同济版高等数学上册复习资料

高等数学(上)总复习第一部分

复习重点及题型分析第二部分

高等数学(上)方法综述第1页第一部分

复习重点及题型分析复习重点三个基本计算—极限,导数,积分两个基本应用—导数应用,积分应用一个基本理论—相关中值定理及应用第2页一.三个基本计算

(约70%)1.极限计算(约24%)主要题型(1)利用基本方法求极限函数连续性;四则运算法则;极限存在准则;两个主要极限;等价无穷小替换;洛必塔法则.(2)利用特殊方法求极限导数定义;定积分定义;微分中值定理;变限积分求导;讨论左右极限.(3)无穷小量比较第3页例题分析例1.计算解:解:利用等价关系例2.设f(x)处处连续,且f(2)=3,计算第4页解:化为指数形式,利用例3.计算解:例4.计算第5页例5.计算解:令

例6.计算解:令第6页例7.计算解:利用等价无穷小例8.计算解:第7页例9.求解:令则原式=洛例10.计算解:直接用洛必塔法则不方便利用等价无穷小第8页例11.

计算解:利用微分中值定理例12.计算解:洛这是积分变量第9页例13.求原式=洛利用等价无穷小解:第10页例14.已知解:对所给等式左边用洛必塔法则,得再利用可知求a,b.第11页2.导数和微分计算(约18%)主要题型(1)计算复合函数导数和微分;(2)计算隐函数导数和微分;(3)参数方程求一阶、二阶导数;(4)用导数定义求特殊点导数值;(5)计算n阶导数.(包含对数微分法)例题分析第12页例1.已知解法1.等式两边对x求导,得故解法2.等式两边取对数,得两边对x求导,得故第13页例2.已知解：两边取对数，得两边对x求导第14页例3.证实下述函数在x=0连续且可导证:因为又在x=0连续且可导.思索:若函数改为是否有一样结论?第15页例4.已知解:,求第16页例5.设

解:第17页例6.

设解:第18页例7.设求解:第19页例8.求解:方法1.利用归纳法可证方法2.利用莱布尼兹求导公式

n阶导数.第20页例9.设求解:第21页3.不定积分与定积分计算(约28%)主要题型(1)利用基本积分方法计算不定积分;(2)利用基本积分方法及公式计算定积分;(3)利用简化技巧计算积分;(4)广义积分计算及收敛性判别.例题分析第22页例1.求解:令令例2.求解:第23页例3.求解:原式=第24页例4.求解:例5.讨论积分解:敛散性.发散可见原积分发散.第25页例6.求解:奇函数偶函数例7.已知解:对所给等式两边求导,得求利用“偶倍奇零”,得第26页例8.设,求(P270题13)解:令则第27页例9.已知解:由已知条件得求第28页例10.求解:利用P248例6(2),即第29页例11.利用递推公式计算以下广义积分解:(P260题3)第30页二.两个基本应用(约24%)1.导数应用(约16%)主要题型(1)导数几何应用(2)利用导数研究函数形态(3)求解最值问题(4)利用导数证实恒等式(5)利用单调性证实不等式第31页例1.设函数在定义域内可导,图形如右图所表示,则导函数图形为

.(考研)提醒:在某区间I内可导,则在I内是极值点例题分析第32页例2.

证实在上单调增加.证:令在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,故当x>0时,从而在上单调增.得第33页例3.证实当x>0时,证法1:设则故证法2:当x>0时,在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,得第34页例4.证实:证:即第35页例5.证实当证:归结为证即在(0,1)上不好判别正负号提醒:证实f(0)是f(x)在(–,1)上最大值.说明:若改为证实当x<1时,怎样证实?第36页例5.设证:设且①②比较①,②可知,故不等式成立.第37页有两个根;例6.讨论方程有几个实根.解:设令得(最大值)注意所以当时,当时,只有一个根；当时,无实根.(P153题6)第38页例7.求双曲线曲率半径

R,并分析何处R

最小?解:则利用第39页例8.求内接于半径为R球内正圆锥体最大致积.解:设锥体底半径为r,高为h,如图因△ADB∽

△BDE,所以圆锥体体积为极大值点在(0,2R)内只有唯一驻点,且为极大值点,故为最大值点,最大值为第40页2.定积分应用

(约8%)(1)利用定积分计算面积直角坐标方程参数方程极坐标方程(2)利用定积分计算弧长及旋转体体积(3)定积分物理应用(4)相关定积分证实题主要题型例题分析第41页例1.求曲线解:设切点为则切线方程为令得与其经过原点切线及y轴所围图形面积.故所求面积为第42页例2.求曲线解:列表:绕x轴旋转所得旋转体体积.第43页例3.求抛物线解:与直线所围图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积.（此题也可用柱壳法）（普通法）第44页例4.求由圆解:圆方程为围成平面图形绕x轴旋转一周形成旋转体体积.利用“偶倍奇零”（这是柱壳法）第45页例5.证实提醒:令,得x=1,0,判别x=1为f(x)在上唯一极大点,故则时第46页例6.求抛物线在(0,1)内一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形面积最小.解:设抛物线上切点为则该点处切线方程为它与x,y轴交点分别为所求面积第47页且为最小点.故所求切线为得[0,1]上唯一驻点第48页三.一个基本理论—相关中值问题(约5%)主要题型(1)讨论函数零点问题或方程根问题存在性唯一性—惯用介值定理;罗尔定理—利用单调性;反证法(2)利用微分和积分中值定理证实等式或不等式例1.叙述拉格朗日中值定理并证实之.提醒:利用逆向思维设出满足罗尔定理辅助函数.例题分析第49页例2.设常数最少有一正根,且不超出证:设,则均为正值,证实方程若则为一正根,且符合题意.若则由根存在定理知,,又最少存在一个使,即所给方程最少有一个不超出正根.第50页证实方程例3.已知证:先证存在性.使再证唯一性.在[0,1]上有唯一根.则所以,即假设方程还有一根则无妨设x

0<x1,故存在一点则在[x0,x1]上F(x)满足罗尔定理条件,即与已知条件矛盾,故假设不真,所以根唯一.第51页例4.设证:设证实存在唯一一点所以存在唯一一点即第52页例5.上可积且不变号,证实存在使(P270题14)证实思绪:想到用介值定理第53页上可积且不变号,证明存在使例5.证实:设M,m分别为上最大值与最小值,不妨设若则故对任意结论都正确;若由连续函数介值定理可知,存在使,故定理成立.则则第54页例6.设在内二阶可求证:最少存导,且在一点提醒:由积分中值定理得上用罗尔定理得上用罗尔定理,得第55页例7.

证实方程证:设

原方程存在唯一实根由使在[0,1]上存在唯一实根xn,且则得由①

①第56页四.几点说明1.函数也是考试重点(1)函数定义域及复合函数表示式(2)讨论函数在一点连续或间断例1.证实解:在x=0连续.第57页例2.设解:故x=0为第一类跳跃间断点.并指出其间断点类型.思索:怎样求及其间断点?第58页例3.设解:因为x>0时,F(x)可导,故连续,问a取何值时F(x)连续?显然连续,第59页2.注意综合试题(1)极限与其它知识点结合(2)求导与积分方法结合(3)导数应用与积分应用