河南省H20高中联盟2024-2025学年2025届高三下学期4月联考数学试卷及答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x∈N|-1<x÷<2},则集合A的子集个数是A.4B.82.已知函数f(x)=logsx,g(x)是f(x)的反函数，则f(1)+g(1)=A.103.已知平面α,β和直线m,n,α∩β=n,则“m⊥n”是“m⊥β”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知椭的两焦点分别为F₁,F₂,点P为椭圆上任意一点，则F₁P·F₁F₂的最大值为5.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将开始低于购进价值的5%,设备将报废.则d的取值范围为A.(0,20.9)B.(19,20.9)C.(19,十○)D.(20.9,+○)6.在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A。,B。分别为侧棱AA₁,BB₁上的点，且A₁A₀=BB₀,过Ao,Bo,C₁的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为7.在平面直角坐标系中，动点A在以原点为圆心，1为半径的圆上，以2rad/s的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点B在以原点为圆心，2为半径的圆上，以1rad/s的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动.A、B分别以A。(0,1)、B₀(2,0)为起点同时开始运动，经过ts后，动点A、B的坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂),则y₁+x₂的最小值为A.-3B.-2数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放1本图书.则所有可能的图书排A.160B.192二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.B.f(x)在(-1,2)单调递增D.f(x)的图象向左平个单位长度后为偶函数10.下列说法正确的是A.数据8.6;4,11,3,7,9,10的上四分位数为9B.若0<P(C)<1,0<P(D)<1,且P(D)=1-P(D|C),则C,D相互独立C.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,o²),σ越大，该物理量在一次测量中在(9.8,10.2)的概率越大D.若样本数据xi(i=1,2,…,5)的平均数为4,x²(i=1,2,…,5)的平均数为22,则样本数据2x₁+1,2x₂+1,…,2x₅+1,9的方差为2011.闵可夫斯基距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为A=(a₁,az,…,an)和B=(b₁,b₂,…,b),这两组数据间的闵氏距离定义为,其中q表示阶数.则下列说法正确的有B.若A=(a,a+1),B=(b-1,b),C.若A=(a,b),B=(c,d),其中a,b,c,d∈R,则dD.若A=(a,e),B=(b,b-1),其中a,b∈R,则dAB(2)的最小值为√2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a为常数，且a∈R,复数x在复平面内满足|z-a|≤1,则复数z对应的点Z的集合所形成14.已知△AF₁F₂的顶点F₁,F₂分别为双曲线C:的左、右焦点，点A在C的15.(本小题满分13分)如图，正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,二面角S-AB-C的正切值(1)求直线SB到平面PAC的距离.(2)请判断在平面PAC上是否存在一点E,使得△ESB是以SB为底边，16.(本小题满分15分)记Tn为正项数列{a}的前n项积，且a₁=2,az=4,T,Tn+2=2T³+1.(2)[x]表示不超过x的最大整数，如[2.1]=2,[-1.5]=-2,设,求数列{bn}的前2n项和.17.(本小题满分15分)红旗中学为全面提高学生的运算素养，特举办“数学的满意程度，在所有参加“数学计算比赛”的同学下2×2列联表：满意程度性别合计男生女生满意不满意合计(1)请补全上面的2×2列联表，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系；(2)若比赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作事答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为,3道试题事答对与否互不影响.(ii)记有n人进入总决赛的概率为P(n),求P(n)取最大值时n的值.,其中n=a+b+c+dα18.(本小题满分17分)已知动圆过定点P(2,0),且在y轴上截得的弦长为4.动圆圆心的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设过点F(1,0)的直线交曲线E于A,B两点，过点M(-1,0)的直线MA与E的另一个交点为C,点A在M与C之间.(ii)记△FBC的面积为S₁,△MFC的面积为S₂,求5S₂-S₁的取值范围.19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=x³+ax的图象与x轴的三个交点为A,O,B(O为坐标原点).(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数三个零点，求a的取值范围；(3)若a≠-1,点P在y=f(x)的图象上，且异于A,O,B,点Q满足PA·QA选择题填空题提示：1.∵-1<x<√2,∴-1<x<2√2,A的子集有2=8个.故选B.2.∵函数f(x)=logsx,g(x)是f(x)的反函数，故g(x)=5²,故3.参考正方体，分别记平面ABCD、平面ADD₁A:为平面α,β,则直线n为直线AD,直线m为AB,因ABβ";若m⊥β,nCa,则由线面垂直的定义可得m⊥n,故“m⊥n”是“m⊥4.由数量积的几何意义可得，F₁P·FF₂的最大值为(a+c)·2c=6,故选D.5.设使用n年后，这台设备的价值为a,万元，则可得数列{an}.数，∴数列{a}是一个公差为-d的等差数列.∵购进设备的价值为220万元，∴a=220-d,于是a=a₁+(n-1)(-d)=,解这个不等式组，得19<d≤20.9.∴d的取值范围为19<d≤20.9.故选B.A₀B,BA与四边形A。B₀B₁A₁的面积相等，故四棱锥C-A₀B₀B₁A₁的体积等于三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积的,则几何体ABC-A₀B₀C₁的体积等于,故过Ao,Bo,C₁的截面将三棱柱分成上，下两个部分的体积之比为7.由三角函数的定义可知t,x₂=2cost,则yi+x₂=cos2t+2cost=2cos²t+2cost时，等号成立，故y₁+x₂的最小值为.故选C.8.如图所示，灰色代表图书位置，此时有11本图书，接下来说明不可能有12本图书，考虑数字控制的区域，假设有一种方式可以达到8本图书，首先左上角区域只有2本图书(下图左),在大图中去掉后变成了下图中间的样子，并且图中应有6本图书.类似的，下方数字2代表周围单元格中有2本图书，再去掉后形如下方右侧图形，此时需要填4本图书，但只剩下三个空方格，矛盾!故最多有7本，结合不受限制的区域，最多能抽中接下来求所有可能的方法数.如图所示，?处有图书时，在左上数字2的周围有两种情形，若数字3右侧方格无图书，则4周围的图书排布方式已经固定，此时下方数字2的排布方式也被固定，此时中间数字3周围只有两本图书，矛盾!∴中间数字3右侧必有图书.此时如上右图阴影区域中有且仅有一本图书，故下方数字2左侧或右侧有一本图书.若下方数字2左侧有一本图书，则右侧没有图书，此时4周围的图书排布已经固定，则此时3周围图书也已经符合题意，只有一种情形.若下方数字2右侧有一本图书，此时考虑下方数字2周围还应存在的一本图书的位置，若在2右上方，即上左图中☆位置，则满足题意，并且此时3周围也满足题意，4周围还剩一本图书，共有两种选择，共两种；若不在2右上方，则4周围图书的排布已经符合题意，3周围还应有一本图书，共有两种选择。综上，在情形一中，根据分类加法和分步乘法计数原理，共有2×(1+2+2)=10种可能色费试卷公众号：凹凸学长如图所示，?处无图书时，左上数字2的图书排布被固定，与情形一类似讨论，可知3右侧必有图书，此时根据3周围应还有2本图书得到下方的2左右两侧均无图书(否则下方2周围图书数目大于2),故4周围的图书排列方式被固定，∴3周围还应有一本图书，共有两种选择。故情形二共有2种可能.∴共有2×(2+10)=192种.故选B.),且w>0,1,即,可得w=十kπ,k∈Z,.)不是函数的对称中心，∴A不正确；B0),∴函数在(-1,2)上是单调递增，∴B正确；C中，f(x)=),则f(x)在点(0,1)处的切线方程可得,可得g(x)为偶函数，∴D正确.故选BCD.10.将数从小到大排列3,4,6,7,8,9,10,11,共8个数，则8×75%=6,则上四分位数：,故A错误；∵P(D)=1-P(DIC),∴P(DIC)=P(D),由条件概率公式得P(D|C),得到P(CD)=P(C)·P(D),即C,D相互独立，故(9.8,10.2)的概率等于在(10,10.2)的概率的2倍，当σ越大，数据越离散，其概率越小，故C错误；由样本数据x₁,x₂,x₃,x₁,xs的平均数为4,得xi,x₂,x₃,x,xs,4的平均数为4,x²,x²,x²,x²,x²,4²的平均数为1,因此x,r₂,ra,r,rs,4的方差为21-4²=5,∵9=2×4+1,∴2x+1,2x₂+1,…,2xs+1,9的方差为4×5=20.故D正确，故选BD.A正确.对于B:dA(1)=2|a-b+1|,d(2)=√2|a-b+1|,|b-d|=N,∵M≥0,N≥0,∴M²+N²,∴(M+N)²≥M²+N²,∴M+N≥√M+N²,则ds(1)≥ds(2),故C错误.对于D:构造函数f(x)=e²,g(x)=x-1,则dB(2)的最小值即两曲线动点间的最小距离，由的切线方程为y=x+1,直线y=x+1到y=x-1的距离为√2,∴两曲线动点间的最小距离为√2,故D正确。故选ABD.12.∵|z|≤1,∴复数z对应的点表示的是以1为半径的圆，∴面积为π.13.设△ABC的边长为2.如图，∠BCP=BCcosα=2cosα,在△PCA中，由正弦定14.方法一：根据对称性，不妨设点A在第一象限，则AF₁与渐近线△AF₁F₂中，由正弦定理得方法二：过F₂作F₂H⊥AF₁解答题15.(1)连接PO,∵SB//平面PAC,SBC平面SBD,平面SBDN∴SB//PO.∴点P为SD的中点.(3分)易知直线SO,AC,BD两两垂空间直角坐标系.∵正方形ABCD的边长为2,S(0,0,√6).设平面PAC的一个法向量为m=(x,y,z),则可得令x=3√2,可得m=(3√2,0,√6).(6分)∵SB//平面PAC,∴直线SB到平面PAC的距离等于点∴直线SB到平面PAC的距离.(9分)理由如下：根据第(1)问可得直线SB到平面PAC的距离∴点Q到平面PAC的距离假设在平面PAC上存在点E,使得△ESB是以SB为底∴{a}是首项为2,公比为2的等比数列，=3×[C3"-¹+C!3"-²(-1)+C3"-3(即.(11分)设S,为数列{b}的前n项和，∴数列{b}的前2n项和.(15分)性别男生女生满意不满意∴依据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H。不成率不大于0.001.(5分),(8分)依题意，:;(10分)(13分)(2分)(2分)∴P(n)取最大值时n的值为12.(15分)设圆心T(x,y),弦的中点为R,连接RT,则由圆的性质得∴(x-2)²+y