2024-2025学年下学期初中数学人教版九年级期中必刷常考题之图形的相似

第18页（共18页）2024-2025学年下学期初中数学人教版九年级期中必刷常考题之图形的相似一．选择题（共5小题）1．（2024秋•界首市期末）若x+yyA．23 B．83 C．32 2．（2024秋•金寨县期末）已知a3A．ab=23 B．3a＝2b C．ba=3．（2024秋•贵州期末）下列各组线段中，是成比例线段的是（）A．2，3，5，6 B．1，2，3，5 C．1，3，3，7 D．2，3，4，64．（2024秋•青阳县期末）如图，C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，则下列结论中正确的是（）A．AC2+BC2＝AB2 B．BC≈0.618AB C．AC=5-12BC D．BC5．（2024秋•唐河县期末）如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（）A． B． C． D．二．填空题（共5小题）6．（2025•南山区校级一模）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在8米舞台PQ的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走米（结果保留根号）．7．（2024秋•平南县期末）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为．8．（2024秋•金寨县期末）已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AB＝4cm，AP＜BP，那么BP＝cm．9．（2024秋•鹿泉区校级期末）如图，将矩形ABCD沿线段AE翻折，使点B恰好落在边AD上的点F处，再沿边EF将矩形ABCD剪开，所得的另一个矩形ECDF和原来的矩形相似，则原来的矩形ABCD的宽AB与长AD的比值为．10．（2024秋•海陵区期末）当矩形窗户宽与高的比是黄金比（黄金比约为0.618）时，这扇窗户看上去比较和谐．一扇高2米的窗户，当宽约为时，看上去比较和谐（结果精确到0.01米）．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•凤阳县期末）已知a3（1）a-（2）2a-ba+2b（12．（2024秋•永春县期末）如图，点C在线段AB上，AB＝30cm，AC：BC＝2：3．（1）求AC的长度；（2）若点P在线段AB上，且PA＝2cm，点D、Q分别为BC、BP的中点，求QD的长度．13．（2024秋•阜宁县期末）古今中外，人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则，它是几何学中一大瑰宝．（1）如图①，若AB＝10，点H是线段AB的黄金分割点（AH＞BH），求线段AH的长．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CM是∠ACB的平分线，求证：点M是线段AB的黄金分割点．14．（2024秋•红古区期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别为边BC，AD上的点，连接EF．若▱ABCD∽▱AFEB，AF＝2，AD＝4，求AB的长．15．（2024秋•北镇市期中）矩形OABC∽矩形ODEF，它们的相似比为3：2，这两个矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示．已知点B的坐标为（9，6），求点E的坐标．

2024-2025学年下学期初中数学人教版九年级期中必刷常考题之图形的相似参考答案与试题解析题号12345答案CCDDA一．选择题（共5小题）1．（2024秋•界首市期末）若x+yyA．23 B．83 C．32 【考点】比例的性质．【专题】分式；运算能力．【答案】C【分析】利用分比性质进行计算即可．【解答】解：∵x+∴x∴x∴y故选：C．【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．2．（2024秋•金寨县期末）已知a3A．ab=23 B．3a＝2b C．ba=【考点】比例的性质．【专题】分式；运算能力．【答案】C【分析】根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【解答】解：根据题意可知，a3∴2a＝3b，ab=3选项C符合题意．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质进行变形是解此题的关键．3．（2024秋•贵州期末）下列各组线段中，是成比例线段的是（）A．2，3，5，6 B．1，2，3，5 C．1，3，3，7 D．2，3，4，6【考点】比例线段．【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】D【分析】由成比例线段知，证明线段a、b、c、d成比例，则需a：b＝c：d，分别求出比值是否相等即可得出答案．【解答】解：A．23B．12C．13D．23故选：D．【点评】本题考查成比例线段的定义，对于四条线段a、b、c、d，如果两条线段之比与另两条线段之比相等，我们就说这四条线段成比例，本题解题关键是熟练掌握成比例线段的定义，正确找出对应比值．4．（2024秋•青阳县期末）如图，C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，则下列结论中正确的是（）A．AC2+BC2＝AB2 B．BC≈0.618AB C．AC=5-12BC D．BC【考点】黄金分割；勾股定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】D【分析】根据黄金分割的定义进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴ACAB=∴AC2＝AB•BC，BC≈0.618AC，AC=5-故选：D．【点评】本题考查了黄金分割，勾股定理，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．5．（2024秋•唐河县期末）如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（）A． B． C． D．【考点】相似多边形的性质；平行线的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】A【分析】根据相似多边形的判定判定定理判断即可．【解答】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是相似多边形的判定，解题的关键是理解对应角相等，对应边的比相等的多边形是相似多边形．二．填空题（共5小题）6．（2025•南山区校级一模）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在8米舞台PQ的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走（12﹣45）米（结果保留根号）．【考点】黄金分割．【专题】图形的相似；运算能力．【答案】（12﹣45）．【分析】设主持人站的位置与点Q的距离为x米，根据黄金分割的定义建立关于x的方程，解方程，即可解决问题．【解答】解：设主持人站的位置与点Q的距离为x米，由黄金分割的定义得：x8解得：x＝45-4∴8﹣（45-4）＝12﹣45即主持人站在最佳位置处时至少要走（12﹣45）米，故答案为：（12﹣45）．【点评】本题考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．7．（2024秋•平南县期末）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为11．【考点】相似图形．【专题】图形的相似；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据两个枫叶图案的形状相同，可知两个图形相似，再根据相似多边形的对应边的比等于相似比可得结果．【解答】解：由两个枫叶图案相似，可得x22解得x＝11，即x的值为11．故答案为：11．【点评】此题考查的是相似多边形的性质，即两个多边形相似，其对应边、对角线的比等于相似比．8．（2024秋•金寨县期末）已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AB＝4cm，AP＜BP，那么BP＝（25-2）cm【考点】黄金分割．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．【解答】解：∵点P是线段AB的一个黄金分割点，且AB＝4cm，AP＜BP，∴BP=5-12AB=5-12故答案为：（25-2【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．9．（2024秋•鹿泉区校级期末）如图，将矩形ABCD沿线段AE翻折，使点B恰好落在边AD上的点F处，再沿边EF将矩形ABCD剪开，所得的另一个矩形ECDF和原来的矩形相似，则原来的矩形ABCD的宽AB与长AD的比值为5-1【考点】相似多边形的性质．【答案】见试题解答内容【分析】根据翻折变换的性质得到AB＝AF，根据相似多边形的性质得到比例式，整理得到一元二次方程，解方程即可．【解答】解：由翻折变换的性质可知，AB＝AF，则FD＝AD﹣AF＝AD﹣AB，∵矩形ECDF和矩形ABCD相似，∴DFAB=ABAD，即AB2＝（AD﹣整理得，（ABAD）2+ABAD-解得，ABAD故答案为：5-【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键．10．（2024秋•海陵区期末）当矩形窗户宽与高的比是黄金比（黄金比约为0.618）时，这扇窗户看上去比较和谐．一扇高2米的窗户，当宽约为1.24米时，看上去比较和谐（结果精确到0.01米）．【考点】黄金分割；近似数和有效数字．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】1.24米．【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．【解答】解：设宽为x米，由题意得：x2≈解得：x≈1.24，∴当宽约为1.24米时，看上去比较和谐，故答案为：1.24米．【点评】本题考查了黄金分割，近似数和有效数字，准确熟练地进行计算是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•凤阳县期末）已知a3（1）a-（2）2a-ba+2b（【考点】比例的性质．【专题】计算题；运算能力．【答案】（1）12（2）47【分析】（1）根据比例的性质直接计算即可；（2）设a＝3k，则b＝2k，代入计算化简即可．【解答】解：设a3=b2=k，则a＝3k，（1）a-（2）2a【点评】本题考查了比例的性质，代数式的求值；熟练掌握比例的性质是解决问题的关键．12．（2024秋•永春县期末）如图，点C在线段AB上，AB＝30cm，AC：BC＝2：3．（1）求AC的长度；（2）若点P在线段AB上，且PA＝2cm，点D、Q分别为BC、BP的中点，求QD的长度．【考点】比例线段．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】（1）12cm；（2）5cm．【分析】（1）根据AB＝30cm，AC：BC＝2：3，即可求出AC的长度；（2）根据线段的和与差得BC＝18cm，PB＝28cm，再根据线段中点的定义得BD=12BC＝9cm，QB=12PB【解答】解：（1）∵AB＝30cm，AC：BC＝2：3．∴AC＝30×22+3=12（2）如图，∵AC＝12cm，∴BC＝30﹣12＝18cm，∵PA＝2cm，∴PB＝28cm，∵点D、Q分别为BC、BP的中点，∴BD=12BC＝9cm，QB=12PB∴QD＝QB﹣BD＝14﹣9＝5（cm）．【点评】本题考查了比例线段，两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义．13．（2024秋•阜宁县期末）古今中外，人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则，它是几何学中一大瑰宝．（1）如图①，若AB＝10，点H是线段AB的黄金分割点（AH＞BH），求线段AH的长．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CM是∠ACB的平分线，求证：点M是线段AB的黄金分割点．【考点】黄金分割；角平分线的定义；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【答案】（1）AH=55（2）证明见解析过程．【分析】（1）根据黄金分割的定义进行计算即可．（2）根据题意，由等角对等边得出BC＝MC及AM＝CM，进而得出AM＝BC，再根据△ABC∽△CBM，得出BMBC【解答】（1）解：∵点H是线段AB的黄金分割点（AH＞BH），∴AHAB又∵AB＝10，∴AH=55（2）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°．∵CM平分∠ACB，∴∠ACM＝∠BCM＝36°．∴∠A＝∠ACM，∴AM＝MC．又∵∠BMC＝∠A+∠ACM＝72°，∴∠BMC＝∠ABC，∴BC＝MC，∴BC＝AM．∵∠A＝∠BCM，∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBM，∴BMBC∴BMAM∴点M是线段AB的黄金分割点．【点评】本题主要考查了黄金分割、角平分线的定义、三角形内角和定理及等腰三角形的性质，熟知黄金分割的定义、角平分线的定义及等腰三角形的性质是解题的关键．14．（2024秋•红古区期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别为边BC，AD上的点，连接EF．若▱ABCD∽▱AFEB，AF＝2，AD＝4，求AB的长．【考点】相似多边形的性质；平行四边形的性质．【专题】图形的相似；运算能力．【答案】AB的长为22．【分析】利用相似多边形的性质进行计算，即可解答．【解答】解：∵▱ABCD∽▱AFEB，∴ABAF∴AB2＝AD•AF，∵AF＝2，AD＝4，∴AB2＝8，∴AB=22或AB＝﹣2∴AB的长为22．【点评】本题考查了相似多边形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．15．（2024秋•北镇市期中）矩形OABC∽矩形ODEF，它们的相似比为3：2，这两个矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示．已知点B的坐标为（9，6），求点E的坐标．【考点】相似多边形的性质；坐标与图形性质；矩形的性质．【专题】平面直角坐标系；图形的相似；运算能力．【答案】（﹣4，﹣6）．【分析】利用相似多边形的性质求出OD，OF可得结论．【解答】解：∵矩形OABC∽矩形ODEF，它们的相似比为3：2，∴OAOD∵点B的坐标为（9，6），∴OA＝9，OC＝6，∴9OD∴OD＝6，OF＝4，∴点E的坐标为（﹣4，﹣6）．【点评】本题考查相似多边形的性质，坐标与图形性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质．

考点卡片1．近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．2．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．3．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．4．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．5．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．6．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．7．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．8．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．9．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．10．比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个