重庆市第二外国语学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

重庆第二外国语学校数学试题（全卷共四个大题满分：分考试时间：分钟）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.下列各式正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可.【详解】对于A选项，，A错；对于B选项，，B错；对于C选项，，C错；对于D选项，，D对.故选：D.2.命题：“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】“，”的否定是，，故选：C3.不等式的解集为（）A.B.第1页/共14页C.或D.或【答案】A【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由，可得，解得，所以不等式的解集为.故选：A.4.已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（）A.或B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解.【详解】由题意得，所以，所以，解得或，当时，，为偶函数，故不符合题意，当时，，为奇函数，故符合题意.综上所述：.故选：B.5.已知命题、，使得；命题，，则下列关于，真假叙述正确的是（）A.，均为真B.，均为假C.真，假D.假，真【答案】B【解析】【分析】由，则为偶数可判断；时可判断.第2页/共14页【详解】若，则为偶数，则，所以不存在，使，故为假命题，若，则，所以，使，故为假命题，所以，均为假命题.故选：B6.已知：，；：，，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.就不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】通过举特例及不等式性质可判断选项正误.【详解】当时，，，但，则由不能得到；当，时，，，则由可得到,故是的充分不必要条件.故选：A7.已知函数，若对上的任意实数，（成立，那么实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据是上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案.【详解】因为函数满足对上的任意实数恒有成立，所以函数在上递减，第3页/共14页所以，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.8.已知定义在上的函数，且，函数的图象关于点中心对，，.则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可知函数为奇函数，构造函数，推导出函数在区间上单调递增，且函数为偶函数，分和两种情况结合函数的单调性可解不等式.【详解】由于函数的图象关于点中心对称，则函数的图象关于原点对称，所以，函数是定义在上的奇函数，令，则，所以，函数为偶函数，对于任意、，，都有成立，即.设，则，所以函数在区间上单调递增，且.①当时，由可得，解得；第4页/共14页②当时，由于偶函数在区间上单调递增，则该函数在区间上单调递减，且.由可得，解得.综上所述，不等式的解集为.故选：D二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，是假命题的有（）A.若，则B.函数与函数是同一函数C.若函数，则D.集合的子集共有个【答案】ABD【解析】【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用函数相等概念可判断B选项；利用函数解析式由内到外逐层计算出的值，可判断C选项；利用集合子集个数公式可判断D选项.【详解】对于A选项，若，，则、均无意义，A错；对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为，故函数与函数不是同一函数，B错；对于C选项，若函数，则，所以，，C对；对于D选项，集合的子集个数为，D错.第5页/共14页故选：ABD.10.已知，，且，则（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个选项判断正误即可．【详解】对于A，因为，，所以，又所以，所以，当且仅当时取等号，故A错误；对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，，所以，当且仅当时取等号，故D正确.故选：BCD.已知函数的定义域为，若，，满足，则称函数具有性质上的函数具有性质第6页/共14页）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根据函数新定义可推得，，恒成立，即，的值域为，满足，求出，列出不等式求解即可.【详解】由题意得定义在上的函数具有性质，即，，满足，即，，恒成立；记函数，的值域为，，则由题意得，当，即时，在单调递减，则，即，此时不满足，舍去；当，即时，在时取得最大值，即，即，要满足，需，解得或，而，故，即实数取值范围为.故选：CD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共分.12.已知函数，则函数的定义域为_______.第7页/共14页【答案】【解析】【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】对于函数，有，解得，故函数的定义域为.故答案：.13.已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】依题意可得，即可求出参数的取值范围.【详解】解：因为关于的不等式的解集为，所以，解得，即实数的取值范围是.故答案为：14.设函数（）的最大值为，最小值为，则=__________【答案】4048【解析】【分析】将函数，化简为，，构造函数，判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案.第8页/共14页【详解】由题意，，令，，则，即为奇函数，则，结合函数（）的最大值为，最小值为，得，则，故答案为：4048四、解答题：本大题共5小题，共分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集，集合，集合.（1）当时，求；（2）设命题，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合；（2）分析可知，是的真子集，根据集合的包含关系可得出实数的取值范围.【小问1详解】当时，，且，第9页/共14页则或，故或.【小问2详解】因为是的充分不必要条件，则是的真子集，且，，故，即实数的取值范围是.16.已知（1）求函数的解析式.（2）设函数，不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】1）由可得函数的解析式.（2）利用基本不等式求的最小值，问题转化为，由此可得的取值范围.【小问1详解】∵，∴.【小问2详解】由题意得，，∵，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，∴当时，，∵不等式在上有解，∴，故，第10页/共14页∴实数的取值范围是.17.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1就减少2000本.（1）试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？（21最大？【答案】（1）（2）元【解析】1）设杂志提价后的价格，根据题意列出销售总收入后建立不等式，即可解得结果；（2）设杂志提价后的价格为，列出杂志销售的利润表达式，由二次函数的性质求得函数在何处取最大值.【小问1详解】设杂志提价后的价格是每本（）元，则，即，解得，所以杂志定价位于内，能使提价后销售总收入不低于20万元.【小问2详解】设杂志提价后的价格是每本（）元，则=（所以当时，取得最大值.所以杂志提价后价格为每本元时，杂志销售的利润最大.18.已知函数（）是减函数.（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）解关于的不等式：（）.第11页/共14页【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）答案见解析【解析】1）利用奇函数的定义即可判断以及证明结论；（2）根据函数的奇偶性以及单调性将转化为，讨论a与2的大小关系，即可求得答案.【小问1详解】函数为奇函数证明如下：函数定义域为，又，所以是奇函数【小问2详解】由已知及（1）知：不等式即，等价于，即，当时，则；当时，则不等式无解；当时，则；综上，的解集为：当时，不等式解集为，当时，不等式解集为当时，不等式解集为.19.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有（1）求函数的解析式；（2）判断的单调性，并利用定义证明；（3）若对，都有对恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）第12页/共14页（2）在上为增函数，证明见解析（3）【解析】1）根据，求出，，再检验即得解；（2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明；（3）分析得到对任意的恒成立，解不等式组即得解.【小问1详解】函数是定义在上的奇函数，则，即，解得，又因为，即，解得，经检验可得，