高考一轮复习理数课时达标检测（五十七）分类计数原理与分步计数原理排列与组合

课时达标检测(五十七）分类计数原理与分步计数原理、排列与组合[练基础小题——强化运算能力]1．(2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝960(个)，四个数字都是奇数的四位数有Aeq\o\al(4,5)＝120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1080(个)．答案：10802．世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为________．解析：因为甲、乙两人被分配到同一展台，所以可以把甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台上进行全排列，即有Aeq\o\al(3,3)种分配方法，所以甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有Aeq\o\al(3,3)＝6种．答案：63．(2017·全国卷Ⅱ改编)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种．(用数字作答)解析：因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝6种，再分配给3个人，有Aeq\o\al(3,3)＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．答案：364.如图所示的几何体由一个正三棱锥P­ABC与正三棱柱ABC­A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．解析：先涂三棱锥P­ABC的三个侧面，然后涂三棱柱ABC­A1B1C1的三个侧面，共有3×2×1×2＝12种不同的涂色方案．答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为________．解析：在8个数中任取2个不同的数可以组成Aeq\o\al(2,8)＝56个对数值；但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．答案：522.如图所示，在A、B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．解析：按照焊接点脱落的个数进行分类．若脱落1个，则有(1)，(4)，共2种情况；若脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种情况；若脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种情况；若脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种情况．综上共有2＋6＋4＋1＝13种焊接点脱落的情况．答案：133．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案的种数是________．解析：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时共有Ceq\o\al(1,2)×3＝6种安排方案；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时共有Ceq\o\al(1,3)×2＝6种安排方案．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12(种)．答案：124．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是________．解析：据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)种不同的摆放方法，由分类计数原理可得共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝48种摆放方法．答案：485．“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点．小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度．若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“住房”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________．解析：可分三步：第一步，先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这4个热点中选出3个，有Ceq\o\al(3,4)种不同的选法；第二步，在调查时，“住房”安排的顺序有Aeq\o\al(1,3)种可能情况；第三步，其余3个热点调查的顺序有Aeq\o\al(3,3)种排法．根据分步计数原理可得，不同调查顺序的种数为Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝72.答案：726．将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有________种．解析：五个元素没有限制全排列数为Aeq\o\al(5,5)，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列Aeq\o\al(3,3)，可得这样的排列数有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))×2＝40种．答案：407．某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为________．解析：当A，B节目中只选其中一个时，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(4,4)＝960种演出顺序；当A，B节目都被选中时，由插空法得共有Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝180种演出顺序，所以一共有1140种演出顺序．答案：11408．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：选甲题答对得100分，答错得－100分，选乙题答对得90分，答错得－90分，若4位同学的总分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数是________．解析：由于4位同学的总分为0分，故4位同学选甲、乙题的人数有且只有三种情况：①甲：4人，乙：0人；②甲：2人，乙：2人；③甲：0人，乙：4人．对于①，需2人答对，2人答错，共有Ceq\o\al(2,4)＝6种情况；对于②，选甲题的需1人答对，1人答错，选乙题的也如此，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝24种情况；对于③，与①相同，有6种情况，故共有6＋24＋6＝36种不同的得分情况．答案：369．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号的，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．解析：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号的，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有Ceq\o\al(3,4)＝4种情况，再对应到4个人，有Aeq\o\al(4,4)＝24种情况，则共有4×24＝96种不同分法．答案：9610．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)解析：法一：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,6)＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有Aeq\o\al(2,4)＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．法二：不考虑限制条件，共有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)种不同的选法，而没有女生的选法有Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)种，故至少有1名女生的选法有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)－Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝840－180＝660(种)．答案：660二、解答题11．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．解：(1)先选后排，可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3)种情况，后排有Aeq\o\al(5,5)种情况，则符合条件的选法数为(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3))·Aeq\o\al(5,5)＝5400.(2)除去该女生后，先选后排，则符合条件的选法数为Ceq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(4,4)＝840.(3)先选后排，但先安排该男生，则符合条件的选法数为Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝3360.(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有Ceq\o\al(3,6)种情况，再安排该男生有Ceq\o\al(1,3)种情况，选出的3人全排有Aeq\o\al(3,3)种情况，则符合条件的选法数为Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360.12．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？(1)比21034大的偶数；(2)左起第二、四位是奇数的偶数．解：(1)可分五类，当末位数字是0，而首位数字是2时，有6个五位数；当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12个五位数；当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12个五位数；当末位数字是4，而首位数