2025年统计学期末考试：抽样调查方法应用与回归分析试题

2025年统计学期末考试：抽样调查方法应用与回归分析试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题要求：在下列各题的四个选项中，选择一个正确的答案。1.在抽样调查中，以下哪一种抽样方法能够保证样本的代表性？A.简单随机抽样B.分层抽样C.整群抽样D.以上都是2.回归分析中，以下哪个指标用来衡量回归模型的拟合优度？A.相关系数B.平均绝对误差C.R平方D.均值3.以下哪一种情况属于完全多重共线性？A.变量之间存在较强的线性关系B.变量之间存在高度相关C.变量之间存在多重共线性D.以上都是4.在进行分层抽样时，以下哪个步骤是错误的？A.确定抽样比例B.确定各层的样本量C.随机选择各层的样本D.计算样本的权重5.以下哪个统计量用来衡量样本均值与总体均值之间的差异？A.标准差B.置信区间C.样本量D.平均绝对误差6.在进行回归分析时，以下哪个指标用来衡量回归系数的显著性？A.t值B.F值C.R平方D.均值7.以下哪个方法可以用来解决多重共线性问题？A.增加样本量B.选择主成分C.逐步回归D.以上都是8.在进行简单随机抽样时，以下哪个步骤是错误的？A.编号B.抽样C.计算样本权重D.样本抽取9.以下哪个指标用来衡量回归模型对预测值的准确性？A.标准差B.置信区间C.平均绝对误差D.均值10.在进行分层抽样时，以下哪个因素会影响样本的代表性？A.层内方差B.层间方差C.样本量D.抽样比例二、判断题要求：判断下列各题的正误。1.抽样调查中的简单随机抽样是一种无偏抽样方法。（）2.分层抽样可以提高样本的代表性。（）3.回归分析中，相关系数的绝对值越大，说明模型拟合效果越好。（）4.在进行分层抽样时，每个层的样本量应该与该层在总体中的比例相同。（）5.置信区间是衡量样本均值与总体均值之间差异的指标。（）6.回归分析中，R平方的值越接近1，说明模型拟合效果越好。（）7.多重共线性是指回归模型中自变量之间存在高度相关的情况。（）8.在进行分层抽样时，随机选择各层的样本可以提高样本的代表性。（）9.在进行回归分析时，可以通过逐步回归的方法解决多重共线性问题。（）10.简单随机抽样和分层抽样都可以提高样本的代表性。（）四、计算题要求：计算下列各题。1.已知总体均值为100，标准差为20，样本量为100，使用正态分布近似计算样本均值的95%置信区间。2.下列回归模型中，请计算回归系数b1的估计值，并说明其含义。模型：y=2.5+3x1-2x2+4x3数据：x1=[1,2,3,4,5],x2=[5,4,3,2,1],x3=[2,1,3,2,1],y=[15,14,12,10,8]五、论述题要求：根据以下论述题的要求，完成论述。论述题：请详细说明如何使用最小二乘法进行线性回归分析，并解释其原理。六、应用题要求：根据以下应用题的要求，完成应用题。应用题：某公司为了了解员工满意度，采用分层抽样的方式对300名员工进行调查。根据公司员工部门分布，将员工分为三个层：生产部、销售部、管理部门。生产部员工100人，销售部员工120人，管理部门员工80人。从每个部门中随机抽取10名员工进行满意度调查。请计算调查样本的代表性指数。本次试卷答案如下：一、选择题1.D解析：简单随机抽样、分层抽样和整群抽样都是抽样调查的方法，它们都能保证样本的代表性。2.C解析：R平方（R-squared）是衡量回归模型拟合优度的指标，它表示模型解释的变异比例。3.C解析：完全多重共线性是指回归模型中的自变量之间存在完全线性关系，即一个自变量可以由其他自变量的线性组合完全表示。4.D解析：在分层抽样中，计算样本权重是最后的步骤，而不是在随机选择各层的样本之前。5.B解析：置信区间是衡量样本均值与总体均值之间差异的指标，它提供了对总体参数的估计范围。6.A解析：t值用来衡量回归系数的显著性，它表示系数与零的差异程度。7.D解析：增加样本量、选择主成分和逐步回归都是解决多重共线性问题的方法。8.C解析：在简单随机抽样中，计算样本权重不是必要的步骤，因为每个样本被选中的概率是相等的。9.C解析：平均绝对误差（MeanAbsoluteError,MAE）用来衡量回归模型对预测值的准确性，它表示预测值与实际值之间的平均偏差。10.B解析：在分层抽样中，层间方差会影响样本的代表性，因为它反映了不同层之间差异的大小。二、判断题1.√2.√3.√4.×解析：在分层抽样中，每个层的样本量不一定需要与该层在总体中的比例相同，但比例接近可以保证代表性。5.×解析：置信区间是衡量样本均值与总体均值之间差异的估计范围，而不是差异本身。6.√解析：R平方值越接近1，说明模型对数据的拟合越好，模型解释的变异比例越高。7.√解析：多重共线性是指回归模型中的自变量之间存在高度相关，这会影响模型系数的估计和统计显著性。8.√解析：随机选择各层的样本可以提高样本的代表性，因为它确保了每个层都有机会被选中。9.√解析：逐步回归是一种解决多重共线性问题的方法，它通过逐步引入或移除变量来优化模型。10.×解析：简单随机抽样和分层抽样都可以提高样本的代表性，但它们的方法和适用场景不同。四、计算题1.解析：使用正态分布近似计算样本均值的95%置信区间，公式为：置信区间=样本均值±Z*(标准差/√样本量)其中Z为正态分布的临界值，对于95%的置信水平，Z≈1.96。置信区间=100±1.96*(20/√100)=100±1.96*2=100±3.92因此，置信区间为(96.08,103.92)。2.解析：计算回归系数b1的估计值，公式为：b1=Σ[(xi-x̄)*(yi-ȳ)]/Σ[(xi-x̄)^2]其中xi为x1的观测值，x̄为x1的平均值，yi为y的观测值，ȳ为y的平均值。b1=[(1-2.5)*(15-14)+(2-2.5)*(14-14)+(3-2.5)*(12-14)+(4-2.5)*(10-14)+(5-2.5)*(8-14)]/[(1-2.5)^2+(2-2.5)^2+(3-2.5)^2+(4-2.5)^2+(5-2.5)^2]b1=[(-1.5)*1+(-0.5)*0+(0.5)*(-2)+(1.5)*(-4)+(2.5)*(-6)]/[2.25+0.25+0.25+2.25+6.25]b1=[-1.5-0.5-1-6-15]/11b1=-24/11b1≈-2.18因此，回归系数b1的估计值为-2.18，表示x1每增加一个单位，y平均减少2.18个单位。五、论述题解析：最小二乘法是一种用于线性回归分析的估计方法，其原理是通过最小化误差的平方和来找到最佳的回归系数。具体步骤如下：1.计算每个观测点的预测值，即通过回归方程计算得到的y值。2.计算实际观测值与预测值之间的误差，即实际值与预测值的差。3.计算误差的平方，并将所有平方值相加得到总误差平方和。4.通过改变回归系数的值，找到使得总误差平方和最小的系数组合。5.得到的系数即为最小二乘估计的回归系数。六、应用题解析：计算调查样本的代表性指数，公式为：代表性指数=(样本量/总体量)*(层内方差/层间方差)层内方差为每个层内样本的方差，层间方差为各层样本均值与总体均值之差的平方和。层内方差=[(x1_i-x̄_1)^2+(x1_i-x̄_1)^2+...+(x1_n-x̄_1)^2]/(n-1)层间方差=[(x̄_1-x̄)^2+(x̄_2-x̄)^2+(x̄_3-x̄)^2]其中x1_i为第i个生产部员工的满意度得分，x̄_1为生产部员工的平均满意度得分，x̄为所有员工满意度的总体均值，n为每个层的样本量。层内方差=[(1-2.5)^2+(2-2.5)^2+...+(10-2.5)^2]/(10-1)层间方差=[(2.5-2.5)^2+(3-2.5)^2+(4-2.5)^2]层内方差=[(