高考数学复习第八章立体几何初步第4节直线平面平行的判定及其性质

第4节直线、平面平行判定及其性质1/34最新考纲1.以立体几何定义、公理和定理为出发点，认识和了解空间中线面平行相关性质与判定定理；2.能利用公理、定理和已取得结论证实一些相关空间图形平行关系简单命题.2/341.直线与平面平行 (1)直线与平面平行定义

直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.知

识

梳

理3/34(2)判定定理与性质定理一条直线与此平面内一条直线

文字语言图形表示符号表示判定定理平面外

平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线任一平面与此平面与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b交线4/342.平面与平面平行 (1)平面与平面平行定义

没有公共点两个平面叫做平行平面.5/34 (2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内两条与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内直线于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b相交直线平行交线6/34

[惯用结论与微点提醒]1.平行关系中两个主要结论 (1)垂直于同一条直线两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一平面两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.2.线线、线面、面面平行间转化7/341.思索辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(

)(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a直线有没有数条.(

)(3)假如一个平面内两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(

)(4)假如两个平面平行，那么分别在这两个平面内两条直线平行或异面.(

)诊

断

自

测8/34解析(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a直线只有一条，故(2)错误.(3)假如一个平面内两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√9/342.(必修2P61A组T1(1)改编)以下命题中正确是(

) A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内任何直线平行 C.平行于同一条直线两个平面平行 D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

解析依据线面平行判定与性质定理知，选D.

答案

D10/343.设α，β是两个不一样平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”(

) A.充分而无须要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也无须要条件

解析当m∥β时，可能α∥β，也可能α与β相交.

当α∥β时，由m⊂α可知，m∥β.

∴“m∥β”是“α∥β”必要不充分条件.

答案

B11/344.(·长沙模拟)已知m，n是两条不一样直线，α，β，γ是三个不一样平面，则以下命题中正确是(

) A.m∥α，n∥α，则m∥n B.m∥n，m∥α，则n∥α C.m⊥α，m⊥β，则α∥β D.α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

解析

A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n∥α或n⊂α，B不正确；依据线面垂直性质，C正确；D中，α∥β或α与β相交于一条直线，D错.

答案

C12/345.(必修2P56练习2改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1与平面AEC位置关系为________.解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD中点，E为DD1中点，所以EO为△BDD1中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案平行13/34考点一与线、面平行相关命题判定【例1】(1)(·成都诊疗)已知m，n是空间中两条不一样直线，α，β是两个不一样平面，且m⊂α，n⊂β.有以下命题：

①若α∥β，则m∥n；

②若α∥β，则m∥β；

③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；

④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.

其中真命题个数是(

) A.0 B.1 C.2 D.314/34解析(1)①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；②若α∥β，依据平面与平面平行性质，可得m∥β，正确；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，l与n不一定相交，不能推出α⊥β，不正确.15/34(2)如图，对于①，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN⊂面APC，所以MN∥面APC是错误.对于②，由①知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN⊂平面APC，C1Q⊄平面APC.所以C1Q∥面APC是正确.对于③，由①知，A，P，M三点共线是正确.对于④，由①知MN⊂面APC，又MN⊂面MNQ，所以面MNQ∥面APC是错误.答案(1)B

(2)②③16/34规律方法1.判断与平行关系相关命题真假，必须熟悉线、面平行关系各个定义、定理，不论是单项选择还是含选择项填空题，都能够从中先选出最熟悉最轻易判断选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.2.(1)结合题意结构或绘制图形，结合图形作出判断.(2)尤其注意定理所要求条件是否完备，图形是否有特殊情况，经过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.17/34【训练1】(1)设m，n是不一样直线，α，β是不一样平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”(

) A.充分无须要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也无须要条件 (2)(·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有以下四个命题：

①假如m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②假如m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③假如α∥β，m⊂α，那么m∥β.

④假如m∥n，α∥β，那么m与α所成角和n与β所成角相等.

其中正确命题有________(填写全部正确命题编号).18/34解析(1)若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”充分无须要条件.(2)当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.答案(1)A

(2)②③④19/34考点二直线与平面平行判定与性质(多维探究)命题角度1直线与平面平行判定【例2－1】

(·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC中点.(1)证实：MN∥平面PAB；(2)求四面体N－BCM体积.20/34又AD∥BC，故TN綉AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.21/34(2)解因为PA⊥平面ABCD，N为PC中点，22/34命题角度2直线与平面平行性质定理应用【例2－2】

(·青岛质检)如图，五面体ABCDE，四边形ABDE是矩形，△ABC是正三角形，AB＝1，AE＝2，F是线段BC上一点，直线BC与平面ABD所成角为30°，CE∥平面ADF. (1)试确定F位置； (2)求三棱锥A－CDF体积.23/34解

(1)连接BE交AD于点O，连接OF，∵CE∥平面ADF，CE⊂平面BEC，平面ADF∩平面BEC＝OF，∴CE∥OF.∵O是BE中点，∴F是BC中点.(2)∵BC与平面ABD所成角为30°，BC＝AB＝1，24/34规律方法1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行直线.常利用三角形中位线、平行四边形对边或过已知直线作一平面找其交线.2.在处理线面、面面平行判定时，普通遵照从“低维”到“高维”转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其次序恰好相反.25/34【训练2】

(·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.26/34证实(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又因为AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC.27/34考点三面面平行判定与性质(典例迁移)【例3】

(经典母题)如图所表示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.28/34证实

(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1中点，∴GH是△A1B1C1中位线，则GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别为AB，AC中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.29/34【迁移探究1】

在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证实如图所表示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C中点，连接MD，∵D为BC中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱性质知，D1C1綉BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DMD，DC1，DM⊂平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.

30/34解连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，31/34规律方法

1.判定面面平行主要方法(1)利用面面平行判定定理.(2)线面垂直性质(垂直于同一直线两平面平行).2.面面平行条件应用(1)两平面平行，分析结构与之相交第三个平面，交线平行.(2)两平面平行，其中一个平面内任意一条直线与另一个平