高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法习题含解析新人教A版选修1-2

PAGE5-其次章推理与证明2.2干脆证明与间接证明2.2.2反证法A级基础巩固一、选择题1．应用反证法推出冲突的推导过程中，要把下列哪些作为条件运用()①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①② B．①②④C．①②③ D．②③解析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件运用，而④原命题的结论是不行以作为条件运用的．答案：C2．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”答案：A3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线冲突；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号依次为()A．①②③ B．③①②C．①③② D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B4．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c中奇数、偶数的可能状况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．除去结论即为反设，应选D.答案：D5．设实数a、b、c满意a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于()A．0 B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．1解析：假设a，b，c都小于eq\f(1,3)，则a＋b＋c<1，与a＋b＋c＝1冲突，选项B正确．答案：B二、填空题6．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．答案：b与c平行或相交7．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一冲突说明p为偶数．解析：由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数．答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)8．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数，且a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a>b，n∈N*，则恒有an>bn，从而an＋2>bn＋1恒成立，所以不存在n使an＝bn.答案：0三、解答题9．设x，y都是正数，且x＋y>2，试用反证法证明：eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2中至少有一个成立．证明：假设eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2都不成立，即eq\f(1＋x,y)≥2，eq\f(1＋y,x)≥2.又因为x，y都是正数，所以1＋x≥2y，1＋y≥2x.两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，则x＋y≤2，这与题设x＋y>2冲突，所以假设不成立．故eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2中至少有一个成立．10．已知三个正数a，b，c，若a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明：假设a，b，c成等差数列，则有2b＝a＋c，即4b2＝a2＋c2＋2ac又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，且a，b，c为正数，所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，即b2＝ac，因此4ac＝a2＋c2＋2ac，所以(a－c)2＝0，从而a＝c＝这与a，b，c互不相等冲突．故a，b，c不成等差数列．B级实力提升1．设a，b，c大于0，则3个数：a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)的值()A．都大于2 B．至少有一个不大于2C．都小于2 D．至少有一个不小于2解析：假设a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)都小于2则a＋eq\f(1,b)<2，b＋eq\f(1,c)<2，c＋eq\f(1,a)<2∴a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)<6，①又a，b，c大于0所以a＋eq\f(1,a)≥2，b＋eq\f(1,b)≥2，c＋eq\f(1,c)≥2.∴a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)≥6.②故①与②式冲突，假设不成立所以a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)至少有一个不小于2.答案：D2．对于定义在实数集R上的函数f(x)，假如存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假设函数f(x)存在好点，则x2＋2ax＋1＝x有实数解，即x2＋(2a－1)x所以Δ＝(2a－1)2－4≥0，解得a≤－eq\f(1,2)或a≥eq\f(3,2).所以f(x)不存在好点时，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))).答案：A3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，c>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0且0<x<c时，恒有f(x)>0.(1)证明：eq\f(1,a)是f(x)＝0的一个根；(2)试比较eq\f(1,a)与c的大小．(1)证明：因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，所以f(x)＝0有两个不等实根x1，x2.因为f(c)＝0，所以x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝eq\f(c,a)，所以x2＝eq\f(1,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)≠c))，所以eq\f(1,a)是f(x)＝0的一个根．(2)解：假设eq\f(1,a)<c，又eq\f(1,a)