2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答踵缴指定位置上.

1-COS

(D)若函数/(九)=｛一公—在x=0处连续，则()

b,x<0

(A)ab=q(C)4〃=0(D)出;=2

【答案】"A

1

X

2-

f(x)在x=0处连续.•.工=〃=48=」.选人.

【解析】lim-

vKA4la2

(2)设二阶可导函数f(x)满足/⑴=/(—1)=1,/(0)=-1且/(x)>0,则()

【答案】B

【解析】

“X)为偶函数时满足题设条件，此时J：/(x)dx=J：/U)公，排除C,D.

取/(x)=2x-满足条件，则£/*)公=口2/-1)仆-：<0,选B.

(3)设数列｛七｝收敛，则()

(A)当limsinx=0时，Iimx=0(B)当+J\xI)=0时，lim.v,,=0

;1n—>oon/i->coYlln->oo

(C)当lim(x“+xj)=0时，limx=0(。)当lim(x+sinx)=0时，limx,,=0

〃一>oo〃一"fg

【答案】D

【解析】特值法：(A)取乙二不，有limsinx”=0,limx“=4，A错;

取4=-1,排除B,C.所以选D.

(4)微分方程的特解可设为

(A)Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)(B)Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)

(C)Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)(D)Axe2r+e2x(Bcos2x+Csin2x)

【答案】A

【解析】特征方程为：万―42+8=0=4.2=2±2i

故特解为：y*=y：+)匚=A*+xe2x(Bcos2x+Csin2x\选C.

(5)设/(x,y)具有一阶偏导数，且对任意的(x,y),都有吗辿>(),吗口2>。，贝ij

oxoy

(A)/(O,O)>/(1J)(B)/(0,0)</(1,1)(C)/(O,l)>/(1,O)(D)/(OJ)</(1,O)

【答案】C

【解析】晔更>0,吗M<O,n/(x,y)是关于x的单调递增函数，是关于y的单调递减

oxdy

函数，

所以有/(0,1)</(11)</(1,0)，故答案选D.

(6)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，图中实线表示甲的速

度曲线u=M(f)(单位：m/s),虚线表示乙的速度曲线□=%«),三块阴影部分面积的数

值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为力(单位：s),则()

(A)r0=10(B)15<r0<20(C)r0=25(D)r0>25

【答案】B

【解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为广匕(1辿,［：匕⑴血则乙要追上甲，则

£v2(t)-v1(tWr=10,当=25时满足，故选C.

,°)

(7)设A为三阶矩阵，尸=(%,%，%)为可逆矩阵，使得尸“尸=1，则

.%«,%,%)二()

(A)ax+a2(B)%+2a3(C)%+%(D)%+2%

【答案】B

【解析】

000

P-'AP=

I=>AP=P1n4(四，％,%)=(四，%，％)1=a2+2a3，

22J2

因此B正确。

(8)设矩阵A=()

(A)4与C相似,8与。相似(B)A与Cffl似,B与C不相似

(C)4与C不相似,5与C相似(D)A与C不相似,5与C不相似

【答案】B

【解析】由忆石-川=0可知A的特征值为2,2,1,

Q0()、

因为3—r(2£—A)=l,「.A可相似对角化，即4~020

、。。2)

由日后一回=0可知B特征值为2,2,1.

因为3-"2石-区)=2,・・・B不可相似对角化，显然C可相似对角化，・・・A~C，但B不相

似于C.

二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答朗纳指定位置上.

(2、

(9)曲线y=x1+arcsin-的斜渐近线方程为

【答案】y=x+2

【解析】

(10)设函数产)*)由参数方程卜二'+/确定，则=______

?

l>=sinrdx~/=0

【答案】［

【解析】

dx=_______

【答案】1

【解析】

(12)设函数/(%)，)具有一阶连续偏导数，且df(x,y)=W&+x(l+)，)e”，/(0,0)=0,则

f(x9y)=

【答案】孙"

［解析［f［=ye',f；=x(l+y)ey,f(x,y)=jyeydx=xyey+c(y),故

fy=xey+xyey+cr(y)=xey+xyey,

因此c'(y)=0,即c(y)=C,再由/(0,0)=0,可得/(',)，)=盯".

【答案】

【解析】

/＜八NPtanx,

(⑶十——

【答案】Incosl.

【解析】交换积分次序：

tanX1

(.lx=fdi「tan'_f'tan9_jncos।

JoJyxJoJoxJo

-41-21(1、

(14)设矩阵A=I2a的一个特征向量为1贝Ui=_____

_31-1J12,

【答案】-1

1、

【解析】设a=1,由题设知Aa=/kz,故

2

故a=—1.

三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在管熟纸指定位置上.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

fyjx-te'dt

(15)(本题满分10分)求极限lim加~产—

【答案】-

3

【解析】lim「dt，令x-7=〃，则有

J。岳

(16)(本题满分10分)设函数/(〃f)具有2阶连续偏导数，y=f(e\cosx),求学

dxr=o

d2y

dx1

x=0

【答案】牛=£(1,1),等=<,(1,1),

&x=odx-x=0

【解析】

结论：

(本题满分10分)求出瑶和(1

(17)

【答案】-

4

【解析】

(18)(本题满分10分)已知函数)，(幻由方程1+)'3-3工+3)」2=0确定，求y(x)的极值

【答案】极大值为武1)=1,极小值为M-l)=0

【解析】

两边求导得：

31+3)，2尸3+3)，'=0(1)

令》'=()得不=±1

对(1)式两边关于x求导得6x+6y(y')2+3y2y”+3y”=0(2)

将X=±1代入原题给的等式中，得「T"F=T,

y=1［y=0

酹x=l,y=l代入(2)得y"(l)=—1<()

将x=T,y=0代入(2)得y”(T)=2>0

故x=l为极大值点，y⑴=1；1=一1为极小值点，y(-l)=0

(19)(本题满分10分)设函数/(x)在区间上具有2阶导数，且/(1)>0,

证明：

⑴方程/(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根；

(门)方程/(幻/'*)+(/'(切2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。

【答案】

【解析】

(I)/(x)二阶导数，/(I)>0,lim<0

-v-*o'x

解：1)由于lim△△<(),根据极限的保号性得

3^>0,V.re(0,^)w<0,即ZV)<0

X

进而切£(0»)有/(“VO

又由于/(x)二阶可导，所以/(X)在［0,1］上必连续

那么/(X)在1］上连续，由/⑹<0,/(1)>0根据零点定理得：

至少存在一点4£(氏1),使/C)=0,即得证

(II)由(1)可知八0)=0,3^e(0.1),<W)=0,令F(x)=/a)/(X)，则/(0)=/《)=0

由罗尔定理士7t(0看)，使f'8)=0,则HO)=FS)=F©=0,

对F*)在(0,7；),(；7,⑤分别使用罗尔定理：

37e(0力)，%e(小4)且％,%w(0,1)力产〃2,使得尸(小)=/(%)=。，即

F'(x)=/(x)/"(x)+(/(0)2=0在(0,1)至少有两个不同实根。

得证。

(20)(本题满分11分)已知平面区域O={(x,)，)|f+)，2<2)，},计算二重积分爪/+1)飞山，。

D

【答案】—

4

【解析】

2222

JJ^x+\\dxdy=JJ(x+1yIxily=2jjxIdxdy+jjdxdy=2£4。］；rcosgjg+^-=—

DDDD4

(21)(本题满分11分)设)，(幻是区间(0q)内的可导函数，且)")=0,点户是曲线L：

y=)，(x)上任意一点,L在点P处的切线与y轴相交于点(0，Z，),法线与x轴相交于点(Xp,0),

若Xp=〃，求L上点的坐标(.%y)满足的方程。

【答案】

【解析】设p(x,y(x))的切线为y-y(x)=y(x)(XT),令X=0得］=y(x)-y'a)x,法线

Y-yM=--f—(*一耳,令丫=0得*〃=1+y(x)yXx)，由X〃=〃得y-犷(x)=工+yyf(x)，

yM

即(2+1］)，'(幻=2-1。令2=〃，则y=依，按照齐次微分方程的解法不难解出

\X)XX

—ln(w2+1)+arctanw=-In|x|+C,

x

(22)(本题满分11分)设3阶矩阵A=(%%,4)有3个不同的特征值，且4=%+2%。

⑴证明：r(A)=2

(JI)若〃=%+%+%，求方程组Ar=/的通解。

'1、rr

【答案】(I)略；(II)通解为女2+1,keR

【解析】

(I)证明：由%=4+2。2可得/+2%-%=0,即囚,%,%线性相关,

因此，网=做%匈=0,即A的特征值必有0。

又囚为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0,另外两个非0.

且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为A=4，4工4工0

I

r（A）=r（A）=2

（II）由（1）"A）=2,知3-（4）=1,即Ar=O的基础解系只有1个解向量,

由1+2%-%=0可得(q,%,%)2=A2=0,则/tv=O的基础解系为2

又/=1+%+%，即（%,。2。3）1=A1=p,则Ar=〃的一个特解为11

综上，4x=夕的通解为女2+T,kwR

V>

（23）（本题满分11分）设二次型/区,X2，玉）=2玉2-%；+渥+2M工2-8工/3+2%243在正交变

换X=QV下的标准型4及，求〃的值及一个正交矩阵。.

6限

【答案】a=2:Q=Jx=Qy-3y；+6yl

正

【解析】

'21-4、

T

/(x,,x2,x3)=XAX,其中A=1-11

[■41a)

由十/a，jx3)=xZx经止交变换后，得到的标准形为4犬+石£,

21-4

故r(A)=2=>|A|=0=>1-11=0=>6/=2,

-4Ia

,21-4、

将。=2代入，满足r(A)=2,因此〃=2符合题意，此时A=1-11,则

「412,

A-2-14

\AE-A\=-1A+l-1=o=>4=-3,4=o,4=6,

4—1A—2

由(-3£-A)x=0,可得A的属于特征值-3的特征向量为%=-1

一、

由(6E-A)x=0,可得A的属于特征值6的特征向量为火0

J>

「1、

由(0E-A)x=0,可得A的属于特征值0的特征向量为%=2

、

令p=（%%4），=6,由于%,巴,巴彼此正交，故只需单位化即可:

P\=专（11』）,次

—

耳

F

—-3

2

则。=（/?/四）=f0，r6

孟QAQ=

0

11

忑正

2016年考研数学二真题

一、选择题1—8小题.每小题4分，共32分.

1.当X70+时，若111a(1+2X),(1-COSX)。均是比X高阶的无穷小，则。的可能取值

范围是()

(A)(2,+oo)(B)(1,2)(C)(-,1)(D)(0,-)

2

2.下列曲线有渐近线的是

,1)1

(A)y=x+sinx(B)y=x~+sinx(C)y=x+sin—(D)y=x~4-sin—

xx

【详解】对于y=x+sin',可知lim』=1且lim(y-x)=limsin，=0,所以有斜渐近

XXfx>Xx-KOXf8X

线y=x

应该选(C)

3.设函数/(X)具有二阶导数，g(x)=/(0)(l-x)+/(l)x,则在［0,1］上()

(A)当尸(x)N0时，f(x)^g(x)(B)当r(x)N0时，f(x)<g(x)

(C)当/”(x)N0时，f(x)>g(x)(D)当/"(x)N0时，f(x)<g(x)

23

r=/a.7

4.曲线'上对应于，=1的点处的曲率半径是()

y-t~+4，+1

(A)—(B)—(C)loVio(D)5V10

50100

5.设函数，(x)=arctanx,若=则()

x-Ox-

211

(A)1(B)-(C)-(D)-

323

6.设〃(x,y)在平面有界闭区域。上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足

d~u/d~ud~upi"/、

dxdydx2dy2

(A)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；

(B)〃(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域。的内部；

(C)〃(x,y)的最大值点在区域。的内部，最小值点在区域。的边界上；

(D)〃(占y)的最小值点在区域。的内部，最大值点在区域。的边界上.

0ab0

,一一、。00b

7.行列式八八等于

0cdj0

c00d

(A)(ad-be)2(B)-(ad-be)2(C)a2d2—b2c2(D)-a2d2-^-h2c2

8.设%,。2,。3是三维向量，则对任意的常数A，/，向量。1+左。3，%+1%线性无关是

向量四,4,火线性无关的

(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件

(C)充分必要条件(D)非充分非必要条件

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

9.[--—-----dx=.

JYJT+2x+5

10.设/(x)为周期为4的可导奇函数，且r(%)=2(x-l),XG[0,2],则/(7)=.

7

11.设z=z(x,y)是由方程+x+J?+z=7确定的函数，贝!

41支J

12.曲线L的极坐标方程为r=C,则L在点处的切线方程为.

13.一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上，若其线密度)(刈=--+2-1,则该

细棒的质心坐标]=.

2

14.设二次型/(xnx2,x3)=x)-x1+2axi工3+4看“3的负惯性指数是匕贝””的取值范

围是.

三、解答题

15.(本题满分10分)

j(t~(c1—1)—t)dt

求极限lim虫----------——，

XT+84I

x2ln(l+-)

x

16.(本题满分10分)

已知函数y=y(x)满足微分方程，+y2V=1-V,且丁(2)=0,求)(*)的极大值和极小

值.

17.(本题满分10分)

设平面区域。={(与y)|1</+丁2<4,x^0.j>0).计算)dxdy

Dx+y

18.(本题满分10分)

设函数/(〃)具有二阶连续导数，2=/(6履08了)满足丁丁+二=(叔+/(：087)621若

dx“oy~

y(O)=O,/*(O)=O,求/(〃)的表达式.

19.(本题满分10分)

设函数/(x),g(x)在区间力]上连续，且/(X)单调增加，04g(x)41,证明：

(1)0Vfg(t)dt4x-a,xG[a,b]；

Ja

(2)j：*""f(x)dx4f〃x)g(x)dx.

20.(本篙满分11分)°

设函数/(x)=A，xe[0,l],定义函数列

fl(X)=f(x)f/‘2(X)=/(/(X))，…/(X)=/(/〃-l(X))，…

设S”是曲线y=/〃(x),直线x=l,y=0所围图形的面积.求极限

n-xx>

21.(本题满分11分)

已知函数/(x,y)满足萼=2(『+1)，且/(%[)=(y+-(2-7)1"，求曲线/(x,y)=0

办

所成的图形绕直线y=-1旋转所成的旋转体的体积.

22.(本题满分11分)

‘1-23-4、

设4=01-11,E为三阶单位矩阵.

J203,

(1)求方程组AX=0的一个基础解系;

(2)求满足A3=E的所有矩阵.

23.(本题满分11分)

110…01、

10…02

证明〃阶矩阵与相似.

1•••\)(0…0n)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题

一、选择题：18小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符

合题目要求的，请将所选项前的字母填在笋型纸指定位置上.

⑴下列反常积分收敛的是()

呐「人"

•X

(2)函数“力="(1+怨~)，在(70,+oo)内()

(A)连续

(B)有"可去间断点

(C)有跳跃间断点

(D)有无穷间断点

xacos」,x>0

(3)设函数〃%)=♦产(a〉0]>0),若f'(x)在x=0处连续则：()

0,x<0

(A)0(B)()<«-/?<1

(C)a—〃>2(D)0<a—〃W2

⑷设函数/(幻在(华,笆)内连续，其中二阶导数广(幻的图形如图所示，则曲线

y=/(x)的拐点的个数为0

(A)0(B)l(C)2(D)3

⑸设函数满足/x+y,^}=x2-y2,则需与景仁：依次是()

(A)1,O(B)()1(C)-1()(D)0,-1

⑹设。是第一象限由曲线2尢)，=1,4xy=l与直线y=x,)，=百工围成的平面区域，函

数/(x,y)在。上连续，则，/(人」)力^>=()

D

(A),40「喂/(rcos0,rsin0\dr

42sin20

x]

(B)JJdO^J呼。于(rcos0,rsinO^rdr

4&sin2®

x]

(C)jjdejsm产f(rcos0,rsinOyylr

42sin26>

(D)，内产y(rcos3,rs\n0)dr

742sm20

"11)『］

⑺设矩阵4=12a,b=d,若集合O={1,2},则线性方程组Ar=力有无穷多解

J4d2

\u7

的充分必要条件为0

(A)aCl,cleQ(B)〃e0,4GQ

(C)tzGQ,JQ(D)6/GQ,JEQ

⑻设二次型“小巧,2)在正交变换x=Py下的标准形为2M2+yj-yj,其中

P=(e1,e2,e3),若。=(e”-%，。2)则/=(西,巧，巧)在正交变换*=0下的标准形为

()

(A)2y：一状+yf(B)2y-+£-式

(C)2y：一式一次①)2/+贡+年

二、填空题：914小题,每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

x=arctant

(9)则祸

(10)函数/(%)=f.2］在x=0处的〃阶导数r(o)=

(11)设“X)连续，°(x)=J；x/(f)力，若0⑴=1,0⑴=5,则/(1)=

(12)设函数y=y(x)是微分方程)；+)；-2y=。的解，且在x=0处y(x)取得极值3,则

yx二.

(13)若函数Z=z(x,y)由方程小2小+盯z=1确定，则dz(0,0)'

1

(14)若3阶矩阵A的特征值为2,-2,1,B=A-A+E，其中£为3阶单位阵，则行列式

14二.

三、解答题：15〜23小题，共94分.请将解答写在答・题♦纸♦指定位置上.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

设函数/(x)=x+r/ln(1+x)+fexsinx,g(x)=小.若/(x)与g(x)在x-»0时是等价无穷小,

求a,b,左的值.

(16)(本题满分10分)

TTTT

设A>0,D是由曲线段)，=AsinM0Kx4g及直线y=0,x所围成的平面区域，匕,

匕分别表示D绕工轴与绕y轴旋转成旋转体的体积，若匕=匕，求A的值.

(17)(本题满分11分)

已知函数/(x,y)满足/；(%,y)=2(y+l)ex,£(x,0)=(x+l)e1/(0,y)=V+2y,求

/(x,y)的极值.

(18)体题满分10分)

计算二重积分JJx(x+y)办"y,其中0={(2)|炉+丁2

D

(19)(本题满分11分)

已知函数"x)=J；Vi4不力力，求“力零点的个数？

(20)(本题满分10分)

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介

质的温差成正比，现将一初始温度为120℃的物体在20℃的恒温介质中冷却，

30min后该物体降至30。。，若要将该物体的温度继续降至21。。，还需冷却多长时

间？

(2D(本题满分10分)

已知函数/(x)在区间+8)上具有2阶导数，/(a)=o,/(%)>(),/”(力〉0,设/?>〃，

曲线y="X)在点(〃,/(〃))处的切线与x轴的交点是(为0),证明"％<b.

(22儿本题满分11分)

"a10、

设矩阵A=1〃-1且43=0.

[01a)

(1)求〃的值；

⑵若矩阵X满足X-刈2-"+可2=0E为3阶单位阵，求X.

(23)体题满分11分)

’02-3、-20、

设矩阵A=-13-3相似于矩阵3=0〃0.

<1一2ajJ)31

(1)求〃力的值;

(2)求可逆矩阵P,使P-AP为对角阵.

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题1—8小题.每小题4分，共32分.

71

1.设cosx-1=xsina(x)<一，当x.0时,a{x)()

2

(A)比x高阶的无穷小(B)比x低阶的无穷小

(C)与x同阶但不等价无穷小(D)与x等价无穷小

2,已知)，=/(x)是由方程cos3)-Iny+x=1确定，贝!Jlim〃f=()

\

(A)2(B)1(C)-1(D)-2

sinx,x£[O,i)

3.设f(x)=<尸(x)=「7⑺力贝iJ()

2,XG[7T,27i]J0

(A)x=4为尸(x)的跳跃间断点.(B)i=乃为F(x)的可去间断点.

(C)尸(x)在x=不连续但不可导.(D)尸(工)在工=不可导.

1

------------3t<x<e

"-1尸

4.设函数/(©=<,且反常积分「'/(才如收敛，则()

1

--------；—e

xlna+lx

(A)a<-2(B)a>2(C)-2<a<0(D)0<a<2

xdzdz/、

5.设函数z=2/(x)，)，其中/可微，则---+—=()

xy8xdy

22

(A)2yf\xy)(B)-2yf\xy)(C)-f{xy)(D)--f(xy)

xx

6.设£\是圆域。={(工,)，)|/2+)」<1}的第上象限的部分，记人=，(y-x)dh/y,则O

1九

(A)/,>0(B)I2>0(C)Z3>0(D)Z4>0

7.设A,B,C均为〃阶矩阵，若AB=C,且B可逆，则

(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价.

(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价.

(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价.

(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.

a1](200、

8.矩阵aba与矩阵0b0相似的充分必要条件是

dI。

Ua00；

(A)a=0,b=2(B)4=0,〃为任意常数

(C)a-2,b-0(D)a=29b为任意常数

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

ln(l+x)y

9.

10,设函数/(X)-二7%，则y=fM的反函数汇=广'(y)在y=0处的导数作|内

11.设封闭曲线L的极坐标方程为尸=cos3U<8W为参数，则L所围成的平面

图形的面积为.

x=arctant

12.曲线上,~对应于:1处的法线方程为.

y=InV1+/"

13.已知％=/—-\），2=/--\必=一方,是某个二阶常系数线性微分方程三个解,

则满足），（o）=o,y（0）=1方程的解为.

14.设A=（%）是三阶非零矩阵，网为其行列式，&为元素%的代数余子式，且满足

%=0（"=1,2,3）,则W卜.

三、解答题

15.（本题满分10分）

当x->0时，1-COSXCOS2XCOS3X与ax"是等价无穷小，求常数.

16.（本题满分10分）

设D是由曲线），=V7,直线x=〃（〃>0）及x轴所转成的平面图形，匕，匕分别是D绕x

人y

轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10匕=%,求。的值.

17.（本题满分10分）

设平面区域D是由曲线％=3，丁=3%》+），=8所围成，求。

D

18・（本题满分10分）

设奇函数/（X）在［-1,1］上具有二阶导数，且/⑴=1,证明：

（1）存在会（o,i）,使得r仔）=i；

（2）存在”（一1,1）,使得/〃⑺）+/'07）=1・

19.（本题满分10分）

求曲线/一x），+y3=］（x>0,y>0）上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.

20.（本题满分11）

设函数/（x）=Inx+—

x

⑴求/（x）的最小值；

⑵设数列卜〃｝满足1nx〃+—匚<1,证明极限limx“存在，并求此极限.

21.(本题满分11)

设曲线L的方程为y=-^x2--Inx(l<x<e).

(1)求L的弧长.

(2)设D是由曲线L,直线/=l,x=e及x轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标.

22.本题满分11分)

设A=[问当为何值时，存在矩阵C,使得4C—C4=5,并求出

U0)ub)

所有矩阵C.

23(本题满分11分)

4A

设二次型/*(/,丫2，丫3)=2(〃]芭+〃2丫2+〃3*3)2+S1X+〃2X2+〃3丫3)2.记"=%，尸=4•

(1)证明二次型/对应的矩阵为2Q7+加『；

(2)若名/正交且为单位向量，证明/在正交变换下的标准形为2)，；+)，；.

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1-8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项

符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答•题•纸•指定位置上.

(1)曲线),=山的渐近线条数()

X-1

(A)0(B)1(C)2(D)3

⑵设函数/(%)=(炉-1)(/*-2)…,其中〃为正整数,则尸(0)=0

(A)(-1严(〃-D!⑻(-1)”(〃-1)!(C)(一1严〃！(D)

(3)设q>0(/?=1,2,3-),S“=q+生+4++可，则数列｛Sj有界是数列｛%｝收敛的

0

(A)充分必要条件(B)充分非必要条件

(0必要非充分条件(D)非充分也非必要

(4)设lk=sinxdx,仅=1,2,3),则有

)

(A)/,</2<I.(B)I3<I2<Z,(072<Z3<7,(D)Z2<Z,<Z3

(5)设函数/"»)为可微函数，且对任意的都有空0〉0,华2<0,则使不等式

dxdy

/(N,X)〉/(%2,%)成立的一个充分条件是

)

(A)%<y2(B)%，x>y2(C)X}<一<y2(D)玉<x2,y]>y2

(6)设区域。由曲线y=sinx,x=±2,y=1围成，则JJ(xsy-IXLvdy=

2n

(

)

(A)7i(B)2(C)~2(D)-7i

Or-r

⑺设四=0a4=1,其中qg,Q.Q为任意常数,则下列向量组

a

线性相关的为()

(A)(B)ana2,a4(C)a),a3,a4(D)a2,a3,a4

00、

(8)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且KAP二010.若，

<0。2)

。=(%+012，。2，。3)贝Q-AQ=()

(\00]<10°)f200]<200]

(A)020(B)010(0010(D)020

1001)(002JI。02J100

二、填空题：9-14小题,每小题4分，共24分,请将答案写在答♦题♦纸♦指定位置上.

(9)设y=武幻是由方程Y—)，+i=e「所确定的隐函数，则gk°=.

(111\

(10)lim〃-~7•十不---+•-+-----

<1+/?-2~+汇7n~+n~7)

zn1&2az

(11lV)设z=/[lnx+]J,其中函数可微，贝产率+>—=.

(12)微分方程)dr+(x-3y2)dy=0满足条件y\x=i=1的解为y=.

(13)曲线y=f+Mx<0)上曲率为坐的点的坐标是.

(14)设A为3阶矩阵，|A|=3,4为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵8,

则忸A*卜.

三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在答・题♦纸♦指定位置上.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

已知函数/("=手-！，记〃=吧/(力，

sinxx

(I)求。的值；

(H)若x-0时，/(x)-。与/是同阶无穷小，求常数％的值.

(16)(本题满分10分)

.l+y2

求函数/(x,y)=xe2的极值.

(17)(本题满分12分)

过(0,1)点作曲线L：y=lnr的切线,切点为A,乂1与工轴交于3点，区域Q由L与直线

A8围成,求区域。的面积及。绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

(18)(本题满分10分)

计算二重积分其中区域D为曲线厂=1+(^。(0«。<4)与极轴围成.

D

(19)(本题满分10分)

已知函数/(x)满足方程f\x)+f\x)~2/(x)=0及/"*)+/(x)=2,,

(I)求/(x)的表达式；

(11)求曲线y=f(V)5/(_/辿的拐点.

(20)(本题满分10分)

证明xln匕^+cosxZ1+土，(-1<x<1).

1—x2

(21)(本题满分10分)

(I)证明方程£+%田+-+x=l(〃〉l的整数)，在区间内有且仅有一个实根;

(II)记(I)中的实根为与，证明limx〃存在，并求此极限.

〃T8

(22)(本题满分11分)

T々o0、

014Z0

设4=

001。

^001；

⑴计算行列式同；

(H)当实数。为何值时，方程组=有无穷多解,并求其通解.

(23)(本题满分11分)

T01'

已知4=Il1I，二次型“芯,七，七)=『("A)x的秩为2,

10a-1;

(I)求实数。的值;

(H)求正交变换x=Qy将f化为标准形.

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只

有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

••♦

(1)已知当X—>0时，函数/(x)=3sinx-sin3%与ex"是等价无穷小，则()

(A)k=l,c=4(B)A=l,c=-4

(C)攵=3,。=4(D)k=3,c=-4

(2)设函数/(x)在x=0处可导，且"0)=0,则lim立"芈"=。

XT0X

(A)-2/(0)(B)-/(0)(C)/(0)(D)0

(3)函数/(x)=l川(x—l)(x-2)(x—3)|的驻点个数为()

(A)0(B)1(C)2(D)3

(4)微分方程)，〃-无"於+"心。＞0)的特解形式为()

(A)(B)公(3+"力

(C)一右)(D)x\ae^-vbe~^)

(5)设函数/3),g(x)均有二阶连续导数,满足〃0)>0,g(0)<0,r(O)=g'(O)=O

则函数z=/(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()

(A)/70)<0,g〃(0)〉0(B)/"(0)<0,g"(0)<0

(C)/70)>0,g〃(0)〉0(D)/"(O)>0,g"(0)<0

(6)设/二pinsinxdx,.J=PIncotxz/x,K=pincosxz/x,则/,,K的大小关系

JoJoJo

为O

(A)I<J<K(B)I<K<J

(C)J<I<K(D)K<J<I

(7)设A为3阶矩阵，将4的第2列加到第1列得矩阵8,再交换8的第2行与第3

00、00、

行得单位矩阵。记6=110,P,=001,则A二()

0J10

91°,

(A)PR(B)P”?(C)P2P](D)P2P?

(8)设4=(%是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵。若(1,0,1,0尸是方程组Ax=0

的一个基础解系，贝iJ4x=O的基础解系可为()

(A)%,%(B)%,火(C)%,巴，。3(D)

二、填空题：9〜14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答♦题♦纸・指定位置上。

v

fl+2V

(9)lim=0

川2J

(10)微分方程y+y=excosx满足条件y(0)=0的解为y=。

(11)曲线y=「tan/力(0W马的弧长s=。

Jo4

(12)设函数"r)=〃'(4>0,则「，(/)公=。

0,440,Jr

(13)设平面区域。由直线y=x，圆/+y2=2y及y轴所围成，则二重积分=。

(二次型2；+2xx2xx,则/的正惯性指数为。

14)/(xl,x2,x3)=xl+3x+X3t2+2X1/+23

三、解答题：〜小题，共分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应字说明、

152394•♦•

证明过程或演算步骤。

(15)(本题满分10分)

「lnQ+/)力

已知函数F(x)=^---------------，设lim尸(x)=Hm尸(%)=0,试求a的取值范围。

Xxfxx->0+

(16)(本题满分11分)

x=-t3+/+-,

设函数y=y(x)由参数方程，3确定，求y=),(不)的极值和曲线y=)，(1)的凹