40。.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时

要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键.

【变式训练】

1.（2022秋•上海闵行,七年级校考阶段练习）如果等腰三角形的一个角的度数为80。，那么其余的两个角

的度数是.

【答案】50°,50。或20。,80°

【分析】根据等腰三角形性质，分类讨论即可得到答案.

【详解】解：①当80。时顶角时，其余两个角是底角且相等，则有：（180。-80。）+2=50。；

②当80。时底角时，则有：顶角180°-80°x2=20°；

故答案为：50°,50°或20。，80°.

【点睛】本题考查等腰三角形性质：两个底角相等，还考查了分类讨论的思想.

2.（2022春•黑龙江黑河•八年级校考期末）等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20。，则这个等腰三角

形的顶角度数是.

【答案】44。或80。或140。

【分析】设另一个角是x,表示出一个角是2x-20。，然后分①%是顶角，2x-20。是底角，②x是底角，

2x-20。是顶角，③x与2x-20。都是底角根据三角形的内角和等于180。与等腰三角形两底角相等列出方程

求解即可.

【详解】解：设另一个角是X,表示出一个角是2x-20。，

①x是顶角，2x-20。是底角时，x+2（2x—20°）=180°,

解得x=44。，

所以，顶角是44。；

②x是底角，2x—20。是顶角时，2x+（2x—20°）=180°,

解得x=50。，

所以，顶角是2x50。-20。=80。；

③x与2尤-20°都是底角时，x=2x-20°,

解得x=20。，

所以，顶角是180°-20°x2=140。；

综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44。或80。或140。.

故答案为：44。或80。或140。.

【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是

这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错.

3.（2022春・河北石家庄•八年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，ZAOB=40°,OC平分/A0B,

如果射线Q4上的点E满足是等腰三角形，NOEC的度数为.

【答案】20。或80。或140°##20°或140°或80°##80°或20°或140。##80°或140°或20°##140°或20°或80°##

140。或80。或20。

【分析】求出—AOC,根据等腰得出三种情况，OE=CE,OC=OE,OC=CE,根据等腰三角形性质和

三角形内角和定理求出即可.

【详解】回OC平分/AO3,

团ZAOC」ZAO3=20。，

2

分三种情况：①当oc=o?时，如图，

^OC=OE,

团NQEC=NOCE,

0ZOEC=1(18O0-ZAOC)=8O°

②当OC=CE时，如图,

0ZOEC=ZAOC=20°:

③当OE=CE时，如图,

团OE—CE,

团NQCE=NAOC=20。，

团ZOEC=180°-ZOCE-ZAOC=140°,

综上，NOEC的度数为：20。或80。或140。，

故答案为：20。或80。或140。

【点睛】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想.

4.（2022春•黑龙江哈尔滨•八年级哈尔滨德强学校校考期中）在AABC中，AB=AC,ZBAC=im°,点、D

在边3c上（不与8、C重合），连接A。，若AABD是等腰三角形，则—ADC的度数为.

【答案】80。或110。

【分析】在AASC中，根据钻=AC,Zfi4C=100°,得至!!/3=^^=（180。-100。）+2=40°,再根据AABD

是等腰三角形及三角形外角公式分类讨论即可得到答案.

【详解】解：如图所示，

在AABC中，

0AB=AC,ZBAC=100°,

团N5=NC=(180°—100°)+2=40°,

若是等腰三角形，

①当ND=AZ）时，

ZB=ZBAD=40°,

ZADC=ZB+ZBAD=80°,

②当班=BD时，

NBAD=NBDA,

ZBAD=（180°-40°）2=70°,

ZADC=ZB+ZBAD=110°,

综上所述80。或110。.

【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度及三角形内外角关系，解题关键是分析出右4犯的腰.

5.（2022春•江西赣州•八年级统考期中）如图，在AABC中，ZB=20°,NA=105。，点P在AABC的三边

上运动，当AR4c为等腰三角形时，顶角的度数是.

【答案】105。或55。或70°

【分析】作出图形，然后分点P在A8上与BC上两种情况讨论求解.

【详解】解：①如图1,

图1

点P在A3上时，AP=AC,顶角为NA=105。,

②回/5=20。，ZA=105。，

EZC=180°-20°-105。=55°,

如图2,点尸在BC上时，若AC=PC,

顶角为NC=55。，

如图3,若AC=AP,

则顶角为/675=180°-2"=18。°一2*55°=70°，

综上所述，顶角为105。或55。或70。.

故答案为：105。或55。或70。.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解.

6.（2022春•上海虹口•八年级校考期中）如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为

"倍角三角形”，例如，在AABC中，如果44=50。,/3=100。，那么AABC就是一个“倍角三角形如果一

个倍角三角形是一个等腰三角形，那么它的顶角的度数是.

【答案】90°或36°##36°或90°

【分析】分两种情况：当顶角是底角的2倍时和当底角是顶角的2倍时，根据三角形的内角和定理，列出

方程，计算即可.

【详解】解：当顶角是底角的2倍时，

设顶角为了，则底角为gx,

团XH---XH---X=180°,

22

解得：尤=90。，

当底角是顶角的2倍时，

设顶角为x,则底角为2x,

Elx+2尤+2x=180°,

解得：尤=36°,

综上所述，它的顶角的度数是90。或36。.

故答案为：90。或36°

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的定义、解一元一次方程，解本题的关键在分情况

讨论思想的应用.

【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】

例题：（2022春•河南平顶山•八年级校联考期中）如图，B、C、D在同一直线上，BC=CD,AB=AC=5,

AOIBC^-O,AO=3,P为线段上一个动点，点尸从点。向终点B运动（不包括。、B）,当△ACP

为等腰三角形时，。尸的长为.

【答案】3或入或13

O

【分析】根据勾股定理求出。8,进而求出2C和的长，分CP=AC、P"A=P"C.CP'"=C4三种情况,

根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，得到答案.

【详解】解:SAB=AC,AOLBC,

SBO=OC,

在及AAOB中，OB=^AB2-AO2=V52-32=4>

团BC=2OB=8,

国BC=CD,

当CP=AC=5时，0P=8—5=3,

当尸"A=P〃C时，O尸〃=4—P"C,

在Rt^AOP"中，OA2+OP"2=AP"2,即32+（4-CP"）2=CP"2,

25

/r

解得，CP=­f

o

则£>P'=至+8=双，

88

当CP"'=C4=5时，DP〃'=8+5=13,

25

综上所述，尸是等腰三角形时，线段0P的长度为3或■^或13.

O

故答案为：3或925或13.

O

【点睛】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边

长为C,那么4+62=02.

【变式训练】

1.（2022春•江苏泰州•八年级统考期中）如图,在长方形ABCD中，点E是C。上的一点，过点E作£F，BE,

交AD于点尸，作点。关于环的对称点G,依次连接BG、EG、FG.已知AB=16,BC=12,且当

是以防为腰的等腰三角形时，则CE的值为.

【答案】彳或干

23

【分析】①当3E=GE时，A3EG是以BE为腰的等腰三角形，设DE=x，则OE=GE=3E=x,CE=16-x,

在RtA^CE中，根据勾股定理，可列出方程求出x的值，进而可得CE的值；

②当3E=3G时，△班G是以BE为腰的等腰三角形，过点2作证明ACEB丝AEHB,CE=HE,

再列方程求解即可.

【详解】解：①当鹿=GE时，A3£G是以防为腰的等腰三角形，

在长方形ABCD中，

回。关于EF的对称点G,

0DE=GE,

0ABEG是以BE为腰的等腰三角形，

团GE=BE,

团DE=GE=BE,

设。石=%，贝ij5E=Z)E=x,CE=16—%,

222

在RtABCE中BC+CE=BE,

25

即：122+(16-X)92=X2,解得：X=E，

257

CE=16-x=16——=—,

22

7

团CE的值为,；

②当BE=8G时，ABEG是以防为腰的等腰三角形，

如下图1,过点B做BH_LGE,

AB

图1

团四边形ABC。是长方形，

团NECB=90。，AB=CD=16,

团NCEB+NCB石=90。，

0EF1BE,

团NDEF+NCEB=90。，

国NDEF=NCBE,

团点。关于斯的对称点G,

SAEDF=^EGF,

国DE=EG,ZDEF=ZGEF,

国EFLBE,HBLGE,

国NGEF+NHEB=90Q,/HBE+ZHEB=9U。,

田NGEF=NHBE,

©NDEF=NCEB,ZGEF=ZHBEfZDEF=ZGEF,

⑦NCBE=NHBE,

团/石CB=90。，HBYGE,

⑦NECB=NEHB=90°,

NCBE=ZHBE

在ACEB和LEHB中<EB=EB

ZECB=ZEHB

国ACEB、EHB(AS»,

国HB=BC=12,HE=EC,

设CE=x,贝ijD£=CD-CE=16—%,

国DE=GE,BE=BG,HBLGE,

SHE=-GE=-DE^-(16-x),

222V7

国HE=CE,

0—(16—x)=x,解得：x=—,

0C£=—；

3

综上所述，当ABEG是以BE为腰的等腰三角形时，则CE的值为:或

【点睛】本题考查了长方形、等腰三角形、轴对称的性质，根据勾股定理巧妙设方程求解是解本题的关键，

综合性较强，难度较大.

2.(2022春•陕西西安•八年级西安市第二十六中学校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO

的四个顶点分别为点A。,2）,5（10,2）,C（10,0）,0（0,0）,点。是线段0c的中点，点P在"边上，若40如

是腰为5的等腰三角形，则点P的坐标为.

二I-U

ODCX

【答案】（5+在',2）或（后1,2）

【分析】先求出点。的坐标为（5,0）,设点尸的坐标为：（。,2）,分两种情况：OD=DP=5或OD=OP=5,

求出。的值，即可得出答案.

【详解】解：回点c（io,o）,0（0,0）,点。是线段OC的中点，

回点。的坐标为（5,0）,OD=5,

回点4（1,2）,5（10,2）,

ElA5〃x轴，

设点P的坐标为：（a,2）,

当OD=Z）尸=5时，（a-5『+2?=5?,

解得：a=5+A/21或a=5'—V2T，

0a=5-V21<l>

0a=5-5/21舍去，

回此时点尸的坐标为：（5+01,2）；

当OD=O尸=5时，（a-0）2+22=52,

解得：a=V21-A/21（舍去），

回此时点P的坐标为：（J五,2）；

综上分析可知，点尸的坐标为（5+01,2）或（直,2）.

故答案为：（5+方',2）或（庖,2）.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，勾股定理，平面直角坐标系中点的特点，解题的关键是设出

点P的坐标，列出方程，注意进行分类讨论.

【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】

例题：（2022春・福建龙岩•八年级校联考阶段练习）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为4。。，则顶角

的度数是.

【答案】50。或130。

【分析】首先根据题意画出图形，一种情况是等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50。；另

一种情况是等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为130。；

【详解】如图1,等腰三角形为锐角三角形，

图1

0BD1AC,ZABD=40°,

0ZA=5O°；

如图2,等腰三角形为钝角三角形,

01AC,ZABD=40°,

0ZS4D=5O°,

0ZBAC=130°.

故答案为：50°或130。

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的画出图形，结合图形利用数形结

合的思想求解是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022春•北京西城•八年级校考期中）在AABC中，AB=AC,。是AB边上的高，ZACD=40°,则

的度数为.

【答案】65。或25。

【分析】分两种情况：当。在线段A3上时，根据题意，得出/ADC=90。，再根据三角形的内角和定理，

得出NA=50。，再根据等边对等角，得出=再根据三角形的内角和定理，计算即可得出Z8的

度数;当。在线段A3的延长线上时，根据题意，得出NADC=90。，再根据三角形的内角和定理，得出

NA=50。，再根据等边对等角，得出=再根据三角形的外角的性质，计算即可得出-3的度数，

综合即可得出答案.

【详解】解：如图，当D在线段A3上时，

A

团CO是A5边上的高，

0ZAZ)C=9O°,

又团NACD=40。，

0ZA=180°-90°-40°=50°,

0AB=AC,

国NB=NACB,

团2ZB=180。一ZA=180。一50°=130°,

0ZB=65°；

如图，当O在线段的延长线上时,

团CO是A5边上的高，

0ZAZ）C=9O°,

又回NACD=40。，

BZDAC=180°-90°-40°=50°,

BAB=AC,

团NB=NACB,

又回ZDAC=/B+ZACB=2ZB,

回2/5=50。，

0ZB=25°,

综上所述，25的度数为65。或25。.

故答案为：65。或25。.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、等边对等角、三角形的外角的性质，解本题的关键在熟练掌握

相关的性质定理，分类讨论.

2.（2022春・广东广州•八年级校考阶段练习）在△ABC中，AB=AC,AC上的中线50把三角形的周长分

成24和30两部分，则底边BC的长为.

【答案】22或14

【分析】分两种情况：AB+AD=24；AB+AD^30,可得AB的长，再由另一部周长即可求得底边BC的

长.

【详解】解：由题意得：AD=CD

：.AB=AC^2AD,

当AB+AD=24时，

即2AD+4)=24,

/.AD=8,

•/BC+CD=30,

30=30—8=30—8=22；

当AB+AZ)=30时，

即2AZ)+AD=30,

:.AD=\Q,

•/BC+CD=24,

5C=24—8=24—10=14；

综上，底边的长为22或14；

故答案为：22或14.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的含义，涉及分类讨论.

3.(2022春•重庆沙坪坝•八年级重庆市第七中学校校考阶段练习)一个等腰三角形的周长为36,其中一条

边的长度为10,则底边上高的长度为.

【答案】6或12##12或6

【分析】分两种情况：①当长度为10的边是腰时，②当长度为10的边是底时，根据勾股定理即可得到结

论.

【详解】解回①当长度为10的边是腰时，则底为36-10-10=16,

•••底边上高的长度为7102-82=6；

②当长度为10的边是底时，则腰为;(36-10)=13,

•••底边上高的长度为＞/132-52=12，

综上所述，底边上