金华市婺城区2024年八年级《数学》上学期期末试题与参考答案

6/25金华市婺城区2024年八年级《数学》上学期期末试题与参考答案一、选择题本题有10小题，每小题3分，共30分。1．（3分）下列“祝你成功”的首拼字母中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．是轴对称图形，故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【解答】解：点P（﹣3，2）在第二象限，故选：B．3．（3分）已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由已知条件，根据等腰三角形的性质及周长公式即可求得其底边长．【解答】解：因为等腰三角形的周长为10，其腰长为4，所以它的底边长为10﹣4﹣4＝2．故选：A．4．（3分）不等式2x＜x﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．【解答】解：移项，得：2x﹣x＜﹣1，合并同类项，得：x＜﹣1，故选：C．5．（3分）如图，已知AB＝AD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．【解答】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故B选项符合题意；C、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；D、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选：B．6．（3分）能说明“三角形的高线一定在三角形的内部（含边界）”是假命题的反例是（）A． B． C． D．【分析】找到三角形的高线在三角形的外部的选项即可．【解答】解：能说明“三角形的高线一定在三角形的内部（含边界）”是假命题的反例是：故选：C．7．（3分）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧【分析】运用作一个角等于已知角可得答案．【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．故选：D．8．（3分）在平面直角坐标系中，已知一次函数经过点（1，2），则该函数的图象为（）A． B． C． D．【分析】把（1，2）代入y＝x+a，求出a的值，根据图象解答即可．【解答】解：y＝x+a，经过（1，2），所以把（1，2）代入y＝x+a，..2＝+a＝a，所以a＝，所以y＝x+，所以图象过P（1，2）且与y轴交于正半轴．故选：A．9．（3分）已知关于x的不等式组的整数解为1，2（其中m，n为整数），则满足条件的（m，n）共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【分析】根据所给不等式组的整数解为1，2，得出m，n的取值范围，再根据m，n为整数即可解决问题．【解答】解：解不等式x﹣m≥0得，x≥m；解不等式3x﹣n＜0得，x＜；因为不等式组的整数解为1，2，所以0＜m≤1，且2＜，则0＜m≤1，6＜n≤9．又因为m，n为整数，所以m＝1，n＝7，8，9，所以满足条件的（m，n）共有3对．故选：C．10．（3分）如图，在边长为8的等边△ABC中，D是AC的中点，E是直线BC上一动点，连结DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，连结AF．在D点运动过程中，线段AF的最小值为（）A． B． C． D．【分析】连接BD，在BD的延长线上取点M，使得DM＝DC，根据全等三角形的性质可得出点F的运动轨迹，据此可解决问题．【解答】解：连接BD并延长，在BD的延长线上取点M，使得DM＝DC，连接MF，由旋转可知，DE＝DF，∠EDF＝90°，所以∠EDC+∠CDF＝∠CDF+∠FDM＝90°，所以∠EDC＝∠FDM．在△EDC和△FDM中，，所以△EDC≌△FDM（SAS），所以∠DMF＝∠C＝60°，则点F在与DM夹角为60°的直线上运动．过点A作MF的垂线，垂足为F′，当点F在点F′时，AF取得最小值．延长F′M与AC的延长线交于点N，因为∠MDN＝90°，∠DMF＝60°，所以∠MND＝30°．在Rt△MDN中，tan30°＝，所以DN＝，所以AN＝AD+DN＝4+．在Rt△ANF′中，sin30°＝，所以AF′＝，即AF的最小值为．故选：D．二、填空题本题有6小题，每小题4分，共24分。11．（4分）根据数量关系“a是正数”，可列出不等式：．【分析】根据a为正数用“＞0”表示．【解答】解：根据题意得a＞0，故答案为：a＞0．12．（4分）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为30°，α，β（α＞β），另一个三角形有一个角为70°，则α﹣β＝°．【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：因为在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为30°，α，β（α＞β），另一个三角形有一个角为70°，所以α＝70°或β＝70°，当α＝70°，β＝80°，因为α＞β，所以这种情况不存在，当β＝70°，α＝80°，所以α﹣β＝80°﹣70°＝10°，故答案为：10．13．（4分）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为．【分析】由第①次折叠知△AD'B'是等腰直角三角形，由第②次折叠知，AB＝AB'，从而解决问题．【解答】解：由第②次折叠知，AB＝AB'，由第①次折叠知，∠B'AB＝45°，所以△AD'B'是等腰直角三角形，所以AB'＝AD'，所以AB与宽AD的比值为，故答案为：，14．（4分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为（﹣2，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标（2，﹣m+1），则（n﹣m）2023＝．【分析】利用关于y轴对称的点纵坐标相同，可得n﹣m＝﹣1，即可求出答案．【解答】解：因为点E的坐标为（﹣2，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标（2，﹣m+1），所以﹣n＝﹣m+1，所以n﹣m＝﹣1，所以（n﹣m）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．故答案为：﹣1．15．（4分）如图，将长方形ABCD放置于平面直角坐标系中，点C在第一象限，点A与坐标原点重合，过点A的直线y＝kx交BC于点E，连结DE，已知BE：CE＝1：4，AE平分∠BED，则k的值为．【分析】设BE＝x，则CE＝4x，BE：CE＝1：4，由勾股定理求出CD计算解答即可．【解答】解：设BE＝x，则CE＝4x，BE：CE＝1：4，所以AD＝BC＝BE+CE＝5x，因为AE平分∠BED，所以∠BEA＝∠DEA，因为BC∥AD，所以∠DAE＝∠DEA，所以AD＝DE＝5x，在Rt△CDE中，CD＝＝3x，所以AB＝CD＝3x所以k＝＝3故答案为：3．16．（4分）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长DK交AB、AC分别于点M、N，延长EH交BD于点P（如图2）．（1）若Rt△ABF的面积为5，小正方形FGHK的面积为9，则AB＝；（2）如图2，若，则＝（用含k的代数式表示）．【分析】（1）根据勾股定理求出a和b的等式，即可得到AB；（2）求出a，b，k之间的关系式，从而求得面积比．【解答】解：（1）设AF＝EG＝DH＝BK＝BC＝a，FK＝GF＝HG＝HK＝b，因为若Rt△ABF的面积为5，小正方形FGHK的面积为9，所以a（a+b）＝5，b2＝9，所以a2+ab＝10，因为AB2＝a2+（a+b）2，所以AB＝＝，故答案为：；（2）因为SAEHN＝S△AEG+SAGHN＝+b（a+b）＝，＝，所以＝k（），所以（）（b+a）＝0，所以b＝，所以＝＝，故答案为：．三、解答题本题有8小题，共66分。17．（6分）解不等式组：．【分析】别求出各个不等式的解集，再寻找解集的公共部分即可．【解答】解：由①得，x≥3，由②得，x＜7，所以不等式组的解集为3≤x＜7．18．（6分）如图1，在3×3的网格中，△ABC三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原△ABC关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图1﹣图4不重复）．【分析】根据轴对称的性质画图．【解答】解：如图，19．（6分）某数学兴趣小组开展测量学校旗杆的实践活动．【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：如图，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆AB的底部（点B）之间的距离为5米．【问题解决】求旗杆的高度．【分析】设旗杆的高度为x米，则绳子的长度是（x+1）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度是（x+1）米，在Rt△ABC中，AB＝x米，BC＝5米，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，即x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，答：旗杆的高度为12米．20．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点．（1）求证：∠1＝∠2．（2）写出图中的一对全等三角形，并给出证明．【分析】（1）根据同角的余角相等解答即可；（2）根据ASA证明三角形全等即可．【解答】（1）证明：因为F是高AD和高BE的交点，所以∠1+∠C＝∠2+∠C＝90°，所以∠1＝∠2；（2）解：因为∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，所以BD＝AD，在△BFD与△CAD中，，所以△BFD≌△CAD（ASA）．21．（8分）已知实数x，y满足3x+2y＝18．（1）用含x的代数式表示y，则y＝．（2）若等腰三角形的腰长为x，底边长为y，该等腰三角形的周长为l．①求l关于x的函数表达式；②求l的取值范围．【分析】（1）通过移项、合并同类项、系数化为1即可得出y与x的关系式；（2）①根据三角形周长的计算公式解答即可；②先求出x的取值范围，即可确定l的取值范围．【解答】解：（1）3x+2y＝18，2y＝18﹣3x，所以y＝9﹣，故答案为：9﹣；（2）①由题意得，等腰三角形的周长l＝2x+y，由（1）得y＝9﹣，所以l＝2x+9﹣＝；②由三角形三边关系定理得，2x＞y，所以2x＞9﹣，解得，又因为y＞0，所以9﹣＞0，解得x＜6，所以，所以．22．（10分）【情境建模】我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考：如图1，点D在△ABC的边BC上，给出下列三个条件：①AD平分∠BAC；②AD⊥BC；③BD＝CD．由哪两个条件可以判定AB＝AC？（用序号写出所有成立的情形）【推理论证】请选择上述情形中的一种情况，给出证明．【应用内化】如图2，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，CD是角平分线，过点A作CD的垂线交CD、BC分别于点E、F．若∠CAF＝2∠B，则BF＝；AE＝．（结果用含a，b的代数式表示）．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，求得∠BDA＝∠CDA＝90°，得到∠B＝∠C，根据等腰三角形的判定定理得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠ACE＝∠FCE，根据全等三角形的性质得到CF＝AC＝b，∠CAF＝∠CFA，AE＝EF，求得BF＝BC﹣CF＝a﹣b，得到BF＝AF＝a﹣b．于是得到结论．【解答】解：（1）①②或②③，证明：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD，因为AD⊥BC，所以∠BDA＝∠CDA＝90°，所以∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，所以∠B＝∠C，所以AB＝AC；（2）因为CD是角平分线，所以∠ACE＝∠FCE，因为AE⊥CD，所以∠AEC＝∠CEF＝90°，在△ACE与△FCE中，，所以△ACE≌△FCE（ASA），所以CF＝AC＝b，∠CAF＝∠CFA，AE＝EF，所以BF＝BC﹣CF＝a﹣b，因为∠CAF＝2∠B，所以∠AFC＝∠B+∠EAB＝2∠B，所以∠B＝∠FAB，所以BF＝AF＝a﹣b．所以AE＝＝．故答案为：a﹣b，．23．（10分）根据以下素材，探索完成任务：快餐方案的确定素材1100g谷物、100g牛奶和100g鸡蛋的部分营养成分见表：项目谷物牛奶鸡蛋蛋白质（g）9.03.015脂肪（g）32.43.65.2碳水化合物（g）50.84.51.4素材2阳光营养餐公司为学生提供的早餐中，蛋白质总含量占早餐总质量的8%．该早餐包含一个60g的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品．素材3阳光营养餐公司为学生提供的午餐有A、B两种套餐（见表）．为了平衡膳食，公司建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过830g，午餐肉类摄入量不超过410g．套餐主食肉类其他A150g85g165gB180g60g160g问题解决任务1若一份早餐包含一个60g的鸡蛋、200g牛奶和100g谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量为多少g？任务2已知阳光快餐公司提供的一份早餐的总质量为300g，则每份早餐中牛奶和谷物食品各多少g？任务3为平衡膳食，每个学生一周内午餐可以选择A、B套餐各几天（一周按5天计算）？【分析】任务一：根据素材1得出谷物、牛奶和鸡蛋中各含蛋白质的百分数，再算出任务一中各食物中蛋白质的含量相加即可；任务二：设该早餐中牛奶xg，谷物yg，列方程组解答即可；任务三：设每周共有a天选A套餐，（5﹣a）天选B套餐，根据题意列方程组解答即可．【解答】解：任务一：由题意可知：谷物中蛋白质含量9%，牛奶中蛋白质含量3%，鸡蛋中蛋白质含量15%，有：100×9%+200×3%+60×15%＝24g；答：该份早餐中蛋白质总含量为24g．任务二：设该早餐中牛奶xg，谷物yg，列方程组得：，解得：，答：该早餐中牛奶130g，谷物110g．任务三：设每周共有a天选A套餐，（5﹣a）天选B套餐，根据题意得：，解得：，所以a＝3或a＝4，当a＝3时，5﹣a＝2，当a＝4时，5﹣a＝1．答：每个学生一周内午餐可以选择A套餐3天、B套餐2天或可以选择A套餐4天、B套餐1天．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（﹣2，0）的直线y＝3x+b与y轴交于点B，直线BC交x轴正半轴于点C，OC＝OB，点P是直线BC上的动点．（1）求直线BC的解析式．（2）若，求点P的坐标．（3）已知点Q在线段AB上，连结OP、OQ、PQ．①若△PQB与△PQO全等，求线段PQ的长；②在P、Q的运动过程中，OQ+PQ的最小值为（直接写出答案）．【分析】（1）把点A代入直线y＝3x+b得B（0，6），设直线BC解析式为y＝kx+6，代入B得k＝﹣1，故直线BC的解析式为y＝﹣x+6．（2）设P（t，﹣t+6），当P在CB延长线上时，S△APC＝S△ABC＝××8×6＝32，再计算即可．当P在线段CB上时，S△APC＝S△ABC＝××8×6＝16，再计算即可．（3）①当△PQB≌△PQO时，得QP为△BAC中位线，故PQ＝AC＝4．当△PQB≌△QPO时，得四边形BPOQ是平行四边形，由平移得直线OP解析式为y＝3x，直线OQ解析式为y＝﹣x，联立得P（，），Q（﹣，），故PQ＝＝3．②过O作AB的对称点O'，过O'作O'P⊥BC，连OQ，此时OQ+PQ＝O'Q+PQ＝O'P最小．由Rt△OAK∽Rt△OBA，得AK＝，OK＝，再利用Rt△OAK～Rt△OO'M，得OM＝，O'M＝，故O'（﹣，），N（，），由等