重庆市某中学2024年八年级下学期数学期末模拟试题（含答案解析）

重庆市南开中学2023-2024学年八年级下学期数学期末模拟试卷

一.选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.下列音符图案中，是中心对称图形的是（）

A.BOD.

O

2.下列式子中是分式的是（）

aaa,b

A.B.------C.一+〃D.

3兀+23a+5

反比例函数y=-9的图象一定经过的点是（

3.)

X

A.(-3,-2)B.(2,3)C.(2,-3)D.(-2,~4)

4.根据下列表格的对应值：判断方程£+%-1=0一个解的取值范围是（）

X0.590.600.610.620.63

x2,+X—1-0.061-0.04-0.0180.00440.027

A.0.59<x<0.60B.0.60<x<0.61C.0.61<x<0.62D.0.62<x<0.63

5.下列说法正确的是（）

A.有一个角是直角，且对角线相等的四边形是矩形B.两组邻边相等的四边形是菱形

C.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D.对角线互相平分且相等的四边形是正方形

6.如果关于天的一元二次方程依2+犬_1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）

A.a〉—B.。2—C.a2—且a工0D.a〉—且a70

4444

7.2023重庆马拉松在重庆市南岸区海棠烟雨公园鸣枪开跑.小南、小开参加5千米的迷你马拉松比赛，两

人约定从A地沿相同路线跑向距A地5千米的8地.已知小南跑步的速度是小开的1.5倍.若小开先跑12.5

分钟，小南才开始从A地出发，两人恰好同时到达B地,设小开跑步的速度为每小时x千米，则可列方程为

()

A.-=—+12.5B.--12.5

xl.5xx1.5x

「5512.55512.5

D.

x1.5%60x1.5x60

8.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2,1）,B（-1,1）,C（-1,-3）,D（2,-3）,点尸从点A出

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发，以每秒1个单位长度的速度沿/TBTC-D-/……的规律在四边形ABC。的边上循环运动，则第

)

B.(-1,1)C.(-1,0)D.(-1,-1)

9.如图，在正方形A6CQ的边上取一点E,连接AE并延长交0c的延长线于点尸，将射线AE绕点

A顺时针旋转45。后交的延长线于点G,连接尸G,若NAED=a,则NCG尸的大小是（）

A.aB.45°-—C.90°-2tzD.60°-«

2

10.对于整式2/+3%+2、-3%-5、-2尤2+1，在每个式子整体前添加“+”或“一”，先求和再求和的

绝对值，称这种操作为“和绝对”操作，并将操作结果记为Q,例如

e=|2x2+3x+2-（-3x-5）+（-2x2+l）|=|6x+8|,下列相关说法正确的个数是（）

①至少存在一种“和绝对”操作，使得操作后的化简结果为常数；

②若有一种“和绝对”操作。的化简结果为—4炉+左（左为常数），则或

③在所有的“和绝对”操作中，将每次操作化简结果的最小值记为则M的最大值为”.

4

A.OB.1C.2D.3

二.填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）

,,m-n5m

11.若---=一,则一=

n2n

12.如图，已如△ADESAABC,且AO：AB=2：3,贝。：S-BC=

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13.若一个多边形的每一个外角都等于40。，则这个多边形的边数是.

14.万州烤鱼，如今已是万州区级非物质文化遗产项目.它结合现代入的饮食习惯和现代烹饪技术，采用先腌

后烤再炖的独特技法，取传统川菜与重庆火锅的用料精华，调制出“麻辣”、“酸辣”、“香辣”、“蒜泥”、“豆豉”

等几十个不同口味，香味浓郁，辣而不燥，以麻、辣、鲜、香的味道传遍大江南北.某游客慕名而来，决定

从“麻辣”、“酸辣”、“香辣”、“蒜泥”、“豆豉”这5个口味的烤鱼中随机选取2个进行品尝，则他抽到“酸辣”

和“蒜泥”的概率为.

15.已知加、〃是一元二次方程X2+3X-5=0的两个根，则机+〃的值为.

16.若关于x的一元一次不等式组'2''有且仅有3个偶数解，且关于y的分式方程

m-3x>5

2—my20_

73r7的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是

17.如图，在等腰△ABC中，ZBAC=120°,AB=AC,D、E、尸分别是BC、AB、AC边上的点，将

△ABC分别沿。E、折叠，使点B恰好落在点A处，点C落在同一平面内的点C'处，DC'与AC相交

FG

于点G.若。ELDC',则一短的值是.

DE

18.若一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0,且千位数字的5倍等于百位数字、十位数字与个

位数字的和，则称这个四位数为“谦和数”.例如：四位数2163,:5x2=l+6+3,，2163是“谦和

数”.又如四位数3147,:5x3wl+4+7,，3147不是“谦和数”.若四位数通^为“谦和数”，则

尤=.若“谦和数"M=M(其中d为偶数)，将“谦和数”M的十位数字与个位数字放到千

____M'-M

位数字与百位数字之前，组成一个新的四位数=规定G(M)=99.若G(M)能被H整

除，且诙能被3整除，则M的最大值为.

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三.解答题（共9小题，满分78分）

19.因式分解：

（1）2mx2-4/nx+2m

⑵x2-6x+8

20.解方程：

x-2,16

（1）----------1=^—；

x+2x—4

（2）2X2-4X-7=0«

'机2_93）机2

21.先化简，再求值：一2~~7---7---------+------其中加=血・

Im~-6m+9m-5）m-3

22.已知：如图，四边形ABC。是平行四边形.

求作：菱形AECT,使点E,歹分别在5C,AD上.

作法：①连接AC；

②作AC的垂直平分线E尸分别交5C,AD于点E,F-AC,EE交于点Q

③连接所以，四边形AECR就是所求作的菱形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：•..四边形ABC。是平行四边形，

AFUEC.

：.ZFAO=/ECO.

又•••ZAOF=ZCOE,AO=CO,

：.DAOF^COE.

：.FO=EO.

.••四边形AECT是平行四边形（）（填推理的依据）.

又,：EFJ.AC,

平行四边形AECE是菱形（）（填推理的依据）.

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23.某校进行青春期知识培训后，开展了“我的青春最闪耀”知识测试.为了解本校八年级学生测试成绩

的大致情况，随机抽取了男、女各20名学生的测试成绩(百分制，用x表示测试成绩，单位：分，

50<x<100)进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

收集数据：

女生测试成绩在704尤<80这一组的是78,75,73,71,70,70,70.

整理数据：

将随机抽取的男、女各20名学生的测试成绩分成A,B,C,D,E五个等级，且450V尤<60,B：

60<x<70,C：70<x<80,D：80<^:<90,E：90<x<100.

描述数据：

男生成绩扇形统计图女生成绩频数分布直方图

分析数据：

男生和女生测试成绩的平均数、中位数、众数如表:

项目平均数中位数众数

男生成绩757675

女生成绩75n70

根据以上信息，回答下列问题：

(1)图中加=,表中"=,并补全女生成绩频数分布直方图；

(2)根据以上数据，你认为随机抽取的男、女各20名学生的测试成绩中，是男生整体成绩更好还是女生

整体更好，试说明理由(写出一条理由即可)；

(3)已知该校八年级学生共有1220人，其中男生共有620人，女生共有600人，且都参加了此次测试，

估计测试成绩不低于80分的有人.

24.随着重庆动物园的熊猫新馆建成和使用，熊猫相应的文创物品类型更加丰富.某店有A、8两种熊猫

玩偶，已知每个A款熊猫玩偶的售价是每个2款熊猫玩偶售价的g倍，顾客用150元购买A款熊猫玩偶的

数量比用150元购买B款熊猫玩偶的数量少1个.

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(1)求每个3款熊猫玩偶的售价为多少元？

(2)经统计，该店每月卖出A款熊猫玩偶100个，每个A款熊猫玩偶的利润为16元.为了尽快减少库

存，该店决定采取适当的降价措施.调查发现，每个A款熊猫玩偶的售价每降低2元，那么平均每月可多

售出20个.该店想每月销售A款熊猫玩偶的利润达到1200元，每个A款熊猫玩偶应降价多少元？

25.如图，在菱形ABC。中，AB=6,N4=60°.点尸，。分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出

发，点尸沿折线A—D3C方向匀速运动，点。沿折线Af3fC方向匀速运动，当两者相遇时停止

运动.设运动时间为x秒，点尸，。的距离为y.

]I

八6.....T......

彳

.r

(1)请直接写出y关于X的函数表达式，并注明自变量X的取值范围；

(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；

(3)结合函数图象，直接写出当y<4时x的取值范围.

26.如图，在平面直角坐标系X0V中，直线4：y=-2X+4与X轴交于点A,与y轴交于点B,直线乙

与x轴交于点C,与y轴交于。点，AC-3,OD^2CO.

(1)求直线CD的解析式；

(2)连接A。，点尸为直线CD上一动点，若有S口以c=3用.。，请求出尸点坐标，

(3)点M为直线4上一动点，是否存在满足条件的点M使得NMCA=NBAC,若存在请直接写出点

M的坐标，若不存在，请说明理由.

27.在口ABC中，AB=AC,。是边AC上一动点，E是口48。外一点，连接BO,BE.

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CE//AB,AD=CE,若NAB。=!/A=20。，求NE的度数;

(1)如图1,

3

(2)如图2,CE//AB,BD=BE,ZA=2ZABD,过点。作。尸J.A3交于点R若

DE=2DF,/DBC=3/CBE,求证：AB=BD+CE；

(3)如图3,AE=AB,延长AE交5。的延长线于点FBE交AC于点G,点。是直线AC上一动点,

将△AB。沿BD翻折得△H5。，连接尸H,取/H的中点连接AM,若EF=2GC,AB=BC,

当线段AM取得最大值时，请直接写出出的值.

AB

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重庆市南开中学2023-2024学年八年级下学期数学期末模拟试卷

一.选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.下列音符图案中，是中心对称图形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了中心对称图形的概念.一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的

图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】解：A、不是中心对称图形，不合题意；

B、是中心对称图形，符合题意；

C、不是中心对称图形，不合题意；

D、不是中心对称图形，不合题意；

故选B.

2.下列式子中是分式的是（）

b

D.------

a+5

【答案】D

【解析】

A

【分析】本题考查了分式“如果A5表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子了叫做分式”，熟记定

义是解题关键.根据分式的定义逐项判断即可得.

【详解】解：A、幺是单项式，属于整式，则此项不符合题意；

3

B、三是单项式，属于整式，则此项不符合题意；

C、幺+6是多项式，属于整式，则此项不符合题意；

3

b

D、——是分式，则此项符合题意；

a+5

故选：D.

3.反比例函数y=-9的图象一定经过的点是（）

X

A.（-3,-2）B.（2,3）C.（2,-3）D.（-2,-4）

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【答案】C

【解析】

【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，即反比例函数y=&中，左=盯=-6为定值依此判

X

断即可.

【详解】解：反比例函数y=—9中，k=—6=xy,

X

A、•••(-3)x(-2)=6w-6,.•.此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；

B、•.•2x3=6w-6,.•.此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；

C、：2x(-3)=-6,.♦.此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；

D、•••(-2)x(-4)=8。-6,.♦.此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；

故选：C.

4.根据下列表格的对应值：判断方程必+工一1=0一个解的取值范围是()

X0.590.600.610.620.63

炉+x—1-0.061-0.04-0.0180.00440.027

A.0.59<x<0.60B.0.60<x<0.61C.0.61<x<0.62D.0.62<x<0.63

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算.熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键.

由图象可知，-0.018<0<0.0044,则方程必+%一1=0一个解的取值范围为0.61<x<0.62,然后判断

作答即可.

【详解】解：：—0.018<0<0.0044,

方程f+%_1=0一个解的取值范围为0.61<x<0.62,

故选：C.

5.下列说法正确的是()

A,有一个角是直角，且对角线相等的四边形是矩形B.两组邻边相等的四边形是菱形

C.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D,对角线互相平分且相等的四边形是正方形

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【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了特殊的平行四边形，根据特殊平行四边形的定义依次进行判断即可得；掌握特殊平行四

边形的定义是解题的关键.

【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，选项说法错误，不符合题意；

B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，选项说法错误，不符合题意；

C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，选项说法正确，符合题意；

D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，选项说法错误，不符合题意;

故选：C.

6.如果关于x的一元二次方程以2+彳_1=0有两个不相等的实数根，则。的取值范围是()

A.a>—B.—C.—且awOD.ci>—JELa70

4444

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，牢记“当△>()时，方程有两个不相等的实数根”

是解题的关键.由二次项系数非零及根的判别式A>0,即可得出关于。的一元一次不等式组，解之即可得

出a的取值范围.

【详解】解：•••奴2+尸1=0有两个不相等的实数根,

[aH0

"[A=l2-4xtzx(-l)>0

解得a>—且a/0

4

故选：D

7.2023重庆马拉松在重庆市南岸区海棠烟雨公园鸣枪开跑.小南、小开参加5千米的迷你马拉松比赛，两

人约定从A地沿相同路线跑向距A地5千米的B地.已知小南跑步的速度是小开的1.5倍.若小开先跑12.5

分钟，小南才开始从A地出发，两人恰好同时到达8地,设小开跑步的速度为每小时了千米，则可列方程为

()

55…

A.—=------F12.5B.--12.5

x1.5xx1.5%

5512.55512.5

C.—=------1--------D.——-------------

x1.5%60x1.5%60

【答案】C

【解析】

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【分析】根据小南、小开参加5千米的迷你马拉松比赛，小开比小南多用时12.5分钟，列分式方程即可，注

意换算单位.

【详解】解：根据题意，得之=工+交，

x1.5%60

故选：C.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意并根据题意找准等量关系是解题的关键.

8.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,1),B(-1,1),C(-1,-3),D(2,-3),点尸从点A出

发，以每秒1个单位长度的速度沿……的规律在四边形ABC。的边上循环运动，则第

【答案】D

【解析】

【分析】由点可得ABCD是长方形，点尸从点A出发沿着4a。。回到点A所走路程是14,即每过14秒

点P回到A点一次，判断2021-14的余数就是可知点P的位置.

【详解】解：由点A(2,1),B(-1,1),C(-1,-3),D(2,-3),

可知ABC。是长方形，

：.AB=CD=3,CB=AD=4,

...点P从点A出发沿着回到点A所走路程是：3+3+4+4=14,

：2021勺4=144余5,

.•.第2021秒时P点在BC中点处,

：.P(-1,-1),

故选：D.

【点睛】本题考查动点运动，探索规律，平面内点的坐标特点.能够找到点的运动每14秒回到起点的规

律是解题的关键.

9.如图，在正方形ABC。的边上取一点E,连接AE并延长交OC的延长线于点R将射线AE绕点

A顺时针旋转45。后交的延长线于点G,连接尸G,若NAED=a,则NCG尸的大小是()

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A.aB.45°-乌C.90°-2aD.60°-a

2

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由“SAS”可证

UADH^ABG,可得AG=AH,NDAH=/BAG,由“SAS”^^UAFG^AFH,可得

ZAGF=ZAHF,由角的数量关系可求解..

【详解】解：在OC上截取。〃=8G,连接AH,

:四边形ABC。是正方形，

AB=AD,ZADC=ZABC=90°=ZABG,

在口4。“和口ABG中，

AD=AB

<ZADC=ZABG,

DH=BG

.".□ADH^OABG(SAS),

AG=AH,ADAH=ZBAG,

：.ZDAB=NGAH=90°,

V将射线AE绕点A顺时针旋转45。后交CB的延长线于点G,

：.ZGAE=45°,

ZGAE=NHAF=45°,

又；AF=AF,

.".□AFG^AFH(SAS),

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ZAGF=NAHF,

NAFD=a,

：.ZAHF=1800-a-45°=135°-a=ZAGF,

AB//CD,

NBAE=NAFD=a>

：.ZBAG=45°-a,

ZAGC=90°-(45°-a)=45°+a,

ZCGF=(135。-a)-(45。+a)=90。-2a,

故选：C.

10.对于整式21+3X+2、—3x—5、一2/+1，在每个式子整体前添加“+”或“一”，先求和再求和的

绝对值，称这种操作为“和绝对”操作，并将操作结果记为Q,例如

Q=|2x2+3x+2-(-3%-5)+(-2x2+1)|=|6x+8|,下列相关说法正确的个数是()

①至少存在一种“和绝对”操作，使得操作后的化简结果为常数；

②若有一种“和绝对”操作。的化简结果为—4炉+左(左为常数)，则x4-L或xZl；

③在所有的“和绝对”操作中，将每次操作化简结果的最小值记为则M的最大值为”.

4

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式的应用：根据

Q=|2X2+3X+2+(-3X-5)+(-2X2+1)|=|-2|=2,可以判断①；分别求出八种操作后的结果可得

|4x2-4|=-4x2+k^|-4x2+4|=-4x2+k,则4x?—4W0,据此可判断②；根据所求的八种结果，分

别求出对应的最小值即可得到答案.

【详解】VQ=|2x2+3x+2+(-3x-5)+(-2x2+1)|=|-2|=2,

少存在一种“和绝对”操作，使得操作后的化简结果为常数，故①正确；

22

e=|2x+3x+2-(-3x-5)+(-2x+l)|=|6x+8|;

e=|2x2+3x+2+(-3x-5)+(-2x2+l)|=2；

Q=|2x2+3x+2-(-3x-5)-(-2x2+1)|=|4x2+6x+6|；

第6页/共30页

Q=|2x2+3x+2+(-3x-5)-(-2x2+1)|=|4x2-4卜

Q=|-(2x2+3x+2)-(-3x-5)+(-2x2+1)|=|-4x2+4,

Q=|-(2x2+3x+2)+(-3x-5)+(-2x2+1)|=|-4x2-6x-6|；

Q=|-(2x2+3x+2)-(-3x-5)-(-2x2+1)|=|2|=2；

Q=|-(2x2+3x+2)+(-3x-5)-(-2x2+1)|=|-6x-8|；

若有一种“和绝对”操作。的化简结果为—4k+左，贝14x2—4|=—4d+左或卜4/+4|=—4/+上，

4X2-4<01

.­--1<X<1,故②错误;

当。=|6x+8|或Q=|-6x一8|时，Q的最小值为0,

当Q=卜4%2+＜或Q=—4|时，Q的最小值为0,

当Q=|4》2+6x+6]=41x—+?时，Q的最小值为?；

当Q=卜4——6x—=—4[x—+?时，。的最小值为0；

综上所述，M的最大值为"，故③正确；

4

故选：C.

二.填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）

11.若X=j则'二.

n2n

7

【答案】一

2

【解析】

H7—775TT17

【分析】根据——=—可求出2机=7〃，即一=—.

n2n2

【详解】•・w

/.2(m-n)=5n

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2m=In

.m7

n2

7

故答案为：一.

2

HZ7

【点睛】本题考查分式的求值.根据已知分式变形为一=彳的形式是解答本题的关键.

n2

12.如图，已如△ADEsaABC,且A。：AB=2-3,则：S-BC=.

【解析】

【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论.

【详解】解：•.,△ADE-，AABC,AD：AB=2：3,

.S^DE_（AD）2_4

,,京一AB-9"

故答案为：4：9.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

13.若一个多边形的每一个外角都等于40。，则这个多边形的边数是.

【答案】9

【解析】

【详解】解：360-40=9,即这个多边形的边数是9.

故答案为：9.

14.万州烤鱼，如今已是万州区级非物质文化遗产项目.它结合现代入的饮食习惯和现代烹饪技术，采用先腌

后烤再炖的独特技法，取传统川菜与重庆火锅的用料精华，调制出“麻辣”、“酸辣”、“香辣”、“蒜泥”、“豆豉”

等几十个不同口味，香味浓郁，辣而不燥，以麻、辣、鲜、香的味道传遍大江南北.某游客慕名而来，决定

从“麻辣”、“酸辣”、“香辣”、“蒜泥”、“豆豉”这5个口味的烤鱼中随机选取2个进行品尝，则他抽到“酸辣”

和“蒜泥”的概率为.

【答案】—##0.1

10

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【解析】

【分析】画出树状图，再根据概率公式计算即可求出答案.

【详解】用A、B、C、D、E分别表示“麻辣”、“酸辣”、“香辣”、“蒜泥”、“豆豉”，然后画树状图，如图:

共有20种等结果的可能，其中抽至『'酸辣”和“蒜泥”的结果数为2,

，抽到的概率为尸=2=’,

2010

故答案为：

【点睛】本题考查了树状图法求概率，熟悉树状图的画法，掌握求概率方法是解题关键.

15.已知冽、〃是一元二次方程X2+3X-5=0的两个根，则机+〃的值为.

【答案】-3

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程的根的求解，可采取公式法或配平方的方法求解一元二次方程，进而求出所

需的两根之和.关键在于对一元二次方程的根正确求解，最终按要求作答题目.

【详解】利用公式法求解一元二次方程Y+3x-5=0，

..-b+J/—4ac

•x=-----------------

2a

2

-3±A/3-4xlx(-5)

,-2^1

可得：寸书画-3-回

2

由于冽、〃是一元二次方程X2+3X-5=0的两个根,

m+n=-3.

故答案为：-3.

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X--<3（x+l）

16.若关于x的一元一次不等式组《2,，有且仅有3个偶数解，且关于y的分式方程

m-3x>5

2—my20_

7与=7的解为非负数’则所有满足条件的整数m的值之和是

【答案】27

【解析】

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分

式方程的一般步骤.

先解已知条件中的不等式组，再根据不等式组有且仅有3个偶数解，求出机的取值范围，然后解已知条件

中的分式方程，根据方程解为非负数，求出，〃的值，最后求出同时满足已知条件的，"的值，求出它们的和

即可.

x~~^<3（%+1）①

【详解】解：

m-3x>5®

由①得：x-----<3%+3,

2

c11C

x-3x<——1-3,

2

17

x>-----,

4

由②得：一3%〉5-加，

m—5

x<------，

3

17m—5

-----<%<--------

43

X--<3（x+l）

•••关于x的一元一次不等式组〈2、，有且仅有3个偶数解,

m-3x>5

.••这3个偶数解为-4,-2,0,

.­.0<^<2,

3

5<m<11,

，加的整数值为6,7,8,9,10

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2—my20

解方程=7,

2—yy—2

方程两边同时乘y-2得:

my-2-20=7(y-2),

my-2-20=7y-14,

8

m-i

2-my20.

・・•关于y的分式方程丁)——-二7的解为非负数,

2—yy—2

QQ

-----〉0,即加—7>0且------。2即机—7。4,

m-7m-7

.,.根>7且〃z/11,

综上，机的取值为7＜加〈11,

，符合题意的根的值为8,9,10,

则所有满足条件的整数m的值之和是8+9+10=27；

故答案为：27.

17.如图，在等腰△ABC中，ZBAC=120°,AB=AC,。、E、尸分别是BC、AB,AC边上的点，将

△ABC分别沿。E、。尸折叠，使点8恰好落在点A处，点C落在同一平面内的点C'处，DC'与AC相交

FG

于点G.若。则——的值是.

【答案】2-9

3

【解析】

【分析】先根据等腰三角形的性质求得/3=/。=30°,再由折叠性质和三角形的外角性质求得

ZDAB=ZB=30°,DEIAB,ZCDF=ZC'DF,ZAFD=ZCDF+ZC=45°,设。E=x,利用

含30度角的直角三角形的性质求得FG=AF-AG=2x-—x，进而可求解.

3

【详解】解：•.•在等腰△A3C中，NA4c=120°,AB=AC,

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Z5=ZC=30°

由折叠性质得ZDA8=ZB=30°,/BDE=NADE,DE1AB,ZCDF=ZC'DF,

：.ZBDE=ZADE=-ZADB=60°,ZDAF=ABAC-ZDAB=90°,

2

,ZDE1DC

：.ZEDC=90°,则ZCDC'=180°-90°-ZBDE=30°,

：.ZCDF=ZC'DF=15°,则ZAFD=ZCDF+ZC=45°,

设。石=x

在RtzXAED中，NDAE=30。，则AD=2DE=2x

在RtDAOG中，ZADG=ZEDC-ZADE=30°,则。G=2AG,

由勾股定理得AZ)2+AG2=£>G2=4AG2.•••AG=—AD=-X.

33

在RtDADE中，ZADF=90°-ZAFD=45°,则Ab=AD=2x,

；•FG=AF-AG=2x-^-x，

3

92百

...FGX一-^-〔22百,

DEx3

故答案为：2-拽

3

【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、折叠性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性

质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质是解答的关键.

18.若一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0,且千位数字的5倍等于百位数字、十位数字与个

位数字的和，则称这个四位数为“谦和数”.例如：四位数2163,•.•5x2=1+6+3,，2163是“谦和

数”.又如四位数3147,:5x3wl+4+7,，3147不是“谦和数”.若四位数痂为“谦和数”，则

%=.若“谦和数"M=ab^d(其中d为偶数)，将“谦和数”M的十位数字与个位数字放到千

位数字与百位数字之前，组成一个新的四位数〃，=疝，规定=.若G(M)能被11整

除，且次能被3整除，则M的最大值为.

【答案】①.7②.3816

【解析】

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【分析】本题考查的是数的整除，乘法分配律的灵活应用，二元一次方程的正整数解问题，由，可得能被11

整除，再分类讨论即可.清晰的分类讨论是解本题的关键.

【详解】解：：四位数痂为“谦和数”，

.'.5x4=6+7+x,解得x=7；

,:M=而是“谦和数”，

.,.5a=b+c+d,M=lOOOtz+100Z?+10c+d,

/•c=5a—b—d,

又•.•新的四位数i标，

，M'=1000c+100J+10a+b,

“八M'-M1000c+100J+10a+&-1000（7-100b-10c-d

：.G（Af）=-------=----------------------------------------------

9999

990c+99d-990a-99b

~99

—10c+d-10〃—b=10（5。-/?-d）+d-10。—b=40〃—Wb—9d—11（3。-b-d）+7〃+2d,

・・・7〃+2d能被11整除,

又•*abc能被3整除，

二〃+Z?+c能被3整除，

3

当〃=9时，d=—或d=Q,由于d是偶数，不符合题意；

2

当。=8时，d=5,由于，是偶数，不符合题意；

当。=7时，1=3或4="，由于d是偶数，不符合题意；

2

13

当。=6时，1=1或〃=一,由于d是偶数，不符合题意；

2

9

当。=5时，d=—,由于d是偶数，不符合题意；

2

当。=4时，d=-（舍去）或d=8,这时Z?+c=12,而。+0+c=16不能被3整除，不符合题意；

2

当。=3时，d=—（舍去）或d=6,这时。+c=9,a+Z?+c=12能被3整除，即6最大为8,c为

2

1,

的最大值为3816,

故答案为：7；3816.

三.解答题（共9小题，满分78分）

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19.因式分解:

(1)2mx2-4mx+2m

(2)x2-6x+8

【答案】（1）2m（x-l）2；

(2)(x-4)(x-2)

【解析】

【分析】（1）首先提取公因式2根，进而利用完全平方公式分解因式即可;

（2）用十字相乘法分解即可.

【小问1详解】

解：原式=2相一2%+1

=2根(x-1)".

【小问2详解】

解：原式=（%-4）（九一2）.

【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，能根据多项式的特点，灵活选择方法是关键.

20.解方程:

,、x-2,16

(1)---------1=^—

%+2x—4

⑵2X2-4X-7=0.

【答案】（1）原分式方程无解

⑵%=1+还，-1一迪

1222

【解析】

【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程.熟练掌握解分式方程，解一元二次方程是解题的关键.

（1）去分母将分式方程化成整式方程，求整式方程的解，最后进行检验即可;

（2）公式法解一元二次方程即可.

【小问1详解】

解：--

x+2x—4

(X-2)2-(X2-4)=16,

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x2-4x+4-x2+4=16>

解得，x=-2,

经检验，x=-2不是原分式方程的解,

，原分式方程无解；

【小问2详解】

解：2X2-4X-7=0.

△=(—4)2—4x2x(—7)=72>0,

•-(-4)±V723收

[m--931m_

21.先化简，再求值：2，——---------十——->其中机=血.

m—6m+9m-3?

【答案】一,

【解析】

【分析】根据分式的混合运算法则，先化简括号内的，将除法运算转化为乘法运算，再化简成最简分式,

代入m值求解即可.

【详解】

m-6m+9m-3?m—3

(m+3)(m-3)3m-3

(m-3)m—3

m+33m—3

m—3m-3

mm—3

m—3m

当机=血时，原式=

后—2

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的化简，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关

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键.

22.已知：如图，四边形ABC。是平行四边形.

求作：菱形AECR,使点区P分别在3C,AD上.

作法：①连接4C；

②作AC的垂直平分线EE分别交3CAD于点E,F-AC,EE交于点O；

③连接所以，四边形AECR就是所求作的菱形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

AFUEC.

：.ZFAO=ZECO.

又•；ZAOF=ZCOE,AO=CO,

.,.□AOF^nCOE.

FO=EO.

四边形AECT是平行四边形（）（填推理的依据）.

又,：EFJ.AC,

平行四边形AECT是菱形（）（填推理的依据）.

【答案】（1）见解析（2）对角线互相平分的四边形为平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形为菱

形.

【解析】

【分析】（1）根据要求画出图形即可.

（2）先证明四边形A