广东省香山中学、高要一中、广信中学2024-2025学年高二下学期第一次教学质量检测数学试题（原卷版+解析版）

2024-2025学年第二学期高二年级第一次教学质量检测数学时间：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.设函数在上可导，且，则等于（）A.1 B. C. D.02.函数的单调递增区间是A. B. C. D.3.化简式子，得（）A. B. C. D.4.如图，雪花形状图形作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（）A. B. C. D.5.若函数在处有极大值，则实数的值为（）A.1 B.或C. D.6.已知函数是减函数，则正数（）A.9 B. C.3 D.7.已知数列满足，，若为数列的前项和，则（）A.624 B.625 C.626 D.6508.记定义域为的函数的导函数为，且对任意的都有，则（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.下列函数的求导运算正确的是（）A. B.C. D.10.定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（）A.函数最小值是B.在区间上单调C.是函数极值点D.曲线在附近比在附近上升得更缓慢11.已知函数定义域为R，且.当时，.若函数在上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（）A.0 B.1 C. D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知等比数列满足的等差中项为18，则_________13.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为_____________.14.已知函数，若函数恰有3个不同零点，则实数的取值范围为________.四、解答题（本题共5小题，共77分）15.在数列中，点在直线上；在等比数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.16.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．17.已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列的前项的积为，且，求的最大值.18.若数列的首项，且满足，令．（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）若，求的前n项和；（3）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项，，（m，k，，且）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．19.已知函数，.（1）讨论函数单调区间；（2）若，证明：；（3）当时，恒成立，求取值范围.

2024-2025学年第二学期高二年级第一次教学质量检测数学时间：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.设函数在上可导，且，则等于（）A.1 B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】根据题意结合导数的定义即得结果.【详解】由导数定义可知：，所以.故选：A.2.函数的单调递增区间是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函数的定义域，求导，然后解不等式可得出所求的单调递增区间．【详解】函数的定义域为，，，解不等式，即，解得，所以，函数的单调递增区间为，故选A．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，解题时注意导数符号与函数单调区间之间的关系，再者就是求出导数不等式的解集后必须与定义域取交集才行，考查计算能力，属于中等题．3.化简式子，得（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据裂项相消求和即可.【详解】.故选：D4.如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】观察图形可得出为首项为，公比为的等比数列，即可求出.【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即，所以为首项为，公比为的等比数列，.故选：A5.若函数在处有极大值，则实数的值为（）A.1 B.或C. D.【答案】D【解析】【分析】借助极值点定义可得，即可得或，再分类进行讨论排除极小值情况即可得.【详解】，则有，解得或，当时，，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在处有极小值，不符合题意；当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在处有极大值，符合题意．综上可得，故选：D.6.已知函数是减函数，则正数（）A.9 B. C.3 D.【答案】C【解析】分析】根据的单调性，判断出恒成立，利用的导函数研究的最大值，由此列方程求得的值.【详解】由是减函数，得对任意的，都有恒成立.设.∵，，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴在时取得最大值.又∵，∴对任意的，恒成立，即的最大值为，∴，解得.故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.7.已知数列满足，，若为数列的前项和，则（）A.624 B.625 C.626 D.650【答案】C【解析】【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得.【详解】数列中，，，当，时，，即数列的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，则，当，时，，即数列的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为，则，所以.故选：C8.记定义域为的函数的导函数为，且对任意的都有，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因为，可构造函数，利用导数可知，在单调递增，即可得，化简即可判断出正确选项．【详解】不妨设，因为，设，则,所以在单调递增，所以，即，从而．故选：A．【点睛】本题主要考查利用导数解决函数的单调性问题，解题关键是构造出合适的函数模型，意在考查学生的数学建模能力，属于中档题．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.下列函数的求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】直接利用导数的运算法则与基本初等函数的导函数逐一求解得答案.【详解】对于A,，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：BC10.定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（）A.函数的最小值是B.在区间上单调C.是函数的极值点D.曲线在附近比在附近上升得更缓慢【答案】BD【解析】【分析】由图形，根据导数在研究函数单调性的应用，结合极值点的概念即可判断ABC；根据导数的几何意义即可判断D.【详解】对于A：由图可知，单调递减，单调递增，所以，故A错误；对于B：由图可知，单调递增，故B正确；对于C：由图可知单调递增，单调递增，所以不是函数的极值点，故C错误；对于D：由导数的几何意义知，，且，所以在处的切线的斜率小于处的切线的斜率，即曲线在附近比在附近上升得更加缓慢，故D正确.故选：BD11.已知函数定义域为R，且.当时，.若函数在上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（）A.0 B.1 C. D.【答案】ABD【解析】【分析】令，得到.作出的图像，利用图像法讨论零点，分类讨论求出k的值.【详解】令，得到.由已知，，则的周期为2.其大致图像如图所示，由图可知，令，得到.①当时，零点为1､3､5､7､…，满足题意；②当时，零点为0､2､4､6､…，满足题意；③当时，若零点从小到大构成等差数列，公差只能为1.由，得，此时；④当时，函数无零点，不符合题意.故选：ABD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知等比数列满足的等差中项为18，则_________【答案】【解析】【分析】先利用等比数列的性质通过求出，再根据条件可得，进而根据等比数列的性质可得.【详解】，得所以，，得因为，故答案为：.13.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为_____________.【答案】【解析】【分析】根据题意分析可得：每段圆弧的圆心角为，半径满足，结合等差数列的通项公式和求和公式分析运算.【详解】由题意可知：每段圆弧的圆心角为，设第段圆弧的半径为，则可得，故数列是以首项，公差的等差数列，则，则“蚊香”的长度为.故答案为：.14.已知函数，若函数恰有3个不同零点，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】根据，为开口向下的二次函数，而时，利用导数求解单调性，进而可得极值，结合三个零点即可得，进而可求解.【详解】当时，函数，在上单调递增，在上单调递减；此时最大值为，当时，，则当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减,此时函数极大值为，且当时，fx=xex>0由于，所以函数恰有3个不同零点，则，所以．故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分）15.在数列中，点在直线上；在等比数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题可得通项公式，然后由题目条件结合等比数列知识可得通项公式；（2）由分组求和法可得答案.【小问1详解】易知故求数列的通项公式分别为.【小问2详解】由（1）知：设数列的前项和为，数列的前项和为，则则数列的前n项和.16.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求单调区间，以及其最大值与最小值．【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；（2）根据极值点求得，再应用导数研究函数的单调区间和最值即可.【小问1详解】当时，，则，∴，则在点处的切线方程为；【小问2详解】因为，由题意，解得，检验符合，故，列表如下：400增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，减区间为．由解析式易知，当时；当时，且，所以．综上，的增区间为、，减区间为，.17.已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列的前项的积为，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据，求出为首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式；（2），求出，由函数单调性知，只需求出的最大值，配方得到其最大值，得到答案.【小问1详解】①，当时，，解得，当时，②，式子①-②得，即，故为首项为2，公比为2的等比数列，所以；【小问2详解】，所以，因为在R上单调递增，所以只需求出的最大值，其中，又，所以当或时，取得最大值，最大值为，所以的最大值为.18.若数列的首项，且满足，令．（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）若，求的前n项和；（3）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项，，（m，k，，且）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，结合等比数列定义推理得证，进而求出通项公式.（2）由（1）的信息求出，再利用错位相减法，结合等比数列前n项和公式求解.（3）根据给定条件，结合（1）的结论求出数列的通项，再利用等差中项以及等比中项的性质推理得证.【小问1详解】由，得，而，则，又，所以数列是等比数列，，.【小问2详解】由（1）知，，，则，两式相减得，所以【小问3详解】依题意，，即，解得，假设在数列中存在不相同的3项（其中成等差数列）成等比数列，则，即，则，由成等差数列，得，因此，整理得，则，与互不相等矛盾，所以在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列【点睛】方法点睛：错位相减求和适用于数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和的问题，一般是和