2024年二次函数知识点总结和题型总结

二次函数知识點總結和題型總結一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。這裏需要强调：①a≠0②最高次数為2③代数式一定是整式2.二次函数的构造特性：⑴等号左边是函数，右边是有关自变量的二次式，的最高次数是2．⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．例題：例1、已知函数y=(m－1)xm2+1+5x－3是二次函数，求m的值。练习、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是有关x的二次函数，则m的取值范围為。二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：a的绝對值越大，抛物线的開口越小。的符号開口方向顶點坐標對称轴性质向上轴時，随的增大而增大；時，随的增大而減小；時，有最小值．向下轴時，随的增大而減小；時，随的增大而增大；時，有最大值．的性质：上加下減。的符号開口方向顶點坐標對称轴性质向上轴時，随的增大而增大；時，随的增大而減小；時，有最小值．向下轴時，随的增大而減小；時，随的增大而增大；時，有最大值．3.的性质：左加右減。的符号開口方向顶點坐標對称轴性质向上X=h時，随的增大而增大；時，随的增大而減小；時，有最小值．向下X=h時，随的增大而減小；時，随的增大而增大；時，有最大值．4.的性质：的符号開口方向顶點坐標對称轴性质向上X=h時，随的增大而增大；時，随的增大而減小；時，有最小值．向下X=h時，随的增大而減小；時，随的增大而增大；時，有最大值．二次函数的對称轴、顶點、最值（技法：假如解析式為顶點式y=a(x－h)2+k，则最值為k；假如解析式為一般式y=ax2+bx+c则最值為EQ\F(4ac-b2,4a)）1．抛物线y=2x2+4x+m2－m通過坐標原點，则m的值為。2．抛物y=x2+bx+c线的顶點坐標為（1，3），则b＝，c＝.3．抛物线y＝x2＋3x的顶點在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线y＝ax2－6x通過點(2，0)，则抛物线顶點到坐標原點的距离為()A.B.C.D.5．若直线y＝ax＋b不通過二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c()A.開口向上，對称轴是y轴B.開口向下，對称轴是y轴C.開口向下，對称轴平行于y轴D.開口向上，對称轴平行于y轴已知二次函数y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值為0，则m＝。三、二次函数图象的平移1.平移环节：措施一：⑴将抛物线解析式转化成顶點式，确定其顶點坐標；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶點平移到处，详细平移措施如下：2.平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．措施二：⑴沿轴平移:向上（下）平移個單位，变成（或）⑵沿轴平移：向左（右）平移個單位，变成（或）函数y=ax2+bx+c的图象和性质例題：1．抛物线y=x2+4x+9的對称轴是。2．抛物线y=2x2－12x+25的開口方向是，顶點坐標是。3．通過配方，写出下列函数的開口方向、對称轴和顶點坐標：（1）y=EQ\F(1,2)x2－2x+1；（2）y=－3x2+8x－2；（3）y=－EQ\F(1,4)x2+x－44、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3個單位，在向下平移2個單位，所得图象的解析式是y=x2－3x+5，试求b、c的值。5、把抛物线y=－2x2+4x+1沿坐標轴先向左平移2個單位，再向上平移3個單位，問所得的抛物线有無最大值，若有，求出该最大值；若没有，阐明理由。四、二次函数与的比较從解析式上看，与是两种不一样的体現形式，後者通過配方可以得到前者，即，其中．五、二次函数图象的画法五點绘图法：运用配措施将二次函数化為顶點式，确定其開口方向、對称轴及顶點坐標，然後在對称轴两侧，左右對称地描點画图.一般我們选用的五點為：顶點、与轴的交點、以及有关對称轴對称的點、与轴的交點，（若与轴没有交點，则取两组有关對称轴對称的點）.画草图時应抓住如下几點：開口方向，對称轴，顶點，与轴的交點，与轴的交點.六、二次函数的性质1.當時，抛物线開口向上，對称轴為，顶點坐標為．當時，随的增大而減小；當時，随的增大而增大；當時，有最小值．2.當時，抛物线開口向下，對称轴為，顶點坐標為．當時，随的增大而增大；當時，随的增大而減小；當時，有最大值．例題：函数y=a(x－h)2的图象与性质1．填表：抛物线開口方向對称轴顶點坐標试阐明函数y=EQ\F(1,2)(x－3)2的图象特點及性质（開口、對称轴、顶點坐標、增減性、最值）。二次函数y=a(x－h)2的图象如图：已知a=EQ\F(1,2)，OA＝OC，试求该抛物线的解析式。二次函数的增減性二次函数y=3x2－6x+5，當x>1時，y随x的增大而；當x<1時，y随x的增大而；當x=1時，函数有最值是。已知函数y=4x2－mx+5，當x>－2時,y随x的增大而增大；當x<－2時，y随x的增大而減少；则x＝1時,y的值為。已知二次函数y=x2－(m+1)x+1，當x≥1時，y随x的增大而增大，则m的取值范围是.4.已知二次函数y=－EQ\F(1,2)x2+3x+EQ\F(5,2)的图象上有三點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3<x1<x2<x3，则y1,y2,y3的大小关系為.七、二次函数解析式的表达措施1.一般式：（，，為常数，）；2.顶點式：（，，為常数，）；3.两根式：（，，是抛物线与轴两交點的横坐標）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶點式，但并非所有的二次函数都可以写成交點式，只有抛物线与轴有交點，即時，抛物线的解析式才可以用交點式表达．二次函数解析式的這三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数二次函数中，作為二次项系数，显然．⑴當時，抛物线開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；⑵當時，抛物线開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．總結起来，决定了抛物线開口的大小和方向，的正负决定開口方向，的大小决定開口的大小．2.一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的對称轴．⑴在的前提下，當時，，即抛物线的對称轴在轴左侧；當時，，即抛物线的對称轴就是轴；當時，，即抛物线對称轴在轴的右侧．⑵在的前提下，結论刚好与上述相反，即當時，，即抛物线的對称轴在轴右侧；當時，，即抛物线的對称轴就是轴；當時，，即抛物线對称轴在轴的左侧．總結起来，在确定的前提下，决定了抛物线對称轴的位置．的符号的鉴定：對称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的說就是“左同右异”總結：3.常数项⑴當時，抛物线与轴的交點在轴上方，即抛物线与轴交點的纵坐標為正；⑵當時，抛物线与轴的交點為坐標原點，即抛物线与轴交點的纵坐標為；⑶當時，抛物线与轴的交點在轴下方，即抛物线与轴交點的纵坐標為负．總結起来，决定了抛物线与轴交點的位置．總之，只要都确定，那么這条抛物线就是唯一确定的．例題：函数的图象特性与a、b、c的关系1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号為（）A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b>0,c=0C.a>0,b<0,c=0D.a>0,b<0,c<02.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示，则下列結论對的的是（）A．a+b+c>0B．b>-2aC．a-b+c>0D．c<03.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图3，有如下結论：①c>0；②a+b+c>0③a-b+c>0④b2-4ac<0⑤abc<0；其中對的的為（）A．①②B．①④C．①②③D．①③⑤4.當b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐標系内的图象也許是（）5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，假如a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象也許是图所示的()二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图5所示，那么abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c四個代数式中，值為正数的有()A.4個B.3個C.2個D.1個7.在同一坐標系中，函数y=ax2+c与y=EQ\F(c,x)(a<c)图象也許是图所示的()ABCD8.反比例函数y=EQ\F(k,x)的图象在一、三象限，则二次函数y＝kx2-k2x-1c的图象大体為图中的（）ABCD9.反比例函数y=EQ\F(k,x)中，當x>0時，y随x的增大而增大，则二次函数y＝kx2+2kx的图象大体為图中的（）ABCD二次函数解析式确实定：根据已知条件确定二次函数解析式，一般运用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据題目的特點，选择合适的形式，才能使解題简便．一般来說，有如下几种状况：1.已知抛物线上三點的坐標，一般选用一般式；2.已知抛物线顶點或對称轴或最大（小）值，一般选用顶點式；3.已知抛物线与轴的两個交點的横坐標，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐標相似的两點，常选用顶點式．例題：函数解析式的求法一、已知抛物线上任意三點時，一般设解析式為一般式y=ax2+bx+c，然後解三元方程组求解；1．已知二次函数的图象通過A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三點，求该二次函数的解析式。已知抛物线過A（1，0）和B（4，0）两點，交y轴于C點且BC＝5，求该二次函数的解析式。二、已知抛物线的顶點坐標，或抛物线上纵坐標相似的两點和抛物线上另一點時，一般设解析式為顶點式y=a(x－h)2+k求解。3．已知二次函数的图象的顶點坐標為（1，－6），且通過點（2，－8），求该二次函数的解析式。已知二次函数的图象的顶點坐標為（1，－3），且通過點P（2，0）點，求二次函数的解析式。三、已知抛物线与轴的交點的坐標時，一般设解析式為交點式y=a(x－x1)(x－x2)。5．二次函数的图象通過A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。九、二次函数图象的對称二次函数图象的對称一般有五种状况，可以用一般式或顶點式体現1.有关轴對称有关轴對称後，得到的解析式是；有关轴對称後，得到的解析式是；2.有关轴對称有关轴對称後，得到的解析式是；有关轴對称後，得到的解析式是；3.有关原點對称有关原點對称後，得到的解析式是；有关原點對称後，得到的解析式是；4.有关顶點對称（即：抛物线绕顶點旋转180°）有关顶點對称後，得到的解析式是；有关顶點對称後，得到的解析式是．5.有关點對称有关點對称後，得到的解析式是根据對称的性质，显然無论作何种對称变换，抛物线的形状一定不會发生变化，因此永遠不变．求抛物线的對称抛物线的体現式時，可以根据題意或以便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或体現式已知的抛物线）的顶點坐標及開口方向，再确定其對称抛物线的顶點坐標及開口方向，然後再写出其對称抛物线的体現式．拾、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交點状况）：一元二次方程是二次函数當函数值時的特殊状况.图象与轴的交點個数：①當時，图象与轴交于两點，其中的是一元二次方程的两根．這两點间的距离.②當時，图象与轴只有一种交點；③當時，图象与轴没有交點.當時，图象落在轴的上方，無论為任何实数，均有；當時，图象落在轴的下方，無论為任何实数，均有．2.抛物线的图象与轴一定相交，交點坐標為，；3.二次函数常用解題措施總結：⑴求二次函数的图象与轴的交點坐標，需转化為一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要运用配措施将二次函数由一般式转化為顶點式；⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形結合；⑷二次函数的图象有关對称轴對称，可运用這一性质，求和已知一點對称的點坐標，或已知与轴的一种交點坐標，可由對称性求出另一种交點坐標.⑸与二次函数有关的尚有二次三项式，二次三项式自身就是所含字母的二次函数；下面以時為例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联络：抛物线与轴有两個交點二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两個不相等实根抛物线与轴只有一种交點二次三项式的值為非负一元二次方程有两個相等的实数根抛物线与轴無交點二次三项式的值恒為正一元二次方程無实数根.例題：二次函数与x轴、y轴的交點（二次函数与一元二次方程的关系）假如二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交點，其中c為整数，则c＝（写一种即可）二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交點之间的距离為抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交點的個数是()A.没有交點B.只有一种交點C.有两個交點D.有三個交點如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两點，交y轴于點C，则△ABC的面积為()A.6B.4C.3D.1已知抛物线y＝5x2＋(m－1)x＋m与x轴的两個交點在y轴同侧，它們的距离平方等于為EQ\F(49,25)，则m的值為()A.－2B.12C.24D.48已知抛物线y＝x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两個交點；（2）若该抛物线与x轴的两個交點為A、B，且它的顶點為P，求△ABP的面积。拾一、函数的应用二次函数应用二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象對称是关键；開口、顶點和交點,它們确定图象現；開口、大小由a断,c与Y轴来相見,b的符号较尤其，符号与a有关联；顶點位置先找見，Y轴作為参照线，左同右异中為0，牢记心中莫混乱；顶點坐標最重要,一般式配方它就現，横標即為對称轴,纵標函数最值見。若求對称轴位置,符号反,一般、顶點、交點式，不一样体現能互换。二次函数抛物线，选定需要三個點，a的正负開口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交點，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶點牵著图象转，三种形式可变换，配措施作用最关键。例題：二次函数应用(一）經济方略性1.某商店购進一批單价為16元的曰用品，销售一段時间後，為了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。經检查发現，若按每件20元的价格销售時，每月能